广东省东莞市七校2023-2024学年高二下学期数学期中联考试卷
一、/span> 单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题仅有一个正确选项）
1．（2024高二下·东莞期中）若函数，则（ ）
A． B． C．0 D．-1
2．（2024高二下·东莞期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·东莞期中）若的展开式的各项系数和为64，则常数项的值为（ ）
A．-1 B．-2 C．2 D．1
4．（2024高二下·东莞期中）现有7件互不相同的产品（其中有4件正品，3件次品），每次从中任取一件测试，直到3件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有（ ）种.
A．72 B．432 C．864 D．1080
5．（2024高二下·东莞期中）若函数在区间内单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·东莞期中）设随机变量的分布列如下：
-1 0 1
则（ ）
A． B． C． D．1
7．（2024高二下·东莞期中）设是定义在上的可导函数，，对任意实数，有，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·东莞期中）若函数有三个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、/span> 多选题（共3小题，每小题6分，共18分，每小题至少有两个正确选项，全对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分）
9．（2024高二下·东莞期中）以下关于杨辉三角的猜想中，正确的有（ ）
A．由在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：
B．
C．第2024行中，从左到右看，第1012个数最大
D．第100行的所有数中，最大的数为
10．（2024高二下·东莞期中）设为离散型随机变量，下列说法正确的是（ ）
A．若等可能取，且，则
B．若的概率分布为，则
C．若服从两点分布，且，则成功概率
D．的方差可以用期望表示为.
11．（2024高二下·东莞期中）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数有相同的极小值
B．若方程有唯一实根，则的取值范围为
C．当时，总有
D．当时，若，则成立
三、/span> 填空题（共3小题，每小题5分，共15分，将正确答案填写在答题卡指定位置上）
12．（2024高二下·东莞期中）若函数，则函数在处的切线方程为 .
13．（2024高二下·东莞期中）在多项式的展开式中，含项的系数为 .
14．（2024高二下·东莞期中）若函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围为 .
四、/span> 解答题（共5小题，13+15+15+17+17，共77分，要求有解析过程）
15．（2024高二下·东莞期中）已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
16．（2024高二下·东莞期中）某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐属性外，也可通过平台推送广告.某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案：
方案一：投放该平台广告，其收益分别为0元，20万元，40万元，且，期望.
方案二：投放传统广告，其收益分别为10万元，20万元，30万元，其概率依次为.
（1）请写出方案一的分布列，并求方差；
（2）请根据所学的知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由.
17．（2024高二下·东莞期中）已知.
（1）求的极值；
（2）画出函数的大致图象；（注意：需要说明函数图象的变化趋势，否则扣2分）
（3）若函数至多有一个零点，求实数的取值范围.
18．（2024高二下·东莞期中）某学校安排甲 乙 丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术生占比，乙班艺术生占比，丙班艺术生占比.学生自由选择座位，先到者先选.甲 乙 丙三个班人数分别占总人数的.若主持人随机从场下学生中选一人参与互动.
（1）求选到的学生是艺术生的概率；
（2）如果选到的学生是艺术生，判断其来自哪个班的可能性最大.
19．（2024高二下·东莞期中）帕德近似是法国数学家亨利 帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：.（注：，为的导数）
已知在处的阶帕德近似为.
（1）求实数的值；
（2）证明：当时，；
（3）设为实数，讨论函数的单调性.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：函数，，则.
故答案为：C.
【分析】求导，可得，即可得.
2．【答案】B
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：因为，所以，解得.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据条件概率公式求解即可.
3．【答案】D
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：令，则，解得，
二项式展开式的通项为，当时，常数项为.
故答案为：D.
【分析】由题意，令求得a的值，再写出二项式展开式的通项，令即可求解.
4．【答案】A
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：由题意，第三件次品恰好在第次被测出，则前三次中有两件次品和一件正品被测出，
故第三件次品恰好在第次被测出的所有检测方法有种.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据排列组合求解即可.
