2024-2025学年北师大版数学九（上）1.1菱形的性质与判定同步训练
一、选择题
1．（2016九上·永登期中）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF为（ ）
A．80° B．70° C．65° D．60°
2．（2024九上·盘州期末）如图，要使成为菱形，则需添加的一个条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·福田开学考）如图，在菱形ABCD中，AC＝6cm，BD＝8cm，则菱形AB边上的高CE的长是（ ）
A．4.8cm B．9.6cm C．5cm D．10cm
4．（2019九上·贵阳期末）如图，菱形ABCD的周长为28，对角线AC，BD交于点O，E为AD的中点，则OE的长等于（ ）
A．2 B．3.5 C．7 D．14
5．（2020九上·昌图期末）下列关系中，是菱形的性质但不是平行四边形的性质的是（ ）
A．对角线垂直 B．两组对边分别平行
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
6．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.4 中位线 同步练习）如图，在菱形 中， 是 边上的一点， 分别是 的中点，则线段 的长为（ ）
A．8 B． C．4 D．
7．（2023九上·保定开学考）如图，已知菱形的周长为，，则对角线的长是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·金沙期中）已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点，，点P是对角线OB上的一个动点，，当最短时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023九上·肇源月考）如右图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60°的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为 .
10．（2023九上·商河月考）如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，只要添加条件AC BD．就能保证四边形EFGH是菱形．
11．（2023九上·龙岗月考）菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的周长为 ．
12．如图，已知平行四边形ABCD中，AB=BC，BC=10，∠BCD=60°，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接OA，则OA的长的最小值是 ．
13．（2024九上·温江期末）如图，在菱形中，，，为边上一动点，将沿折叠为，为边上一点，，则的最小值为 ．
三、作图题
14．（2020九上·五华期末）已知线段AC
（1）尺规作图：作菱形ABCD，使AC是菱形的一条对角线（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）若AC＝8，BD＝6，求菱形的边长．
四、解答题
15．（2022九上·武侯期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，BF交AC于G，连接CF．
（1）求证：EF＝EB；
（2）若∠BAC＝90°，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
16．（2023九上·光明开学考）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝10，BD＝8，求OE的长．
五、实践探究题
17．（2023九上·朝阳月考）综合与实践
[问题情境]
如图1，小华将矩形纸片ABCD先沿对角线BD折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线BD上，点B的对应点记为B'，折痕与边AD，BC分别交于点E，F．
（1） [活动猜想]如图2，当点B'与点D重合时，四边形BEDF是哪种特殊的四边形？并给予证明．
（2） [问题解决]如图1，当AB=4， AD=8，BF=3时，连结B'C，则B'C的长为
（3） [深入探究]如图3，请直接写出AB与BC满足什么关系时，始终有A'B'与对角线AC平行？
18．（2023九上·郑州高新技术产业开发开学考）课本再现
思考 我们知道，菱形的对角线互相垂直.反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
（1）定理证明
为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程.
已知：在中，对角线，垂足为.
求证：是菱形.
（2）知识应用
如图2，在中，对角线AC和BD相交于点.求证：是菱形.
六、综合题
19．（初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形3 练习题 (2)）如图，已知正七边形ABCDEFG，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．
（1）在图1中，画出一个以AB为边的平行四边形；
（2）在图2中，画出一个以AF为边的菱形．
20．（2022九上·湖口期中）如图，矩形的顶点E，G分别在菱形的边，上，顶点F，H在菱形的对角线上．
（1）求证：；
（2）若E为中点，，求菱形的周长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BF，
在△BCF和△DCF中，
∵CD=CB，∠DCF=∠BCF，CF=CF
∴△BCF≌△DCF
∴∠CBF=∠CDF
∵FE垂直平分AB，∠BAF= ×80°=40°
∴∠ABF=∠BAF=40°
∵∠ABC=180°﹣80°=100°，∠CBF=100°﹣40°=60°
∴∠CDF=60°．
故选D．
【分析】连接BF，利用SAS判定△BCF≌△DCF，从而得到∠CBF=∠CDF，根据已知可注得∠CBF的度数，则∠CDF也就求得了．
2．【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】A、∵AC=AD，，∴无法证出成为菱形，∴A不符合题意；
B、∵，，∴成为矩形，∴B不符合题意；
C、∵，，∴成为菱形，∴C符合题意；
D、∵，，∴成为矩形，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用菱形的判定方法逐项分析判断即可.
