【提升版】北师大版数学九上2.1认识一元二次方程 同步练习
一、选择题
1．（2024九下·惠阳模拟）已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
2．（2024八下·贵池期末）若关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
3．（2023九上·太原月考）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九下·郸城模拟）若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
5．（2024·内江）某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到.如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是( )
A． B．
C． D．
6．（2024·南山模拟）某机械厂今年生产零件50万个，计划明后两年共生产零件132万个，设该厂每年的平均增长率为，那么满足方程（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024八下·玉州期中）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（ ）
A．x2+102＝（x+1）2 B．（x－1）2+102＝x2
C．x2+52＝（x+1）2 D．（x－1）2+52＝x2
8．（2024八下·杭州期中）一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染个人．根据题意列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．已知一个一般形式的一元二次方程的二次项系数是，一次项系数是1，常数项是-2，则这个元二次方程是 .
10．（2024八下·宁明期中）若方程是一元二次方程，则m的值是 .
11．（2024八下·宁明期中）把方程化为一元二次方程的一般形式是 .
12．（2024·沙坪坝模拟）2023年，哈尔滨旅游强势出圈，全市旅游总收入达到1700亿元，据了解，2021年哈尔滨全市旅游总收入为950亿元，若设这两年全市旅游总收入的年平均增长率为，则可列方程： ．
13．（2023·重庆）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为 ．
三、解答题
14．（2023九上·从江开学考）已知关于x的方程(m+3)(m-3)x2+(m+3)x+2=0.
（1）当m为何值时，此方程是一元一次方程
（2）当m为何值时，此方程是一元二次方程
15．（北师大版数学九年级上册第二章一元二次方程第一节《认识一元二次方程》）已知a、b、c为三角形三个边， +bx（x-1）= -2b是关于x的一元二次方程吗？
16．（2021九上·朝阳期中）若关于x的方程 是一元二次方程，求m的值．
17．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.1 一元二次方程 同步练习）试证：不论k取何实数，关于x的方程(k2-6k+12)x2=3-(k2-9)x必是一元二次方程.
18．（华师大版数学九年级上册第22章二次根式22.1一元二次方程 同步练习）关于x的方程（m2-8m+19）x2-2mx-13=0是否一定是一元二次方程，甲、乙两同学有不同意见：
甲同学认为：原方程中二次项系数与m有关，可能为零，所以不能确定这个方程就是一元二次方程；
乙认为：原方程序中二次项系数m2-8m+19肯定不会等于零，所以可以确定这个方程一定是一元二次方程．
你认为甲、乙两同学的意见，谁正确？证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式组
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、 二元一次方程，故不符合题意；
B、 分式方程，故不符合题意；
C、 二元二次方程，故不符合题意；
D、， 一元二次方程，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】只含有一个未知数，且未知数的次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，据此判断即可.
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
5．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设这两年森林覆盖率的年平均增长率为，根据题意得
0.64（1+x）2=0.69.
故答案为：B.
【分析】抓住关键已知条件：某市2021年底森林覆盖率为，2023年底森林覆盖率已达到，据此列方程即可.
6．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：x为增涨率，第二年的有50(1+x)万个，第三年50(1+x)2万个，共此后两年的共生产零件数为50(1+x)+50(1+x)2，故可列方程.
故答案为：C.
【分析】分别表示出第二年和第三年的产量，即可列出方程.
7．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设芦苇长为x尺，则水深（x-1）尺，
由题意得：（x-1）2+52=x2，
故答案为：D．
【分析】设芦苇长为x尺，则水深（x-1）尺，然后根据勾股定理列方程即可．
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得第一轮传染后总的传染人数为（1+x）人，
∴第二轮传染后总的传染人数为【1+x+x(x+1)】人，
∴列出方程为1+x+x(x+1)=121.
故答案为：C.
【分析】根据题意得出第一轮传染后的总人数，从而得出第二轮传染后的总人数即可求解.
9．【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵ 一个一般形式的一元二次方程的二次项系数是，一次项系数是1，常数项是-2，
∴这个元二次方程是.
故答案为：.
【分析】利用一元二次方程的定义及已知条件，可得答案.
10．【答案】-1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵方程是一元二次方程，
∴m-1≠0且m2+1=2，
解得m=-1，
故答案为：-1.
【分析】只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程，据此解题即可.
11．【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：方程
去括号得：，
移项合并同类项得：，
故答案为：．
【分析】先分别计算完全平方公式，再把方程移项后合并同类项，最后变成一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a、b、c是常数项，a≠0）即可.
