2024-2025学年北师大版数学八（上）1.1探索勾股定理 同步测试
一、选择题
1．（2019八上·宜兴月考）在 Rt△ABC 中， ∠C = 90° ， AB = 3 ， AC = 2， 则 BC 的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】由勾股定理得， .
故答案为： .
【分析】直接利用勾股定理计算即可.
2．（2021八上·沙坪坝开学考）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.“折竹抵地”问题源自《九章算术》﹔“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示， 中， ， 尺， 尺，求AC的长.则AC的长为（ ）
A．4.2尺 B．4.3尺 C．4.4尺 D．4.5尺
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设AC=x尺，则AB=（10-x）尺，
中， ， ，
∴ ，
解得：x=4.2，
故答案为：A.
【分析】设AC=x尺，则AB=（10-x）尺，根据勾股定理可得 ，代入即可.
3．（2024八上·坪山期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（ ）
A． B． C．2.2 D．3
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：连接AD，则AD=AB=3，
Rt△ADC中，由勾股定理可得，.
故答案为：B．
【分析】连接AD，Rt△ADC中，由勾股定理即可得出CD的长．
4．图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中正方形顶点A、B在围成的正方体中的距离是（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：连接AB，如图所示：
根据题意得：∠ACB=90°，
由勾股定理得：AB=
故选：C．
【分析】由正方形的性质和勾股定理求出AB的长，即可得出结果．
5．（2020八上·成华期末）满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．AC＝1，BC＝ ，AB＝2 B．AC：BC：AB＝3：4：5
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【答案】D
【知识点】勾股定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：A、∵12+（ ）2＝4，22＝4，
∴12+（ ）2＝22，
∴AC＝1，BC＝ ，AB＝2满足△ABC是直角三角形；
B、∵32+42＝25，52＝25，
∴32+42＝52，
∴AC：BC：AB＝3：4：5满足△ABC是直角三角形；
C、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝ ×180°＝90°，
∴∠A：∠B：∠C＝1：2：3满足△ABC是直角三角形；
D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝ ×180°＝75°，
∴∠A：∠B：∠C＝3：4：5，△ABC不是直角三角形．
故答案为：D．
【分析】根据直角三角形中有一个角等于90°和利用勾股定理对每个选项一一判断即可。
6．（2021八上·余杭期中）在锐角中，，，高，则BC的长度为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
AD是锐角△ABC的高，
，，
在中，
在中，
故答案为：C.
【分析】在Rt△ABD中，由勾股定理求出BD长，在Rt△ACD中，由勾股定理求出CD长，然后根据线段的和差关系求BC长即可.
7．（2021八上·济南期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CD的长为（ ）
A．1cm B．cm C．cm D．2cm
【答案】B
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解： AC＝4 ，BC＝3，∠C＝90°，
翻折
，
设的长为x，则，
在中，
即
解得
故答案为：B
【分析】设的长为x，则，根据勾股定理可得，再求出x的值即可。
8．（2023八上·德惠月考）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时， 梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5m，则小巷的宽为（ ）．
A．2.4m B．2m C．2.5m D．2.7m
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴
∴CD=CB+BD=0.7+2=2.7m
则小巷的宽为2.7m
故答案为：D
【分析】根据直角三角形中勾股定理可得，则，则小巷的宽CD=CB+BD，即可求出答案.
二、填空题
9．（2018-2019学年数学北师大版八年级上册1.1《探索勾股定理》同步训练）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】由勾股定理可以求出直角边长分别为5和12的斜边为：13，
设斜边上的高为x，由题意，得
，
解得：x= .
【分析】先利用勾股定理求出斜边的长，再利用直角三角形的两个面积公式可解答。
10．（2021八上·甘州期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 ， 和 ， 和 是这个台阶的两个端点， 点上有一只蚂蚁想到 点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为 .