3．【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：设AC、BD相交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6cm，BD＝8cm
∴，，AC⊥BD，
，
由勾股定理得，
由可得，
CE=4.8cm；
故答案为：A.
【分析】根据菱形的性质及勾股定理可计算出AB的长度、菱形的面积，即可计算CE的长度.
4．【答案】B
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵四边形ABCD为菱形，∴AB 28=7，且O为BD的中点．
∵E为AD的中点，∴OE为△ABD的中位线，∴OE AB=3.5．
故答案为：B．
【分析】根据菱形的四边相等、对角线互相平分，可得AB=7，OB=OD，利用三角形的中位线平行且等于第三边的一半，可求出OE的长.
5．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形的对角线互相垂直平分、平行四边形的对角线互相平分，符合题意；
B、菱形、平行四边形的对边平行且相等，不符合题意；
C、菱形、平行四边形的对角线互相平分，不符合题意；
D、菱形、平行四边形的两组对角分别相等，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据菱形和平行四边形的性质对每个选项一一判断即可。
6．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=8，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BA=BD=8，
∵PE=ED，PF=FB，
∴EF= BD=4．
故答案为：C
【分析】连接BD．由菱形的性质可得AD=AB，根据有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形可得△ABD是等边三角形，所以BD=AB，再根据三角形的中位线定理可得EF=BD可求解。
7．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的周长为8
∴ AB=AD=2
∵ ∠A=60°
∴为等边三角形
∴ BD=2
故答案为：C.
【分析】本题考查菱形的性质和等边三角形的判定。根据菱形的周长和性质可知AB=AD=2，结合∠A=60°可得等边三角形，可得BD。
8．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两点之间线段最短；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC、AD分别交OB于点G、点P，如图，
四边形OABC是菱形，
AC⊥OB，点A，点C关于直线OB对称，
PC+PD=PA+PD=AD，
此时PC+PD最短，
设直线OB的表达式为
直线OB过点O（0，0）和点B（8，4），
将O（0，0）和点B（8，4）代入表达式得解得
直线OB的表达式为
直线AD过点A（5，0）和点D（0，1），
同理：可求得直线AD的表达式为
联立方程组
解得
点P的坐标为（）
故答案为：D.
【分析】连接AC、AD分别交OB于点G、点P，作BK⊥OA的延长线于点K，已知四边形OABC是菱形，根据菱形的性质得到点A，点C关于直线OB对称，PC+PD=PA+PD=AD，此时PC+PD最短，利用待定系数法结合点O、A、B、D的坐标分别求出直线OB、直线AD的表达式，联立方程组即可求解点P的坐标.
9．【答案】30°或60°
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：矩形展开图和折痕如下：
①设α=∠ABD，
由题意可知，∠ABC=60°；
∵四边形ABCD是菱形
∴∠ABD=∠CBD==30°，即α=30°；
②设α=∠BAC，
∵四边形ABCD是菱形
∴∠BAC=∠DAC==180°-60°=120°
∴α=∠BAC=60°
故答案为：30°和60°.
【分析】根据菱形的对角线平分菱形的对角，可以直接求出α的度数.
10．【答案】=
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：由题意可得：四边形EFGH为平行四边形，
∴只要添加条件AC=BD， 就能保证四边形EFGH是菱形，
故答案为：=.
【分析】根据菱形的判定方法，结合图形判断求解即可。
11．【答案】20
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图所示.
根据题意可知，四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8.
∴AC⊥BD，AO=3，BO=4.
在Rt△AOB中，由勾股定理得AB=5.
∴这个菱形的周长为 4×5=20.
故答案为：20.
【分析】根据菱形对角线垂直平分和勾股定理得边长，然后根据菱形定义即可得周长.
