2024学年沪科版数学八升九暑假集训二次函数应用-基础巩固
一、选择题
1．（2024九下·朔州模拟）如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，在正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽米，则函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020九上·邗江月考）如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m.若饲养室长为xm，占地面积为y ，则y关于x的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣ x2+26x（2≤x＜52）
B．y＝﹣ x2+50x（2≤x＜52）
C．y＝﹣x2+52x（2≤x＜52）
D．y＝﹣ x2+27x﹣52（2≤x＜52）
3．（2024九上·武昌月考）如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处4m，则水管的顶端B距水面的高度为（ ）
A．2 B． C． D．
4．（2023九上·合肥月考）据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一度GDP总值约为26千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
5．（2024九下·芦淞模拟）如图所示是某抛物线形的隧道示意图．已知抛物线的函数解式为，为增加照明度，在该抛物线上距地面高为6米的点E，F处要安装两盏灯，则这两盏灯的水平距离是 米．（可用含根号的式子表示）
6．（2024九下·哈尔滨模拟）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离 m．
7．（2024九下·蒸湘模拟）在2024年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度（单位：米）与飞行的水平距离（单位：米）之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为 米．
8．（2024九下·长春模拟）图①是一种神奇的鱼——射水鱼，当猎物进入视野后，它便会将头露出水面，合上鱼鳃，从嘴里射出抛物线型水柱，将猎物击落，已知水柱在离发射点水平距离为2分米处达到最大高度9分米．现有一条射水鱼在水面的点A处，如图②，昆虫与点A的水平距离为2分米，距离水面的高度为5分米，射水鱼需要向右游动 分米才能击中昆虫．
9．（2024九下·滨州模拟）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高 m时，水柱落点距O点．
三、解答题
10．（2024九下·太原模拟）综合与探究
如图，平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．已知，，点P是第一象限抛物线上对称轴右侧的一个动点，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的函数表达式，并直接写出点C，D的坐标；
（2）连接，求面积的最大值．
11．（2024九下·华龙模拟）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为．
（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标．
12．（2024九下·文山模拟）根据以下素材，探索完成任务．
【素材1】某水果店购进某种橙子，保质期为30天，每箱橙子的售价为100 元．
【素材2】由于橙子需要冷藏保存，因此成本也会逐日增加，设第x天的销售量为m，m与x之间的关系如表：
第x天
销售量 m/箱 15
【素材3】每箱橙子的成本为y元，y与x的函数关系如图所示．
（1）求每箱橙子的成本y（元）与x的函数表达式；
（2）若每天的销售利润为 W元，求W与x的函数表达式，并求出第几天时当天的销售利润最大？最大销售利润是多少元？
13．（2023九上·越城月考）如图所示是永州八景之一的愚溪桥，桥身横跨愚溪，面临潇水，桥下冬暖夏凉，常有渔船停泊桥下避晒纳凉.已知主桥拱为抛物线型，在正常水位下测得主拱宽24m，最高点离水面8m，以水平线AB为x轴，24m的中点为原点建立坐标系.
（1）求此桥拱线所在抛物线的解析式；
（2）桥边有一浮在水面部分高3.5m，最宽处m的河鱼餐船，试探索此船能否开到桥下 说明理由.
