【提升版】北师大版数学九上2.2用配方法解一元二次方程 同步练习
一、选择题
1．（2021九上·峄城期中）用配方法解方程 时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】利用配方法的计算方法及步骤求解即可。
2．（2023九上·合肥开学考）用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ）
A．化为
B．化为
C．化为
D．化为
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
∴C选项不正确，
故答案为：C.
【分析】利用配方法求解一元二次方程的计算方法逐项判断即可.
3．（2023九上·郑州开学考）若关于的一元二次方程配方后得到方程，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-8x+c=0，
x2-8x+16=-c+16即（x-4）2=-c+16=3c，
解之：c=4.
故答案为：C.
【分析】利用配方法将方程转化为（x-4）2=-c+16=3c，可得到关于c的方程，解方程求出c的值.
4．（2022九上·广平期末）如图是嘉淇用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误的步骤是（ ）
A．② B．③ C．④ D．⑤
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：①
②
∴嘉淇在第②步的时候，开始出现错误；
故答案为：A．
【分析】利用配方法求解一元二次方程即可。
5．（2020九上·鄄城期中）用配方法解方程 时，配方结果正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：4x2-2x-1=0，
x2- x= ，
x2- x+（ ）2= +（ ）2，
（x- ）2= ．
故答案为：D．
【分析】根据配方法的方法可对题中的方程配方，从而解答本题。
6．（2020九上·义马期中）用配方法解方程 ，则方程可变形为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，即 ，
，
，即 ，
故答案为：C.
【分析】首先将二次项系数化为1，然后将常数项移至等号的右边，给等号两边同时加上一次项系数一半的平方即可.
7．（2016九上·武清期中）用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（ ）
A．（x+ ）2= B．（x+ ）2=
C．（x﹣ ）2= D．（x﹣ ）2=
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：ax2+bx+c=0，
ax2+bx=﹣c，
x2+ x=﹣ ，
x2+ x+（ ）2=﹣ +（ ）2，
（x+ ）2= ，
故选：A．
【分析】先移项，把二次项系数化成1，再配方，最后根据完全平方公式得出即可．
8．（2023九上·平山期中） 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解方程，规则：每人只能看到前一人给的方程，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程，过程如图所示，接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有甲 B．只有丁 C．乙和丁 D．甲和丁
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2+4x+2=0，
移项，得：x2+4x=-2，
所以甲出现了错误；
x2+4x=2
方程两边都加上一次项系数的一半，得：x2+4x+4=6，
∴乙正确；
x2+4x+4=6，
∴（x+2)2=6，
∴丙正确；
（x+2)2=6，
∴x+2=，
∴x=-2，
∴丁出现了错误；
综上可得出，甲和丁出现了错误。
故答案为：D。
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤正确识别，即可得出正确选项。
二、填空题
9．（2021九上·燕山期末）下面是用配方法解关于x的一元二次方程的具体过程，
解：第一步：
第二步：
第三步：
第四步：，
以下四条语句与上面四步对应：“①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；②求解：用直接开方法解一元二次方程；③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数”，则第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是 ．
【答案】④①③②
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据配方法的步骤可知：第一步为：④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数；
第二步为：①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
第三步为：③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；
第四步为：②求解：用直接开方法解一元二次方程；
故答案为：④①③②．
【分析】利用配方法解一元二次方程即可。
10．（2023九上·成都月考）若将方程化为，则 ．
【答案】4
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴m=4，
故答案为：4.
【分析】先利用配方法将一元二次方程化为，再利用待定系数法求出m的值即可.
11．（2023九上·和平期中）若方程x2－4084441＝0的两根为±2021，则方程x2－2x－4084440＝0的两根为 ．
【答案】x1＝2022，x2＝－2020
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x2－2x－4084440＝0，
x2－2x=4084440，
x2－2x+1=4084441，
即（x-1）2=4084441，
∵ 方程x2－4084441＝0的两根为±2021 ，
∴x-1=±2021 ，
∴ x1＝2022，x2＝－2020 .
故答案为： x1＝2022，x2＝－2020 .
【分析】将x2－2x－4084440＝0配方可得（x-1）2=4084441，由方程x2=4084441的两根为±2021 ，即得x-1=±2021 ，解之即可.
12．（2023九上·西和期中）将方程化成的形式，则a+b= ．
【答案】5
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
x2-6x+9=-1+9，
（x-3）2=8，
∴a=-3，b=8，
∴a+b= 5.
故答案为：5.
【分析】利用配方法将方程化为（x-3）2=8，据此求出a、b的值，再代入计算即可.