【答案】
【知识点】几何体的展开图；勾股定理
【解析】【解答】展开图为：
则AC=100cm，BC=15×3+10×3=75cm，
在Rt△ABC中，AB= =125cm．
所以蚂蚁所走的最短路线长度为125cm．
故答案为：125．
【分析】把立体几何图展开得到平面几何图，然后利用勾股定理计算AB，则根据两点间线段最短得到蚂蚁所走的路线最短。
11．（2024八上·福田期末）如图，在和中，，点在边的中点上，若，，连结，则的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长到，使得，连接，，
，由等腰三角形的性质可得，
，
∴
，，
，
，，
，
，，
，
点为的中点，
，，
，∴，
在中，由勾股定理得：.
故答案为：．
【分析】延长到，使得，连接，，，由等腰三角形的性质可得，，由“”可证，可得，，在中，利用勾股定理即可求解．
12．（2024·吴兴期末）在平面直角坐标系中，将一副三角板按如图所示的方式摆放，BO、DO分别与.动点在边上运动，动点在边上运动，的中点的坐标为，则的最小值是 .
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵点的坐标为，
∴
∵
∴
过点P作PM⊥OA于M交OC于N，
此时PM+PN最小求等于PM的长度，
∵
∴
∴
∴
则的最小值是，
故答案为：.
【分析】根据点P的坐标得到：求出∠AOD的度数，过点P作PM⊥OA于M交OC于N，此时PM+PN最小求等于PM的长度，根据三角形内角和定理和直角三角形的性质即可求出OM的长度，最后利用勾股定理即可求出PM的长度，即可求解.
13．（2024八上·坪山期末）如图，中，，于点，平分，交与点，于点，且交于点，若，，则 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，，
由等腰三角形的性质可得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
，
即，
解得：，
在中，由勾股定理得：．
故答案为：
【分析】连接，由等腰三角形的性质可得：，结合，证明，可得，从而得到，再由勾股定理求出，然后根据三角形等面积 ，可得，在中，由勾股定理得，即可得解．
三、作图题
14．用刻度尺和圆规作一条线段 ，使它的长度为cm．（保留作图痕迹）
【答案】解：作一个直角边分别为1cm 和2cm 的直角三角形，如图，
∴斜边长AB长为cm
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】利用勾股定理可知斜边长为cm，利用垂线的作法，作出BC⊥AC，且BC=1cm，AC=2cm，画出△ABC即可得到AB的长为cm.
15．（2023八上·泗洪期末）如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝CD＝5，AD＝BC＝3.
（1）尺规作图：在边BC找一点P，使得△ABP沿直线AP折叠时，B点恰好落在边CD上：（写出作法过程，保留作图痕迹，不需证明）
（2）求BP的长.
【答案】（1）解：如图，
①以A点为圆心以AB长为半径画弧交DC边于E点；
②作的平分线交BC于P点，点P即为所作；
（2）解： ∵△ABP沿直线AP折叠时，B点恰好落在边CD的点E处，
∴AE＝AB＝5，PE＝PB，
在Rt△ADE中，∵AD＝3，AE＝5，
∴，
∴CE＝CD－DE＝5－4＝1，
设PB＝x，则PE＝x，PC＝3－x，
在Rt△PCE中，，
解得，即PB的长为
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）①以A点为圆心，以AB长为半径画弧，交DC边于E点；②作∠EAB的平分线交BC于P点，点P即为所作；
（2） 根据折叠的性质可得AE＝AB＝5，PE＝PB，利用勾股定理可得DE=4，则CE＝CD-DE＝1，设PB＝x，则PE＝x，PC＝3-x，然后在Rt△PCE中，利用勾股定理计算即可.
