2024-2025学年北师大版数学九（上）1.2矩形的性质与判定同步测试
一、选择题
1．（2023九上·太原期中）已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，对角线AC，BD相交于点O.下列结论一定成立的是（ ）
A．AC⊥BD B．AC=BD C．AB=BC D．AB=AC
【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】如图所示：
∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
故答案为：B.
【分析】先判断出四边形ABCD是矩形，再利用矩形的性质可得AC=BD，从而得解.
2．（2023九上·顺德期中）依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴四边形是平行四边形，
但不能说明四边形为矩形，故该选项符合题意；
B、有三个角是直角的四边形是矩形，故该选项不符合题意；
C、∵，
∴，又，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，故该选项不符合题意；
D、∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是直角三角形，且，
∴四边形是矩形，故该选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可求解．
3．（2024九上·锦江期末）关于矩形的性质、下面说法错误的是（ ）
A．矩形的四个角都是直角
B．矩形的两组对边分别相等
C．矩形的两组对边分别平行
D．矩形的对角线互相垂直平分且相等
【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】A、∵矩形的四个角都是直角，∴A正确，不符合题意；
B、∵矩形的两组对边分别相等，∴B正确，不符合题意；
C、∵矩形的两组对边分别平行，∴C正确，不符合题意；
D、∵矩形的对角线互相平分且相等但不垂直，∴D不正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用矩形的性质逐项分析判断即可.
4．（2023九上·滕州月考）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形
C．当时，它是正方形 D．当时，它是矩形
【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD为平行四边形，∴当AB=BC时，平行四边形ABCD为菱形，A选项正确；
B、∵四边形ABCD为平行四边形， ∴当AC⊥BD时，平行四边形ABCD为菱形，B选项正确；
C、∵四边形ABCD为平行四边形， ∴当AC＝BD时，平行四边形ABCD为矩形，C选项错误；
D、∵四边形ABCD为平行四边形， ∴当ABC=90°时，平行四边形ABCD为矩形，D选项正确；
故答案为：C.
【分析】根据题意，由平行四边形的性质、菱形和矩形的判定定理判断得到答案即可。
5．（2022九上·碑林月考）如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．下列三种说法：
① .四边形EFGH一定是平行四边形；
②.若AC＝BD，则四边形EFGH 是菱形；
③.若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形．
其中正确的是（ ）
A．① B．①② C．①③ D．①②③
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，
∴，EH=BD， EF=AC，
∴四边形EHGF是平行四边形，故①符合题意；
若AC=BD，则EF=EH，
∴平行四边形EHGF是菱形，故②符合题意；
若AC⊥BD，则EF⊥EH，
∴平行四边形EHGF是矩形，故③符合题意；
故答案为：D.
【分析】由题意可得GH为△ACD的中位线，EF为△ABC的中位线，EH为△ABD的中位线，GF为△BCD的中位线，则EH∥GF∥BD，HG∥EF∥AC，EH=GF=BD，HG=EF=AC，然后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形EFGH一定是平行四边形；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形；有一个角是直角的平行四边形是矩形，据此即可一一判断得出答案.
6．（2023九上·浙江开学考）如图，在矩形中，、相交于点O，平分交于点E，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠BAD=90°，OB=OA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=BAD=45°，
∵∠CAE=15°，
∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴OB=AB，∠ABO=60°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=30°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB=45°，
∴∠BAE=∠AEB=45°，
∴AB=BE，
∴OB=BE，
∴∠BOE=（180°-∠OBE）÷2=75°.
故答案为：B.
【分析】由矩形性质得AD∥BC，∠BAD=90°，OB=OA，由角平分线性质及角的和差可得∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°，进而根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△OAB是等边三角形，由等边三角形性质得OB=AB，∠ABO=60°，再由角的和差算出∠OBC的度数，接着利用平行线的性质及角平分线定义可推出∠BAE=∠AEB=45°，由等角对等边及等量代换可得OB=BE，进而根据等边对等角及三角形内角和定理可求出∠BOE的度数.
