吉林省2024年中考数学试卷
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2024·吉林）若（﹣3）×□的运算结果为正数，则□内的数字可以为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
【答案】D
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：A、-3×2=-6＜0，故此选项错误，不符合题意；
B、-3×1=-3＜0，故此选项错误，不符合题意；
C、-3×0=0，故此选项错误，不符合题意；
D、-3×(-1)=3＞0，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据有理数的乘法法则“不为零的两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数同零相乘都等于零”可判断得出答案.
2．（2024·吉林）长白山天池系由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如镜，群峰倒映，风景秀丽，总蓄水量约达2040000000m3．数据2040000000用科学记数法表示为（ ）
A．2.04×1010 B．2.04×109 C．20.4×108 D．0.204×1010
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：2040000000用科学记数法表示为：2.04×109.
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
3．（2024·吉林）葫芦在我国古代被看作吉祥之物．如图是一个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同
B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同
D．主视图、左视图与俯视图都相同
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：葫芦的俯视图是四个同心圆，且带圆心，从外到内第三个圆的弧线画成虚线，左视图与主视图都是下面一个较大的圆，中间一个较小的圆，上面一个小矩形，最顶端是一条线段，故主视图与左视图相同，俯视图与左视图及主视图不相同.
故答案为：A.
【分析】主视图就是从正面看得到的正投影，左视图就是从左面看得到的正投影，俯视图就是从上面看得到的正投影，能看见的轮廓线都要画成实线，看不见但又存在的轮廓线画成虚线，据此结合葫芦的形状即可判断得出答案.
4．（2024·吉林）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．（x﹣2）2＝﹣1 B．（x﹣2）2＝0
C．（x﹣2）2＝1 D．（x﹣2）2＝2
【答案】B
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A、∵(x-2)2=-1＜0，∴该方程无实数根，此选项不符合题意；
B、∵(x-2)2=0，∴x-2=0，解得x1=x2=2，故该方程有两个相等的实数根，此选项符合题意；
C、∵(x-2)2=1，∴x-2=±1，解得x1=3，x2=1，故该方程有两个不相等的实数根，此选项不符合题意；
D、∵(x-2)2=2，∴x-2=±，解得x1=，x2=，故该方程有两个不相等的实数根，此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据偶数次幂的非负性可判断A选项；利用直接开平方法求出B、C、D三个方程的根，即可判断得出答案.
5．（2024·吉林）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（0，2）．以OA，OC为边作矩形OABC．若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA'B'C'，则点B'的坐标为（ ）
A．（﹣4，﹣2） B．（﹣4，2）
C．（2，4） D．（4，2）
【答案】C
【知识点】矩形的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵A（-4，0），C（0，2），
∴OA=4，OC=2，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC=OA=4，
∵将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA'B'C'，
∴OC'=OC=2，B'C'=BC=4，
∴点B'（2，4）.
故答案为：C.
【分析】根据点A、C的坐标可得OA=4，OC=2，根据矩形的性质得BC=OA=4，由旋转的性质得OC'=OC=2，B'C'=BC=4，从而即可得出点B'的坐标.
6．（2024·吉林）如图，四边形ABCD内接于⊙O．过点B作BE∥AD，交CD于点E．若∠BEC＝50°，则∠ABC的度数是（ ）
A．50° B．100° C．130° D．150°
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵BE∥AD，
∴∠D=∠BEC=50°，
∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠ABC=180°-∠D=130°.
故答案为：C.
【分析】由二直线平行，同位角相等，得∠D=∠BEC=50°，进而根据圆内接四边形的对角互补可求出∠ABC的度数.
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（2024·吉林）当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为 ．
【答案】0
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵，且1＞0，
∴x+1＞0，
解得x＞-1，
∴满足条件的x的值可以为0（答案不唯一）.
故答案为：0.
【分析】开放性命题，答案不唯一；由分式的值为正数可得分子、分母同号，再结合分子为正数，可列出关于字母x的不等式，求解得出x的取值范围，进而在取值范围内随便取值即可.
8．（2024·吉林）因式分解：a2﹣3a=
【答案】a（a﹣3）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2﹣3a=a（a﹣3）．
故答案为：a（a﹣3）．
【分析】直接把公因式a提出来即可．本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是a是解题的关键．
9．（2024·吉林）不等式组的解集是 ．
【答案】2＜x＜3
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
由①得x＞2，
由②得x＜3，
∴该不等式组的解集为2＜x＜3.
故答案为：2＜x＜3.
【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可.
10．（2024·吉林）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是 ．
【答案】两点之间，线段最短
【知识点】两点之间线段最短
【解析】【解答】解：从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短.
故答案为：两点之间，线段最短.
【分析】根据“两点之间，线段最短”即可得出结论.
11．（2024·吉林）正六边形的一个内角的度数是 °．
【答案】120
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设正六边形一个内角的度数为x°，
由题意得(6-2)×180°=6x°，
解得x=120.
