内蒙古包头市2024年中考数学试卷
一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
1．（2024·包头）计算所得结果是（ ）
A．3 B． C． D．
2．（2024·包头）若m，n互为倒数，且满足m+mn＝3，则n的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
3．（2024·包头）如图，正方形ABCD边长为2，以AB所在直线为轴，将正方形ABCD旋转一周，所得圆柱的主视图的面积为（ ）
A．8 B．4 C．8π D．4π
4．（2024·包头）如图，直线AB∥CD，点E在直线AB上，射线EF交直线CD于点G，则图中与∠AEF互补的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2024·包头）为发展学生的阅读素养，某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》4个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这四个阅读项目中随机抽取1个，则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·包头）将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ）
A．y＝（x+1）2﹣3 B．y＝（x+1）2﹣2
C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x﹣1）2﹣2
7．（2024·包头）若2m﹣1，m，4﹣m这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．m＜1 C．1＜m＜2 D．1＜m＜
8．（2024·包头）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝80°，半径OA＝3，C是上一点，连接OC，D是OC上一点，且OD＝DC，连接BD．若BD⊥OC，则的长为（ ）
A． B． C． D．π
9．（2024·包头）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是O（0，0），A（1，2），B（3，3），C（5，0），则四边形OABC的面积为（ ）
A．14 B．11 C．10 D．9
10．（2024·包头）如图，在矩形ABCD中，E，F是边BC上两点，且BE＝EF＝FC，连接DE，AF，DE与AF相交于点G，连接BG．若AB＝4，BC＝6，则sin∠GBF的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分。请将答案填在答题卡上对应的横线上。
11．（2024·包头）计算：+（﹣1）2024＝ ．
12．（2024·包头）若一个n边形的内角和是900°，则n＝ ．
13．（2024·包头）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第一、二、三象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式 ．
14．（2024·包头）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点O在四边形ABCD内部，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，连接OA，OB．若∠AOB＝140°，∠BCP＝35°，则∠ADC的度数为 ．
15．（2024·包头）若反比例函数y1＝，y2＝﹣，当1≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最大值是b，则ab＝ ．
16．（2024·包头）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝6，AC是一条对角线，E是AC上一点，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接DE．若CE＝AF，则DE的长为 ．
三、解答题：本大题共有7小题，共72分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置。
17．（2024·包头）（1）先化简，再求值：（x+1）2﹣2（x+1），其中x＝2．
（2）解方程：．
18．（2024·包头）《国家学生体质健康标准（2014年修订）》将九年级男生的立定跳远测试成绩分为四个等级：优秀（x≥240），良好（225≤x＜240），及格（185≤x＜225），不及格（x＜185），其中x表示测试成绩（单位：cm）．某校为了解本校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况，精准找出差距，进行科学合理的工作规划，整理了本校及所在区县九年级全体男生近期一次测试成绩的相关数据，信息如下：
a．本校测试成绩频数（人数）分布表：
等级 优秀 良好 及格 不及格
频数（人数） 40 70 60 30
b．本校测试成绩统计表：
平均数 中位数 优秀率 及格率
222.5 228 p 85%
c．本校所在区县测试成绩统计表：
平均数 中位数 优秀率 及格率
218.7 223 23% 91%
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）求出p的值；
（2）本校甲、乙两名同学本次测试成绩在本校排名（从高到低）分别是第100名、第101名，甲同学的测试成绩是230cm，请你计算出乙同学的测试成绩是多少？
（3）请你结合该校所在区县测试成绩，从平均数、中位数、优秀率和及格率四个方面中任选两个，对该校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况做出评价，并为该校提出一条合理化建议．
19．（2024·包头）如图，学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼AB的高度”的实践活动．教学楼周围是开阔平整的地面，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪（皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小）．
（1）请你设计测量教学楼AB的高度的方案，方案包括画出测量平面图，把应测数据标证所画的图形上（测出的距离用m，n等表示，测出的角用α，β等表示），并对设计进行说明；
（2）根据你测量的数据，计算教学楼AB的高度（用字母表示）．
20．（2024·包头）如图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y（单位：cm）随着碗的数量x（单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的y与x之间的对应数据：
x/个 1 2 3 4
y/cm 6 8.4 10.8 13.2
（1）依据小亮测量的数据，写出y与x之间的函数表达式，并说明理由；
（2）若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8cm，求此时碗的数量最多为多少个？
21．（2024·包头）如图，AB是⊙O的直径，BC，BD是⊙O的两条弦，点C与点D在AB的两侧，E是OB上一点（OE＞BE），连接OC，CE，且∠BOC＝2∠BCE．
（1）如图1，若BE＝1，CE＝，求⊙O的半径；
（2）如图2，若BD＝2OE，求证：BD∥OC．（请用两种证法解答）
22．（2024·包头）如图，在 ABCD中，∠ABC为锐角，点E在边AD上，连接BE，CE，且S△ABE＝S△DCE．
（1）如图1，若F是边BC的中点，连接EF，对角线AC分别与BE，EF相交于点G，H．
①求证：H是AC的中点；
②求AG：GH：HC；
（2）如图2，BE的延长线与CD的延长线相交于点M，连接AM，CE的延长线与AM相交于点N．试探究线段AM与线段AN之间的数量关系，并证明你的结论．
23．（2024·包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴相交于A（1，0），B两点（点A在点B左侧），顶点为M（2，d），连接AM．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若C是y轴正半轴上一点，连接AC，CM．当点C的坐标为（0，）时，求证：∠ACM＝∠BAM；
（3）如图2，连接BM，将△ABM沿x轴折叠，折叠后点M落在第四象限的点M'处，过点B的直线与线段AM'相交于点D，与y轴负半轴相交于点E．当时，3S△ABD与2S△M'BD是否相等？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】由于根号具有括号的作用，故先计算根号下的被开方数；计算被开方数的时候，先计算乘方，再计算减法；最后根据二次根式的性质化简即可.