5．【答案】D
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数定义域为，
因为函数在区间内单调递增，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
因为，所以，即，即，
因为，所以，则，即的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】求导，利用导数判断函数的单调性求值即可.
6．【答案】C
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；概率分布列
【解析】【解答】解：由随机变量的分布列可知，
则的分布列如下：
易知服从两点分布，故.
故答案为：C.
【分析】根据分布列的性质求出，再根据题意易得服从两点分布，利用两点分布求期望即可.
7．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令，，
因为对任意实数，有，所以，即在上单调递减；
又因为，所以，故，即，
故的解集为.
故答案为：A.
【分析】构造函数，求导结合已知条件判断函数的单调性，利用单调性解不等式即可求得的解集.
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，则，构造函数定义域为，，
当时，解得，
当时，，当或时，，且，
则图象，如图所示：
由图可知：函数有3个零点，则.
故答案为：B.
【分析】令，分离参数，将零点问题转化为两个函数的图象有三个交点的问题，数形结合求解即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】组合及组合数公式；二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：A、由组合数的性质2可知，故A正确；
B、由A结论可知：，故B正确；
C、第2024行共有2025个数，从左到右看数字先增后减且对称出现，所以应该是中间的数即第1013个数最大，故C错误；
D、由二项式系数的性质知第100行共有101个数，从左到右二项式系数先增后减且对称出现，所以应该是中间第51个数最大，最大为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据杨辉三角的规律，逐项分析判断即可.
10．【答案】C,D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：A、根据古典概率公式可得，即，故A错误；
B、因为，所以，故B错误；
C、因为服从两点分布，所以，又因为，
所以，故C正确；
D、设的分布列为
则，，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】利用古典概率公式计算即可判断A；根据条件，利用期望的计算公式求解即可判断B；利用两点分布列的性质，即可判断C；根据期望及方差的定义，变形化简即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
所以有极小值；
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
所以有极小值，故A正确；
B、结合A选项的单调性，作出函数图象，如图所示：
因为，恒有，所以方程有唯一实根，则的取值范围为
或，故B错误；
C、不等式等价于，由指数不等式，可知是成立，故C正确；
D、当时，由得，，
即，显然，则，则成立，故D正确.
故答案为：ACD．
【分析】利用导数思想，对函数求导后分析原函数单调性，求极小值即可判断A；由A的结论，作出函数图象，数形结合分析即可判断B；利用指对数不等式推理即可判断C；对于两根之积则利用指对数同构思想，再结合单调性求解即可判断D.
12．【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：函数定义域为，，且，，
则函数在处的切线方程为，即.
故答案为：.
【分析】求导，根据导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切线方程.
13．【答案】-20
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：多项式，即为，
含项为，则项的系数为.
故答案为：.
【分析】根据题意，利用组合的运算方法，求得展开式中含项，即可求解.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数，，
由题意在区间上有解，即在区间上能成立，
则只需，；
令，，则，所以在区间上单调递增，
所以，所以，即实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】求出函数的导函数，依题意在区间上有解，即在区间上能成立，则，，令，，利用导数求出函数的最大值即可得实数的取值范围.
15．【答案】（1）解：函数定义域为，，
令，解得，
列表如下：
0 2
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
由上表知，的单调递增区间是，单调递减区间是；
（2）解：，
由（1）知函数在区间上先增后减，
当时，，
当时，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）求导，利用导函数值的正负来研究函数的单调性即可；
（2）利用闭区间的单调性和端点值，即可求得最大值和最小值.
16．【答案】（1）解：设，
依题意得①，
又②，
由①②解得：.
则的分布列为
0 20 40
0.1 0.3 0.6
则.
（2）解：由题得的分布列为
10 20 30
0.3 0.4 0.3
则，.
由可知采用平台广告投放期望收益较大，
又，说明平台广告投放的风险较高.
综上所述，
如果公司期望高收益，选择平台广告；
如果公司期望收益稳定，选择传统广告.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）设出的概率，依题列出方程组求解即得的分布列，计算方差即可；
（2）由题意，列出Y的分布列，计算期望与方差，再与的期望与方差比较即可.