12．【答案】5﹣5
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：过点A作AE⊥BD于点E，
当点A，O，E在一条直线上，此时AO最短，
∵平行四边形ABCD中，AB=BC，BC=10，∠BCD=60°，
∴AB=AD=CD=BC=10，∠BAD=∠BCD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AE过点O，E为BD中点，则此时EO=5，
故AO的最小值为：AO=AE﹣EO=ABsin60°﹣×BD=5﹣5．
故答案为：5﹣5．
【分析】利用菱形的性质以及等边三角形的性质得出A点位置，进而求出AO的长．
13．【答案】
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：作于点，则，
四边形是菱形，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
由折叠得，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
【分析】作EF⊥BC于点F，根据菱形的性质得BC=CD=AB=2，由BE=CE得BF=CF=1，而∠B=30°，因此BE=2EF，从而得到BF=EF=1，求得EF=，所以BE=CE=2EF=，根据折叠得CD'=CD=2，因为D'E+CE≥CD'，所以D'E+≥2，则D'E≥2-，即可求得D'E的最小值.
14．【答案】（1）解：如图所示，四边形ABCD即为所求作的菱形；
（2）解：∵AC＝8，BD＝6，且四边形ABCD是菱形，
∴AO＝ 4，DO＝ 3，且∠AOD＝90°
则AD＝ ＝ ＝5．
【知识点】菱形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）先画出AC的垂直平分线，垂足为O，然后截取OB=OD即可；（2）根据菱形的性质及勾股定理即可求出边长．
15．【答案】（1）证明：∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴EF＝EB；
（2）解：四边形ADCF是菱形，理由如下：
∵△AEF≌△DEB，
∴AF＝BD，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝DC，
∴AF＝DC，
又AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∴AD＝DC，
∴四边形ADCF是菱形；
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【分析】⑴论证两线段EF和EB相等，可以优先考虑两线段所在的三角形全等，由图可知可以论证三角形AEF和三角形DBE全等；点E是BF的中点可知BE等于EF，平行线可以论证角相等，还有对顶角相等，可以找到两三角形全等的条件，再由全等三角形性质可得对应边相等。
⑵、由直角三角形斜边上中线的性质可知AD等于BD等于CD，再由上小题可知AF和BD平行且相等，故AF和CD平行且相等，可以论证四边形ADCF是平行四边形，再加DA等于DC就可以论证四边形ADCF是菱形，（菱形的定义）。
16．【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠CAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∵AB＝AD，
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝8，
∴OB＝BD＝4，
在Rt△AOB 中，AB＝10，OB＝4，
∴OA＝＝＝，
∴OE＝OA＝．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义可得∠DCA=∠DAC，由等角对等边可得CD=AD，结合已知可得AB=CD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，然后由一组邻边相等的平行四边形是菱形可得平行四边形ABCD是菱形；
（2）由菱形的性质可得OA=OC，BD⊥AC，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=OA=OC，在Rt△AOB 中，用勾股定理求出OA=OE的值即可.
17．【答案】（1）解：四边形BFDE是菱形。
（2）4
（3）解：BC＝AB
【知识点】勾股定理的应用；菱形的判定；矩形的性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：
（1）四边形BEDF是菱形。
证明：由折叠可知，EF是BD的垂直平分线，∴BE＝DE，BF＝DF，EF⊥BD，
由矩形ABCD可得AD∥BC，∴∠ADB＝∠FBD，
由BF＝DF可得∠FDB＝∠FBD，∴∠ADB＝∠FDB，
又EF⊥BD，∴△DEF是等腰三角形，DE＝DF
∴BE＝DE＝BF＝DF，∴四边形BFDE是菱形。
（2）过B′作B′N⊥BC于N，设EF与BD相交于M，
∵BC＝AD＝8，CD＝AB＝4，∴BD＝
易证明△BMF∽△BCD，∴，
∴，∴MF＝
∴BB′＝2BM＝，易证明△BB′N∽△BDC，
∴，∴
∴B′N＝2.4，BN＝4.8，∴CN＝8-4.8＝3.2
∴B′C＝
故答案为：4
（3）设B′F与AC相交于G，∠OCB＝x，
易知OB＝OC，∴OBC＝∠OCB＝∠x，
由折叠可知BF＝B′F，∴∠OBC＝∠FB′B＝x，
∴∠B′FC＝∠OBC+∠FB′B＝2x，
当A′B′∥AC时，∠AGF＝∠A′B′F＝90°，
∵∠AGF＝∠OBC+∠B′FC＝x+2x=3x