2．【答案】B
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵m，n互为倒数，
∴mn=1，
又∵m+mn=3，
∴m+1=3，
∴m=2，
∴2n=1，
∴n=.
故答案为：B.
【分析】由互为倒数的两个数的乘积等于1可得mn=1，然后将mn=1代入已知等式可求出m的值，最后将m的值再代入mn=1可算出n的值.
3．【答案】A
【知识点】点、线、面、体及之间的联系；简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得该圆柱底面半径为2，高为2，
∴该圆柱体的主视图就是一个长为4，宽为2的矩形，
∴该圆柱的主视图的面积为4×2=8.
故答案为：A.
【分析】根据面动成体可得以AB所在直线为轴，将正方形ABCD旋转一周，所得圆柱底面半径为2，高为2，进而根据圆柱的主视图是一个矩形，且主视图反映的是几何体的宽与高，故该圆柱体的主视图就是一个长为4，宽为2的矩形，最后根据矩形的面积计算公式计算可得答案.
4．【答案】C
【知识点】邻补角；补角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠CGF，
∵∠AEF+∠BEF=180°，∠CGF+∠DGF=∠CGF+∠CGE=180°，
∴∠BEF、∠DGF、∠CGE都是∠AEF的补角，
∴∠AEF的补角有三个.
故答案为：C.
【分析】由二直线平行，同位角相等，得∠AEF=∠CGF，进而根据邻补角定义找出∠AEF与∠CGF的补角，即可得出答案.
5．【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：记《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》4个整本书阅读项目分别为A、B、C、D，根据题意画出树状图如下：
由图可知：共有16种等可能得情况数，其中甲、乙两名同学恰好抽到同一个阅读项目的情况数有4种，
所以甲、乙两位同学恰好抽到同一个阅读项目的概率为：.
故答案为：D.
【分析】此题是抽取放回类型，根据题意画出树状图，由图可知共有16种等可能得情况数，其中甲、乙两名同学恰好抽到同一个阅读项目的情况数有4种，从而根据概率公式计算可得答案.
6．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵y＝x2+2x=(x+1)2-1，
∴将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为y=(x+1)2-1-2=(x+1)2-3.
故答案为：A.
【分析】首先利用配方法将抛物线的解析式配成顶点式，然后根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”可直接得出答案.
7．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：∵若2m﹣1，m，4﹣m这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，
∴2m-1＜m＜4-m，
解得m＜1.
故答案为：B.
【分析】根据数轴上的点所表示得数，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大，列出不等式组，求解取出公共部分即可.
8．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接BC，
∵OD=DC，且BD⊥OC，
∴BD是线段OC的垂直平分线，
∴BC=OB，
又∵OB=OC，
∴OB=OC=BC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=20°，
∴.
故答案为：B.
【分析】由题意易得BD是线段OC的垂直平分线，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得BC=OB，结合同圆半径相等可由三边相等得三角形是等边三角形判断出△OBC就是等边三角形，得∠BOC=60°，进而由角的和差算出∠AOC的度数，最后根据弧长计算公式“”可算出答案.
9．【答案】D
【知识点】点的坐标；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，
∵A（1，2），B（3，3），C（5，0），
∴AE=2，OE=1，OF=3，BF=3，OC=5，
∴EF=OF-OE=2，FC=OC-OF=2，
∴S四边形OABC=S△AOE+S梯形AEFB+S△BCF=×1×2+×(2+3)×2+×3×2=1+5+3=9.
故答案为：D.
【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，根据点的坐标可求出AE=2，OE=1，OF=3，BF=3，OC=5，进而利用线段的和差可求出EF=OF-OE=2，FC=OC-OF=2，最后利用割补法，由S四边形OABC=S△AOE+S梯形AEFB+S△BCF列式计算即可.
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形；求正弦值
【解析】【解答】解：如图，过点G作GH⊥BC于点H，
∵BC=6，BE=EF=CF，
∴BE=EF=CF=2，
∴BF=CE=4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠C=90°，AB=CD=4，
∴AB=BF=4，CD=CE=4，
∴△ABF与△DCE都是等腰直角三角形，
∴∠CED=∠BFA=45°，
∴△GEF是等腰直角三角形，
又∵GH⊥EF，
∴GH=EH=FH=EF=1，
∴BH=BE+EH=3，
在Rt△BHG中，，
∴.
故答案为：A.
【分析】由题意易得BF=CE=4，结合矩形的已知可得出△ABF与△DCE都是等腰直角三角形，则∠CED=∠BFA=45°，进而推出△GEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得GH=EH=FH=EF=1，在Rt△BHG中，利用勾股定理算出BG的长，最后根据正弦函数的定义可求出∠GBF的正弦值.
11．【答案】3
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：+（﹣1）2024＝2+1=3.
故答案为：3.
【分析】先根据立方根定义开立方，同时根据有理数乘方运算法则计算乘方，进而计算有理数的加法得出答案.
12．【答案】7
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：由题意得(n-2)×180°=900°，
解得n=7.
故答案为：7.
【分析】根据n边形内角和=(n-2)×180°建立方程，求解即可.
13．【答案】y＝x+1（答案不唯一）
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：开放性命题，由题意得，符合该条件的一次函数的表达式可以为y=x+1.
故答案为：y=x+1.
【分析】根据一次函数的图形与系数的关系可得：一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限，据此写出符合题意得一次函数表达式.
14．【答案】105°
【知识点】圆内接四边形的性质；切线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
∵OA=OB，∠AOB=140°，
∴∠OBA=(180°-∠AOB)=20°，
∵PC是圆O的切线，
∴∠OCP=90°，
又∵∠BCP=35°，
∴∠OCB=∠OCP-∠BCP=55°，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=55°，
∴∠ABC=∠ABO+∠OBC=75°，
∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，
∴∠ADC=180°-∠ABC=105°.