13．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册22.2.2 配方法 同步练习）已知x，y，z为实数，且2x﹣3y+z=3，则x2+（y﹣1）2+z2的最小值为 ．
【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由2x﹣3y+z=3得z=3﹣2x+3y，
x2+（y﹣1）2+z2
=x2+（y﹣1）2+（3﹣2x+3y）2
=5x2﹣12x（y+1）+9（y+1）2+（y﹣1）2
=5[x﹣1.2（y+1）]2+1.8（y+1）2+（y﹣1）2
=5[x﹣1.2（y+1）]2+2.8（y+1）2+1.6y+2.8
=5[x﹣1.2（y+1）]2+2.8[y2+ y+（ ）2]+2.8﹣
=5[x﹣1.2（y+1）]2+2.8（y+ ）2+ ≥ ，
∴x2+（y﹣1）2+z2的最小值为 ，
故答案为：
【分析】要求代数式的最小值，需将代数式转化为完全平方式，根据平方的非负性即可求解。由已知条件可将z用含x、y的代数式表示，再将z的代数式代入中，根据完全平方公式将代数式配方得，原式=，根据平方的非负性可得，即的最小值为。
三、解答题
14．（2023九上·三台期中）（1）解方程：；
（2）先化简，再求值：，其中x是方程 的解．
【答案】（1）解：，x2 - 4x = 1
∴，
∴，
∴，；
（2）解：原式＝
＝
＝
＝
＝ ，
∵且且，
∴，
x是方程 的解，
∴，
即，
，
∴，
解得：，（舍去），
∴原式=．
【知识点】分式的混合运算；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)按照配方法的步骤解方程即可.
(2)先进行分式混合运算，再用配方法解一元二次方程，代入化简后的分式即可求值，注意要使算式有意义.
15．（2021九上·卢龙期中）嘉琪准备完成题目：解一元二次方程 ．
（1）若“ ”表示常数 ，请你用配方法解方程： ；
（2）若“ ”表示一个字母，且一元二次方程 有实数根．求“ ”的最大值．
【答案】（1）解： ，
，
，
解得 ， ；
（2）设 中为 ， ， ，
，解得 ，
∴ 的最大的值为9．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先将-7代入方程，再利用配方法求解一元二次方程即可；
（2）设“ ”中为 ，将m代入方程吗，再利用根的判别式列出不等式求解即可。
16．（2021九上·成都期中）先化简，再求值：÷，其中x是方程x2+4x+1＝0的根．
【答案】解：÷
＝
＝
＝
＝，
方程x2+4x+1＝0，
，
，
∴，
∴，，
当时，原式＝，
当时，原式＝，
∴原式＝．
【知识点】分式的化简求值；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，再将除法转化为乘法，进行约分即可化简，利用配方法解出方程的根，再分别代入计算即可.
17．（2023九上·灵石月考）
（1）解方程：．
（2）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：
二次系数化为，得第一步
移项，得第二步
配方，得，即第三步
由此，可得第四步
所以，，第五步
任务：
上面小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是 ▲ ，其中“配方法”所依据的一个数学公式是 ▲ ；
“第二步”变形的依据是 ▲ ；
上面小明同学解题过程中，从第 ▲ 步开始出现错误，请直接写出正确的解是 ▲ ；
请你根据平时学习经验，就解一元二次方程时还需要注意的事项为其他同学提一条意见．
【答案】（1）解：，
移项，得，
提公因式，得，
则或，
，
（2）解：转化思想；完全平方公式；等式的性质；三；，．解一元二次方程时需要注意的事项：先把方程化为一般形式、移项要变号、正确运用完全平方公式、解要化为最简答案不唯一，
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（2）③
，
【分析】本题考查解一元二次方程的方法：配方法，移项，二次项系数化1，两边同时加一次项系数一半的平方，直接开方，求根即可。在这个过程中，考查转化的思想，依据完全平方公式，再开方。
18．（2022九上·东城期末）下面是小聪同学用配方法解方程：的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．
解：移项，得：．①
二次项系数化为1，得：．②
配方，得．③
即.