∴3x=90°，∴x=30°，
∴BC＝AB
即当BC＝AB时， 始终有A'B'与对角线AC平行 。
【分析】
（1）先根据折叠的特点证明BE＝DE，BF＝DF，再证明∠ADB＝∠FDB得DEF是等腰三角形，DE＝DF，从而推导出四边形BFDE是菱形。
（2）过B′作B′N⊥BC于N，证明△BMF∽△BCD，求出BM，MF，BB′，再证明△BB′N∽△BDC得B′N，BN，CN，再运用勾股定理计算B′C即可。
（3）设B′F与AC相交于G，根据OB＝OC，A′B′∥AC可推导出∠OCB＝30°，从而得到AB与BC的关系。
18．【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
，
又，垂足为，
∴AC是BD的垂直平分线，
，
是菱形；
（2）证明：中，对角线AC和BD相交于点，
，
又，
在三角形AOD中，
即，
是菱形；
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对角线互相平分得DO=BO，易得AC是BD的垂直平分线，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AB=AD，进而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论；
（2）由平行四边形的对角线互相平分得DO=BO=3，AO=CO=4，在△AOD中，利用勾股定理的逆定理判断出∠AOD=90°，从而根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得结论.
19．【答案】（1）解：连接AF、BE、CG，CG交AF于M，交BE于N．四边形ABNM是平行四边形．
（2）解：连接AF、DF，延长DC交AB的延长线于M，四边形AFDM是菱形．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【分析】（1）连接AF、BE、CG，CG交AF于M，交BE于N．四边形ABNM是平行四边形．（2）连接AF、DF，延长DC交AB的延长线于M，四边形AFDM是菱形．
20．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接EG，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵E为中点，
∴，
∵，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
∴菱形的周长．
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先利用“AAS”证明，再利用全等三角形的性质可得；
（2）连接EG，先证明四边形是平行四边形，可得，再求出，即可得到菱形的周长。
1 / 12024-2025学年北师大版数学九（上）1.1菱形的性质与判定同步训练
一、选择题
1．（2016九上·永登期中）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF为（ ）
A．80° B．70° C．65° D．60°
【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BF，
在△BCF和△DCF中，
∵CD=CB，∠DCF=∠BCF，CF=CF
∴△BCF≌△DCF
∴∠CBF=∠CDF
∵FE垂直平分AB，∠BAF= ×80°=40°
∴∠ABF=∠BAF=40°
∵∠ABC=180°﹣80°=100°，∠CBF=100°﹣40°=60°
∴∠CDF=60°．
故选D．
【分析】连接BF，利用SAS判定△BCF≌△DCF，从而得到∠CBF=∠CDF，根据已知可注得∠CBF的度数，则∠CDF也就求得了．
2．（2024九上·盘州期末）如图，要使成为菱形，则需添加的一个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】A、∵AC=AD，，∴无法证出成为菱形，∴A不符合题意；
B、∵，，∴成为矩形，∴B不符合题意；
C、∵，，∴成为菱形，∴C符合题意；
D、∵，，∴成为矩形，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用菱形的判定方法逐项分析判断即可.
3．（2023九上·福田开学考）如图，在菱形ABCD中，AC＝6cm，BD＝8cm，则菱形AB边上的高CE的长是（ ）
A．4.8cm B．9.6cm C．5cm D．10cm
【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：设AC、BD相交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6cm，BD＝8cm
∴，，AC⊥BD，
，
由勾股定理得，
由可得，
CE=4.8cm；
故答案为：A.
【分析】根据菱形的性质及勾股定理可计算出AB的长度、菱形的面积，即可计算CE的长度.
4．（2019九上·贵阳期末）如图，菱形ABCD的周长为28，对角线AC，BD交于点O，E为AD的中点，则OE的长等于（ ）
A．2 B．3.5 C．7 D．14
【答案】B
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵四边形ABCD为菱形，∴AB 28=7，且O为BD的中点．
∵E为AD的中点，∴OE为△ABD的中位线，∴OE AB=3.5．
故答案为：B．
【分析】根据菱形的四边相等、对角线互相平分，可得AB=7，OB=OD，利用三角形的中位线平行且等于第三边的一半，可求出OE的长.
