初中数学同步训练必刷培优卷（北师大版七年级下册 第五单元测试卷）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024七下·青秀月考） 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；图形的平移
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不能用其中一部分平移得到，A不符合题意；
B、是轴对称图形，不能用其中一部分平移得到，B不符合题意；
C、是轴对称图形，不能用其中一部分平移得到，C不符合题意；
D、右边部分向左平移可以得到左边部分，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平移和轴对称的性质区分判断即可.
2．（2023七下·市南区期末）如图，在中，的面积为，分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于，连接为的中点，为直线上任意一点．则长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接，，
由作图得：是的垂直平分线，
，
，
，为的中点，
，
的面积为，，
，
故选：B．
【分析】根据垂直平分线性质及三角形面积即可求出答案。
3．（2021七下·乐山期末）如图，将四边形纸片ABCD沿EF折叠，点A落在A1处，若∠1+∠2＝90°，则∠A的度数是（ ）
A．45° B．40° C．35° D．30°
【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形纸片ABCD沿EF折叠，点A落在A1处，
∴∠3+∠4= （180°-∠1）+ （180°-∠2）=180°- （∠1+∠2），
∵∠1+∠2=90°，
∴∠3+∠4=180°- ×90°=180°-45°=135°，
在△AEF中，∠A=180°-（∠3+∠4）=180°-135°=45°.
故答案为：A.
【分析】 根据翻折变换的性质和平角的定义求出∠3＋∠4的度数，再利用三角形的内角和定理列式计算即可求解．
4．（2023·安达期末）小强将一张正方形纸片按如图所示对折两次，并在如图位置上剪去一个小正方形，然后把纸片展开，得到的图形应是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】剪纸问题
【解析】【解答】解： 按照图中的顺序向左对折，向上对折，从直角三角形的一直角边的剪去一个正方形，展开后实际是从正方形的一条对角线上剪去两个小长方形，故得到结论．
故答案为：B.
【分析】解题的关键是注意根据对称的性质：剪去一个正方形，展开后就是长方形.
5．（2023七下·杜尔伯特期末）如图，把一张长方形纸片 沿 折叠， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠1=55°，
由翻折性质得∠DEF=∠GEF=55°，
∴∠2=180°-55°-55°=70°.
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质和折叠的性质得出∠DEF=∠GEF=55°，再利用平角的定义求出∠2=70°，即可得出答案.
6．（2023七下·新民期末）如图，四边形是直角梯形，，，点是腰上的一个动点，要使最小，则点应该满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，作点C关于AD的对称点E，连接BE交AD于P，连接CP.
根据轴对称的性质，得∠DPC=∠EPD，
根据对顶角相等知∠APB=∠EPD
∴∠APB=∠DPC.
故答案为：D.
【分析】根据轴对称的性质，对称的角相等，可得∠DPC=∠EPD，再根据对顶角相等的性质，得∠APB=∠DPC.
7．（2023七下·安达期末）如图1所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】剪纸问题
【解析】【解答】解：根据第三个图形中，剪去的是三角形，则将第三个图形展开，得到的图形是：
故A和C错误；
∵再展开可知两个短边正对着，
故B错误；
故答案为：D.
【分析】仔细观察图形特点，利用对称性与排除法即可求解.
8．（2021七下·沙坪坝期末）如图， 为等腰直角三角形， 、将 按如图方式进行折叠，使点A与 边上的点F重合，折痕分别与 、 交于点D、点E.下列结论：① ；② ；③ ；④ .其中一定正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
根据折叠的性质，∠A=∠3，∠ADE=∠FDE，∠AED=∠FED，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，
∴∠A=∠B=∠3=45°，
∴∠3+∠B=90°，故答案为：③正确；
设∠ADE=∠FDE= ，∠AED=∠FED= ，
则∠1+∠ADE+∠FDE=∠1+ =180°①，∠2+∠AED+∠FED =∠2+ =180°②，
∠A+ 180°，
①+②得：∠1+ +∠2+ =∠1+∠2+ = 360°，
∴∠1+∠2=90°，故答案为：②正确；
由于∠1+∠2=90°，∠1与∠2不一定相等，故答案为：①不一定正确；
由于点F在BC边上，不固定，DF与AB不一定平行，故答案为：④不一定正确；
∴一定正确的是②③，共2个，
故答案为：B. .
【分析】利用折叠的性质可证得∠A=∠3，∠ADE=∠FDE，∠AED=∠FED，再利用等腰直角三角形的性质可证得∠3+∠B=90°，可对③作出判断；设∠ADE=∠FDE= ，∠AED=∠FED= ，利用平角的定义可证得∠1+∠ADE+∠FDE=∠1+ =180°①，∠2+∠AED+∠FED =∠2+ =180°②，利用三角形的内角和定理可证得∠A+ 180°，可求出∠1+∠2的值，但∠1和∠2的度数不一定相等，可对①②作出判断；由于点F在BC边上，不固定，DF与AB不一定平行，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
9．（2017七下·晋中期末）如图，是把一张长方形的纸片沿长边中点的连线对折两次后得到的图形，再沿虚线裁剪，展开后的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】剪纸问题
【解析】【解答】由折叠可得最后展开的图形应既关于过原长方形两长边中点的连线对称，也关于两短边中点的连线对称，并且关于长边对称的两个剪去部分是不相连的，各选项中，只有选项D符合．故答案为：D．
【分析】两次折叠可以动手操作，反过来逆推即可.