故答案为：105°.
【分析】连接OC，由等腰三角形性质及三角形的内角和定理及求出∠OBA=20°，由切线的性质得∠OCP=90°，结合角的和差及等边对等角得∠OBC=∠OCB=55°，∠ABC=∠ABO+∠OBC=75°，进而根据圆内接四边形的对角互补可算出∠ADC的度数.
15．【答案】
【知识点】负整数指数幂；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数y1＝中自变量系数2＞0，
∴图象的两支分布在第一、三象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小，
∵当1≤x≤3时，函数y1的最大值是a，
∴当x=1时，函数最大值a=2；
∵ 反比例函数y2＝﹣中自变量系数-3＜0，
∴图象的两支分布在第二、四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大，
∵当1≤x≤3时，函数y2的最大值是b，
∴当x=3时，函数最大值b=-1；
∴ab=2-1=.
故答案为：.
【分析】反比例函数中，当k＞0时，图象的两支分布在第一、三象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，图象的两支分布在第二、四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大，据此可求出a、b的值，进而再根据负整数指数幂的性质计算可得答案.
16．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=6，∠ADC=∠ABC=60°，AC⊥BD，OA=OC=AC，
∴△ABC与△ADC都是等边三角形，
∴∠CAB=60°，AC=AB=6，
∴OC=OA=3，
∵EF⊥AB，
∴∠AFE=90°，
∴∠AEF=30°，
∴AE=2AF=2CE，
∴AC=2CE=6，
∴CE=2，
∴OE=OC-CE=1，
在Rt△AOD中，，
在Rt△DOE中，
故答案为：.
【分析】连接BD，交AC于点O，由菱形性质得AB=BC=CD=AD=6，∠ADC=∠ABC=60°，AC⊥BD，OA=OC=AC，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ABC与△ADC都是等边三角形，由等边三角形性质得∠CAB=60°，AC=AB=6，由含30°角直角三角形性质得AE=2AF=2CE，据此可算出CE的长，进而在Rt△AOD中，利用勾股定理算出OD，最后再在Rt△DOE中，利用勾股定理算出DE即可.
17．【答案】（1）解：（x+1）2﹣2（x+1）
＝x2+2x+1﹣2x﹣2
＝x2﹣1，
当x＝2时，
原式＝8﹣1＝7；
（2）解：x﹣2﹣2（x﹣4）＝x，
去括号，得x﹣2﹣2x+8＝x，
移项、合并同类项，得﹣2x＝﹣6．
化系数为1，得x＝3，
检验：当x＝3时，x﹣4≠0，
∴x＝3是原方程的根．
【知识点】解分式方程；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）将待求式子先根据完全平方公式及单项式乘以多项式法则分别去括号，再合并同类项化简，最后将x的值代入化简结果计算可得答案；
（2）方程两边同时乘以(x-4)约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况.
18．【答案】（1）解：p＝×100%＝20%；
（2）解：设乙同学的成绩为x cm，
∵中位数为228，
∴＝228，
解得x＝226，
答：乙同学的测试成绩是226cm；
（3）解：从平均数来看，该校九年级全体男生立定跳远测试高于全县平均数，从优秀率来看，该校九年级全体男生立定跳远测试低于全县的优秀率，所以要加强训练强度，努力提高优秀率．
【知识点】统计表；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】（1）用该校九年级学生立定跳远测试成绩为优秀的人数除以该校九年级学生的总人数再乘以100％即可算出p的值；
（2）将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此结合统计表所给数据可算出乙同学的测试成绩；
（3）开放性命题，答案不唯一，合理就行.
19．【答案】（1）解：如图：在地面上取C，测量BC＝m，测量∠ACB＝α，
根据tanα＝，
即可得出AB的长度；
（2）解：∵∠ABC＝90°，
∴tanα＝，
∴AB＝BC×tanα＝mtanα．
【知识点】解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【分析】（1）设计一个一条直角边为AB的直角三角形，再测量出该直角三角形另一条直角边及一个锐角的度数即可；
（2）根据锐角的三角函数即可求解.
20．【答案】（1）解：（1）由表中的数据可知，每增加一只碗，高度增加2.4cm，
∴y是x的一次函数，
设y＝kx+b，
由题意得：，
解得：，
∴y与x之间的函数表达式为y＝2.4x+3.6；
（2）解：设碗的数量有x个，
则：2.4x+3.6≤28.8，
解得：x≤10.5，
∴x的最大整数解为10，
答：碗的数量最多为10个．
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）由表中的数据可知，每增加一只碗，高度增加2.4cm，故y是x的一次函数，再结合表格所给数据，利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所得函数解析式，由y≤28.8，列出不等式，求出最大整数解即可.
