【培优版】北师大版数学九上2.1认识一元二次方程 同步练习
一、选择题
1．（2023九上·河北月考）给出下列方程：为常数；；；；其中一定是一元二次方程的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．（2023九上·赤坎期末）小明热爱研究鸟类，每年定期去北京各个湿地公园观鸟．从他的观鸟记录年度总结中摘取部分数据如下：设小明从2020年到2022年观测鸟类种类数量的年平均增长率为，则下列方程正确的是（ ）
观鸟记录年度总结
2020年：观测鸟类150种
2021年：观测鸟类
2022年：观测鸟类216种
A． B．
C． D．
3．（2024九上·福州期末）在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·温岭期末）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024九上·望奎期末）某宾馆有50个房间供游客居住，当每间房每天的价格为120元时，房间会全部住满，当价格每增加10元时，就会有一个房间空闲，已知宾馆每天需对当天居住的每个房间支出30元的相关费用，设当天房价定为元/间，若宾馆每天利润为5000元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023九上·赵县月考）我国古代著作四元玉鉴记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文．如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023九上·吉州月考）《九章算术》是我国古代数学名著，记载着这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何 ”大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少 设芦苇的长度为x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023九上·长治月考）如图，在长为，宽为的矩形地面上修筑同样宽的小路图中阴影部分，余下部分种植草坪，要使小路的面积为，设小路的宽为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2017九上·台州月考）已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=
10．（2023九上·阿克苏月考）在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛28场，设共有个队参赛，根据题意，可列方程为 ．
11．（2020九上·佳木斯期末）若 是关于 的一元二次方程，则 的取值范围是为 ．
12．（2023九上·潞州期中）如图，某景区计划在一块长、宽的矩形空地上修建一个停车场，在停车场中修建四块大小相同的矩形停车区域，使停车区域的面积之和为．若四块停车区域之间以及周边留有宽度相同的行车通道，则行车通道的宽度为多少？设行车通道的宽度为，根据题意可列方程为 ．
13．（2023九上·仙居期中）某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，则根据题意可列方程为 ．
三、解答题
14．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册第2章 一元二次方程 单元检测b卷）已知a、b、c为三角形三个边， +bx（x-1）= -2b是关于x的一元二次方程吗？
15．（2020九上·灵璧期中）若方程(m-2) +(3-m)x-2=0是关于x的一元二次方程,试求代数式m2+2m-4的值.
16．（初中数学北师大版九年级上册第二章 一元二次方程练习题 (2)）一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1=0，试求a，b，c的值．
17．已知关于x的方程（k﹣1）（k﹣2）x2+（k﹣1）x+5=0．求：
（1）当k为何值时，原方程是一元二次方程；
（2）当k为何值时，原方程是一元一次方程；并求出此时方程的解．
18．（华师大版数学九年级上册第22章二次根式22.1一元二次方程 同步练习）关于x的方程（m2-8m+19）x2-2mx-13=0是否一定是一元二次方程，甲、乙两同学有不同意见：
甲同学认为：原方程中二次项系数与m有关，可能为零，所以不能确定这个方程就是一元二次方程；
乙认为：原方程序中二次项系数m2-8m+19肯定不会等于零，所以可以确定这个方程一定是一元二次方程．
你认为甲、乙两同学的意见，谁正确？证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：当a=0时， 为常数，不符合题意；
不是分式方程，不符合题意；
是一元二次方程，符合题意；
化简后只含二次项，是一元二次方程；
化简后不含二次项，不是一元二次方程，
一定是一元二次方程的有2个.
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程的定义进行逐一判断即可得出结论.
2．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得150(1+x)2=216.
故答案为：D.
【分析】此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式列出方程即可.
3．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每组x人，
∴
故答案为：A.
【分析】设每组x人，根据采用分组单循环赛制，则没人参加（x-1）场比赛，则共有场比赛，根据题干"每组共需进行15场比赛"，据此即可列出方程.
4．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
第一轮传染后患流感的人数是：1+x，
第二轮传染后患流感的人数是：1+x+x（1+x），
∵经过两轮传染后共有121人患了流感，
∴1+x+x（1+x）＝121，即（1+x）2＝121.