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设这两年全市旅游总收入的年平均增长率为，由题意得，
故答案为：
【分析】设这两年全市旅游总收入的年平均增长率为，根据“2023年，哈尔滨旅游强势出圈，全市旅游总收入达到1700亿元，据了解，2021年哈尔滨全市旅游总收入为950亿元”即可列出一元二次方程，进而即可求解。
13．【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，
故答案为：
【分析】设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，则七月份的就业岗位数量为，八月份的就业岗位数量为，进而即可求解。
14．【答案】（1）解：∵(m+3)(m-3)x2+(m+3)x+2=0，
∴如果此方程是一元一次方程，
则
解得m=3，
即当m=3时，此方程是一元一次方程.
（2）解：∵(m+3)(m-3)x2+(m+3)x+2=0，
∴如果此方程是一元二次方程，
则(m+3)(m-3)≠0，
解得m≠-3且m≠3，
即当m≠-3且m≠3时，此方程是一元二次方程.
【知识点】一元一次方程的概念；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】（1）根据一元一次方程的定义先求出 ，再求解即可；
（2）根据一元二次方程的定义求出 (m+3)(m-3)≠0， 再求解即可。
15．【答案】是
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；三角形三边关系
【解析】解答：化简 +bx（x-1）= -2b，得（a+b-c） -bx+2b=0，
∵a、b、c为三角形的三条边，
∴a+b＞c，即a+b-c＞0，
∴ +bx（x-1）= -2b是关于x的一元二次方程．
分析：首先将 +bx（x-1）= -2b化简整理成（a+b-c） -bx+2b=0，然后根据一元二次方程的定义解答．
16．【答案】解：∵关于x的方程 是一元二次方程，
∴m+1≠0，且|m|+1=2，
解得m+1≠0，且m=1或m=-1，
∴m=1，
故答案为：m=1．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】根据一元二次方程二次项系数不为0，x的最高次数为2列关系式即可求解。
17．【答案】解：∵k2-6k+12=（k-3）2+3＞0，
且未知数的最高次数是2；是整式方程；含有一个未知数，
∴不论k取何实数，关于x的方程(k＋12)x2＝3－(k)x必是一元二次方程
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】将二次项系数k2-6k+12转化为（k-3）2+3，可得（k-3）2+3＞0，可解答。
18．【答案】解答：乙正确，
证明：m2-8m+19=m2-8m+16+3=（m-4）2+3≠0，
所以可以确定这个方程一定是一元二次方程，故乙正确．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】利用配方法求出m2-8m+19=m2-8m+16+3=（m-4）2+3即可得出这个方程一定是一元二次方程．
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一、选择题
1．（2024九下·惠阳模拟）已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式组
2．（2024八下·贵池期末）若关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式
3．（2023九上·太原月考）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、 二元一次方程，故不符合题意；
B、 分式方程，故不符合题意；
C、 二元二次方程，故不符合题意；
D、， 一元二次方程，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】只含有一个未知数，且未知数的次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，据此判断即可.
4．（2024九下·郸城模拟）若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
5．（2024·内江）某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到.如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设这两年森林覆盖率的年平均增长率为，根据题意得
0.64（1+x）2=0.69.
故答案为：B.
【分析】抓住关键已知条件：某市2021年底森林覆盖率为，2023年底森林覆盖率已达到，据此列方程即可.
6．（2024·南山模拟）某机械厂今年生产零件50万个，计划明后两年共生产零件132万个，设该厂每年的平均增长率为，那么满足方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：x为增涨率，第二年的有50(1+x)万个，第三年50(1+x)2万个，共此后两年的共生产零件数为50(1+x)+50(1+x)2，故可列方程.
故答案为：C.
【分析】分别表示出第二年和第三年的产量，即可列出方程.
7．（2024八下·玉州期中）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（ ）
A．x2+102＝（x+1）2 B．（x－1）2+102＝x2
C．x2+52＝（x+1）2 D．（x－1）2+52＝x2
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设芦苇长为x尺，则水深（x-1）尺，
由题意得：（x-1）2+52=x2，
故答案为：D．
【分析】设芦苇长为x尺，则水深（x-1）尺，然后根据勾股定理列方程即可．
8．（2024八下·杭州期中）一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染个人．根据题意列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得第一轮传染后总的传染人数为（1+x）人，
∴第二轮传染后总的传染人数为【1+x+x(x+1)】人，
∴列出方程为1+x+x(x+1)=121.
故答案为：C.
【分析】根据题意得出第一轮传染后的总人数，从而得出第二轮传染后的总人数即可求解.
二、填空题
9．已知一个一般形式的一元二次方程的二次项系数是，一次项系数是1，常数项是-2，则这个元二次方程是 .
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵ 一个一般形式的一元二次方程的二次项系数是，一次项系数是1，常数项是-2，
∴这个元二次方程是.
故答案为：.
【分析】利用一元二次方程的定义及已知条件，可得答案.