7．（2024九上·岳阳期末）数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，小明把矩形沿折叠，使点落在边的点处，其中，且，则矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵矩形沿折叠，使点C落在边的点F处，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴设，，则，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，即，
∴解得：，负值舍去，
∴，，
∴矩形的面积．
故答案为：A．
【分析】根据折叠的性质得到，由矩形的性质可得，利用同角的余角相等证得，进而得到，设，则，，，故AD=BC=BE+CE=8x，进而得到DF=10x，在直角三角形DEF中，由勾股定理解得x=1，再根据矩形的面积公式计算即可.
8．（2024九上·龙岗期末）如图，在矩形中，为边上一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AB=CD，AD=BC，
∵把沿翻折，使点恰好落在边上的点处，
∴ AF=AD=4，EF=DE=，
在Rt△ABF中，BF==2，
∴ CF=BC-BF=2，
在Rt△CEF中，
即
解得，EC= .
故答案为：A.
【分析】根据矩形的性质得 AB=CD，AD=BC，根据翻折的性质得 AF=AD=4，EF=DE=，根据勾股定理得BF从而推出CF，再根据勾股定理得EC，即可求得.
二、填空题
9．（2018九上·深圳期中）如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是 （添加一个条件即可）．
【答案】∠ABC=90°或AC=BD．
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】
解：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形
故添加条件：∠ABC=90°或AC=BD．
故答案为：∠ABC=90°或AC=BD．
【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形或有一个角是直角的平行四边形是矩形，进行解答即可.
10．（2019九上·山亭期中）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为
【答案】3
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，∠AEO=∠CFO；
又∵∠AOE=∠COF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴S△AOE=S△COF，
∴图中阴影部分的面积就是△BCD的面积．
S△BCD=BC×CD=×2×3=3．
故答案为：3．
【分析】根据矩形是中心对称图形寻找思路：△AOE≌△COF，图中阴影部分的面积就是△BCD的面积．
11．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是BC边上的一定点，P是CD边上的一动点（不与点C、D重合），M，N分别是AE、PE的中点，记MN的长度为a，在点P运动过程中，a不断变化，则a的取值范围是 ．
【答案】4＜a＜5
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD中，AB=6，BC=8，
∴对角线AC= =10，
∵P是CD边上的一动点（不与点C、D重合），
∴8＜AP＜10，
连接AP，
∵M，N分别是AE、PE的中点，
∴MN是△AEP的中位线，
∴MN=AP，
∴4＜a＜5．
故答案为：4＜a＜5．
【分析】根据矩形的性质求出AC，然后求出AP的取值范围，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN=AP．
12．（2021九上·南岗开学考）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为点E，过点A作AF⊥OB，垂足为点F，若BC＝2AF，OD＝6，则BE的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】 四边形 是矩形
，
，
，
OE⊥BC，
，
BC＝2AF，
，
是等边三角形
．
故答案为： ．
【分析】先求出，再利用勾股定理计算求解即可。
13．（2023九上·开州期中）如图，在矩形中，，，对角线相交于点E，将沿着翻折到，连接，则的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AF，AF交BD于点G，
根据折叠的性质可得，BD垂直平分AF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC=BD，AE=CE，
∴EG为△ACF的中位线，
∴CF=2EG，
在直角三角形ABD中，由勾股定理得，BD=10，
∴AE=BE=5，
设EG为m，则BG为5-m，
∴62-（5-m）2=52-m2，
∴m=，
∴CF=2EG=2m=；
故答案为：.
【分析】连接AF，由折叠的性质即可证明EG为△ACF的中位线，结合勾股定理列出方程求解即可。
三、作图题
14．（2022九上·博白月考）已知四边形为矩形，点是边的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）在图1中作出矩形的对称轴，使；
（2）在图2中作出矩形的对称轴，使．
【答案】（1）解：如图1中，直线即为所求；
（2）解：如图2中，直线即为所求；
【知识点】矩形的性质；作图-平行线
【解析】【分析】（1）由矩形的性质作矩形的对角线，两条对角线的交点为O，过点O作AD的垂线交AD于点E，直线OE即为所求；
（2）结合（1）的作法，过点O作OE的垂线交AB于点R，直线OR即为所求.