四、综合题
14．（2024九下·渠县期中）在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园，求矩形花园的最大面积．
15．（2023九上·思明开学考）如图，现打算用的篱笆围成一个“日”字形菜园（含隔离栏），菜园的一面靠墙（篱笆的宽度忽略不计）
（1）菜园面积可能为吗？若可能，求边长的长，若不可能，请说明理由；
（2）因场地限制，菜园的宽度不能超过，求该菜园面积的最大值．
16．（2024九下·邗江模拟）鄂北公司以10元/千克的价格收购一批产品进行销售，为了得到日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：
销售价格x（元/千克） 10 15 20 25 30
日销售量y（千克） 300 225 150 75 0
（1）请你根据表中的数据确定y与x之间的函数表达式；
（2）鄂北公司应该如何确定这批产品的销售价格，才能使日销售利润W1元最大？
（3）若鄂北公司每销售1千克这种产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当20≤x≤25时，鄂北公司的日获利W2元的最大值为1215元，求a的值．
17．（2024九下·双柏模拟）2023年“五一”假期，昆明校场路蓝花楹主题公园成为热门网红打卡地后，公园开始售卖蓝花楹主题雪糕，每根成本价为3元，经调查，每天的销售量（根）与每根的售价（元）之间的函数关系式如图所示．
（1）求与的函数关系式；
（2）设每天的总利润（元），若每根雪糕的售价为整数，则售价定为多少元时，获利最大？最大利润是多少？
18．（2024九下·西安模拟）如图①，是某高速公路正在修建的隧道．图②是其中一个隧道截面示意图，由矩形和抛物线的一部分构成，矩形的边，，抛物线的最高点离地面．
（1）以点为原点、所在直线为轴，建立平面直角坐标系．求抛物线的表达式；
（2）为了行驶安全，现要在隧道洞口处贴上黄黑立面标记．已知将该抛物线向上平移所扫过的区域即为贴黄黑立面标记的区域，则贴黄黑立面标记的区域的面积为 ；
（3）该隧道为单向双车道，且规定车辆必须在距离隧道边缘大于等于范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于的空隙，请利用二次函数的知识确定该隧道车辆的限制高度．
19．（2024九下·中山模拟）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方的B处发出．球出手后的运动路径为抛物线，抛物线的最高点C到y轴的距离为6米，竖直高度比出手点B高出1米．已知米，排球场的边界点A到O点的水平距离米，球网高度米，且．
（1）当时，求排球运动路径的抛物线解析式；
（2）当时，排球能否越过球网？请说明理由；
（3）若该运动员调整起跳高度，使球在点A处落地，此时形成的抛物线记为L1，球落地后立即向右弹起，形成另一条与形状相同的抛物线，且此时排球运行的最大高度为1米，球场外有一个吉祥物玩偶MN高米．排球经过向右反弹后沿的路径运动，若在下落的过程中，正好砸中玩偶的头部点M，求玩偶所处的位置点N与点A的距离．
20．（2024九下·石家庄模拟）如图1，在立柱上竖直安装了一个喷水装置，建立如图2所示的平面直角坐标系，一个单位长度代表长，水流从轴上的喷头喷出，，水流的路线为抛物线（，其中，均为常数）的一部分，当水流到达处时，达到最大高度，此时水流的最高点到喷头的水平距离为．
（1）求抛物线的表达式及点的坐标；
（2）定义“高差”：当抛物线上的点到喷头的水平距离在时，抛物线上的点到水平地面的距离的最大值与最小值的差叫作到之间的“高差”，记作（单位：）．
①当时，求高差的值；
②若时，总有，请直接写出的取值范围．
21．（2020·遵义模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为 ，且 ，抛物线 图象经过 三点.
（1）求 两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点 是直线 下方的抛物线上的一个动点，作 于点 ，当 的值最大时，求此时点 的坐标及 的最大值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
2．【答案】A
【知识点】列二次函数关系式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：y关于x的函数表达式为：y （50+2﹣x）x
x2+26x（2≤x＜52）.
故答案为：A.
【分析】饲养场的长为xm，则宽为（50+2-x）m，由矩形的面积y=矩形的长×宽可求解.
3．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，如图所示：
则：，
设抛物线的解析式为，将代入，得：，
∴，
当时，，
∴高度为；
故答案为：D．
【分析】先建立平面直角坐标系，再设抛物线的解析式为，将点D（4，0）代入解析式求出a的值，再将x=0代入解析式求出y的值即可.