故答案为：A．
【分析】先根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，从而得出出第二轮传染后患流感的人数，由经过两轮传染后共有121人患了流感，列出方程即可．
5．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设房价定为x元，由题意得：
（x-30）（50-）=5000.
故答案为：C.
【分析】设房价定为x元，根据利润=房价的净利润×入住的房间数可求解.
6．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设这批椽的数量为株，
根据题意得： ，
故答案为：D.
【分析】根据少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出方程。
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；列一元二次方程
【解析】【解答】设芦苇的长度为x尺，
根据题意可得：，
故答案为：C.
【分析】设芦苇的长度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可.
8．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设小路的宽为xm，则横向小路的面积是32x，纵向小路的面积是20x，重叠部分为x ，则
故答案为：B.
【分析】本题考查一元二次方程的应用--面积问题。把图形通过平移变成长方形或正方形的图形，再用面积公式即可。
9．【答案】-1
【知识点】相反数及有理数的相反数；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，
∴|m|=1，m﹣1≠0，
解得：m=﹣1．
故答案为：﹣1．
【分析】直接利用一元二次方程的定义得出|m|=1，m﹣1≠0，进而得出答案．
10．【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设共有个队参赛， 则每个队比赛（x-1）场
∵参赛的每两个队之间都要比赛一场
∴
故答案为：
【分析】根据 参赛的每两个队之间都要比赛一场且共比赛28场即可求出答案。
11．【答案】 且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】∵方程 是关于x的一元二次方程，
∴ ，
∴ ，
∵ 有意义，
∴ ，
∴m的取值范围是 且
故填： 且 ．
【分析】根据一元二次方程的定义和二次根式的性质判断即可。
12．【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意，可得，
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程的几何应用求解。根据据停车区域面积之和为拼起来矩形的面积，列出一元二次方程．
13．【答案】150(1－x)2＝96
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：第一次降价后的价格为元，
连续两次降价后售价在第一次降价的基础上再降低x，
所以第二次降价后的价格为即元，
根据题意可列方程为：150(1－x)2＝96.
故答案为：.
【分析】本题主要考查二次函数的实际运用的降价问题，设基础量为a，变化率为x，变化后的量为b，变化次数为n，则据此列方程求解即可.
14．【答案】解：化简 +bx（x-1）= -2b，得（a+b-c） -bx+2b=0，∵a、b、c为三角形的三条边，∴a+b＞c，即a+b-c＞0，∴ +bx（x-1）= -2b是关于x的一元二次方程
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】先将已知方程化成一般形式，再根据a、b、c为三角形的三条边，利用三角形三边关系定理判断二次项系数a+b-c＞0，就可得出此方程是关于x的一元二次方程。
15．【答案】解：根据题意,得m2-2=2且m-2≠0,
解得m=±2且m≠2,
所以m=-2,m2+2m-4=(-2)2+2×(-2)-4=4-4-4=-4.
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】根据一元二次方程的定义可得m2-2=2且m-2≠0,据此求出m的值，然后代入代数式计算即可.
16．【答案】解：一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=0化为一般形式后为ax2﹣（2a﹣b）x﹣（b﹣a﹣c）=0，
一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1=0，得
，
解得
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】根据一元二次方程的一般形式，可得方程组，根据解方程组，可得答案．
17．【答案】解：（1）依题意得：（k﹣1）（k﹣2）≠0，
解得k≠1且k≠2；
（2）依题意得：（k﹣1）（k﹣2）=0，且k﹣1≠0，
所以k﹣2=0，
解得k=2，
所以该方程为x+5=0，
解得x=﹣5．
【知识点】一元一次方程的概念；一元一次方程的解；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到（k﹣1）（k﹣2）≠0，由此求得k的值；
（2）根一元一次方程的定义得到k﹣2=0，由此得到该方程为x+5=0，解方程即可
18．【答案】解答：乙正确，
证明：m2-8m+19=m2-8m+16+3=（m-4）2+3≠0，
所以可以确定这个方程一定是一元二次方程，故乙正确．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】利用配方法求出m2-8m+19=m2-8m+16+3=（m-4）2+3即可得出这个方程一定是一元二次方程．
1 / 1【培优版】北师大版数学九上2.1认识一元二次方程 同步练习
一、选择题
1．（2023九上·河北月考）给出下列方程：为常数；；；；其中一定是一元二次方程的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：当a=0时， 为常数，不符合题意；
不是分式方程，不符合题意；
是一元二次方程，符合题意；
化简后只含二次项，是一元二次方程；
化简后不含二次项，不是一元二次方程，
一定是一元二次方程的有2个.