21．【答案】（1）解：如图1中，过点O作OH⊥BC于点H．
∵OC＝OB，OH⊥BC，
∴∠BOC＝2∠BOH，BH=BC，
∵∠BOC＝2∠BCE，
∴∠BOH＝∠BCE，
∵∠BOH+∠OBH＝90°，
∴∠BCE+∠OBH＝90°，
∴∠CEB＝90°，
∴BC＝，
∴CH＝BH＝，
∵cos∠OBH＝cos∠BCE=，
∴，
∴OB＝3，
∴⊙O的半径为3．
（2）证明：证法一：如图2中，过点O作OK⊥BD于点K，则BD＝2BK，
∵BD＝2OE，
∴OE＝BK，
∵∠CEO＝∠OKB＝90°，OC＝OB，
∴Rt△OEC≌Rt△BKO（HL），
∴∠COE＝∠OBK，
∴OC∥BD；
证法二：如图2中，过点O作OK⊥BD于点K，则BD＝2BK，
∵BD＝2OE，
∴OE＝BK，
∵cos∠COE＝，cos∠OBK＝，OC＝OB，
∴cos∠COE＝cos∠OBK，
∴∠COE＝∠OBK，
∴OC∥BD.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；垂径定理；同角三角函数的关系；内错角相等，两直线平行；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）过点O作OH⊥BC于点H，由等腰三角形的三线合一得∠BOC＝2∠BOH，BH=BC，结合已知推出∠BOH＝∠BCE，进而根据三角形的内角和定理可推出∠CEB＝90°，在Rt△BCE中，由勾股定理算出BC的长，从而可得BH的长，再根据等角的同j角三角函数值相等可得，据此可求出OB的长，从而得出答案；
（2）证法一：如图2中，过点O作OK⊥BD于点K，由垂径定理得BD＝2BK，结合已知推出OE＝BK，从而用HL判断出Rt△OEC≌Rt△BKO，由全等三角形的对应角相等得∠COE＝∠OBK，最后根据内错角相等，两直线平行推出OC∥BD；
证法二：如图2中，过点O作OK⊥BD于点K，由垂径定理得BD＝2BK，结合已知推出OE＝BK，然后余弦函数的定义，根据等角的同名三角函数值相等推出∠COE＝∠OBK，最后根据内错角相等，两直线平行推出OC∥BD.
22．【答案】（1）解：①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴AD和BC之间是等距的，且∠EAH＝∠FCH，
∵S△ABE＝S△CDE，
∴AE＝DE＝AD，
∵F是BC中点，
∴CF＝BF＝BC，
∴CF＝AE，
在△AEH和△CFH中，
，
∴△AEH≌△CFH（AAS），
∴AH＝CH，
∴H是AC中点．
②解：∵∠EAH＝∠FCH，∠AGE＝∠CGB，
∴△AGE∽△CGB，
∴，
设AG＝2a，则CG＝4a，
∴AC＝6a，
∴AH＝CH＝3a，
∴GH＝AH﹣AG＝a，
∴AG：GH：HC＝2a：a：3a＝2：1：3．
（2）解：AM＝3AN，证明如下：
过M作MQ∥BC交CN延长线于点Q，
∵ED∥BC，
∴△MED∽△MBC，
∴，
∴EM＝BM＝BE，
∵MQ∥BC，
∴∠MQE＝∠BCE，
∵∠MEQ＝∠BEC，EM＝BE，
∴△MQE≌△BCE（AAS），
∴MQ＝BC，
∵MQ∥AD，
∴△MQN∽△AEN，
∴，
∴MN＝2AN，
∴AM＝MN+AN＝3AN．
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）①由平行四边形的对边平行且相等得AD∥BC，AD＝BC，由平行线间的距离相等及等底同高三角形面积相等推出AE＝DE＝AD，再结合中点定义可推出CF＝AE，从而用AS判断出△AEH≌△CFH，由全等三角形的对应边相等可得结论；
②首先由有两组角对应相等的两个三角形相似得△AGE∽△CGB，由相似三角形对应边成比例可得，据此可设AG＝2a，则CG＝4a，进而表示出GH、CH即可求出答案；
（2）AM＝3AN，证明如下：过M作MQ∥BC交CN延长线于点Q，由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△MED∽△MBC，由相似三角形对应边可得EM＝BM＝BE，然后用AAS判断出△MQE≌△BCE，得MQ＝BC，由平行于三角形一边得直线，截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△MQN∽△AEN，由相似三角形对应边成比例可得MN＝2AN，从而在结合线段和差可得结论.
23．【答案】（1）解：∵顶点为M（2，d），
∴﹣＝2，
∴b＝8，
∴y＝﹣2x2+8x+c，
将点A（1，0）代入y＝﹣2x2+8x+c，
∴﹣2+8+c＝0，
解得c＝﹣6，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+8x﹣6；
（2）证明：∵y＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x﹣2）2+2，
∴M（2，2），
过点M作MN⊥x轴于点N，
∵A（1，0），C（0，），
∴AC＝，AM＝，CM＝，
∵CM2＝AC2+AM2，
∴△ACM是直角三角形，且∠CAM＝90°，
∴tan∠ACM＝2，
在Rt△AMN中，tan∠MAB＝2，
∴∠ACM＝∠BAM；
（3）解：3S△ABD＝2S△M'BD，理由如下：
∵M（2，2），
∴M'（2，﹣2），
过点D作DH⊥x轴于H点，
∴OE∥DH，
当y＝0时，﹣2x2+8x﹣6＝0，
解得x＝1或x＝3，
∴B（3，0），
解得xD＝，
设直线AM'的解析式为y＝kx+m，
解得，
∴直线AM'的解析式为y＝﹣2x+2，
设B点到AM'的距离为h，
∴3S△ABD＝2S△M'BD．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；二次函数与一次函数的综合应用；解直角三角形—边角关系；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）由顶点横坐标公式可求出b的值，然后将b的值及点A的坐标代入抛物线y＝﹣2x2+bx+c可求出c的值，从而求出抛物线的解析式；
（2）首先将抛物线的解析式配成顶点式求出点M的坐标，过点M作MN⊥x轴于点N，根据两点间的距离公式算出AC、AM、CM的长，由勾股定理的逆定理判断出△ACM是直角三角形，且∠CAM＝90°，结合正切三角函数值定义，由等角的同名三角函数值相等可推出∠ACM＝∠BAM；
（3）3S△ABD＝2S△M'BD，理由如下：由关于x轴对称的点的坐标特点得M'（2，﹣2），过点D作DH⊥x轴于H点，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得OE∥DH，由平行线分线段成比例定理得，根据抛物线与x轴交点坐标特点求出点B的坐标，根据两点间距离公式表示出BH=3-xD、OH=xD，从而代入可求出点D的横坐标；利用待定系数法求出直线AM'的解析式，再将点D的横坐标代入可求出对应的函数值，从而求出点D的坐标，利用平面内两点间的距离公式算出AD、DM'，设B点到AM'的距离为h，根据三角形的面积计算公式分别表示出3S△ABD与2S△M'BD即可得出答案.