四、解答题
16．（2021八上·三水期中）如图，折叠矩形的一边 ，使点 落在 边的点 处，已知AB=8cm，BC=10cm，求 的长
【答案】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴DC=AB=8cm，AD=BC=10cm，∠B=∠D=∠C=90°，
∵折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，
∴AF=AD=10cm，DE=EF，
在Rt△ABF中，BF= (cm)，
∴FC=BC-BF=4(cm)，
设EC= ，则DE= ，EF= ，
在Rt△EFC中，
∵EC2+FC2=EF2，
∴x2+42=(8-x)2，解得x=3，
∴EC的长为 ．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】由四边形ABCD为矩形，得出DC=AB=8cm，AD=BC=10cm，∠B=∠D=∠C=90°，根据折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，得出AF的值，利用勾股定理得出BF、FC的值，设EC= ，则DE= ，EF= ，在Rt△EFC中，由EC2+FC2=EF2，即可得出EC的长。
17．（2021八上·金牛月考）如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10点E是CD的中点，求AE的长．
【答案】解：如图，延长AE交BC于F．
∵AB⊥BC，AB⊥AD，
∴AD∥BC
∴∠D=∠C，∠DAE=∠CFE，
又∵点E是CD的中点，
∴DE=CE．
∵在△AED与△FEC中，
，
∴△AED≌△FEC（AAS），
∴AE=FE，AD=FC．
∵AD=5，BC=10．
∴BF=5
在Rt△ABF中，AF＝ ，
∴AE= AF=6.5．
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；线段的中点；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】延长AE交BC于F，易得AD∥BC，由平行线的性质得∠D=∠C，∠DAE=∠CFE，根据中点的概念可得DE=CE，证明△AED≌△FEC，得到AE=FE，AD=FC，则BF=BC-CF=BC-AD=5，利用勾股定理可得AF，进而可得AE.
五、实践探究题
18．（2023八上·宁海期末）定义：在任意中，如果一个内角度数的2倍与另一个内角度数的和为，那么称此三角形为“倍角互余三角形”.
（1）【基础巩固】若是“倍角互余三角形”，，，则 ；
（2）【尝试应用】如图1，在中，，点为线段上一点，若与互余.求证：是“倍角互余三角形”；
（3）【拓展提高】如图2，在中，，，，试问在边上是否存在点，使得是“倍角互余三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）15
（2）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴是倍角互余三角形.
（3）解：①当平分时，则，
∴，
∴，则，
设，则，，
在中，，
解得，所以.
②当时，作点关于的对称点，连接、，并延长交于点.
设，则，
∵点、点关于对称，
∴，
∴，
∴，
即，
利用等积法求得：，
∴，
在中，
设，在中，，
∴，
在中，，
∴，
综上所述，或时，为倍角互余三角形.
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；定义新运算；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵是“倍角互余三角形”，，，
∴，
∴，
故答案为：15；
【分析】（1）由题意可得∠A+2∠B=90°，据此计算；
（2）由内角和定理可得∠B+∠CAB=90°，由题意可得∠CAB+∠CAD=90°，则∠B=∠CAD，∠B+∠CAD+∠BAD=2∠B+∠BAD=90°，据此证明；
（3）①当AE平分∠CAB时，则2∠EAB+∠B=90°，∠CAE=∠FAE，∠ACE=∠AFE，证明△ACE≌△AFE，得到AE=AC=3，则BF=2，设CE=a，则EF=a，BE=4-a，由勾股定理可求出a的值，进而可得BE；②当∠CAE=∠B时，作点A关于BC的对称点H，连接AE、HE，并延长HE交AB于点F，设∠CAE=x，则∠ABC=x，∠AHE=∠CAE=x，∠CEH=∠BEF，则∠BEF+∠ABC=90°，根据等面积法可得HF，然后利用勾股定理可得AF，设AE=HE=a，利用勾股定理可得a的值，进而可得CE、BE的值.
六、综合题
19．（2020八上·常州期中）在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处.
（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为 °.
（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝6，AD＝10，求CE的长.
（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB＝6，AD＝10，求CG的长.
【答案】（1）18
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，
由折叠的性质得：AF＝AD＝10，EF＝ED，
∴BF＝ ＝ ＝8，
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，
设CE＝x，则EF＝ED＝6﹣x，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：22+x2＝（6﹣x）2，
解得：x＝ ，
即CE的长为 ；
（3）解：连接EG，如图3所示：
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
由折叠的性质得：AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，FE＝DE，
∴∠EFG＝90°＝∠C，
在Rt△CEG和△FEG中，
，
∴Rt△CEG≌△FEG（HL），
∴CG＝FG，
设CG＝FG＝y，
则AG＝AF+FG＝10+y，BG＝BC﹣CG＝10﹣y，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：62+（10﹣y）2＝（10+y）2，
解得：y＝ ，
即CG的长为 .