5．（2020九上·昌图期末）下列关系中，是菱形的性质但不是平行四边形的性质的是（ ）
A．对角线垂直 B．两组对边分别平行
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形的对角线互相垂直平分、平行四边形的对角线互相平分，符合题意；
B、菱形、平行四边形的对边平行且相等，不符合题意；
C、菱形、平行四边形的对角线互相平分，不符合题意；
D、菱形、平行四边形的两组对角分别相等，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据菱形和平行四边形的性质对每个选项一一判断即可。
6．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.4 中位线 同步练习）如图，在菱形 中， 是 边上的一点， 分别是 的中点，则线段 的长为（ ）
A．8 B． C．4 D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=8，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BA=BD=8，
∵PE=ED，PF=FB，
∴EF= BD=4．
故答案为：C
【分析】连接BD．由菱形的性质可得AD=AB，根据有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形可得△ABD是等边三角形，所以BD=AB，再根据三角形的中位线定理可得EF=BD可求解。
7．（2023九上·保定开学考）如图，已知菱形的周长为，，则对角线的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的周长为8
∴ AB=AD=2
∵ ∠A=60°
∴为等边三角形
∴ BD=2
故答案为：C.
【分析】本题考查菱形的性质和等边三角形的判定。根据菱形的周长和性质可知AB=AD=2，结合∠A=60°可得等边三角形，可得BD。
8．（2023九上·金沙期中）已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点，，点P是对角线OB上的一个动点，，当最短时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两点之间线段最短；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC、AD分别交OB于点G、点P，如图，
四边形OABC是菱形，
AC⊥OB，点A，点C关于直线OB对称，
PC+PD=PA+PD=AD，
此时PC+PD最短，
设直线OB的表达式为
直线OB过点O（0，0）和点B（8，4），
将O（0，0）和点B（8，4）代入表达式得解得
直线OB的表达式为
直线AD过点A（5，0）和点D（0，1），
同理：可求得直线AD的表达式为
联立方程组
解得
点P的坐标为（）
故答案为：D.
【分析】连接AC、AD分别交OB于点G、点P，作BK⊥OA的延长线于点K，已知四边形OABC是菱形，根据菱形的性质得到点A，点C关于直线OB对称，PC+PD=PA+PD=AD，此时PC+PD最短，利用待定系数法结合点O、A、B、D的坐标分别求出直线OB、直线AD的表达式，联立方程组即可求解点P的坐标.
二、填空题
9．（2023九上·肇源月考）如右图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60°的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为 .
【答案】30°或60°
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：矩形展开图和折痕如下：
①设α=∠ABD，
由题意可知，∠ABC=60°；
∵四边形ABCD是菱形
∴∠ABD=∠CBD==30°，即α=30°；
②设α=∠BAC，
∵四边形ABCD是菱形
∴∠BAC=∠DAC==180°-60°=120°
∴α=∠BAC=60°
故答案为：30°和60°.
【分析】根据菱形的对角线平分菱形的对角，可以直接求出α的度数.
10．（2023九上·商河月考）如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，只要添加条件AC BD．就能保证四边形EFGH是菱形．
【答案】=
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：由题意可得：四边形EFGH为平行四边形，
∴只要添加条件AC=BD， 就能保证四边形EFGH是菱形，
故答案为：=.
【分析】根据菱形的判定方法，结合图形判断求解即可。
11．（2023九上·龙岗月考）菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的周长为 ．
【答案】20
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图所示.
根据题意可知，四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8.
∴AC⊥BD，AO=3，BO=4.
在Rt△AOB中，由勾股定理得AB=5.
∴这个菱形的周长为 4×5=20.
故答案为：20.
【分析】根据菱形对角线垂直平分和勾股定理得边长，然后根据菱形定义即可得周长.