四、解答题
15．（2023九上·新津月考）如图，在 ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∵BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠DFA＝∠FAB．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BC＝＝5，
∴AD＝BC＝DF＝5，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴∠DAF＝∠FAB，
即AF平分∠DAB．
【知识点】平行线的性质；勾股定理的应用；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据有一个角为直角的平行四边形为矩形即可证明。
（2）先利用勾股定理求出BC=5，则AD=DF，则∠DAF=∠DFA，再由DF∥AE，得∠DFA=∠FAE，即可得∠DFA=∠FAE，即可证。
16．（2024九上·兰州期中）如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F．
（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明你的理由；
（2）求证：EO＝DC．
【答案】（1）解：四边形AEBO是矩形．
证明：∵BE∥AC，AE∥BD
∴四边形AEBO是平行四边形．
又∵菱形ABCD对角线交于点O
∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°．
∴四边形AEBO是矩形．
（2）证明：∵四边形AEBO是矩形
∴EO＝AB，
在菱形ABCD中，AB＝DC．
∴EO＝DC．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的判定证明四边形AEBO是平行四边形，进而根据菱形的性质得到AC⊥BD，即∠AOB＝90°，从而根据矩形的判定即可求解；
（2）先根据矩形的性质得到EO＝AB，进而根据菱形的性质即可求解。
五、实践探究题
17．（2020九上·鄄城期末）实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片 沿过点D的直线折叠，使点A落在 上的点 处，得到折痕 ，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片 沿过点E的直线折叠，点C恰好落在 上的点 处，点B落在点 处，得到折痕 ， 交 于点M， 交 于点N，再把纸片展平．
问题解决：
（1）如图1，填空：四边形 的形状是 ；
（2）如图2，线段 与 是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；
（3）如图2，若 ，求 的值．
【答案】（1）正方形
（2）解：
理由如下：如图，连接 ，
由（1）知：
∵四边形 是矩形，
∴
由折叠知：
∴
又 ，
∴
∴
∴
（3）解：∵ ，∴
由折叠知： ，∴
∵
∴
设 ，则
在 中，由勾股定理得：
解得： ，即
如图，延长 交于点G，则
∴
∴
∴
∵ ，∴
∴
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）∵ABCD是平行四边形，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形
∵矩形纸片 沿过点D的直线折叠，使点A落在 上的点 处
∴
∴
∵
∴四边形 的形状是正方形
故最后答案为：四边形 的形状是正方形；
【分析】（1）先求出四边形 是平行四边形，再求出，最后证明求解即可；
（2）先求出 ，再求出 ，最后证明求解即可；
（3）利用勾股定理和相似三角形的判定与性质计算求解即可。
六、综合题
18．（初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形3 练习题 (1)）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF，
在△BOE和△DOF中， ，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO=FO，
∴四边形BEDF是平行四边形
（2）解：当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，
设BE=x，则 DE=x，AE=6﹣x，
在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，
∴x2=42+（6﹣x）2，
解得：x= ，
∵BD= =2 ，
∴OB= BD= ，
∵BD⊥EF，
∴EO= = ，
∴EF=2EO=
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长．
19．（2017九上·深圳期中）如图，四边形ABCD为矩形，O为AC中点，过点O作AC的垂线分别交AD、BC于点E、F，连接AF、CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形．
（2）若AC=8，EF=6，求BF的长.