故答案为：120.
【分析】根据多边形内角和公式可得该六边形的内角和为：(6-2)×180°，由于正多边形每一个内角度数相等，故该正六边形的内角和可表示为：6x°，根据用两个不同的式子表示同一个量可得这两个式子相等，从而建立出方程，求解即可.
12．（2024·吉林）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，点F是OD上一点，连接EF．若∠FEO＝45°，则的值为 ．
【答案】
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠DAC=45°，
又∠FEO=45°，
∴∠FEO=∠DAC=45°，
∴EF∥AD，
∴△OEF∽△OAD，
∴，
∵点E是OA的中点，AD=BC，
∴.
故答案为：.
【分析】由正方形的性质得AD=BC，∠DAC=45°，然后由同位角相等两直线平行判断出EF∥AD，再根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△OEF∽△OAD，由相似三角形对应边成比例可得，最后根据中点定义即可求出答案.
13．（2024·吉林）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB'，AB⊥B'C于点C，BC＝0.5尺，B'C＝2尺．设AC的长度为x尺，可列方程为 ．
【答案】x2+22＝（x+0.5）2
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设AC的长度为x尺，则AB'=AB=x+0.5(尺)，
在Rt△ACB'中，∵AC2+B'C2=AB'2，
即x2+22＝（x+0.5）2.
故答案为：x2+22＝（x+0.5）2.
【分析】设AC的长度为x尺，则AB'=AB=x+0.5(尺)，在Rt△ACB'中，利用勾股定理即可列出方程.
14．（2024·吉林）某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地．小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由⊙O和扇形OBC组成，OB，OC分别与⊙O交于点A，D．OA＝1m，OB＝10m，∠AOD＝40°，则阴影部分的面积为 m2（结果保留π）．
【答案】11π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：S阴影=S扇形BOC-S扇形AOD =40π×102360-40π×12360=100π9-π9=99π9=11π
故答案为：11π.
【分析】根据扇形面积计算公式“”及S阴影=S扇形BOC-S扇形AOD列式计算即可.
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（2024·吉林）先化简，再求值：（a+1）（a﹣1）+a2+1，其中．
【答案】解：（a+1）（a﹣1）+a2+1
＝a2﹣1+a2+1
＝2a2
∵
∴原式＝2×（ ）2＝6．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】将待求式子，先根据平方差公式去括号，再合并同类项化简，最后将a的值代入化简结果计算即可.
16．（2024·吉林）吉林省以“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”为指引，不断加大冰雪旅游的宣传力度，推出各种优惠活动，“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道舰丽的风景线．某滑雪场为吸引游客，每天抽取一定数量的幸运游客，每名幸运游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机抽取一个免费游玩．若三个项目被抽中的可能性相等，用画树状图或列表的方法，求幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率．
【答案】解：把“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果有3种，
∴幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】此题是抽取放回类型，把“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目分别记为A、B、C，画出树状图展示出所有等可能的情况数，由图可知共有9种等可能的结果，其中幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果有3种，从而根据概率公式计算可得答案.
17．（2024·吉林）如图，在 ABCD中，点O是AB的中点，连接CO并延长，交DA的延长线于点E．求证：AE＝BC．
【答案】证明：∵点O是AB的中点，
∴AO＝OB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠E＝∠BCO，
又∠AOE＝∠BOC，
∴△AOE≌△BOC（AAS），
∴AE＝BC．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】由中点定义得AO=OB，由平行四边形的性质得AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠E＝∠BCO，从而由AAS判断出△AOE≌△BOC，最后根据全等三角形的对应边相等可得AE=BC.
18．（2024·吉林）钢琴素有“乐器之王”的美称．键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．
【答案】解：设白色琴键的个数为x个，黑色琴键的个数为y个，
由题意得：，
解得：，
答：白色琴键的个数为52个，黑色琴键的个数为36个．
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】设白色琴键的个数为x个，黑色琴键的个数为y个，根据“ 键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个 ”列出方程组，求解即可.
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（2024·吉林）图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，E，O均在格点上．图①中已画出四边形ABCD，图②中已画出以OE为半径的⊙O．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
（1）在图①中，画出四边形ABCD的一条对称轴．
（2）在图②中，画出经过点E的⊙O的切线．
【答案】（1）解：如图①所示，直线GH与直线EF即为所求；
（2）解：如图②所示，直线AB即为所求．
【知识点】切线的判定；作图-作给定图形的对称轴
【解析】【分析】（1）把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此并结合网格纸的特点作图即可；
（2）利用网格纸的特点及切线的性质“圆的切线垂直于半径的外端点”进行作图即可.