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程的定义进行逐一判断即可得出结论.
2．（2023九上·赤坎期末）小明热爱研究鸟类，每年定期去北京各个湿地公园观鸟．从他的观鸟记录年度总结中摘取部分数据如下：设小明从2020年到2022年观测鸟类种类数量的年平均增长率为，则下列方程正确的是（ ）
观鸟记录年度总结
2020年：观测鸟类150种
2021年：观测鸟类
2022年：观测鸟类216种
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得150(1+x)2=216.
故答案为：D.
【分析】此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式列出方程即可.
3．（2024九上·福州期末）在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每组x人，
∴
故答案为：A.
【分析】设每组x人，根据采用分组单循环赛制，则没人参加（x-1）场比赛，则共有场比赛，根据题干"每组共需进行15场比赛"，据此即可列出方程.
4．（2023九上·温岭期末）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
第一轮传染后患流感的人数是：1+x，
第二轮传染后患流感的人数是：1+x+x（1+x），
∵经过两轮传染后共有121人患了流感，
∴1+x+x（1+x）＝121，即（1+x）2＝121.
故答案为：A．
【分析】先根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，从而得出出第二轮传染后患流感的人数，由经过两轮传染后共有121人患了流感，列出方程即可．
5．（2024九上·望奎期末）某宾馆有50个房间供游客居住，当每间房每天的价格为120元时，房间会全部住满，当价格每增加10元时，就会有一个房间空闲，已知宾馆每天需对当天居住的每个房间支出30元的相关费用，设当天房价定为元/间，若宾馆每天利润为5000元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设房价定为x元，由题意得：
（x-30）（50-）=5000.
故答案为：C.
【分析】设房价定为x元，根据利润=房价的净利润×入住的房间数可求解.
6．（2023九上·赵县月考）我国古代著作四元玉鉴记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文．如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设这批椽的数量为株，
根据题意得： ，
故答案为：D.
【分析】根据少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出方程。
7．（2023九上·吉州月考）《九章算术》是我国古代数学名著，记载着这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何 ”大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少 设芦苇的长度为x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；列一元二次方程
【解析】【解答】设芦苇的长度为x尺，
根据题意可得：，
故答案为：C.
【分析】设芦苇的长度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可.
8．（2023九上·长治月考）如图，在长为，宽为的矩形地面上修筑同样宽的小路图中阴影部分，余下部分种植草坪，要使小路的面积为，设小路的宽为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设小路的宽为xm，则横向小路的面积是32x，纵向小路的面积是20x，重叠部分为x ，则
故答案为：B.
【分析】本题考查一元二次方程的应用--面积问题。把图形通过平移变成长方形或正方形的图形，再用面积公式即可。
二、填空题
9．（2017九上·台州月考）已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=
【答案】-1
【知识点】相反数及有理数的相反数；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，
∴|m|=1，m﹣1≠0，
解得：m=﹣1．
故答案为：﹣1．
【分析】直接利用一元二次方程的定义得出|m|=1，m﹣1≠0，进而得出答案．
10．（2023九上·阿克苏月考）在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛28场，设共有个队参赛，根据题意，可列方程为 ．
【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设共有个队参赛， 则每个队比赛（x-1）场
∵参赛的每两个队之间都要比赛一场
∴
故答案为：
【分析】根据 参赛的每两个队之间都要比赛一场且共比赛28场即可求出答案。
11．（2020九上·佳木斯期末）若 是关于 的一元二次方程，则 的取值范围是为 ．
【答案】 且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】∵方程 是关于x的一元二次方程，
∴ ，
∴ ，
∵ 有意义，
∴ ，
∴m的取值范围是 且
故填： 且 ．
【分析】根据一元二次方程的定义和二次根式的性质判断即可。
12．（2023九上·潞州期中）如图，某景区计划在一块长、宽的矩形空地上修建一个停车场，在停车场中修建四块大小相同的矩形停车区域，使停车区域的面积之和为．若四块停车区域之间以及周边留有宽度相同的行车通道，则行车通道的宽度为多少？设行车通道的宽度为，根据题意可列方程为 ．
【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意，可得，
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程的几何应用求解。根据据停车区域面积之和为拼起来矩形的面积，列出一元二次方程．
13．（2023九上·仙居期中）某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，则根据题意可列方程为 ．
【答案】150(1－x)2＝96
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：第一次降价后的价格为元，
连续两次降价后售价在第一次降价的基础上再降低x，
所以第二次降价后的价格为即元，
根据题意可列方程为：150(1－x)2＝96.