1 / 1内蒙古包头市2024年中考数学试卷
一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
1．（2024·包头）计算所得结果是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】由于根号具有括号的作用，故先计算根号下的被开方数；计算被开方数的时候，先计算乘方，再计算减法；最后根据二次根式的性质化简即可.
2．（2024·包头）若m，n互为倒数，且满足m+mn＝3，则n的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵m，n互为倒数，
∴mn=1，
又∵m+mn=3，
∴m+1=3，
∴m=2，
∴2n=1，
∴n=.
故答案为：B.
【分析】由互为倒数的两个数的乘积等于1可得mn=1，然后将mn=1代入已知等式可求出m的值，最后将m的值再代入mn=1可算出n的值.
3．（2024·包头）如图，正方形ABCD边长为2，以AB所在直线为轴，将正方形ABCD旋转一周，所得圆柱的主视图的面积为（ ）
A．8 B．4 C．8π D．4π
【答案】A
【知识点】点、线、面、体及之间的联系；简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得该圆柱底面半径为2，高为2，
∴该圆柱体的主视图就是一个长为4，宽为2的矩形，
∴该圆柱的主视图的面积为4×2=8.
故答案为：A.
【分析】根据面动成体可得以AB所在直线为轴，将正方形ABCD旋转一周，所得圆柱底面半径为2，高为2，进而根据圆柱的主视图是一个矩形，且主视图反映的是几何体的宽与高，故该圆柱体的主视图就是一个长为4，宽为2的矩形，最后根据矩形的面积计算公式计算可得答案.
4．（2024·包头）如图，直线AB∥CD，点E在直线AB上，射线EF交直线CD于点G，则图中与∠AEF互补的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】邻补角；补角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠CGF，
∵∠AEF+∠BEF=180°，∠CGF+∠DGF=∠CGF+∠CGE=180°，
∴∠BEF、∠DGF、∠CGE都是∠AEF的补角，
∴∠AEF的补角有三个.
故答案为：C.
【分析】由二直线平行，同位角相等，得∠AEF=∠CGF，进而根据邻补角定义找出∠AEF与∠CGF的补角，即可得出答案.
5．（2024·包头）为发展学生的阅读素养，某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》4个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这四个阅读项目中随机抽取1个，则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：记《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》4个整本书阅读项目分别为A、B、C、D，根据题意画出树状图如下：
由图可知：共有16种等可能得情况数，其中甲、乙两名同学恰好抽到同一个阅读项目的情况数有4种，
所以甲、乙两位同学恰好抽到同一个阅读项目的概率为：.
故答案为：D.
【分析】此题是抽取放回类型，根据题意画出树状图，由图可知共有16种等可能得情况数，其中甲、乙两名同学恰好抽到同一个阅读项目的情况数有4种，从而根据概率公式计算可得答案.
6．（2024·包头）将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ）
A．y＝（x+1）2﹣3 B．y＝（x+1）2﹣2
C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x﹣1）2﹣2
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵y＝x2+2x=(x+1)2-1，
∴将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为y=(x+1)2-1-2=(x+1)2-3.
故答案为：A.
【分析】首先利用配方法将抛物线的解析式配成顶点式，然后根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”可直接得出答案.
7．（2024·包头）若2m﹣1，m，4﹣m这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．m＜1 C．1＜m＜2 D．1＜m＜
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：∵若2m﹣1，m，4﹣m这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，
∴2m-1＜m＜4-m，
解得m＜1.
故答案为：B.
【分析】根据数轴上的点所表示得数，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大，列出不等式组，求解取出公共部分即可.
8．（2024·包头）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝80°，半径OA＝3，C是上一点，连接OC，D是OC上一点，且OD＝DC，连接BD．若BD⊥OC，则的长为（ ）
A． B． C． D．π
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接BC，
∵OD=DC，且BD⊥OC，
∴BD是线段OC的垂直平分线，
∴BC=OB，
又∵OB=OC，
∴OB=OC=BC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=20°，
∴.
故答案为：B.
【分析】由题意易得BD是线段OC的垂直平分线，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得BC=OB，结合同圆半径相等可由三边相等得三角形是等边三角形判断出△OBC就是等边三角形，得∠BOC=60°，进而由角的和差算出∠AOC的度数，最后根据弧长计算公式“”可算出答案.
9．（2024·包头）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是O（0，0），A（1，2），B（3，3），C（5，0），则四边形OABC的面积为（ ）
A．14 B．11 C．10 D．9
【答案】D
【知识点】点的坐标；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，
∵A（1，2），B（3，3），C（5，0），
∴AE=2，OE=1，OF=3，BF=3，OC=5，
∴EF=OF-OE=2，FC=OC-OF=2，
∴S四边形OABC=S△AOE+S梯形AEFB+S△BCF=×1×2+×(2+3)×2+×3×2=1+5+3=9.
故答案为：D.
【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，根据点的坐标可求出AE=2，OE=1，OF=3，BF=3，OC=5，进而利用线段的和差可求出EF=OF-OE=2，FC=OC-OF=2，最后利用割补法，由S四边形OABC=S△AOE+S梯形AEFB+S△BCF列式计算即可.
10．（2024·包头）如图，在矩形ABCD中，E，F是边BC上两点，且BE＝EF＝FC，连接DE，AF，DE与AF相交于点G，连接BG．若AB＝4，BC＝6，则sin∠GBF的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形；求正弦值
【解析】【解答】解：如图，过点G作GH⊥BC于点H，
∵BC=6，BE=EF=CF，
∴BE=EF=CF=2，
∴BF=CE=4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠C=90°，AB=CD=4，
∴AB=BF=4，CD=CE=4，
∴△ABF与△DCE都是等腰直角三角形，
∴∠CED=∠BFA=45°，
∴△GEF是等腰直角三角形，
又∵GH⊥EF，
∴GH=EH=FH=EF=1，
∴BH=BE+EH=3，
在Rt△BHG中，，
∴.