17．【答案】（1）解：函数的定义域为，，
令，解得，
列表如下：
2
- - 0 +
极小值
由上表知，在上单调递减，在上单调递增，
故当时，取极小值，无极大值.
（2）解：令得，；令得，；
当时，；当时，；
当时，，由指数爆炸增长得，；
当时，；
结合（1）可画出函数的大致图像，如图所示：
（3）解：令得
则函数至多有一个零点等价于函数的图像与直线至多有一个交点；
结合（1）（2）知，当即时，函数的图像与直线至多有一个交点；
即函数至多有一个零点时，，
即实数的取值范围为
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）由题意，求导可得，利用导数判断函数的单调区间和极值即可；
（2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，结合函数的变化趋势，即可画出函数的图象；
（3）令，根据题意，转化为的图像与直线至多有一个交点，结合图象求解即可.
18．【答案】（1）解：设事件“所选学生来自甲班”，“所选学生来自乙班”，“所选学生来自丙班”.事件“任选一名学生恰好是艺术生”，
则事件，且彼此互斥，
由题可知：，
.
（2）解：如果选到的是艺术生，来自甲班的概率为
来自乙班的概率为
来自丙班的概率为
由于最大，故该艺术生来自丙班的可能性最高.
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【分析】（1）由题意，根据全概率公式计算即可；
（2）根据条件概率公式分别计算，判断即可.
19．【答案】（1）解：由，有，
可知，
由题意，，
所以，解得.
（2）证明：由（1）知，，
令，
则，
所以在其定义域内为增函数，
又，
当时，，得证.
（3）解：，定义域为
令，则同号，
①当即时，由知恒成立，故在上单调递增；
②当即时，令得，；在上，单调递增；在上，单调递减；
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增；在上单调递减.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）根据，可构造方程，求解即可；
（2）构造函数，利用导数可求得单调性，结合最值证明即可；
（3）求导，分和讨论，根据正负判断函数的单调性.
1 / 1广东省东莞市七校2023-2024学年高二下学期数学期中联考试卷
一、/span> 单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题仅有一个正确选项）
1．（2024高二下·东莞期中）若函数，则（ ）
A． B． C．0 D．-1
【答案】C
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：函数，，则.
故答案为：C.
【分析】求导，可得，即可得.
2．（2024高二下·东莞期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：因为，所以，解得.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据条件概率公式求解即可.
3．（2024高二下·东莞期中）若的展开式的各项系数和为64，则常数项的值为（ ）
A．-1 B．-2 C．2 D．1
【答案】D
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：令，则，解得，
二项式展开式的通项为，当时，常数项为.
故答案为：D.
【分析】由题意，令求得a的值，再写出二项式展开式的通项，令即可求解.
4．（2024高二下·东莞期中）现有7件互不相同的产品（其中有4件正品，3件次品），每次从中任取一件测试，直到3件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有（ ）种.
A．72 B．432 C．864 D．1080
【答案】A
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：由题意，第三件次品恰好在第次被测出，则前三次中有两件次品和一件正品被测出，
故第三件次品恰好在第次被测出的所有检测方法有种.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据排列组合求解即可.
5．（2024高二下·东莞期中）若函数在区间内单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数定义域为，
因为函数在区间内单调递增，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
因为，所以，即，即，
因为，所以，则，即的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】求导，利用导数判断函数的单调性求值即可.
6．（2024高二下·东莞期中）设随机变量的分布列如下：
-1 0 1
则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；概率分布列
【解析】【解答】解：由随机变量的分布列可知，
则的分布列如下：
易知服从两点分布，故.
故答案为：C.
【分析】根据分布列的性质求出，再根据题意易得服从两点分布，利用两点分布求期望即可.
7．（2024高二下·东莞期中）设是定义在上的可导函数，，对任意实数，有，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令，，
因为对任意实数，有，所以，即在上单调递减；
又因为，所以，故，即，
故的解集为.