10．（2024八下·宁明期中）若方程是一元二次方程，则m的值是 .
【答案】-1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵方程是一元二次方程，
∴m-1≠0且m2+1=2，
解得m=-1，
故答案为：-1.
【分析】只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程，据此解题即可.
11．（2024八下·宁明期中）把方程化为一元二次方程的一般形式是 .
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：方程
去括号得：，
移项合并同类项得：，
故答案为：．
【分析】先分别计算完全平方公式，再把方程移项后合并同类项，最后变成一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a、b、c是常数项，a≠0）即可.
12．（2024·沙坪坝模拟）2023年，哈尔滨旅游强势出圈，全市旅游总收入达到1700亿元，据了解，2021年哈尔滨全市旅游总收入为950亿元，若设这两年全市旅游总收入的年平均增长率为，则可列方程： ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设这两年全市旅游总收入的年平均增长率为，由题意得，
故答案为：
【分析】设这两年全市旅游总收入的年平均增长率为，根据“2023年，哈尔滨旅游强势出圈，全市旅游总收入达到1700亿元，据了解，2021年哈尔滨全市旅游总收入为950亿元”即可列出一元二次方程，进而即可求解。
13．（2023·重庆）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为 ．
【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，
故答案为：
【分析】设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，则七月份的就业岗位数量为，八月份的就业岗位数量为，进而即可求解。
三、解答题
14．（2023九上·从江开学考）已知关于x的方程(m+3)(m-3)x2+(m+3)x+2=0.
（1）当m为何值时，此方程是一元一次方程
（2）当m为何值时，此方程是一元二次方程
【答案】（1）解：∵(m+3)(m-3)x2+(m+3)x+2=0，
∴如果此方程是一元一次方程，
则
解得m=3，
即当m=3时，此方程是一元一次方程.
（2）解：∵(m+3)(m-3)x2+(m+3)x+2=0，
∴如果此方程是一元二次方程，
则(m+3)(m-3)≠0，
解得m≠-3且m≠3，
即当m≠-3且m≠3时，此方程是一元二次方程.
【知识点】一元一次方程的概念；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】（1）根据一元一次方程的定义先求出 ，再求解即可；
（2）根据一元二次方程的定义求出 (m+3)(m-3)≠0， 再求解即可。
15．（北师大版数学九年级上册第二章一元二次方程第一节《认识一元二次方程》）已知a、b、c为三角形三个边， +bx（x-1）= -2b是关于x的一元二次方程吗？
【答案】是
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；三角形三边关系
【解析】解答：化简 +bx（x-1）= -2b，得（a+b-c） -bx+2b=0，
∵a、b、c为三角形的三条边，
∴a+b＞c，即a+b-c＞0，
∴ +bx（x-1）= -2b是关于x的一元二次方程．
分析：首先将 +bx（x-1）= -2b化简整理成（a+b-c） -bx+2b=0，然后根据一元二次方程的定义解答．
16．（2021九上·朝阳期中）若关于x的方程 是一元二次方程，求m的值．
【答案】解：∵关于x的方程 是一元二次方程，
∴m+1≠0，且|m|+1=2，
解得m+1≠0，且m=1或m=-1，
∴m=1，
故答案为：m=1．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】根据一元二次方程二次项系数不为0，x的最高次数为2列关系式即可求解。
17．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.1 一元二次方程 同步练习）试证：不论k取何实数，关于x的方程(k2-6k+12)x2=3-(k2-9)x必是一元二次方程.
【答案】解：∵k2-6k+12=（k-3）2+3＞0，
且未知数的最高次数是2；是整式方程；含有一个未知数，
∴不论k取何实数，关于x的方程(k＋12)x2＝3－(k)x必是一元二次方程
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】将二次项系数k2-6k+12转化为（k-3）2+3，可得（k-3）2+3＞0，可解答。
18．（华师大版数学九年级上册第22章二次根式22.1一元二次方程 同步练习）关于x的方程（m2-8m+19）x2-2mx-13=0是否一定是一元二次方程，甲、乙两同学有不同意见：
甲同学认为：原方程中二次项系数与m有关，可能为零，所以不能确定这个方程就是一元二次方程；
乙认为：原方程序中二次项系数m2-8m+19肯定不会等于零，所以可以确定这个方程一定是一元二次方程．
你认为甲、乙两同学的意见，谁正确？证明你的结论．
【答案】解答：乙正确，
证明：m2-8m+19=m2-8m+16+3=（m-4）2+3≠0，
所以可以确定这个方程一定是一元二次方程，故乙正确．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】利用配方法求出m2-8m+19=m2-8m+16+3=（m-4）2+3即可得出这个方程一定是一元二次方程．
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