∵，
∴．④
∴，．⑤
（1）第②步二次项系数化为1的依据是什么？
（2）整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解．
【答案】（1）解：等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；
（2）解：不正确，解答从第③步开始出错；此方程的解为，．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】（2）正确的步骤为：
配方，得．③
即
∵，
∴．④
∴，．⑤
此方程的解为，．
【分析】利用配方法求解一元二次方程即可。
1 / 1【提升版】北师大版数学九上2.2用配方法解一元二次方程 同步练习
一、选择题
1．（2021九上·峄城期中）用配方法解方程 时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·合肥开学考）用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ）
A．化为
B．化为
C．化为
D．化为
3．（2023九上·郑州开学考）若关于的一元二次方程配方后得到方程，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022九上·广平期末）如图是嘉淇用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误的步骤是（ ）
A．② B．③ C．④ D．⑤
5．（2020九上·鄄城期中）用配方法解方程 时，配方结果正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
6．（2020九上·义马期中）用配方法解方程 ，则方程可变形为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2016九上·武清期中）用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（ ）
A．（x+ ）2= B．（x+ ）2=
C．（x﹣ ）2= D．（x﹣ ）2=
8．（2023九上·平山期中） 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解方程，规则：每人只能看到前一人给的方程，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程，过程如图所示，接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有甲 B．只有丁 C．乙和丁 D．甲和丁
二、填空题
9．（2021九上·燕山期末）下面是用配方法解关于x的一元二次方程的具体过程，
解：第一步：
第二步：
第三步：
第四步：，
以下四条语句与上面四步对应：“①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；②求解：用直接开方法解一元二次方程；③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数”，则第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是 ．
10．（2023九上·成都月考）若将方程化为，则 ．
11．（2023九上·和平期中）若方程x2－4084441＝0的两根为±2021，则方程x2－2x－4084440＝0的两根为 ．
12．（2023九上·西和期中）将方程化成的形式，则a+b= ．
13．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册22.2.2 配方法 同步练习）已知x，y，z为实数，且2x﹣3y+z=3，则x2+（y﹣1）2+z2的最小值为 ．
三、解答题
14．（2023九上·三台期中）（1）解方程：；
（2）先化简，再求值：，其中x是方程 的解．
15．（2021九上·卢龙期中）嘉琪准备完成题目：解一元二次方程 ．
（1）若“ ”表示常数 ，请你用配方法解方程： ；
（2）若“ ”表示一个字母，且一元二次方程 有实数根．求“ ”的最大值．
16．（2021九上·成都期中）先化简，再求值：÷，其中x是方程x2+4x+1＝0的根．
17．（2023九上·灵石月考）
（1）解方程：．
（2）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：
二次系数化为，得第一步
移项，得第二步
配方，得，即第三步
由此，可得第四步
所以，，第五步
任务：
上面小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是 ▲ ，其中“配方法”所依据的一个数学公式是 ▲ ；
“第二步”变形的依据是 ▲ ；
上面小明同学解题过程中，从第 ▲ 步开始出现错误，请直接写出正确的解是 ▲ ；
请你根据平时学习经验，就解一元二次方程时还需要注意的事项为其他同学提一条意见．
18．（2022九上·东城期末）下面是小聪同学用配方法解方程：的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．
解：移项，得：．①
二次项系数化为1，得：．②
配方，得．③
即.
∵，
∴．④
∴，．⑤
（1）第②步二次项系数化为1的依据是什么？
（2）整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】利用配方法的计算方法及步骤求解即可。
2．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
∴C选项不正确，
故答案为：C.
【分析】利用配方法求解一元二次方程的计算方法逐项判断即可.
3．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-8x+c=0，
x2-8x+16=-c+16即（x-4）2=-c+16=3c，
解之：c=4.
故答案为：C.
【分析】利用配方法将方程转化为（x-4）2=-c+16=3c，可得到关于c的方程，解方程求出c的值.
4．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：①
②
∴嘉淇在第②步的时候，开始出现错误；
故答案为：A．
【分析】利用配方法求解一元二次方程即可。
5．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：4x2-2x-1=0，
x2- x= ，
x2- x+（ ）2= +（ ）2，
（x- ）2= ．
故答案为：D．
【分析】根据配方法的方法可对题中的方程配方，从而解答本题。
6．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，即 ，
，
，即 ，
故答案为：C.
【分析】首先将二次项系数化为1，然后将常数项移至等号的右边，给等号两边同时加上一次项系数一半的平方即可.