故答案为：.
【分析】本题主要考查二次函数的实际运用的降价问题，设基础量为a，变化率为x，变化后的量为b，变化次数为n，则据此列方程求解即可.
三、解答题
14．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册第2章 一元二次方程 单元检测b卷）已知a、b、c为三角形三个边， +bx（x-1）= -2b是关于x的一元二次方程吗？
【答案】解：化简 +bx（x-1）= -2b，得（a+b-c） -bx+2b=0，∵a、b、c为三角形的三条边，∴a+b＞c，即a+b-c＞0，∴ +bx（x-1）= -2b是关于x的一元二次方程
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】先将已知方程化成一般形式，再根据a、b、c为三角形的三条边，利用三角形三边关系定理判断二次项系数a+b-c＞0，就可得出此方程是关于x的一元二次方程。
15．（2020九上·灵璧期中）若方程(m-2) +(3-m)x-2=0是关于x的一元二次方程,试求代数式m2+2m-4的值.
【答案】解：根据题意,得m2-2=2且m-2≠0,
解得m=±2且m≠2,
所以m=-2,m2+2m-4=(-2)2+2×(-2)-4=4-4-4=-4.
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】根据一元二次方程的定义可得m2-2=2且m-2≠0,据此求出m的值，然后代入代数式计算即可.
16．（初中数学北师大版九年级上册第二章 一元二次方程练习题 (2)）一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1=0，试求a，b，c的值．
【答案】解：一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=0化为一般形式后为ax2﹣（2a﹣b）x﹣（b﹣a﹣c）=0，
一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1=0，得
，
解得
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】根据一元二次方程的一般形式，可得方程组，根据解方程组，可得答案．
17．已知关于x的方程（k﹣1）（k﹣2）x2+（k﹣1）x+5=0．求：
（1）当k为何值时，原方程是一元二次方程；
（2）当k为何值时，原方程是一元一次方程；并求出此时方程的解．
【答案】解：（1）依题意得：（k﹣1）（k﹣2）≠0，
解得k≠1且k≠2；
（2）依题意得：（k﹣1）（k﹣2）=0，且k﹣1≠0，
所以k﹣2=0，
解得k=2，
所以该方程为x+5=0，
解得x=﹣5．
【知识点】一元一次方程的概念；一元一次方程的解；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到（k﹣1）（k﹣2）≠0，由此求得k的值；
（2）根一元一次方程的定义得到k﹣2=0，由此得到该方程为x+5=0，解方程即可
18．（华师大版数学九年级上册第22章二次根式22.1一元二次方程 同步练习）关于x的方程（m2-8m+19）x2-2mx-13=0是否一定是一元二次方程，甲、乙两同学有不同意见：
甲同学认为：原方程中二次项系数与m有关，可能为零，所以不能确定这个方程就是一元二次方程；
乙认为：原方程序中二次项系数m2-8m+19肯定不会等于零，所以可以确定这个方程一定是一元二次方程．
你认为甲、乙两同学的意见，谁正确？证明你的结论．
【答案】解答：乙正确，
证明：m2-8m+19=m2-8m+16+3=（m-4）2+3≠0，
所以可以确定这个方程一定是一元二次方程，故乙正确．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】利用配方法求出m2-8m+19=m2-8m+16+3=（m-4）2+3即可得出这个方程一定是一元二次方程．
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