故答案为：A.
【分析】构造函数，求导结合已知条件判断函数的单调性，利用单调性解不等式即可求得的解集.
8．（2024高二下·东莞期中）若函数有三个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，则，构造函数定义域为，，
当时，解得，
当时，，当或时，，且，
则图象，如图所示：
由图可知：函数有3个零点，则.
故答案为：B.
【分析】令，分离参数，将零点问题转化为两个函数的图象有三个交点的问题，数形结合求解即可.
二、/span> 多选题（共3小题，每小题6分，共18分，每小题至少有两个正确选项，全对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分）
9．（2024高二下·东莞期中）以下关于杨辉三角的猜想中，正确的有（ ）
A．由在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：
B．
C．第2024行中，从左到右看，第1012个数最大
D．第100行的所有数中，最大的数为
【答案】A,B,D
【知识点】组合及组合数公式；二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：A、由组合数的性质2可知，故A正确；
B、由A结论可知：，故B正确；
C、第2024行共有2025个数，从左到右看数字先增后减且对称出现，所以应该是中间的数即第1013个数最大，故C错误；
D、由二项式系数的性质知第100行共有101个数，从左到右二项式系数先增后减且对称出现，所以应该是中间第51个数最大，最大为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据杨辉三角的规律，逐项分析判断即可.
10．（2024高二下·东莞期中）设为离散型随机变量，下列说法正确的是（ ）
A．若等可能取，且，则
B．若的概率分布为，则
C．若服从两点分布，且，则成功概率
D．的方差可以用期望表示为.
【答案】C,D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：A、根据古典概率公式可得，即，故A错误；
B、因为，所以，故B错误；
C、因为服从两点分布，所以，又因为，
所以，故C正确；
D、设的分布列为
则，，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】利用古典概率公式计算即可判断A；根据条件，利用期望的计算公式求解即可判断B；利用两点分布列的性质，即可判断C；根据期望及方差的定义，变形化简即可判断D.
11．（2024高二下·东莞期中）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数有相同的极小值
B．若方程有唯一实根，则的取值范围为
C．当时，总有
D．当时，若，则成立
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
所以有极小值；
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
所以有极小值，故A正确；
B、结合A选项的单调性，作出函数图象，如图所示：
因为，恒有，所以方程有唯一实根，则的取值范围为
或，故B错误；
C、不等式等价于，由指数不等式，可知是成立，故C正确；
D、当时，由得，，
即，显然，则，则成立，故D正确.
故答案为：ACD．
【分析】利用导数思想，对函数求导后分析原函数单调性，求极小值即可判断A；由A的结论，作出函数图象，数形结合分析即可判断B；利用指对数不等式推理即可判断C；对于两根之积则利用指对数同构思想，再结合单调性求解即可判断D.
三、/span> 填空题（共3小题，每小题5分，共15分，将正确答案填写在答题卡指定位置上）
12．（2024高二下·东莞期中）若函数，则函数在处的切线方程为 .
【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：函数定义域为，，且，，
则函数在处的切线方程为，即.
故答案为：.
【分析】求导，根据导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切线方程.
13．（2024高二下·东莞期中）在多项式的展开式中，含项的系数为 .
【答案】-20
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：多项式，即为，
含项为，则项的系数为.
故答案为：.
【分析】根据题意，利用组合的运算方法，求得展开式中含项，即可求解.
14．（2024高二下·东莞期中）若函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数，，
由题意在区间上有解，即在区间上能成立，
则只需，；
令，，则，所以在区间上单调递增，
所以，所以，即实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】求出函数的导函数，依题意在区间上有解，即在区间上能成立，则，，令，，利用导数求出函数的最大值即可得实数的取值范围.
四、/span> 解答题（共5小题，13+15+15+17+17，共77分，要求有解析过程）
15．（2024高二下·东莞期中）已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）解：函数定义域为，，
令，解得，
列表如下：
0 2
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
由上表知，的单调递增区间是，单调递减区间是；
（2）解：，
由（1）知函数在区间上先增后减，
当时，，
当时，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）求导，利用导函数值的正负来研究函数的单调性即可；
（2）利用闭区间的单调性和端点值，即可求得最大值和最小值.