【答案】（1）证明：∵O为AC中点，EF⊥AC，
∴EF为AC的垂直平分线，
∴EA=EC，FA=FC，
∴∠EAC=∠ECA，∠FAC=∠FCA．
∵AE∥CF，
∴∠EAC=∠FCA，
∴∠FAC=∠ECA，
∴AF∥CE，
∴四边形AFCE平行四边形，
又∵EA=EC，
∴平行四边形AFCE是菱形．
（2）解：∵四边形AFCE是菱形，AC=8，EF=6，
∴OE=3，OA=4，
又∵EF⊥AC，
∴AE=CF=5，
设BF=x，
在Rt△ABF中，
AB2=AF2﹣BF2，
在Rt△ABC中，
AB2=AC2﹣BC2．
∴52﹣x2=82-（x+5）2，
解得 x=，
∴ BF=．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）由中垂线定义得EF为AC的垂直平分线，再由其性质得EA=EC，FA=FC；根据等腰三角形性质——等边对等角得∠EAC=∠ECA，
∠FAC=∠FCA；由平行线的性质知∠EAC=∠FCA，等量代换即可得∠FAC=∠ECA，由平行线的判定得AF∥CE，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形AFCE平行四边形；再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得证．
（2）由菱形的性质和已知条件得OE=3，OA=4，再由勾股定理得AE=CF=5，设BF=x；在Rt△ABF和Rt△ABC中，由勾股定理得
AB2=AF2﹣BF2，AB2=AC2﹣BC2．代入数值即可得出方程，解之即可得出答案.
20．（初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形3 练习题 (2)）如图，在 ABCD中，已知E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：AB=CF；
（2）当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠BAF=∠CFA．
∵E为BC的中点，
∴BE=CE．
在△AEB和△FEC中，
，
∴△AEB≌△FEC（AAS）
∴AB=CF
（2）解：当BC=AF时，四边形ABFC是矩形，
理由：∵AB=CF，AB‖CF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵BC=AF，
∴四边形ABFC是矩形．
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得出∠BAF=∠CFA，进而得出△AEB≌△FEC（AAS），求出答案；（2）首先得出四边形ABFC是平行四边形，进而得出答案．
1 / 12024-2025学年北师大版数学九（上）1.2矩形的性质与判定同步测试
一、选择题
1．（2023九上·太原期中）已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，对角线AC，BD相交于点O.下列结论一定成立的是（ ）
A．AC⊥BD B．AC=BD C．AB=BC D．AB=AC
2．（2023九上·顺德期中）依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024九上·锦江期末）关于矩形的性质、下面说法错误的是（ ）
A．矩形的四个角都是直角
B．矩形的两组对边分别相等
C．矩形的两组对边分别平行
D．矩形的对角线互相垂直平分且相等
4．（2023九上·滕州月考）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形
C．当时，它是正方形 D．当时，它是矩形
5．（2022九上·碑林月考）如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．下列三种说法：
① .四边形EFGH一定是平行四边形；
②.若AC＝BD，则四边形EFGH 是菱形；
③.若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形．
其中正确的是（ ）
A．① B．①② C．①③ D．①②③
6．（2023九上·浙江开学考）如图，在矩形中，、相交于点O，平分交于点E，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·岳阳期末）数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，小明把矩形沿折叠，使点落在边的点处，其中，且，则矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·龙岗期末）如图，在矩形中，为边上一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2018九上·深圳期中）如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是 （添加一个条件即可）．
10．（2019九上·山亭期中）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为
11．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是BC边上的一定点，P是CD边上的一动点（不与点C、D重合），M，N分别是AE、PE的中点，记MN的长度为a，在点P运动过程中，a不断变化，则a的取值范围是 ．
12．（2021九上·南岗开学考）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为点E，过点A作AF⊥OB，垂足为点F，若BC＝2AF，OD＝6，则BE的长为 ．
13．（2023九上·开州期中）如图，在矩形中，，，对角线相交于点E，将沿着翻折到，连接，则的长为 ．
三、作图题
14．（2022九上·博白月考）已知四边形为矩形，点是边的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）在图1中作出矩形的对称轴，使；
（2）在图2中作出矩形的对称轴，使．
四、解答题
15．（2023九上·新津月考）如图，在 ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．
16．（2024九上·兰州期中）如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F．
（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明你的理由；
（2）求证：EO＝DC．
五、实践探究题
17．（2020九上·鄄城期末）实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片 沿过点D的直线折叠，使点A落在 上的点 处，得到折痕 ，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片 沿过点E的直线折叠，点C恰好落在 上的点 处，点B落在点 处，得到折痕 ， 交 于点M， 交 于点N，再把纸片展平．
问题解决：
（1）如图1，填空：四边形 的形状是 ；
（2）如图2，线段 与 是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；
（3）如图2，若 ，求 的值．
六、综合题
18．（初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形3 练习题 (1)）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
19．（2017九上·深圳期中）如图，四边形ABCD为矩形，O为AC中点，过点O作AC的垂线分别交AD、BC于点E、F，连接AF、CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形．
（2）若AC=8，EF=6，求BF的长.