4．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】由题意可得：y=2.6（1+x）2
故答案为：C
【分析】第三季度的GDP=第一度的GDP×（1+每个季度增长率）2，代入求解即可。
5．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
6．【答案】10
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数的实际应用-抛球问题
7．【答案】12
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
8．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
9．【答案】8
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
10．【答案】（1）抛物线的函数表达式为，点C的坐标为，点D的坐标为；
（2）面积的最大值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题
11．【答案】（1）
（2）
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
12．【答案】（1）
（2）第20天时，当天的销售利润最大，最大销售利润是600元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
13．【答案】（1）解：由题意可知、、，
则可设此桥拱线所在抛物线的解析式为，
将代入，
可得，
解得，
∴
即
（2）解：当y=3.5时，，解得
此时拱桥宽度为
由，可知船能开到桥下.
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）先设抛物线的表达式为两点式，在代入C点坐标，即可求出a，再将表达式化简为一般式即可；
（2）先根据y=3.5时，求出此时拱桥的宽度，再与船的宽度比较即可.
14．【答案】最大面积为144．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
15．【答案】（1）可能，
（2）288平方米
【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
16．【答案】（1）y＝﹣15x+450；（2）这批产品的销售价格定为20元，才能使日销售利润最大；（3）a的值为2
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
17．【答案】（1）
（2）每根雪糕的售价定为9元时或者10元时，获利最大，最大利润是420元
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
18．【答案】（1）
（2）
（3）米
【知识点】平移的性质；二次函数的实际应用-拱桥问题
19．【答案】（1）抛物线的表达式为
（2）球能越过球网
（3）玩偶所处的位置点N与点A的距离为6米
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
20．【答案】（1）抛物线的表达式为，点的坐标为
（2）①；②
【知识点】一元二次方程的其他应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-喷水问题
21．【答案】（1）解：OA＝OC＝4OB＝4，
故点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）
（2）解：抛物线的表达式为： ，
即﹣4a＝﹣4，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：
（3）解：直线CA过点C，设其函数表达式为： ，
将点A坐标代入上式并解得：k＝1，
故直线CA的表达式为：y＝x﹣4，
过点P作y轴的平行线交AC于点H，
∵OA＝OC＝4，
，
∵
，
设点 ，则点H（x，x﹣4），
∵ ＜0，∴PD有最大值，当x＝2时，其最大值为 ，
此时点P（2，﹣6）.
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）OA＝OC＝4OB＝4，即可求解；（2）抛物线的表达式为： ，即可求解；（3） ，即可求解.
1 / 12024学年沪科版数学八升九暑假集训二次函数应用-基础巩固
一、选择题
1．（2024九下·朔州模拟）如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，在正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽米，则函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
2．（2020九上·邗江月考）如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m.若饲养室长为xm，占地面积为y ，则y关于x的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣ x2+26x（2≤x＜52）
B．y＝﹣ x2+50x（2≤x＜52）
C．y＝﹣x2+52x（2≤x＜52）
D．y＝﹣ x2+27x﹣52（2≤x＜52）
【答案】A
【知识点】列二次函数关系式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：y关于x的函数表达式为：y （50+2﹣x）x
x2+26x（2≤x＜52）.
故答案为：A.
【分析】饲养场的长为xm，则宽为（50+2-x）m，由矩形的面积y=矩形的长×宽可求解.
3．（2024九上·武昌月考）如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处4m，则水管的顶端B距水面的高度为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，如图所示：
则：，
设抛物线的解析式为，将代入，得：，
∴，
当时，，
∴高度为；
故答案为：D．
【分析】先建立平面直角坐标系，再设抛物线的解析式为，将点D（4，0）代入解析式求出a的值，再将x=0代入解析式求出y的值即可.