10．如图，直线l是一条河，P，Q两地相距8千米，P，Q两地到l的距离分别为2千米，5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水．现有如下四种铺设方案，则铺设的管道最短的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】先分别计算出四个选项中铺设的管道的长度，再比较即可．
【解答】A、铺设的管道的长度为：PQ+PM=8+2=10（千米)；
B、∵P′Q2=82-（5-2)2+（5+2)2=104，
∴铺设的管道的长度为：PM+QM=P′M+QM=P′Q=＞10（千米)；
C、铺设的管道的长度为：＞7+3=10（千米)；
D、显然铺设的管道的长度PM+QM大于选项B中铺设的管道的长度，即PM+QM＞（千米)．
故选A．
【点评】此题为数学知识的应用，考查知识点两点之间线段最短
二、填空题（每题3分，共15分）
11．如图，将长方形纸片 ABCD沿EF 折叠后，点A，B分别落在点 A'，B'的位置，再沿 AD 边将∠A'折叠到∠H 处.已知∠1=52°，则∠AEF= °，∠FEH= °
【答案】116；12
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：由折叠可知：，，，
∵，，
∴，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
∴，
过点作，如图，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：116°；12°．
【分析】本题考查折叠的性质，直角三角形的性质，矩形的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理．由折叠的性质：折叠前后对应角相等可推出：，，，再利用三角形的内角和定理结合平行线的性质可推出的度数，过点作，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可推出，可求出的度数，进而求出的度数，利用直角三角形的性质可求出的度数，进而求出答案．
12．（2023七下·雅安期末）如图，中，，，，，将沿折叠，使得点C恰好落在边上的点E处，P为折痕上一动点，则周长的最小值是 ．
【答案】12
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形-动点问题
【解析】【解答】连接CP，如图，
∵将沿折叠，使得点C恰好落在边上的点E处，
∴CP=PE，BC=BE=6，
∴C△APE=AP+PE+AE=AP+CP+AE，
∴当点A、P、C三点共线时，AP+CP的长最小，即AP+CP=AC=8，此时三角形APE的周长最小，
∵AB=10，
∴AE=AB-BE=10-6=4，
∴C△APE的最小值=AC+AE=8+4=12，
故答案为：12.
【分析】先证出当点A、P、C三点共线时，AP+CP的长最小，即AP+CP=AC=8，此时三角形APE的周长最小，再求解即可.
13．（2023七下·章丘期末）如图所示，中，且分别为边边上的高，相交于点F， 连接则下列结论中：①垂直平分；②图中有3个等腰三角形；③；④的长度恰与的周长相等；⑤如图，若点P是高上一个动点，点Q是边上一个动点，连接，则的最小值等于的长度，其中正确的是 （只填序号）．
【答案】①②③④⑤
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD是BC边上的高，
∴BD=CD，即AD垂直平分，故①正确；
∵∠BAC=45°，BE⊥AC，
∴∠ABE=∠BAC=45°，
∴AE=BE，即△ABE是等腰三角形，
∵∠DBF+∠BFD=90°，∠DBF+∠ECB=90°，
∴∠BFD=∠ECB，
∴∠AFE=∠BFD=∠ECB，
∵∠AEF=∠BEC=90°，AE=BE，
∴△AEF≌△BEC（AAS）故③正确；
∴EF=CE，即△EFC是等腰三角形，
∴△ABC、△ABE、△EFC为等腰三角形，故②正确；
由AD垂直平分，则BF=CF，
∴△EFC的周长为EF+CE+CF=EF+BF+CE=BE+CE=AE+CE=AB，故④正确；
由AD垂直平分，则B、C关于AD对称，
∴CP=BP，
∴CP+PQ=BP+PQ，
∴的最小值即是BP+PQ的最小值，
∴当B、P、Q三点共线，且BP⊥AC时，BP+PQ的值最小，即为BE的长，故⑤正确.
故答案为： ①②③④⑤ .
【分析】由AB=AC，AD是BC边上的高，利用等腰三角形三线合一的性质即可判断①；利用三角形内角和求出∠ABE=∠BAC=45°，可得AE=BE，即△ABE是等腰三角形，再根据AAS证明△AEF≌△BEC，据此判断③，可得EF=CE，即△EFC是等腰三角形，由△ABC为等腰三角形可判断②；由AD垂直平分，则BF=CF，从而得出EF+CE+CF=AC，据此判断④，由AD垂直平分，可得CP=BP， 可知的最小值即是BP+PQ的最小值，所以当B、P、Q三点共线，且BP⊥AC时，BP+PQ的值最小，即为BE的长，据此判断⑤.