20．（初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形3 练习题 (2)）如图，在 ABCD中，已知E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：AB=CF；
（2）当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】如图所示：
∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
故答案为：B.
【分析】先判断出四边形ABCD是矩形，再利用矩形的性质可得AC=BD，从而得解.
2．【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴四边形是平行四边形，
但不能说明四边形为矩形，故该选项符合题意；
B、有三个角是直角的四边形是矩形，故该选项不符合题意；
C、∵，
∴，又，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，故该选项不符合题意；
D、∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是直角三角形，且，
∴四边形是矩形，故该选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可求解．
3．【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】A、∵矩形的四个角都是直角，∴A正确，不符合题意；
B、∵矩形的两组对边分别相等，∴B正确，不符合题意；
C、∵矩形的两组对边分别平行，∴C正确，不符合题意；
D、∵矩形的对角线互相平分且相等但不垂直，∴D不正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用矩形的性质逐项分析判断即可.
4．【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD为平行四边形，∴当AB=BC时，平行四边形ABCD为菱形，A选项正确；
B、∵四边形ABCD为平行四边形， ∴当AC⊥BD时，平行四边形ABCD为菱形，B选项正确；
C、∵四边形ABCD为平行四边形， ∴当AC＝BD时，平行四边形ABCD为矩形，C选项错误；
D、∵四边形ABCD为平行四边形， ∴当ABC=90°时，平行四边形ABCD为矩形，D选项正确；
故答案为：C.
【分析】根据题意，由平行四边形的性质、菱形和矩形的判定定理判断得到答案即可。
5．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，
∴，EH=BD， EF=AC，
∴四边形EHGF是平行四边形，故①符合题意；
若AC=BD，则EF=EH，
∴平行四边形EHGF是菱形，故②符合题意；
若AC⊥BD，则EF⊥EH，
∴平行四边形EHGF是矩形，故③符合题意；
故答案为：D.
【分析】由题意可得GH为△ACD的中位线，EF为△ABC的中位线，EH为△ABD的中位线，GF为△BCD的中位线，则EH∥GF∥BD，HG∥EF∥AC，EH=GF=BD，HG=EF=AC，然后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形EFGH一定是平行四边形；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形；有一个角是直角的平行四边形是矩形，据此即可一一判断得出答案.
6．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠BAD=90°，OB=OA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=BAD=45°，
∵∠CAE=15°，
∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴OB=AB，∠ABO=60°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=30°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB=45°，
∴∠BAE=∠AEB=45°，
∴AB=BE，
∴OB=BE，
∴∠BOE=（180°-∠OBE）÷2=75°.
故答案为：B.
【分析】由矩形性质得AD∥BC，∠BAD=90°，OB=OA，由角平分线性质及角的和差可得∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°，进而根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△OAB是等边三角形，由等边三角形性质得OB=AB，∠ABO=60°，再由角的和差算出∠OBC的度数，接着利用平行线的性质及角平分线定义可推出∠BAE=∠AEB=45°，由等角对等边及等量代换可得OB=BE，进而根据等边对等角及三角形内角和定理可求出∠BOE的度数.