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝54°，
∴∠DAC＝90°﹣54°＝36°，
由折叠的性质得：∠DAE＝∠FAE，
∴∠DAE＝ ∠DAC＝18°；
故答案为：18；
【分析】（1）由矩形的性质可知∠BAD＝90°，易知∠DAC的度数，由折叠的性质可知∠DAE＝ ∠DAC，计算可得∠DAE的度数.（2）由矩形四个角都是直角及对边相等的性质及折叠后图形对应边相等的性质，结合勾股定理可得BF长，由CF＝BC﹣BF可求出CF长，设CE＝x，则EF＝ED＝6﹣x，在Rt△CEF中，根据勾股定理求出x值即可；（3）连接EG，由中点及折叠的性质利用HL定理可证Rt△CEG≌△FEG，结合全等三角形对应边相等的性质可设CG＝FG＝y，可用含y的代数式表示出AG、BG，在Rt△ABG中，根据勾股定理求解即可.
20．（2023八上·双流月考） 在长方形中，点是中点，将沿折叠后得到对应的，将延长交直线于点．
（1）如果点在长方形的内部，如图所示．
①求证：；
②若，，求的长度．
（2）如果点在长方形的外部，如图所示，，请用含的代数式表示的值．
【答案】（1）解：①连接，
根据翻折的性质得，，
，，
在和中，
，
≌，
；
由知，，设，，则有，，
，
，，
；
在中，，即，
，
，
，
；
（2）解：由知，，设，，则有，，
，
，，
在中，，
即
，
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）①证△EGF≌△EDF即可；②设，，则有，，在中，勾股定理得出，进而根据，即可求解；
（2）由知，，设，，则有，，在中，根据勾股定理可得，进而求得的值．
1 / 12024-2025学年北师大版数学八（上）1.1探索勾股定理 同步测试
一、选择题
1．（2019八上·宜兴月考）在 Rt△ABC 中， ∠C = 90° ， AB = 3 ， AC = 2， 则 BC 的值（ ）
A． B． C． D．
2．（2021八上·沙坪坝开学考）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.“折竹抵地”问题源自《九章算术》﹔“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示， 中， ， 尺， 尺，求AC的长.则AC的长为（ ）
A．4.2尺 B．4.3尺 C．4.4尺 D．4.5尺
3．（2024八上·坪山期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（ ）
A． B． C．2.2 D．3
4．图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中正方形顶点A、B在围成的正方体中的距离是（ ）
A．0 B．1 C． D．
5．（2020八上·成华期末）满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．AC＝1，BC＝ ，AB＝2 B．AC：BC：AB＝3：4：5
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
6．（2021八上·余杭期中）在锐角中，，，高，则BC的长度为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
7．（2021八上·济南期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CD的长为（ ）
A．1cm B．cm C．cm D．2cm
8．（2023八上·德惠月考）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时， 梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5m，则小巷的宽为（ ）．
A．2.4m B．2m C．2.5m D．2.7m
二、填空题
9．（2018-2019学年数学北师大版八年级上册1.1《探索勾股定理》同步训练）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为 ．
10．（2021八上·甘州期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 ， 和 ， 和 是这个台阶的两个端点， 点上有一只蚂蚁想到 点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为 .
11．（2024八上·福田期末）如图，在和中，，点在边的中点上，若，，连结，则的长为 ．
12．（2024·吴兴期末）在平面直角坐标系中，将一副三角板按如图所示的方式摆放，BO、DO分别与.动点在边上运动，动点在边上运动，的中点的坐标为，则的最小值是 .
13．（2024八上·坪山期末）如图，中，，于点，平分，交与点，于点，且交于点，若，，则 ．
三、作图题
14．用刻度尺和圆规作一条线段 ，使它的长度为cm．（保留作图痕迹）
15．（2023八上·泗洪期末）如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝CD＝5，AD＝BC＝3.