14．（2023七下·金牛期末）如图，锐角内有一定点A，连接，点B、C分别为、边上的动点，连接、、，设（），当取得最小值时，则 ．（用含的代数式表示）
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：作点A关于OM和ON的对称点A1、A2，连接A1A2交OM和ON于点B1、C1，连接OA1、OA2，如图所示：
∴，，
∴为等腰三角形，，
∴，
∵作点A关于OM和ON的对称点A1、A2，
∴，
∴当取得最小值时，三点共线，
∴，
故答案为：
【分析】作点A关于OM和ON的对称点A1、A2，连接A1A2交OM和ON于点B1、C1，连接OA1、OA2，根据对称即可得到，，进而根据等腰三角形的判定与性质结合题意即可得到为等腰三角形，，从而得到，再根据对称即可得到，然后得到当取得最小值时，三点共线，从而即可求解。
15．（2021七下·丽水期末）数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成新的图形。现给出下列3种不同的剪、拼方案，其中能够验证平方差公式的方案是 。(请填上正确的序号)
【答案】①②
【知识点】平方差公式的几何背景；图形的剪拼
【解析】【解答】解： ① 阴影部分的面积=a2-b2，拼凑的矩形的面积=（a+b）（a-b），
∴a2-b2=（a+b）（a-b）；
② 阴影部分的面积=a2-b2，如图，先取点，再作ME⊥AD，NF⊥AD，
∵ME=AE=NF=DF，AE+FD=ME+NF=a-b，
∴拼凑的平行四边形的面积=（a+b）（a-b），
∴a2-b2=（a+b）（a-b）；
③阴影部分的面积=a2-b2，拼凑的矩形的面积=（a+b）2b≠（a+b）（a-b）；
故答案为： ①② .
【分析】看图先把阴影部分的面积表示出来，再根据矩形的面积公式或平行四边形的面积公式分别求出拼凑而成的面积，两者比较即可判断.
三、作图题（共6分）
16．（2023七下·新都期末）如图，ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．
⑴画A1B1C1，使它与ABC关于直线l成轴对称；
⑵求ABC的面积；
⑶在直线l上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短（不需计算，在图上直接标记出点P的位置）．
【答案】解：⑴如图，A1B1C1为所作；
⑵ABC的面积＝3×4-×4×2-×2×1-×2×3＝4；
⑶如图，点P为所作．
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质分别确定点A、B、C关于直线l成轴对称的点A1、B1、C1， 再顺次连接即可；
（2）利用割补法求出△ABC的面积即可；
（3）连接A1B交直线l于一点，即为点P，此时点P到点A、B的距离之和最短.
四、解答题（共3题，共24分）
17．如图1，将一张长方形纸片沿 EF 折叠，使AB落在A'B'的位置.
（1）若∠1 的度数为α，求∠2 的度数(用含α的代数式表示).
（2）如图2，再将纸片沿GH 折叠，使得CD落在C'D'的位置.
①若EF∥C'G，∠1 的度数为α，求∠3 的度数(用含α的代数式表示).
②若B'F⊥C'G，∠3的度数比∠1 的度数大20°，求∠1的度数.
【答案】（1）解：由折叠得：
∴
∵
∴
∵
∵
（2）解：①由（1）知：，
∵
∴
由折叠得：
∴
②由（1）知：，
∵
∴
∴
∴
∵
∴.
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到然后根据折叠的性质得到最后根据平角的定义即可求解；
（2）①由（1）知：，根据平行线的性质得到：最后根据折叠的性质和平角的定义即可求解；
②由（1）知：，根据垂直的定义得到然后根据折叠的性质得到：最后根据即可求解.
18．（2021七下·顺德期末）问题解决：
（1）问题情境：如图1所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到P的距离之和最短？请画出点P的位置；
（2）问题理解：如图2，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是AC边的中点，点P是线段AD上的动点，画出PC＋PE取得最小值时点P的位置；
（3）问题运用：如图3，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD＝12，AD是∠BAC的平分线，当点E、P分别是AC和AD上的动点时，求PC＋PE的最小值．
【答案】（1）解：如图1中，点P即为所求．
（2）解：如图2中，点P′即为所求．
（3）解：如图3中，过点C作CT⊥AB于T．
∵AC＝AB，AD平分∠CAB，
∴AD垂直平分线段BC，
∴AC，AB关于AD对称，
作点E关于AD的对称点E′，连接PE′，则PE＝PE′，
∵PC＋PE＝PC＋PE′≥CT，
∴当P，E′在CT上时，PE＋PC的值最小，最小值为线段CT的长，
∵S△ABC＝ AB CT＝ BC AD，
∴CT＝ ，
∴PE＋PC的值最小值= ．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）如图1中，作点A关于直线l的对称点A'，连接BA'交直线l于点P，连接PA，此时PA+PB的值最小；
（2）如图2中，连接BE交AD于点P'，连接CP'，点P'即为所求；
（3）如图3中，过点C作CT⊥AB于T，证明AC，AB关于AD对称，作点E关于AD的对称点E′，连接PE′，则PE＝PE′，推出PC＋PE＝PC＋PE′≥CT，推出当P，E′在CT上时，PE＋PC的值最小，最小值为线段CT的长。
19．（2023七下·绥德期末）如图，在中，，点D为BC边上一点，E为AC延长线上的一点，，F为CB边上一点，连接EF，延长AD交EF于点K，，过点D作直线于G，延长GD交EF于点H，作平分交AD于点M，过点M作交EF于点N，交GD于点O，交BC于点Q，，连接GN．
（1）与相等吗？为什么？
（2）试说明．
【答案】（1）解：．
理由如下：因为，
所以，
所以．
因为，
所以．
因为，
所以．
（2）解：因为，
所以，．
因为，
所以．
在和中，
因为，，，
所以，
所以．
因为，
所以，．
因为，
所以DG垂直平分MN，所以．
因为，GM平分，
所以，．
由（1）可知，，即．
在和中，因为，，，所以，所以．
因为，所以．
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠AKE=90°，利用余角的性质和对顶角相等，可证得∠DHK和∠BAK的关系.