7．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵矩形沿折叠，使点C落在边的点F处，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴设，，则，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，即，
∴解得：，负值舍去，
∴，，
∴矩形的面积．
故答案为：A．
【分析】根据折叠的性质得到，由矩形的性质可得，利用同角的余角相等证得，进而得到，设，则，，，故AD=BC=BE+CE=8x，进而得到DF=10x，在直角三角形DEF中，由勾股定理解得x=1，再根据矩形的面积公式计算即可.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AB=CD，AD=BC，
∵把沿翻折，使点恰好落在边上的点处，
∴ AF=AD=4，EF=DE=，
在Rt△ABF中，BF==2，
∴ CF=BC-BF=2，
在Rt△CEF中，
即
解得，EC= .
故答案为：A.
【分析】根据矩形的性质得 AB=CD，AD=BC，根据翻折的性质得 AF=AD=4，EF=DE=，根据勾股定理得BF从而推出CF，再根据勾股定理得EC，即可求得.
9．【答案】∠ABC=90°或AC=BD．
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】
解：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形
故添加条件：∠ABC=90°或AC=BD．
故答案为：∠ABC=90°或AC=BD．
【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形或有一个角是直角的平行四边形是矩形，进行解答即可.
10．【答案】3
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，∠AEO=∠CFO；
又∵∠AOE=∠COF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴S△AOE=S△COF，
∴图中阴影部分的面积就是△BCD的面积．
S△BCD=BC×CD=×2×3=3．
故答案为：3．
【分析】根据矩形是中心对称图形寻找思路：△AOE≌△COF，图中阴影部分的面积就是△BCD的面积．
11．【答案】4＜a＜5
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD中，AB=6，BC=8，
∴对角线AC= =10，
∵P是CD边上的一动点（不与点C、D重合），
∴8＜AP＜10，
连接AP，
∵M，N分别是AE、PE的中点，
∴MN是△AEP的中位线，
∴MN=AP，
∴4＜a＜5．
故答案为：4＜a＜5．
【分析】根据矩形的性质求出AC，然后求出AP的取值范围，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN=AP．
12．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】 四边形 是矩形
，
，
，
OE⊥BC，
，
BC＝2AF，
，
是等边三角形
．
故答案为： ．
【分析】先求出，再利用勾股定理计算求解即可。
13．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AF，AF交BD于点G，
根据折叠的性质可得，BD垂直平分AF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC=BD，AE=CE，
∴EG为△ACF的中位线，
∴CF=2EG，
在直角三角形ABD中，由勾股定理得，BD=10，
∴AE=BE=5，
设EG为m，则BG为5-m，
∴62-（5-m）2=52-m2，
∴m=，
∴CF=2EG=2m=；
故答案为：.
【分析】连接AF，由折叠的性质即可证明EG为△ACF的中位线，结合勾股定理列出方程求解即可。
14．【答案】（1）解：如图1中，直线即为所求；
（2）解：如图2中，直线即为所求；
【知识点】矩形的性质；作图-平行线
【解析】【分析】（1）由矩形的性质作矩形的对角线，两条对角线的交点为O，过点O作AD的垂线交AD于点E，直线OE即为所求；
（2）结合（1）的作法，过点O作OE的垂线交AB于点R，直线OR即为所求.