12．如图，已知平行四边形ABCD中，AB=BC，BC=10，∠BCD=60°，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接OA，则OA的长的最小值是 ．
【答案】5﹣5
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：过点A作AE⊥BD于点E，
当点A，O，E在一条直线上，此时AO最短，
∵平行四边形ABCD中，AB=BC，BC=10，∠BCD=60°，
∴AB=AD=CD=BC=10，∠BAD=∠BCD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AE过点O，E为BD中点，则此时EO=5，
故AO的最小值为：AO=AE﹣EO=ABsin60°﹣×BD=5﹣5．
故答案为：5﹣5．
【分析】利用菱形的性质以及等边三角形的性质得出A点位置，进而求出AO的长．
13．（2024九上·温江期末）如图，在菱形中，，，为边上一动点，将沿折叠为，为边上一点，，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：作于点，则，
四边形是菱形，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
由折叠得，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
【分析】作EF⊥BC于点F，根据菱形的性质得BC=CD=AB=2，由BE=CE得BF=CF=1，而∠B=30°，因此BE=2EF，从而得到BF=EF=1，求得EF=，所以BE=CE=2EF=，根据折叠得CD'=CD=2，因为D'E+CE≥CD'，所以D'E+≥2，则D'E≥2-，即可求得D'E的最小值.
三、作图题
14．（2020九上·五华期末）已知线段AC
（1）尺规作图：作菱形ABCD，使AC是菱形的一条对角线（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）若AC＝8，BD＝6，求菱形的边长．
【答案】（1）解：如图所示，四边形ABCD即为所求作的菱形；
（2）解：∵AC＝8，BD＝6，且四边形ABCD是菱形，
∴AO＝ 4，DO＝ 3，且∠AOD＝90°
则AD＝ ＝ ＝5．
【知识点】菱形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）先画出AC的垂直平分线，垂足为O，然后截取OB=OD即可；（2）根据菱形的性质及勾股定理即可求出边长．
四、解答题
15．（2022九上·武侯期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，BF交AC于G，连接CF．
（1）求证：EF＝EB；
（2）若∠BAC＝90°，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴EF＝EB；
（2）解：四边形ADCF是菱形，理由如下：
∵△AEF≌△DEB，
∴AF＝BD，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝DC，
∴AF＝DC，
又AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∴AD＝DC，
∴四边形ADCF是菱形；
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【分析】⑴论证两线段EF和EB相等，可以优先考虑两线段所在的三角形全等，由图可知可以论证三角形AEF和三角形DBE全等；点E是BF的中点可知BE等于EF，平行线可以论证角相等，还有对顶角相等，可以找到两三角形全等的条件，再由全等三角形性质可得对应边相等。
⑵、由直角三角形斜边上中线的性质可知AD等于BD等于CD，再由上小题可知AF和BD平行且相等，故AF和CD平行且相等，可以论证四边形ADCF是平行四边形，再加DA等于DC就可以论证四边形ADCF是菱形，（菱形的定义）。
16．（2023九上·光明开学考）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝10，BD＝8，求OE的长．
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠CAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∵AB＝AD，
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝8，
∴OB＝BD＝4，
在Rt△AOB 中，AB＝10，OB＝4，
∴OA＝＝＝，
∴OE＝OA＝．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义可得∠DCA=∠DAC，由等角对等边可得CD=AD，结合已知可得AB=CD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，然后由一组邻边相等的平行四边形是菱形可得平行四边形ABCD是菱形；
（2）由菱形的性质可得OA=OC，BD⊥AC，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=OA=OC，在Rt△AOB 中，用勾股定理求出OA=OE的值即可.