（2）利用余角的性质可证得∠ADC=∠KDF，利用AAS证明△ACD≌△FCE，利用全等三角形的性质可得到AD=FE；再证明DG垂直平分MN，利用垂直平分线的性质可证得MG=NG，利用角平分线的定义可证得∠AGM=∠GMN=∠AGM=∠HGN=45°；利用AAS证明△AMG≌△HNG，利用全等三角形的性质可证得AM=HN，据此可证得结论.
五、实践探究题（共3题，共25分）
20．（2024七下·江南月考） 综合与实践：折纸中的数学
【问题提出】在前面的学习中我们通过折纸可以找出一个角的平分线，还可以折出过一个点且与已知直线垂直的直线．那我们能否通过折纸的方式找到过直线外一点且与已知直线平行的直线呢？
（1）【知识初探】王玲同学在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线．
①如图1，在纸上画出一条直线，在外取一点．过点折叠纸片，使得点的对应点落在直线上（如图2），记折痕与的交点为，将纸片展开铺平．则 ▲ ；
②再过点将纸片进行折叠，使得点的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时王玲说，就是的平行线．王玲的说法正确吗？请写出过程予以证明；
（2）【拓展延伸】李强同学在王玲同学折纸的基础上，补充了条件：如图5，在线段上任取一点，连接，请你猜想与这三个角之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：①由题意可知，点、、、共线，
，
由折叠的性质可知，，
，即，
故答案为：90；
②王玲的说法正确，证明如下：
由①得：，
同理可得，，
，
；
（2）解：如图，过点作，
，
，
，
，
【知识点】平行线的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）①根据折叠前后两图形的对应角相等即可求解；
②根据折叠前后两图形的对应角相等可得，，根据同旁内角互补，两直线平行即可证明；
（2）过点作，根据两直线平行，内错角相等可得，根据平行于同一直线的两直线平行可得，根据两直线平行，内错角相等可得，即可求解.
21．（2023七下·长春期末）【问题呈现】小明在学习中遇到这样一个问题：如图①，在中，，平分、于D，猜想、、的数量关系．
（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入、的特殊值求值并寻找它们的数量关系，得到下面几组对应值：（单位：度）
10 30 30 20 20
70 70 60 60 80
30 a 15 20 30
上表中a＝ ，猜想与、的数量关系并证明 ．
（2）【变式应用】
小明继续研究，在图②中，，，其它条件不变，若把“于D”改为“点F是线段上任意一点，于D”，则 （直接写出结果）．
（3）小明提出问题，在中，，平分，若点F是线段延长线上一点，于D，试探究与、的数量关系 （直接写出结论，不需证明）．
【答案】（1）20；解：，，， ， ．
（2）20
（3）
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：（1） ， ，
，
中， ，
平分 ，
，
，
；
（2）过点A作 于G，如图所示：
， ，
，
，
， ，
由（1）同理可得： ，
，
故答案为：20．
（3）过A作 于G，而 ，如图所示：
，
，
由（1）同理可得： ，
，
故答案为：
【分析】（1）先根据三角形内角和定理即可得到 ，再结合题意运用角平分线的性质即可求解；
（2）过点A作 于G，先根据平行线的判定与性质即可得到 ，由（1）同理可得： ，进而即可求解；
（3）过A作 于G，而 ，先根据平行线的性质即可得到 ，由（1）同理可得： ，进而即可求解。
22．（2023七下·槐荫期末）教材呈现：如图是北师大版七年级下册数学教材第123页的部分内容，
（1）请根据所给教材内容，写出结论： （填“”、“”或“”）
（2）结合教材上的图5—11，证明你的结论．（推理过程请注明理由）
（3）应用上述结论解决下列题目：
已知：如图，中，是的垂直平分线，于点D，且D为的中点．
①求证：；（推理过程请注明理由）
②若，求的度数．
【答案】（1）=
（2）证明：如图5-11，
点是线段垂直平分线上的一点，（已知）
，（垂直平分线定义），
（垂直定义），
在和中，
，
，
；（全等三角形的对应边相等）．
（3）解：①证明：是的垂直平分线，（已知），
，（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
，D为的中点，
是的垂直平分线，
（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
（等量代换）；
②，，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质即可求解；
（2）根据垂直平分线的性质得到，，进而得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可求解；
（3）①先根据垂直平分线的性质得到，进而结合题意根据垂直平分线的判定与性质得到，再等量代换即可求解；
②先根据等腰三角形的性质得到，再结合题意运用三角形内角和定理即可求解。
1 / 1初中数学同步训练必刷培优卷（北师大版七年级下册 第五单元测试卷）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024七下·青秀月考） 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023七下·市南区期末）如图，在中，的面积为，分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于，连接为的中点，为直线上任意一点．则长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021七下·乐山期末）如图，将四边形纸片ABCD沿EF折叠，点A落在A1处，若∠1+∠2＝90°，则∠A的度数是（ ）
A．45° B．40° C．35° D．30°
4．（2023·安达期末）小强将一张正方形纸片按如图所示对折两次，并在如图位置上剪去一个小正方形，然后把纸片展开，得到的图形应是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023七下·杜尔伯特期末）如图，把一张长方形纸片 沿 折叠， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2023七下·新民期末）如图，四边形是直角梯形，，，点是腰上的一个动点，要使最小，则点应该满足（ ）
A． B． C． D．