7．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：ax2+bx+c=0，
ax2+bx=﹣c，
x2+ x=﹣ ，
x2+ x+（ ）2=﹣ +（ ）2，
（x+ ）2= ，
故选：A．
【分析】先移项，把二次项系数化成1，再配方，最后根据完全平方公式得出即可．
8．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2+4x+2=0，
移项，得：x2+4x=-2，
所以甲出现了错误；
x2+4x=2
方程两边都加上一次项系数的一半，得：x2+4x+4=6，
∴乙正确；
x2+4x+4=6，
∴（x+2)2=6，
∴丙正确；
（x+2)2=6，
∴x+2=，
∴x=-2，
∴丁出现了错误；
综上可得出，甲和丁出现了错误。
故答案为：D。
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤正确识别，即可得出正确选项。
9．【答案】④①③②
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据配方法的步骤可知：第一步为：④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数；
第二步为：①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
第三步为：③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；
第四步为：②求解：用直接开方法解一元二次方程；
故答案为：④①③②．
【分析】利用配方法解一元二次方程即可。
10．【答案】4
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴m=4，
故答案为：4.
【分析】先利用配方法将一元二次方程化为，再利用待定系数法求出m的值即可.
11．【答案】x1＝2022，x2＝－2020
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x2－2x－4084440＝0，
x2－2x=4084440，
x2－2x+1=4084441，
即（x-1）2=4084441，
∵ 方程x2－4084441＝0的两根为±2021 ，
∴x-1=±2021 ，
∴ x1＝2022，x2＝－2020 .
故答案为： x1＝2022，x2＝－2020 .
【分析】将x2－2x－4084440＝0配方可得（x-1）2=4084441，由方程x2=4084441的两根为±2021 ，即得x-1=±2021 ，解之即可.
12．【答案】5
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
x2-6x+9=-1+9，
（x-3）2=8，
∴a=-3，b=8，
∴a+b= 5.
故答案为：5.
【分析】利用配方法将方程化为（x-3）2=8，据此求出a、b的值，再代入计算即可.
13．【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由2x﹣3y+z=3得z=3﹣2x+3y，
x2+（y﹣1）2+z2
=x2+（y﹣1）2+（3﹣2x+3y）2
=5x2﹣12x（y+1）+9（y+1）2+（y﹣1）2
=5[x﹣1.2（y+1）]2+1.8（y+1）2+（y﹣1）2
=5[x﹣1.2（y+1）]2+2.8（y+1）2+1.6y+2.8
=5[x﹣1.2（y+1）]2+2.8[y2+ y+（ ）2]+2.8﹣
=5[x﹣1.2（y+1）]2+2.8（y+ ）2+ ≥ ，
∴x2+（y﹣1）2+z2的最小值为 ，
故答案为：
【分析】要求代数式的最小值，需将代数式转化为完全平方式，根据平方的非负性即可求解。由已知条件可将z用含x、y的代数式表示，再将z的代数式代入中，根据完全平方公式将代数式配方得，原式=，根据平方的非负性可得，即的最小值为。
14．【答案】（1）解：，x2 - 4x = 1
∴，
∴，
∴，；
（2）解：原式＝
＝
＝
＝
＝ ，
∵且且，
∴，
x是方程 的解，
∴，
即，
，
∴，
解得：，（舍去），
∴原式=．
【知识点】分式的混合运算；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)按照配方法的步骤解方程即可.
(2)先进行分式混合运算，再用配方法解一元二次方程，代入化简后的分式即可求值，注意要使算式有意义.
15．【答案】（1）解： ，
，
，
解得 ， ；
（2）设 中为 ， ， ，
，解得 ，
∴ 的最大的值为9．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先将-7代入方程，再利用配方法求解一元二次方程即可；
（2）设“ ”中为 ，将m代入方程吗，再利用根的判别式列出不等式求解即可。
16．【答案】解：÷
＝
＝
＝
＝，
方程x2+4x+1＝0，
，
，
∴，
∴，，
当时，原式＝，
当时，原式＝，
∴原式＝．
【知识点】分式的化简求值；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，再将除法转化为乘法，进行约分即可化简，利用配方法解出方程的根，再分别代入计算即可.
17．【答案】（1）解：，
移项，得，
提公因式，得，
则或，
，
（2）解：转化思想；完全平方公式；等式的性质；三；，．解一元二次方程时需要注意的事项：先把方程化为一般形式、移项要变号、正确运用完全平方公式、解要化为最简答案不唯一，
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（2）③
，
【分析】本题考查解一元二次方程的方法：配方法，移项，二次项系数化1，两边同时加一次项系数一半的平方，直接开方，求根即可。在这个过程中，考查转化的思想，依据完全平方公式，再开方。
18．【答案】（1）解：等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；
（2）解：不正确，解答从第③步开始出错；此方程的解为，．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】（2）正确的步骤为：
配方，得．③
即
∵，
∴．④
∴，．⑤
此方程的解为，．
【分析】利用配方法求解一元二次方程即可。
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