（1）尺规作图：在边BC找一点P，使得△ABP沿直线AP折叠时，B点恰好落在边CD上：（写出作法过程，保留作图痕迹，不需证明）
（2）求BP的长.
四、解答题
16．（2021八上·三水期中）如图，折叠矩形的一边 ，使点 落在 边的点 处，已知AB=8cm，BC=10cm，求 的长
17．（2021八上·金牛月考）如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10点E是CD的中点，求AE的长．
五、实践探究题
18．（2023八上·宁海期末）定义：在任意中，如果一个内角度数的2倍与另一个内角度数的和为，那么称此三角形为“倍角互余三角形”.
（1）【基础巩固】若是“倍角互余三角形”，，，则 ；
（2）【尝试应用】如图1，在中，，点为线段上一点，若与互余.求证：是“倍角互余三角形”；
（3）【拓展提高】如图2，在中，，，，试问在边上是否存在点，使得是“倍角互余三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由.
六、综合题
19．（2020八上·常州期中）在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处.
（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为 °.
（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝6，AD＝10，求CE的长.
（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB＝6，AD＝10，求CG的长.
20．（2023八上·双流月考） 在长方形中，点是中点，将沿折叠后得到对应的，将延长交直线于点．
（1）如果点在长方形的内部，如图所示．
①求证：；
②若，，求的长度．
（2）如果点在长方形的外部，如图所示，，请用含的代数式表示的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】由勾股定理得， .
故答案为： .
【分析】直接利用勾股定理计算即可.
2．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设AC=x尺，则AB=（10-x）尺，
中， ， ，
∴ ，
解得：x=4.2，
故答案为：A.
【分析】设AC=x尺，则AB=（10-x）尺，根据勾股定理可得 ，代入即可.
3．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：连接AD，则AD=AB=3，
Rt△ADC中，由勾股定理可得，.
故答案为：B．
【分析】连接AD，Rt△ADC中，由勾股定理即可得出CD的长．
4．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：连接AB，如图所示：
根据题意得：∠ACB=90°，
由勾股定理得：AB=
故选：C．
【分析】由正方形的性质和勾股定理求出AB的长，即可得出结果．
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：A、∵12+（ ）2＝4，22＝4，
∴12+（ ）2＝22，
∴AC＝1，BC＝ ，AB＝2满足△ABC是直角三角形；
B、∵32+42＝25，52＝25，
∴32+42＝52，
∴AC：BC：AB＝3：4：5满足△ABC是直角三角形；
C、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝ ×180°＝90°，
∴∠A：∠B：∠C＝1：2：3满足△ABC是直角三角形；
D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝ ×180°＝75°，
∴∠A：∠B：∠C＝3：4：5，△ABC不是直角三角形．
故答案为：D．
【分析】根据直角三角形中有一个角等于90°和利用勾股定理对每个选项一一判断即可。
6．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
AD是锐角△ABC的高，
，，
在中，
在中，
故答案为：C.
【分析】在Rt△ABD中，由勾股定理求出BD长，在Rt△ACD中，由勾股定理求出CD长，然后根据线段的和差关系求BC长即可.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解： AC＝4 ，BC＝3，∠C＝90°，
翻折
，
设的长为x，则，
在中，
即
解得
故答案为：B
【分析】设的长为x，则，根据勾股定理可得，再求出x的值即可。
8．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴
∴CD=CB+BD=0.7+2=2.7m
则小巷的宽为2.7m
故答案为：D
【分析】根据直角三角形中勾股定理可得，则，则小巷的宽CD=CB+BD，即可求出答案.
9．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】由勾股定理可以求出直角边长分别为5和12的斜边为：13，
设斜边上的高为x，由题意，得
，
解得：x= .