7．（2023七下·安达期末）如图1所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2021七下·沙坪坝期末）如图， 为等腰直角三角形， 、将 按如图方式进行折叠，使点A与 边上的点F重合，折痕分别与 、 交于点D、点E.下列结论：① ；② ；③ ；④ .其中一定正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2017七下·晋中期末）如图，是把一张长方形的纸片沿长边中点的连线对折两次后得到的图形，再沿虚线裁剪，展开后的图形是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，直线l是一条河，P，Q两地相距8千米，P，Q两地到l的距离分别为2千米，5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水．现有如下四种铺设方案，则铺设的管道最短的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．如图，将长方形纸片 ABCD沿EF 折叠后，点A，B分别落在点 A'，B'的位置，再沿 AD 边将∠A'折叠到∠H 处.已知∠1=52°，则∠AEF= °，∠FEH= °
12．（2023七下·雅安期末）如图，中，，，，，将沿折叠，使得点C恰好落在边上的点E处，P为折痕上一动点，则周长的最小值是 ．
13．（2023七下·章丘期末）如图所示，中，且分别为边边上的高，相交于点F， 连接则下列结论中：①垂直平分；②图中有3个等腰三角形；③；④的长度恰与的周长相等；⑤如图，若点P是高上一个动点，点Q是边上一个动点，连接，则的最小值等于的长度，其中正确的是 （只填序号）．
14．（2023七下·金牛期末）如图，锐角内有一定点A，连接，点B、C分别为、边上的动点，连接、、，设（），当取得最小值时，则 ．（用含的代数式表示）
15．（2021七下·丽水期末）数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成新的图形。现给出下列3种不同的剪、拼方案，其中能够验证平方差公式的方案是 。(请填上正确的序号)
三、作图题（共6分）
16．（2023七下·新都期末）如图，ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．
⑴画A1B1C1，使它与ABC关于直线l成轴对称；
⑵求ABC的面积；
⑶在直线l上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短（不需计算，在图上直接标记出点P的位置）．
四、解答题（共3题，共24分）
17．如图1，将一张长方形纸片沿 EF 折叠，使AB落在A'B'的位置.
（1）若∠1 的度数为α，求∠2 的度数(用含α的代数式表示).
（2）如图2，再将纸片沿GH 折叠，使得CD落在C'D'的位置.
①若EF∥C'G，∠1 的度数为α，求∠3 的度数(用含α的代数式表示).
②若B'F⊥C'G，∠3的度数比∠1 的度数大20°，求∠1的度数.
18．（2021七下·顺德期末）问题解决：
（1）问题情境：如图1所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到P的距离之和最短？请画出点P的位置；
（2）问题理解：如图2，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是AC边的中点，点P是线段AD上的动点，画出PC＋PE取得最小值时点P的位置；
（3）问题运用：如图3，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD＝12，AD是∠BAC的平分线，当点E、P分别是AC和AD上的动点时，求PC＋PE的最小值．
19．（2023七下·绥德期末）如图，在中，，点D为BC边上一点，E为AC延长线上的一点，，F为CB边上一点，连接EF，延长AD交EF于点K，，过点D作直线于G，延长GD交EF于点H，作平分交AD于点M，过点M作交EF于点N，交GD于点O，交BC于点Q，，连接GN．
（1）与相等吗？为什么？
（2）试说明．
五、实践探究题（共3题，共25分）
20．（2024七下·江南月考） 综合与实践：折纸中的数学
【问题提出】在前面的学习中我们通过折纸可以找出一个角的平分线，还可以折出过一个点且与已知直线垂直的直线．那我们能否通过折纸的方式找到过直线外一点且与已知直线平行的直线呢？
（1）【知识初探】王玲同学在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线．
①如图1，在纸上画出一条直线，在外取一点．过点折叠纸片，使得点的对应点落在直线上（如图2），记折痕与的交点为，将纸片展开铺平．则 ▲ ；
②再过点将纸片进行折叠，使得点的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时王玲说，就是的平行线．王玲的说法正确吗？请写出过程予以证明；
（2）【拓展延伸】李强同学在王玲同学折纸的基础上，补充了条件：如图5，在线段上任取一点，连接，请你猜想与这三个角之间的数量关系，并说明理由．
21．（2023七下·长春期末）【问题呈现】小明在学习中遇到这样一个问题：如图①，在中，，平分、于D，猜想、、的数量关系．
（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入、的特殊值求值并寻找它们的数量关系，得到下面几组对应值：（单位：度）
10 30 30 20 20
70 70 60 60 80
30 a 15 20 30
上表中a＝ ，猜想与、的数量关系并证明 ．
（2）【变式应用】
小明继续研究，在图②中，，，其它条件不变，若把“于D”改为“点F是线段上任意一点，于D”，则 （直接写出结果）．
（3）小明提出问题，在中，，平分，若点F是线段延长线上一点，于D，试探究与、的数量关系 （直接写出结论，不需证明）．
22．（2023七下·槐荫期末）教材呈现：如图是北师大版七年级下册数学教材第123页的部分内容，
（1）请根据所给教材内容，写出结论： （填“”、“”或“”）
（2）结合教材上的图5—11，证明你的结论．（推理过程请注明理由）
（3）应用上述结论解决下列题目：
已知：如图，中，是的垂直平分线，于点D，且D为的中点．
①求证：；（推理过程请注明理由）
②若，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；图形的平移
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不能用其中一部分平移得到，A不符合题意；
B、是轴对称图形，不能用其中一部分平移得到，B不符合题意；
C、是轴对称图形，不能用其中一部分平移得到，C不符合题意；
D、右边部分向左平移可以得到左边部分，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平移和轴对称的性质区分判断即可.