五、实践探究题
17．（2023九上·朝阳月考）综合与实践
[问题情境]
如图1，小华将矩形纸片ABCD先沿对角线BD折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线BD上，点B的对应点记为B'，折痕与边AD，BC分别交于点E，F．
（1） [活动猜想]如图2，当点B'与点D重合时，四边形BEDF是哪种特殊的四边形？并给予证明．
（2） [问题解决]如图1，当AB=4， AD=8，BF=3时，连结B'C，则B'C的长为
（3） [深入探究]如图3，请直接写出AB与BC满足什么关系时，始终有A'B'与对角线AC平行？
【答案】（1）解：四边形BFDE是菱形。
（2）4
（3）解：BC＝AB
【知识点】勾股定理的应用；菱形的判定；矩形的性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：
（1）四边形BEDF是菱形。
证明：由折叠可知，EF是BD的垂直平分线，∴BE＝DE，BF＝DF，EF⊥BD，
由矩形ABCD可得AD∥BC，∴∠ADB＝∠FBD，
由BF＝DF可得∠FDB＝∠FBD，∴∠ADB＝∠FDB，
又EF⊥BD，∴△DEF是等腰三角形，DE＝DF
∴BE＝DE＝BF＝DF，∴四边形BFDE是菱形。
（2）过B′作B′N⊥BC于N，设EF与BD相交于M，
∵BC＝AD＝8，CD＝AB＝4，∴BD＝
易证明△BMF∽△BCD，∴，
∴，∴MF＝
∴BB′＝2BM＝，易证明△BB′N∽△BDC，
∴，∴
∴B′N＝2.4，BN＝4.8，∴CN＝8-4.8＝3.2
∴B′C＝
故答案为：4
（3）设B′F与AC相交于G，∠OCB＝x，
易知OB＝OC，∴OBC＝∠OCB＝∠x，
由折叠可知BF＝B′F，∴∠OBC＝∠FB′B＝x，
∴∠B′FC＝∠OBC+∠FB′B＝2x，
当A′B′∥AC时，∠AGF＝∠A′B′F＝90°，
∵∠AGF＝∠OBC+∠B′FC＝x+2x=3x
∴3x=90°，∴x=30°，
∴BC＝AB
即当BC＝AB时， 始终有A'B'与对角线AC平行 。
【分析】
（1）先根据折叠的特点证明BE＝DE，BF＝DF，再证明∠ADB＝∠FDB得DEF是等腰三角形，DE＝DF，从而推导出四边形BFDE是菱形。
（2）过B′作B′N⊥BC于N，证明△BMF∽△BCD，求出BM，MF，BB′，再证明△BB′N∽△BDC得B′N，BN，CN，再运用勾股定理计算B′C即可。
（3）设B′F与AC相交于G，根据OB＝OC，A′B′∥AC可推导出∠OCB＝30°，从而得到AB与BC的关系。
18．（2023九上·郑州高新技术产业开发开学考）课本再现
思考 我们知道，菱形的对角线互相垂直.反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
（1）定理证明
为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程.
已知：在中，对角线，垂足为.
求证：是菱形.
（2）知识应用
如图2，在中，对角线AC和BD相交于点.求证：是菱形.
【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
，
又，垂足为，
∴AC是BD的垂直平分线，
，
是菱形；
（2）证明：中，对角线AC和BD相交于点，
，
又，
在三角形AOD中，
即，
是菱形；
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对角线互相平分得DO=BO，易得AC是BD的垂直平分线，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AB=AD，进而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论；
（2）由平行四边形的对角线互相平分得DO=BO=3，AO=CO=4，在△AOD中，利用勾股定理的逆定理判断出∠AOD=90°，从而根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得结论.
六、综合题
19．（初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形3 练习题 (2)）如图，已知正七边形ABCDEFG，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．
（1）在图1中，画出一个以AB为边的平行四边形；
（2）在图2中，画出一个以AF为边的菱形．
【答案】（1）解：连接AF、BE、CG，CG交AF于M，交BE于N．四边形ABNM是平行四边形．
（2）解：连接AF、DF，延长DC交AB的延长线于M，四边形AFDM是菱形．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【分析】（1）连接AF、BE、CG，CG交AF于M，交BE于N．四边形ABNM是平行四边形．（2）连接AF、DF，延长DC交AB的延长线于M，四边形AFDM是菱形．
20．（2022九上·湖口期中）如图，矩形的顶点E，G分别在菱形的边，上，顶点F，H在菱形的对角线上．
（1）求证：；
（2）若E为中点，，求菱形的周长．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接EG，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵E为中点，
∴，
∵，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
∴菱形的周长．
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先利用“AAS”证明，再利用全等三角形的性质可得；
（2）连接EG，先证明四边形是平行四边形，可得，再求出，即可得到菱形的周长。
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