故答案为：A.
【分析】由题意易得BF=CE=4，结合矩形的已知可得出△ABF与△DCE都是等腰直角三角形，则∠CED=∠BFA=45°，进而推出△GEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得GH=EH=FH=EF=1，在Rt△BHG中，利用勾股定理算出BG的长，最后根据正弦函数的定义可求出∠GBF的正弦值.
二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分。请将答案填在答题卡上对应的横线上。
11．（2024·包头）计算：+（﹣1）2024＝ ．
【答案】3
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：+（﹣1）2024＝2+1=3.
故答案为：3.
【分析】先根据立方根定义开立方，同时根据有理数乘方运算法则计算乘方，进而计算有理数的加法得出答案.
12．（2024·包头）若一个n边形的内角和是900°，则n＝ ．
【答案】7
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：由题意得(n-2)×180°=900°，
解得n=7.
故答案为：7.
【分析】根据n边形内角和=(n-2)×180°建立方程，求解即可.
13．（2024·包头）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第一、二、三象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式 ．
【答案】y＝x+1（答案不唯一）
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：开放性命题，由题意得，符合该条件的一次函数的表达式可以为y=x+1.
故答案为：y=x+1.
【分析】根据一次函数的图形与系数的关系可得：一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限，据此写出符合题意得一次函数表达式.
14．（2024·包头）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点O在四边形ABCD内部，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，连接OA，OB．若∠AOB＝140°，∠BCP＝35°，则∠ADC的度数为 ．
【答案】105°
【知识点】圆内接四边形的性质；切线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
∵OA=OB，∠AOB=140°，
∴∠OBA=(180°-∠AOB)=20°，
∵PC是圆O的切线，
∴∠OCP=90°，
又∵∠BCP=35°，
∴∠OCB=∠OCP-∠BCP=55°，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=55°，
∴∠ABC=∠ABO+∠OBC=75°，
∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，
∴∠ADC=180°-∠ABC=105°.
故答案为：105°.
【分析】连接OC，由等腰三角形性质及三角形的内角和定理及求出∠OBA=20°，由切线的性质得∠OCP=90°，结合角的和差及等边对等角得∠OBC=∠OCB=55°，∠ABC=∠ABO+∠OBC=75°，进而根据圆内接四边形的对角互补可算出∠ADC的度数.
15．（2024·包头）若反比例函数y1＝，y2＝﹣，当1≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最大值是b，则ab＝ ．
【答案】
【知识点】负整数指数幂；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数y1＝中自变量系数2＞0，
∴图象的两支分布在第一、三象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小，
∵当1≤x≤3时，函数y1的最大值是a，
∴当x=1时，函数最大值a=2；
∵ 反比例函数y2＝﹣中自变量系数-3＜0，
∴图象的两支分布在第二、四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大，
∵当1≤x≤3时，函数y2的最大值是b，
∴当x=3时，函数最大值b=-1；
∴ab=2-1=.
故答案为：.
【分析】反比例函数中，当k＞0时，图象的两支分布在第一、三象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，图象的两支分布在第二、四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大，据此可求出a、b的值，进而再根据负整数指数幂的性质计算可得答案.
16．（2024·包头）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝6，AC是一条对角线，E是AC上一点，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接DE．若CE＝AF，则DE的长为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=6，∠ADC=∠ABC=60°，AC⊥BD，OA=OC=AC，
∴△ABC与△ADC都是等边三角形，
∴∠CAB=60°，AC=AB=6，
∴OC=OA=3，
∵EF⊥AB，
∴∠AFE=90°，
∴∠AEF=30°，
∴AE=2AF=2CE，
∴AC=2CE=6，
∴CE=2，
∴OE=OC-CE=1，
在Rt△AOD中，，
在Rt△DOE中，
故答案为：.
【分析】连接BD，交AC于点O，由菱形性质得AB=BC=CD=AD=6，∠ADC=∠ABC=60°，AC⊥BD，OA=OC=AC，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ABC与△ADC都是等边三角形，由等边三角形性质得∠CAB=60°，AC=AB=6，由含30°角直角三角形性质得AE=2AF=2CE，据此可算出CE的长，进而在Rt△AOD中，利用勾股定理算出OD，最后再在Rt△DOE中，利用勾股定理算出DE即可.
三、解答题：本大题共有7小题，共72分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置。
17．（2024·包头）（1）先化简，再求值：（x+1）2﹣2（x+1），其中x＝2．
（2）解方程：．
【答案】（1）解：（x+1）2﹣2（x+1）
＝x2+2x+1﹣2x﹣2
＝x2﹣1，
当x＝2时，
原式＝8﹣1＝7；
（2）解：x﹣2﹣2（x﹣4）＝x，
去括号，得x﹣2﹣2x+8＝x，
移项、合并同类项，得﹣2x＝﹣6．
化系数为1，得x＝3，
检验：当x＝3时，x﹣4≠0，
∴x＝3是原方程的根．
【知识点】解分式方程；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）将待求式子先根据完全平方公式及单项式乘以多项式法则分别去括号，再合并同类项化简，最后将x的值代入化简结果计算可得答案；
（2）方程两边同时乘以(x-4)约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况.