15．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∵BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠DFA＝∠FAB．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BC＝＝5，
∴AD＝BC＝DF＝5，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴∠DAF＝∠FAB，
即AF平分∠DAB．
【知识点】平行线的性质；勾股定理的应用；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据有一个角为直角的平行四边形为矩形即可证明。
（2）先利用勾股定理求出BC=5，则AD=DF，则∠DAF=∠DFA，再由DF∥AE，得∠DFA=∠FAE，即可得∠DFA=∠FAE，即可证。
16．【答案】（1）解：四边形AEBO是矩形．
证明：∵BE∥AC，AE∥BD
∴四边形AEBO是平行四边形．
又∵菱形ABCD对角线交于点O
∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°．
∴四边形AEBO是矩形．
（2）证明：∵四边形AEBO是矩形
∴EO＝AB，
在菱形ABCD中，AB＝DC．
∴EO＝DC．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的判定证明四边形AEBO是平行四边形，进而根据菱形的性质得到AC⊥BD，即∠AOB＝90°，从而根据矩形的判定即可求解；
（2）先根据矩形的性质得到EO＝AB，进而根据菱形的性质即可求解。
17．【答案】（1）正方形
（2）解：
理由如下：如图，连接 ，
由（1）知：
∵四边形 是矩形，
∴
由折叠知：
∴
又 ，
∴
∴
∴
（3）解：∵ ，∴
由折叠知： ，∴
∵
∴
设 ，则
在 中，由勾股定理得：
解得： ，即
如图，延长 交于点G，则
∴
∴
∴
∵ ，∴
∴
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）∵ABCD是平行四边形，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形
∵矩形纸片 沿过点D的直线折叠，使点A落在 上的点 处
∴
∴
∵
∴四边形 的形状是正方形
故最后答案为：四边形 的形状是正方形；
【分析】（1）先求出四边形 是平行四边形，再求出，最后证明求解即可；
（2）先求出 ，再求出 ，最后证明求解即可；
（3）利用勾股定理和相似三角形的判定与性质计算求解即可。
18．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF，
在△BOE和△DOF中， ，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO=FO，
∴四边形BEDF是平行四边形
（2）解：当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，
设BE=x，则 DE=x，AE=6﹣x，
在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，
∴x2=42+（6﹣x）2，
解得：x= ，
∵BD= =2 ，
∴OB= BD= ，
∵BD⊥EF，
∴EO= = ，
∴EF=2EO=
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长．
19．【答案】（1）证明：∵O为AC中点，EF⊥AC，
∴EF为AC的垂直平分线，
∴EA=EC，FA=FC，
∴∠EAC=∠ECA，∠FAC=∠FCA．
∵AE∥CF，
∴∠EAC=∠FCA，
∴∠FAC=∠ECA，
∴AF∥CE，
∴四边形AFCE平行四边形，
又∵EA=EC，
∴平行四边形AFCE是菱形．
（2）解：∵四边形AFCE是菱形，AC=8，EF=6，
∴OE=3，OA=4，
又∵EF⊥AC，
∴AE=CF=5，
设BF=x，
在Rt△ABF中，
AB2=AF2﹣BF2，
在Rt△ABC中，
AB2=AC2﹣BC2．
∴52﹣x2=82-（x+5）2，
解得 x=，
∴ BF=．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）由中垂线定义得EF为AC的垂直平分线，再由其性质得EA=EC，FA=FC；根据等腰三角形性质——等边对等角得∠EAC=∠ECA，
∠FAC=∠FCA；由平行线的性质知∠EAC=∠FCA，等量代换即可得∠FAC=∠ECA，由平行线的判定得AF∥CE，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形AFCE平行四边形；再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得证．
（2）由菱形的性质和已知条件得OE=3，OA=4，再由勾股定理得AE=CF=5，设BF=x；在Rt△ABF和Rt△ABC中，由勾股定理得
AB2=AF2﹣BF2，AB2=AC2﹣BC2．代入数值即可得出方程，解之即可得出答案.
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠BAF=∠CFA．
∵E为BC的中点，
∴BE=CE．
在△AEB和△FEC中，
，
∴△AEB≌△FEC（AAS）
∴AB=CF
（2）解：当BC=AF时，四边形ABFC是矩形，
理由：∵AB=CF，AB‖CF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵BC=AF，
∴四边形ABFC是矩形．
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得出∠BAF=∠CFA，进而得出△AEB≌△FEC（AAS），求出答案；（2）首先得出四边形ABFC是平行四边形，进而得出答案．
1 / 1