4．（2023九上·合肥月考）据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一度GDP总值约为26千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】由题意可得：y=2.6（1+x）2
故答案为：C
【分析】第三季度的GDP=第一度的GDP×（1+每个季度增长率）2，代入求解即可。
二、填空题
5．（2024九下·芦淞模拟）如图所示是某抛物线形的隧道示意图．已知抛物线的函数解式为，为增加照明度，在该抛物线上距地面高为6米的点E，F处要安装两盏灯，则这两盏灯的水平距离是 米．（可用含根号的式子表示）
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
6．（2024九下·哈尔滨模拟）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离 m．
【答案】10
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数的实际应用-抛球问题
7．（2024九下·蒸湘模拟）在2024年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度（单位：米）与飞行的水平距离（单位：米）之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为 米．
【答案】12
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
8．（2024九下·长春模拟）图①是一种神奇的鱼——射水鱼，当猎物进入视野后，它便会将头露出水面，合上鱼鳃，从嘴里射出抛物线型水柱，将猎物击落，已知水柱在离发射点水平距离为2分米处达到最大高度9分米．现有一条射水鱼在水面的点A处，如图②，昆虫与点A的水平距离为2分米，距离水面的高度为5分米，射水鱼需要向右游动 分米才能击中昆虫．
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
9．（2024九下·滨州模拟）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高 m时，水柱落点距O点．
【答案】8
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
三、解答题
10．（2024九下·太原模拟）综合与探究
如图，平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．已知，，点P是第一象限抛物线上对称轴右侧的一个动点，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的函数表达式，并直接写出点C，D的坐标；
（2）连接，求面积的最大值．
【答案】（1）抛物线的函数表达式为，点C的坐标为，点D的坐标为；
（2）面积的最大值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题
11．（2024九下·华龙模拟）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为．
（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标．
【答案】（1）
（2）
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
12．（2024九下·文山模拟）根据以下素材，探索完成任务．
【素材1】某水果店购进某种橙子，保质期为30天，每箱橙子的售价为100 元．
【素材2】由于橙子需要冷藏保存，因此成本也会逐日增加，设第x天的销售量为m，m与x之间的关系如表：
第x天
销售量 m/箱 15
【素材3】每箱橙子的成本为y元，y与x的函数关系如图所示．
（1）求每箱橙子的成本y（元）与x的函数表达式；
（2）若每天的销售利润为 W元，求W与x的函数表达式，并求出第几天时当天的销售利润最大？最大销售利润是多少元？
【答案】（1）
（2）第20天时，当天的销售利润最大，最大销售利润是600元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
13．（2023九上·越城月考）如图所示是永州八景之一的愚溪桥，桥身横跨愚溪，面临潇水，桥下冬暖夏凉，常有渔船停泊桥下避晒纳凉.已知主桥拱为抛物线型，在正常水位下测得主拱宽24m，最高点离水面8m，以水平线AB为x轴，24m的中点为原点建立坐标系.
（1）求此桥拱线所在抛物线的解析式；
（2）桥边有一浮在水面部分高3.5m，最宽处m的河鱼餐船，试探索此船能否开到桥下 说明理由.
【答案】（1）解：由题意可知、、，
则可设此桥拱线所在抛物线的解析式为，
将代入，
可得，
解得，
∴
即
（2）解：当y=3.5时，，解得
此时拱桥宽度为
由，可知船能开到桥下.
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）先设抛物线的表达式为两点式，在代入C点坐标，即可求出a，再将表达式化简为一般式即可；
（2）先根据y=3.5时，求出此时拱桥的宽度，再与船的宽度比较即可.