2．【答案】B
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接，，
由作图得：是的垂直平分线，
，
，
，为的中点，
，
的面积为，，
，
故选：B．
【分析】根据垂直平分线性质及三角形面积即可求出答案。
3．【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形纸片ABCD沿EF折叠，点A落在A1处，
∴∠3+∠4= （180°-∠1）+ （180°-∠2）=180°- （∠1+∠2），
∵∠1+∠2=90°，
∴∠3+∠4=180°- ×90°=180°-45°=135°，
在△AEF中，∠A=180°-（∠3+∠4）=180°-135°=45°.
故答案为：A.
【分析】 根据翻折变换的性质和平角的定义求出∠3＋∠4的度数，再利用三角形的内角和定理列式计算即可求解．
4．【答案】B
【知识点】剪纸问题
【解析】【解答】解： 按照图中的顺序向左对折，向上对折，从直角三角形的一直角边的剪去一个正方形，展开后实际是从正方形的一条对角线上剪去两个小长方形，故得到结论．
故答案为：B.
【分析】解题的关键是注意根据对称的性质：剪去一个正方形，展开后就是长方形.
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠1=55°，
由翻折性质得∠DEF=∠GEF=55°，
∴∠2=180°-55°-55°=70°.
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质和折叠的性质得出∠DEF=∠GEF=55°，再利用平角的定义求出∠2=70°，即可得出答案.
6．【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，作点C关于AD的对称点E，连接BE交AD于P，连接CP.
根据轴对称的性质，得∠DPC=∠EPD，
根据对顶角相等知∠APB=∠EPD
∴∠APB=∠DPC.
故答案为：D.
【分析】根据轴对称的性质，对称的角相等，可得∠DPC=∠EPD，再根据对顶角相等的性质，得∠APB=∠DPC.
7．【答案】B
【知识点】剪纸问题
【解析】【解答】解：根据第三个图形中，剪去的是三角形，则将第三个图形展开，得到的图形是：
故A和C错误；
∵再展开可知两个短边正对着，
故B错误；
故答案为：D.
【分析】仔细观察图形特点，利用对称性与排除法即可求解.
8．【答案】B
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
根据折叠的性质，∠A=∠3，∠ADE=∠FDE，∠AED=∠FED，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，
∴∠A=∠B=∠3=45°，
∴∠3+∠B=90°，故答案为：③正确；
设∠ADE=∠FDE= ，∠AED=∠FED= ，
则∠1+∠ADE+∠FDE=∠1+ =180°①，∠2+∠AED+∠FED =∠2+ =180°②，
∠A+ 180°，
①+②得：∠1+ +∠2+ =∠1+∠2+ = 360°，
∴∠1+∠2=90°，故答案为：②正确；
由于∠1+∠2=90°，∠1与∠2不一定相等，故答案为：①不一定正确；
由于点F在BC边上，不固定，DF与AB不一定平行，故答案为：④不一定正确；
∴一定正确的是②③，共2个，
故答案为：B. .
【分析】利用折叠的性质可证得∠A=∠3，∠ADE=∠FDE，∠AED=∠FED，再利用等腰直角三角形的性质可证得∠3+∠B=90°，可对③作出判断；设∠ADE=∠FDE= ，∠AED=∠FED= ，利用平角的定义可证得∠1+∠ADE+∠FDE=∠1+ =180°①，∠2+∠AED+∠FED =∠2+ =180°②，利用三角形的内角和定理可证得∠A+ 180°，可求出∠1+∠2的值，但∠1和∠2的度数不一定相等，可对①②作出判断；由于点F在BC边上，不固定，DF与AB不一定平行，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
9．【答案】D
【知识点】剪纸问题
【解析】【解答】由折叠可得最后展开的图形应既关于过原长方形两长边中点的连线对称，也关于两短边中点的连线对称，并且关于长边对称的两个剪去部分是不相连的，各选项中，只有选项D符合．故答案为：D．
【分析】两次折叠可以动手操作，反过来逆推即可.