18．（2024·包头）《国家学生体质健康标准（2014年修订）》将九年级男生的立定跳远测试成绩分为四个等级：优秀（x≥240），良好（225≤x＜240），及格（185≤x＜225），不及格（x＜185），其中x表示测试成绩（单位：cm）．某校为了解本校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况，精准找出差距，进行科学合理的工作规划，整理了本校及所在区县九年级全体男生近期一次测试成绩的相关数据，信息如下：
a．本校测试成绩频数（人数）分布表：
等级 优秀 良好 及格 不及格
频数（人数） 40 70 60 30
b．本校测试成绩统计表：
平均数 中位数 优秀率 及格率
222.5 228 p 85%
c．本校所在区县测试成绩统计表：
平均数 中位数 优秀率 及格率
218.7 223 23% 91%
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）求出p的值；
（2）本校甲、乙两名同学本次测试成绩在本校排名（从高到低）分别是第100名、第101名，甲同学的测试成绩是230cm，请你计算出乙同学的测试成绩是多少？
（3）请你结合该校所在区县测试成绩，从平均数、中位数、优秀率和及格率四个方面中任选两个，对该校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况做出评价，并为该校提出一条合理化建议．
【答案】（1）解：p＝×100%＝20%；
（2）解：设乙同学的成绩为x cm，
∵中位数为228，
∴＝228，
解得x＝226，
答：乙同学的测试成绩是226cm；
（3）解：从平均数来看，该校九年级全体男生立定跳远测试高于全县平均数，从优秀率来看，该校九年级全体男生立定跳远测试低于全县的优秀率，所以要加强训练强度，努力提高优秀率．
【知识点】统计表；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】（1）用该校九年级学生立定跳远测试成绩为优秀的人数除以该校九年级学生的总人数再乘以100％即可算出p的值；
（2）将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此结合统计表所给数据可算出乙同学的测试成绩；
（3）开放性命题，答案不唯一，合理就行.
19．（2024·包头）如图，学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼AB的高度”的实践活动．教学楼周围是开阔平整的地面，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪（皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小）．
（1）请你设计测量教学楼AB的高度的方案，方案包括画出测量平面图，把应测数据标证所画的图形上（测出的距离用m，n等表示，测出的角用α，β等表示），并对设计进行说明；
（2）根据你测量的数据，计算教学楼AB的高度（用字母表示）．
【答案】（1）解：如图：在地面上取C，测量BC＝m，测量∠ACB＝α，
根据tanα＝，
即可得出AB的长度；
（2）解：∵∠ABC＝90°，
∴tanα＝，
∴AB＝BC×tanα＝mtanα．
【知识点】解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【分析】（1）设计一个一条直角边为AB的直角三角形，再测量出该直角三角形另一条直角边及一个锐角的度数即可；
（2）根据锐角的三角函数即可求解.
20．（2024·包头）如图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y（单位：cm）随着碗的数量x（单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的y与x之间的对应数据：
x/个 1 2 3 4
y/cm 6 8.4 10.8 13.2
（1）依据小亮测量的数据，写出y与x之间的函数表达式，并说明理由；
（2）若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8cm，求此时碗的数量最多为多少个？
【答案】（1）解：（1）由表中的数据可知，每增加一只碗，高度增加2.4cm，
∴y是x的一次函数，
设y＝kx+b，
由题意得：，
解得：，
∴y与x之间的函数表达式为y＝2.4x+3.6；
（2）解：设碗的数量有x个，
则：2.4x+3.6≤28.8，
解得：x≤10.5，
∴x的最大整数解为10，
答：碗的数量最多为10个．
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）由表中的数据可知，每增加一只碗，高度增加2.4cm，故y是x的一次函数，再结合表格所给数据，利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所得函数解析式，由y≤28.8，列出不等式，求出最大整数解即可.
21．（2024·包头）如图，AB是⊙O的直径，BC，BD是⊙O的两条弦，点C与点D在AB的两侧，E是OB上一点（OE＞BE），连接OC，CE，且∠BOC＝2∠BCE．
（1）如图1，若BE＝1，CE＝，求⊙O的半径；
（2）如图2，若BD＝2OE，求证：BD∥OC．（请用两种证法解答）
【答案】（1）解：如图1中，过点O作OH⊥BC于点H．
∵OC＝OB，OH⊥BC，
∴∠BOC＝2∠BOH，BH=BC，
∵∠BOC＝2∠BCE，
∴∠BOH＝∠BCE，
∵∠BOH+∠OBH＝90°，
∴∠BCE+∠OBH＝90°，
∴∠CEB＝90°，
∴BC＝，
∴CH＝BH＝，
∵cos∠OBH＝cos∠BCE=，
∴，
∴OB＝3，
∴⊙O的半径为3．
（2）证明：证法一：如图2中，过点O作OK⊥BD于点K，则BD＝2BK，
∵BD＝2OE，
∴OE＝BK，
∵∠CEO＝∠OKB＝90°，OC＝OB，
∴Rt△OEC≌Rt△BKO（HL），
∴∠COE＝∠OBK，
∴OC∥BD；
证法二：如图2中，过点O作OK⊥BD于点K，则BD＝2BK，
∵BD＝2OE，
∴OE＝BK，
∵cos∠COE＝，cos∠OBK＝，OC＝OB，
∴cos∠COE＝cos∠OBK，
∴∠COE＝∠OBK，
∴OC∥BD.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；垂径定理；同角三角函数的关系；内错角相等，两直线平行；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）过点O作OH⊥BC于点H，由等腰三角形的三线合一得∠BOC＝2∠BOH，BH=BC，结合已知推出∠BOH＝∠BCE，进而根据三角形的内角和定理可推出∠CEB＝90°，在Rt△BCE中，由勾股定理算出BC的长，从而可得BH的长，再根据等角的同j角三角函数值相等可得，据此可求出OB的长，从而得出答案；
（2）证法一：如图2中，过点O作OK⊥BD于点K，由垂径定理得BD＝2BK，结合已知推出OE＝BK，从而用HL判断出Rt△OEC≌Rt△BKO，由全等三角形的对应角相等得∠COE＝∠OBK，最后根据内错角相等，两直线平行推出OC∥BD；
证法二：如图2中，过点O作OK⊥BD于点K，由垂径定理得BD＝2BK，结合已知推出OE＝BK，然后余弦函数的定义，根据等角的同名三角函数值相等推出∠COE＝∠OBK，最后根据内错角相等，两直线平行推出OC∥BD.