【分析】先利用勾股定理求出斜边的长，再利用直角三角形的两个面积公式可解答。
10．【答案】
【知识点】几何体的展开图；勾股定理
【解析】【解答】展开图为：
则AC=100cm，BC=15×3+10×3=75cm，
在Rt△ABC中，AB= =125cm．
所以蚂蚁所走的最短路线长度为125cm．
故答案为：125．
【分析】把立体几何图展开得到平面几何图，然后利用勾股定理计算AB，则根据两点间线段最短得到蚂蚁所走的路线最短。
11．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长到，使得，连接，，
，由等腰三角形的性质可得，
，
∴
，，
，
，，
，
，，
，
点为的中点，
，，
，∴，
在中，由勾股定理得：.
故答案为：．
【分析】延长到，使得，连接，，，由等腰三角形的性质可得，，由“”可证，可得，，在中，利用勾股定理即可求解．
12．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵点的坐标为，
∴
∵
∴
过点P作PM⊥OA于M交OC于N，
此时PM+PN最小求等于PM的长度，
∵
∴
∴
∴
则的最小值是，
故答案为：.
【分析】根据点P的坐标得到：求出∠AOD的度数，过点P作PM⊥OA于M交OC于N，此时PM+PN最小求等于PM的长度，根据三角形内角和定理和直角三角形的性质即可求出OM的长度，最后利用勾股定理即可求出PM的长度，即可求解.
13．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，，
由等腰三角形的性质可得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
，
即，
解得：，
在中，由勾股定理得：．
故答案为：
【分析】连接，由等腰三角形的性质可得：，结合，证明，可得，从而得到，再由勾股定理求出，然后根据三角形等面积 ，可得，在中，由勾股定理得，即可得解．
14．【答案】解：作一个直角边分别为1cm 和2cm 的直角三角形，如图，
∴斜边长AB长为cm
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】利用勾股定理可知斜边长为cm，利用垂线的作法，作出BC⊥AC，且BC=1cm，AC=2cm，画出△ABC即可得到AB的长为cm.
15．【答案】（1）解：如图，
①以A点为圆心以AB长为半径画弧交DC边于E点；
②作的平分线交BC于P点，点P即为所作；
（2）解： ∵△ABP沿直线AP折叠时，B点恰好落在边CD的点E处，
∴AE＝AB＝5，PE＝PB，
在Rt△ADE中，∵AD＝3，AE＝5，
∴，
∴CE＝CD－DE＝5－4＝1，
设PB＝x，则PE＝x，PC＝3－x，
在Rt△PCE中，，
解得，即PB的长为
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）①以A点为圆心，以AB长为半径画弧，交DC边于E点；②作∠EAB的平分线交BC于P点，点P即为所作；
（2） 根据折叠的性质可得AE＝AB＝5，PE＝PB，利用勾股定理可得DE=4，则CE＝CD-DE＝1，设PB＝x，则PE＝x，PC＝3-x，然后在Rt△PCE中，利用勾股定理计算即可.
16．【答案】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴DC=AB=8cm，AD=BC=10cm，∠B=∠D=∠C=90°，
∵折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，
∴AF=AD=10cm，DE=EF，
在Rt△ABF中，BF= (cm)，
∴FC=BC-BF=4(cm)，
设EC= ，则DE= ，EF= ，
在Rt△EFC中，
∵EC2+FC2=EF2，
∴x2+42=(8-x)2，解得x=3，
∴EC的长为 ．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】由四边形ABCD为矩形，得出DC=AB=8cm，AD=BC=10cm，∠B=∠D=∠C=90°，根据折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，得出AF的值，利用勾股定理得出BF、FC的值，设EC= ，则DE= ，EF= ，在Rt△EFC中，由EC2+FC2=EF2，即可得出EC的长。
17．【答案】解：如图，延长AE交BC于F．
∵AB⊥BC，AB⊥AD，
∴AD∥BC
∴∠D=∠C，∠DAE=∠CFE，
又∵点E是CD的中点，
∴DE=CE．
∵在△AED与△FEC中，
，
∴△AED≌△FEC（AAS），
∴AE=FE，AD=FC．
∵AD=5，BC=10．
∴BF=5
在Rt△ABF中，AF＝ ，
∴AE= AF=6.5．
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；线段的中点；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】延长AE交BC于F，易得AD∥BC，由平行线的性质得∠D=∠C，∠DAE=∠CFE，根据中点的概念可得DE=CE，证明△AED≌△FEC，得到AE=FE，AD=FC，则BF=BC-CF=BC-AD=5，利用勾股定理可得AF，进而可得AE.