10．【答案】A
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】先分别计算出四个选项中铺设的管道的长度，再比较即可．
【解答】A、铺设的管道的长度为：PQ+PM=8+2=10（千米)；
B、∵P′Q2=82-（5-2)2+（5+2)2=104，
∴铺设的管道的长度为：PM+QM=P′M+QM=P′Q=＞10（千米)；
C、铺设的管道的长度为：＞7+3=10（千米)；
D、显然铺设的管道的长度PM+QM大于选项B中铺设的管道的长度，即PM+QM＞（千米)．
故选A．
【点评】此题为数学知识的应用，考查知识点两点之间线段最短
11．【答案】116；12
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：由折叠可知：，，，
∵，，
∴，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
∴，
过点作，如图，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：116°；12°．
【分析】本题考查折叠的性质，直角三角形的性质，矩形的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理．由折叠的性质：折叠前后对应角相等可推出：，，，再利用三角形的内角和定理结合平行线的性质可推出的度数，过点作，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可推出，可求出的度数，进而求出的度数，利用直角三角形的性质可求出的度数，进而求出答案．
12．【答案】12
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形-动点问题
【解析】【解答】连接CP，如图，
∵将沿折叠，使得点C恰好落在边上的点E处，
∴CP=PE，BC=BE=6，
∴C△APE=AP+PE+AE=AP+CP+AE，
∴当点A、P、C三点共线时，AP+CP的长最小，即AP+CP=AC=8，此时三角形APE的周长最小，
∵AB=10，
∴AE=AB-BE=10-6=4，
∴C△APE的最小值=AC+AE=8+4=12，
故答案为：12.
【分析】先证出当点A、P、C三点共线时，AP+CP的长最小，即AP+CP=AC=8，此时三角形APE的周长最小，再求解即可.
13．【答案】①②③④⑤
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD是BC边上的高，
∴BD=CD，即AD垂直平分，故①正确；
∵∠BAC=45°，BE⊥AC，
∴∠ABE=∠BAC=45°，
∴AE=BE，即△ABE是等腰三角形，
∵∠DBF+∠BFD=90°，∠DBF+∠ECB=90°，
∴∠BFD=∠ECB，
∴∠AFE=∠BFD=∠ECB，
∵∠AEF=∠BEC=90°，AE=BE，
∴△AEF≌△BEC（AAS）故③正确；
∴EF=CE，即△EFC是等腰三角形，
∴△ABC、△ABE、△EFC为等腰三角形，故②正确；
由AD垂直平分，则BF=CF，
∴△EFC的周长为EF+CE+CF=EF+BF+CE=BE+CE=AE+CE=AB，故④正确；
由AD垂直平分，则B、C关于AD对称，
∴CP=BP，
∴CP+PQ=BP+PQ，
∴的最小值即是BP+PQ的最小值，
∴当B、P、Q三点共线，且BP⊥AC时，BP+PQ的值最小，即为BE的长，故⑤正确.
故答案为： ①②③④⑤ .
【分析】由AB=AC，AD是BC边上的高，利用等腰三角形三线合一的性质即可判断①；利用三角形内角和求出∠ABE=∠BAC=45°，可得AE=BE，即△ABE是等腰三角形，再根据AAS证明△AEF≌△BEC，据此判断③，可得EF=CE，即△EFC是等腰三角形，由△ABC为等腰三角形可判断②；由AD垂直平分，则BF=CF，从而得出EF+CE+CF=AC，据此判断④，由AD垂直平分，可得CP=BP， 可知的最小值即是BP+PQ的最小值，所以当B、P、Q三点共线，且BP⊥AC时，BP+PQ的值最小，即为BE的长，据此判断⑤.
14．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：作点A关于OM和ON的对称点A1、A2，连接A1A2交OM和ON于点B1、C1，连接OA1、OA2，如图所示：
∴，，
∴为等腰三角形，，
∴，
∵作点A关于OM和ON的对称点A1、A2，
∴，
∴当取得最小值时，三点共线，
∴，
故答案为：
【分析】作点A关于OM和ON的对称点A1、A2，连接A1A2交OM和ON于点B1、C1，连接OA1、OA2，根据对称即可得到，，进而根据等腰三角形的判定与性质结合题意即可得到为等腰三角形，，从而得到，再根据对称即可得到，然后得到当取得最小值时，三点共线，从而即可求解。
15．【答案】①②
【知识点】平方差公式的几何背景；图形的剪拼
【解析】【解答】解： ① 阴影部分的面积=a2-b2，拼凑的矩形的面积=（a+b）（a-b），
∴a2-b2=（a+b）（a-b）；
② 阴影部分的面积=a2-b2，如图，先取点，再作ME⊥AD，NF⊥AD，
∵ME=AE=NF=DF，AE+FD=ME+NF=a-b，
∴拼凑的平行四边形的面积=（a+b）（a-b），
∴a2-b2=（a+b）（a-b）；
③阴影部分的面积=a2-b2，拼凑的矩形的面积=（a+b）2b≠（a+b）（a-b）；
故答案为： ①② .
【分析】看图先把阴影部分的面积表示出来，再根据矩形的面积公式或平行四边形的面积公式分别求出拼凑而成的面积，两者比较即可判断.