22．（2024·包头）如图，在 ABCD中，∠ABC为锐角，点E在边AD上，连接BE，CE，且S△ABE＝S△DCE．
（1）如图1，若F是边BC的中点，连接EF，对角线AC分别与BE，EF相交于点G，H．
①求证：H是AC的中点；
②求AG：GH：HC；
（2）如图2，BE的延长线与CD的延长线相交于点M，连接AM，CE的延长线与AM相交于点N．试探究线段AM与线段AN之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）解：①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴AD和BC之间是等距的，且∠EAH＝∠FCH，
∵S△ABE＝S△CDE，
∴AE＝DE＝AD，
∵F是BC中点，
∴CF＝BF＝BC，
∴CF＝AE，
在△AEH和△CFH中，
，
∴△AEH≌△CFH（AAS），
∴AH＝CH，
∴H是AC中点．
②解：∵∠EAH＝∠FCH，∠AGE＝∠CGB，
∴△AGE∽△CGB，
∴，
设AG＝2a，则CG＝4a，
∴AC＝6a，
∴AH＝CH＝3a，
∴GH＝AH﹣AG＝a，
∴AG：GH：HC＝2a：a：3a＝2：1：3．
（2）解：AM＝3AN，证明如下：
过M作MQ∥BC交CN延长线于点Q，
∵ED∥BC，
∴△MED∽△MBC，
∴，
∴EM＝BM＝BE，
∵MQ∥BC，
∴∠MQE＝∠BCE，
∵∠MEQ＝∠BEC，EM＝BE，
∴△MQE≌△BCE（AAS），
∴MQ＝BC，
∵MQ∥AD，
∴△MQN∽△AEN，
∴，
∴MN＝2AN，
∴AM＝MN+AN＝3AN．
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）①由平行四边形的对边平行且相等得AD∥BC，AD＝BC，由平行线间的距离相等及等底同高三角形面积相等推出AE＝DE＝AD，再结合中点定义可推出CF＝AE，从而用AS判断出△AEH≌△CFH，由全等三角形的对应边相等可得结论；
②首先由有两组角对应相等的两个三角形相似得△AGE∽△CGB，由相似三角形对应边成比例可得，据此可设AG＝2a，则CG＝4a，进而表示出GH、CH即可求出答案；
（2）AM＝3AN，证明如下：过M作MQ∥BC交CN延长线于点Q，由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△MED∽△MBC，由相似三角形对应边可得EM＝BM＝BE，然后用AAS判断出△MQE≌△BCE，得MQ＝BC，由平行于三角形一边得直线，截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△MQN∽△AEN，由相似三角形对应边成比例可得MN＝2AN，从而在结合线段和差可得结论.
23．（2024·包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴相交于A（1，0），B两点（点A在点B左侧），顶点为M（2，d），连接AM．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若C是y轴正半轴上一点，连接AC，CM．当点C的坐标为（0，）时，求证：∠ACM＝∠BAM；
（3）如图2，连接BM，将△ABM沿x轴折叠，折叠后点M落在第四象限的点M'处，过点B的直线与线段AM'相交于点D，与y轴负半轴相交于点E．当时，3S△ABD与2S△M'BD是否相等？请说明理由．
【答案】（1）解：∵顶点为M（2，d），
∴﹣＝2，
∴b＝8，
∴y＝﹣2x2+8x+c，
将点A（1，0）代入y＝﹣2x2+8x+c，
∴﹣2+8+c＝0，
解得c＝﹣6，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+8x﹣6；
（2）证明：∵y＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x﹣2）2+2，
∴M（2，2），
过点M作MN⊥x轴于点N，
∵A（1，0），C（0，），
∴AC＝，AM＝，CM＝，
∵CM2＝AC2+AM2，
∴△ACM是直角三角形，且∠CAM＝90°，
∴tan∠ACM＝2，
在Rt△AMN中，tan∠MAB＝2，
∴∠ACM＝∠BAM；
（3）解：3S△ABD＝2S△M'BD，理由如下：
∵M（2，2），
∴M'（2，﹣2），
过点D作DH⊥x轴于H点，
∴OE∥DH，
当y＝0时，﹣2x2+8x﹣6＝0，
解得x＝1或x＝3，
∴B（3，0），
解得xD＝，
设直线AM'的解析式为y＝kx+m，
解得，
∴直线AM'的解析式为y＝﹣2x+2，
设B点到AM'的距离为h，
∴3S△ABD＝2S△M'BD．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；二次函数与一次函数的综合应用；解直角三角形—边角关系；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）由顶点横坐标公式可求出b的值，然后将b的值及点A的坐标代入抛物线y＝﹣2x2+bx+c可求出c的值，从而求出抛物线的解析式；
（2）首先将抛物线的解析式配成顶点式求出点M的坐标，过点M作MN⊥x轴于点N，根据两点间的距离公式算出AC、AM、CM的长，由勾股定理的逆定理判断出△ACM是直角三角形，且∠CAM＝90°，结合正切三角函数值定义，由等角的同名三角函数值相等可推出∠ACM＝∠BAM；
（3）3S△ABD＝2S△M'BD，理由如下：由关于x轴对称的点的坐标特点得M'（2，﹣2），过点D作DH⊥x轴于H点，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得OE∥DH，由平行线分线段成比例定理得，根据抛物线与x轴交点坐标特点求出点B的坐标，根据两点间距离公式表示出BH=3-xD、OH=xD，从而代入可求出点D的横坐标；利用待定系数法求出直线AM'的解析式，再将点D的横坐标代入可求出对应的函数值，从而求出点D的坐标，利用平面内两点间的距离公式算出AD、DM'，设B点到AM'的距离为h，根据三角形的面积计算公式分别表示出3S△ABD与2S△M'BD即可得出答案.
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