四、综合题
14．（2024九下·渠县期中）在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园，求矩形花园的最大面积．
【答案】最大面积为144．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
15．（2023九上·思明开学考）如图，现打算用的篱笆围成一个“日”字形菜园（含隔离栏），菜园的一面靠墙（篱笆的宽度忽略不计）
（1）菜园面积可能为吗？若可能，求边长的长，若不可能，请说明理由；
（2）因场地限制，菜园的宽度不能超过，求该菜园面积的最大值．
【答案】（1）可能，
（2）288平方米
【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
16．（2024九下·邗江模拟）鄂北公司以10元/千克的价格收购一批产品进行销售，为了得到日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：
销售价格x（元/千克） 10 15 20 25 30
日销售量y（千克） 300 225 150 75 0
（1）请你根据表中的数据确定y与x之间的函数表达式；
（2）鄂北公司应该如何确定这批产品的销售价格，才能使日销售利润W1元最大？
（3）若鄂北公司每销售1千克这种产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当20≤x≤25时，鄂北公司的日获利W2元的最大值为1215元，求a的值．
【答案】（1）y＝﹣15x+450；（2）这批产品的销售价格定为20元，才能使日销售利润最大；（3）a的值为2
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
17．（2024九下·双柏模拟）2023年“五一”假期，昆明校场路蓝花楹主题公园成为热门网红打卡地后，公园开始售卖蓝花楹主题雪糕，每根成本价为3元，经调查，每天的销售量（根）与每根的售价（元）之间的函数关系式如图所示．
（1）求与的函数关系式；
（2）设每天的总利润（元），若每根雪糕的售价为整数，则售价定为多少元时，获利最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）每根雪糕的售价定为9元时或者10元时，获利最大，最大利润是420元
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
18．（2024九下·西安模拟）如图①，是某高速公路正在修建的隧道．图②是其中一个隧道截面示意图，由矩形和抛物线的一部分构成，矩形的边，，抛物线的最高点离地面．
（1）以点为原点、所在直线为轴，建立平面直角坐标系．求抛物线的表达式；
（2）为了行驶安全，现要在隧道洞口处贴上黄黑立面标记．已知将该抛物线向上平移所扫过的区域即为贴黄黑立面标记的区域，则贴黄黑立面标记的区域的面积为 ；
（3）该隧道为单向双车道，且规定车辆必须在距离隧道边缘大于等于范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于的空隙，请利用二次函数的知识确定该隧道车辆的限制高度．
【答案】（1）
（2）
（3）米
【知识点】平移的性质；二次函数的实际应用-拱桥问题
19．（2024九下·中山模拟）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方的B处发出．球出手后的运动路径为抛物线，抛物线的最高点C到y轴的距离为6米，竖直高度比出手点B高出1米．已知米，排球场的边界点A到O点的水平距离米，球网高度米，且．
（1）当时，求排球运动路径的抛物线解析式；
（2）当时，排球能否越过球网？请说明理由；
（3）若该运动员调整起跳高度，使球在点A处落地，此时形成的抛物线记为L1，球落地后立即向右弹起，形成另一条与形状相同的抛物线，且此时排球运行的最大高度为1米，球场外有一个吉祥物玩偶MN高米．排球经过向右反弹后沿的路径运动，若在下落的过程中，正好砸中玩偶的头部点M，求玩偶所处的位置点N与点A的距离．
【答案】（1）抛物线的表达式为
（2）球能越过球网
（3）玩偶所处的位置点N与点A的距离为6米
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
20．（2024九下·石家庄模拟）如图1，在立柱上竖直安装了一个喷水装置，建立如图2所示的平面直角坐标系，一个单位长度代表长，水流从轴上的喷头喷出，，水流的路线为抛物线（，其中，均为常数）的一部分，当水流到达处时，达到最大高度，此时水流的最高点到喷头的水平距离为．
（1）求抛物线的表达式及点的坐标；
（2）定义“高差”：当抛物线上的点到喷头的水平距离在时，抛物线上的点到水平地面的距离的最大值与最小值的差叫作到之间的“高差”，记作（单位：）．
①当时，求高差的值；
②若时，总有，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）抛物线的表达式为，点的坐标为
（2）①；②
【知识点】一元二次方程的其他应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-喷水问题
21．（2020·遵义模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为 ，且 ，抛物线 图象经过 三点.
（1）求 两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点 是直线 下方的抛物线上的一个动点，作 于点 ，当 的值最大时，求此时点 的坐标及 的最大值.
【答案】（1）解：OA＝OC＝4OB＝4，
故点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）
（2）解：抛物线的表达式为： ，
即﹣4a＝﹣4，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：
（3）解：直线CA过点C，设其函数表达式为： ，
将点A坐标代入上式并解得：k＝1，
故直线CA的表达式为：y＝x﹣4，
过点P作y轴的平行线交AC于点H，
∵OA＝OC＝4，
，
∵
，
设点 ，则点H（x，x﹣4），
∵ ＜0，∴PD有最大值，当x＝2时，其最大值为 ，
此时点P（2，﹣6）.
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）OA＝OC＝4OB＝4，即可求解；（2）抛物线的表达式为： ，即可求解；（3） ，即可求解.
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