16．（2024高二下·东莞期中）某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐属性外，也可通过平台推送广告.某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案：
方案一：投放该平台广告，其收益分别为0元，20万元，40万元，且，期望.
方案二：投放传统广告，其收益分别为10万元，20万元，30万元，其概率依次为.
（1）请写出方案一的分布列，并求方差；
（2）请根据所学的知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由.
【答案】（1）解：设，
依题意得①，
又②，
由①②解得：.
则的分布列为
0 20 40
0.1 0.3 0.6
则.
（2）解：由题得的分布列为
10 20 30
0.3 0.4 0.3
则，.
由可知采用平台广告投放期望收益较大，
又，说明平台广告投放的风险较高.
综上所述，
如果公司期望高收益，选择平台广告；
如果公司期望收益稳定，选择传统广告.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）设出的概率，依题列出方程组求解即得的分布列，计算方差即可；
（2）由题意，列出Y的分布列，计算期望与方差，再与的期望与方差比较即可.
17．（2024高二下·东莞期中）已知.
（1）求的极值；
（2）画出函数的大致图象；（注意：需要说明函数图象的变化趋势，否则扣2分）
（3）若函数至多有一个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：函数的定义域为，，
令，解得，
列表如下：
2
- - 0 +
极小值
由上表知，在上单调递减，在上单调递增，
故当时，取极小值，无极大值.
（2）解：令得，；令得，；
当时，；当时，；
当时，，由指数爆炸增长得，；
当时，；
结合（1）可画出函数的大致图像，如图所示：
（3）解：令得
则函数至多有一个零点等价于函数的图像与直线至多有一个交点；
结合（1）（2）知，当即时，函数的图像与直线至多有一个交点；
即函数至多有一个零点时，，
即实数的取值范围为
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）由题意，求导可得，利用导数判断函数的单调区间和极值即可；
（2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，结合函数的变化趋势，即可画出函数的图象；
（3）令，根据题意，转化为的图像与直线至多有一个交点，结合图象求解即可.
18．（2024高二下·东莞期中）某学校安排甲 乙 丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术生占比，乙班艺术生占比，丙班艺术生占比.学生自由选择座位，先到者先选.甲 乙 丙三个班人数分别占总人数的.若主持人随机从场下学生中选一人参与互动.
（1）求选到的学生是艺术生的概率；
（2）如果选到的学生是艺术生，判断其来自哪个班的可能性最大.
【答案】（1）解：设事件“所选学生来自甲班”，“所选学生来自乙班”，“所选学生来自丙班”.事件“任选一名学生恰好是艺术生”，
则事件，且彼此互斥，
由题可知：，
.
（2）解：如果选到的是艺术生，来自甲班的概率为
来自乙班的概率为
来自丙班的概率为
由于最大，故该艺术生来自丙班的可能性最高.
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【分析】（1）由题意，根据全概率公式计算即可；
（2）根据条件概率公式分别计算，判断即可.
19．（2024高二下·东莞期中）帕德近似是法国数学家亨利 帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：.（注：，为的导数）
已知在处的阶帕德近似为.
（1）求实数的值；
（2）证明：当时，；
（3）设为实数，讨论函数的单调性.
【答案】（1）解：由，有，
可知，
由题意，，
所以，解得.
（2）证明：由（1）知，，
令，
则，
所以在其定义域内为增函数，
又，
当时，，得证.
（3）解：，定义域为
令，则同号，
①当即时，由知恒成立，故在上单调递增；
②当即时，令得，；在上，单调递增；在上，单调递减；
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增；在上单调递减.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）根据，可构造方程，求解即可；
（2）构造函数，利用导数可求得单调性，结合最值证明即可；
（3）求导，分和讨论，根据正负判断函数的单调性.
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