18．【答案】（1）15
（2）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴是倍角互余三角形.
（3）解：①当平分时，则，
∴，
∴，则，
设，则，，
在中，，
解得，所以.
②当时，作点关于的对称点，连接、，并延长交于点.
设，则，
∵点、点关于对称，
∴，
∴，
∴，
即，
利用等积法求得：，
∴，
在中，
设，在中，，
∴，
在中，，
∴，
综上所述，或时，为倍角互余三角形.
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；定义新运算；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵是“倍角互余三角形”，，，
∴，
∴，
故答案为：15；
【分析】（1）由题意可得∠A+2∠B=90°，据此计算；
（2）由内角和定理可得∠B+∠CAB=90°，由题意可得∠CAB+∠CAD=90°，则∠B=∠CAD，∠B+∠CAD+∠BAD=2∠B+∠BAD=90°，据此证明；
（3）①当AE平分∠CAB时，则2∠EAB+∠B=90°，∠CAE=∠FAE，∠ACE=∠AFE，证明△ACE≌△AFE，得到AE=AC=3，则BF=2，设CE=a，则EF=a，BE=4-a，由勾股定理可求出a的值，进而可得BE；②当∠CAE=∠B时，作点A关于BC的对称点H，连接AE、HE，并延长HE交AB于点F，设∠CAE=x，则∠ABC=x，∠AHE=∠CAE=x，∠CEH=∠BEF，则∠BEF+∠ABC=90°，根据等面积法可得HF，然后利用勾股定理可得AF，设AE=HE=a，利用勾股定理可得a的值，进而可得CE、BE的值.
19．【答案】（1）18
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，
由折叠的性质得：AF＝AD＝10，EF＝ED，
∴BF＝ ＝ ＝8，
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，
设CE＝x，则EF＝ED＝6﹣x，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：22+x2＝（6﹣x）2，
解得：x＝ ，
即CE的长为 ；
（3）解：连接EG，如图3所示：
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
由折叠的性质得：AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，FE＝DE，
∴∠EFG＝90°＝∠C，
在Rt△CEG和△FEG中，
，
∴Rt△CEG≌△FEG（HL），
∴CG＝FG，
设CG＝FG＝y，
则AG＝AF+FG＝10+y，BG＝BC﹣CG＝10﹣y，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：62+（10﹣y）2＝（10+y）2，
解得：y＝ ，
即CG的长为 .
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝54°，
∴∠DAC＝90°﹣54°＝36°，
由折叠的性质得：∠DAE＝∠FAE，
∴∠DAE＝ ∠DAC＝18°；
故答案为：18；
【分析】（1）由矩形的性质可知∠BAD＝90°，易知∠DAC的度数，由折叠的性质可知∠DAE＝ ∠DAC，计算可得∠DAE的度数.（2）由矩形四个角都是直角及对边相等的性质及折叠后图形对应边相等的性质，结合勾股定理可得BF长，由CF＝BC﹣BF可求出CF长，设CE＝x，则EF＝ED＝6﹣x，在Rt△CEF中，根据勾股定理求出x值即可；（3）连接EG，由中点及折叠的性质利用HL定理可证Rt△CEG≌△FEG，结合全等三角形对应边相等的性质可设CG＝FG＝y，可用含y的代数式表示出AG、BG，在Rt△ABG中，根据勾股定理求解即可.
20．【答案】（1）解：①连接，
根据翻折的性质得，，
，，
在和中，
，
≌，
；
由知，，设，，则有，，
，
，，
；
在中，，即，
，
，
，
；
（2）解：由知，，设，，则有，，
，
，，
在中，，
即
，
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）①证△EGF≌△EDF即可；②设，，则有，，在中，勾股定理得出，进而根据，即可求解；
（2）由知，，设，，则有，，在中，根据勾股定理可得，进而求得的值．
1 / 1