16．【答案】解：⑴如图，A1B1C1为所作；
⑵ABC的面积＝3×4-×4×2-×2×1-×2×3＝4；
⑶如图，点P为所作．
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质分别确定点A、B、C关于直线l成轴对称的点A1、B1、C1， 再顺次连接即可；
（2）利用割补法求出△ABC的面积即可；
（3）连接A1B交直线l于一点，即为点P，此时点P到点A、B的距离之和最短.
17．【答案】（1）解：由折叠得：
∴
∵
∴
∵
∵
（2）解：①由（1）知：，
∵
∴
由折叠得：
∴
②由（1）知：，
∵
∴
∴
∴
∵
∴.
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到然后根据折叠的性质得到最后根据平角的定义即可求解；
（2）①由（1）知：，根据平行线的性质得到：最后根据折叠的性质和平角的定义即可求解；
②由（1）知：，根据垂直的定义得到然后根据折叠的性质得到：最后根据即可求解.
18．【答案】（1）解：如图1中，点P即为所求．
（2）解：如图2中，点P′即为所求．
（3）解：如图3中，过点C作CT⊥AB于T．
∵AC＝AB，AD平分∠CAB，
∴AD垂直平分线段BC，
∴AC，AB关于AD对称，
作点E关于AD的对称点E′，连接PE′，则PE＝PE′，
∵PC＋PE＝PC＋PE′≥CT，
∴当P，E′在CT上时，PE＋PC的值最小，最小值为线段CT的长，
∵S△ABC＝ AB CT＝ BC AD，
∴CT＝ ，
∴PE＋PC的值最小值= ．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）如图1中，作点A关于直线l的对称点A'，连接BA'交直线l于点P，连接PA，此时PA+PB的值最小；
（2）如图2中，连接BE交AD于点P'，连接CP'，点P'即为所求；
（3）如图3中，过点C作CT⊥AB于T，证明AC，AB关于AD对称，作点E关于AD的对称点E′，连接PE′，则PE＝PE′，推出PC＋PE＝PC＋PE′≥CT，推出当P，E′在CT上时，PE＋PC的值最小，最小值为线段CT的长。
19．【答案】（1）解：．
理由如下：因为，
所以，
所以．
因为，
所以．
因为，
所以．
（2）解：因为，
所以，．
因为，
所以．
在和中，
因为，，，
所以，
所以．
因为，
所以，．
因为，
所以DG垂直平分MN，所以．
因为，GM平分，
所以，．
由（1）可知，，即．
在和中，因为，，，所以，所以．
因为，所以．
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠AKE=90°，利用余角的性质和对顶角相等，可证得∠DHK和∠BAK的关系.
（2）利用余角的性质可证得∠ADC=∠KDF，利用AAS证明△ACD≌△FCE，利用全等三角形的性质可得到AD=FE；再证明DG垂直平分MN，利用垂直平分线的性质可证得MG=NG，利用角平分线的定义可证得∠AGM=∠GMN=∠AGM=∠HGN=45°；利用AAS证明△AMG≌△HNG，利用全等三角形的性质可证得AM=HN，据此可证得结论.
20．【答案】（1）解：①由题意可知，点、、、共线，
，
由折叠的性质可知，，
，即，
故答案为：90；
②王玲的说法正确，证明如下：
由①得：，
同理可得，，
，
；
（2）解：如图，过点作，
，
，
，
，
【知识点】平行线的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）①根据折叠前后两图形的对应角相等即可求解；
②根据折叠前后两图形的对应角相等可得，，根据同旁内角互补，两直线平行即可证明；
（2）过点作，根据两直线平行，内错角相等可得，根据平行于同一直线的两直线平行可得，根据两直线平行，内错角相等可得，即可求解.
21．【答案】（1）20；解：，，， ， ．
（2）20
（3）
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：（1） ， ，
，
中， ，
平分 ，
，
，
；
（2）过点A作 于G，如图所示：
， ，
，
，
， ，
由（1）同理可得： ，
，
故答案为：20．
（3）过A作 于G，而 ，如图所示：
，
，
由（1）同理可得： ，
，
故答案为：
【分析】（1）先根据三角形内角和定理即可得到 ，再结合题意运用角平分线的性质即可求解；
（2）过点A作 于G，先根据平行线的判定与性质即可得到 ，由（1）同理可得： ，进而即可求解；
（3）过A作 于G，而 ，先根据平行线的性质即可得到 ，由（1）同理可得： ，进而即可求解。
22．【答案】（1）=
（2）证明：如图5-11，
点是线段垂直平分线上的一点，（已知）
，（垂直平分线定义），
（垂直定义），
在和中，
，
，
；（全等三角形的对应边相等）．
（3）解：①证明：是的垂直平分线，（已知），
，（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
，D为的中点，
是的垂直平分线，
（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
（等量代换）；
②，，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质即可求解；
（2）根据垂直平分线的性质得到，，进而得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可求解；
（3）①先根据垂直平分线的性质得到，进而结合题意根据垂直平分线的判定与性质得到，再等量代换即可求解；
②先根据等腰三角形的性质得到，再结合题意运用三角形内角和定理即可求解。
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