20．（2024·吉林）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．
（2）当电阻R为3Ω时，求此时的电流I．
【答案】（1）解：设I＝，
由题意得：K＝RI＝36，
∴这个反比例函数的解析式为I＝；
（2）解：电阻R为3Ω时，I＝＝12A．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据图象给出的点的坐标，利用待定系数法可求出电流I关于电阻R的反比例函数关系式；
（2）将R=3代入（1）所求的函数解析式算出对应的函数值即可.
21．（2024·吉林）中华人民共和国2019﹣2023年全国居民人均可支配收入及其增长速度情况如图所示．
（以上数据引自《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》）
根据以上信息回答下列问题：
（1）2019﹣2023年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多多少元？
（2）直接写出2019﹣2023年全国居民人均可支配收入的中位数．
（3）下列判断合理的是 （填序号）．
①2019﹣2023年全国居民人均可支配收入呈逐年上升趋势．
②2019﹣2023年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年，因此这5年中，2020年全国居民人均可支配收入最低．
【答案】（1）解：39218﹣30733＝8485（元），
答：2019﹣2023年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低多8485元；
（2）解：2019﹣2023年全国居民人均可支配收入的中位数是35128元；
（3）①
【知识点】条形统计图；折线统计图；数据分析；中位数
【解析】【解答】解：（2）把2019﹣2023年全国居民人均可支配收入从小到大排列，排在中间的数是2021年人均可支配收入，
所以2019﹣2023年全国居民人均可支配收入的中位数是35128元；
（3）由折线统计图可知，2019﹣2023年全国居民人均可支配收入呈逐年上升趋势，故①说法正确；
因为2019﹣2023年全国居民人均可支配收入呈逐年上升趋势，所以这5年中，2019年全国居民人均可支配收入最低，故②说法错误．
故答案为：①．
【分析】（1）由统计图可得2023年全国居民人均可支配收入最高为39218元，2019年全国居民人均可支配收入最低为30733元，然后求差即可得出答案；
（2）中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此可直接得出答案；
（3）根据统计图提供的信息逐个判断即可.
22．（2024·吉林）图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A处探测到吉塔，此时飞行高度AB＝873m，如图②．从直升飞机上看塔尖C的俯角∠EAC＝37°，看塔底D的俯角∠EAD＝45°，求吉塔的高度CD（结果精确到0.1m）．
（参考数据：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75）
【答案】解：过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵AB⊥BD，CF⊥AB，DC⊥BD，
∴∠CDB＝∠B＝∠CFB＝90°．
∴四边形CDBF是矩形．
∴BF＝CD，CF＝BD＝873m．
∵CF∥BD∥AE，
∴∠EAC＝∠ACF＝37°，∠EAD＝∠ADB＝45°．
在Rt△ACF中，
∵tan∠ACF＝，
∴AF＝tan∠ACF CF
＝tan37°×873
≈0.75×873
≈654.75（m）．
在Rt△DBA中，
∵tan∠ADB＝，
∴AB＝tan∠ADB BD
＝tan45°×873
＝1×873
＝873（m）．
∴CD＝FB＝AB﹣AF
＝873﹣654.75
＝218.25
≈218.3（m）．
答：吉塔的高度CD约为218.3m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点C作CF⊥AB，垂足为F，首先判断出四边形CDBF是矩形，得BF＝CD，CF＝BD＝873m，由二直线平行，内错角相等得∠EAC＝∠ACF＝37°，∠EAD＝∠ADB＝45°，在Rt△ACF中，由∠ACF得正切函数可求出AF的长，在Rt△DBA中，由∠ADB得正切函数可求出AB的长，最后根据CD＝FB＝AB﹣AF可算出答案.
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（2024·吉林）综合与实践
某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究．第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识；第三小组负责汇报和交流．下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．
【背景调查】
图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．
【收集数据】
小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为xmm，凳面的宽度为ymm，记录如下：
以对称轴为基准向两边各取相同的长度x/mm 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7
凳面的宽度y/mm 115.5 132 148.5 165 181.5
【分析数据】
如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．
【建立模型】
请你帮助小组解决下列问题：
（1）观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．
（2）当凳面宽度为213mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？
【答案】（1）解：它们在同一条直线上，
设y＝kx+b，
则：，
解得：，
所以这条直线所对应的函数解析式为y＝5x+33；
（2）解：当y＝213mm时，213＝5x+33，
解得：x＝36，
所以当凳面宽度为213mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是36mm．
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求出y关于x的函数解析式；
（2）将y=213代入（1）所求的函数解析式算出对应的自变量x的值即可.
24．（2024·吉林）小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：
【探究论证】
（1）如图①，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC，垂足为点D．若CD＝2，BD＝1，则S△ABC＝ ．
（2）如图②，在菱形A'B'C'D'中，A'C'＝4，B'D'＝2，则S菱形A'B'C'D'＝ ．
（3）如图③，在四边形EFGH中，EG⊥FH，垂足为点O．
若EG＝5，FH＝3，则S四边形EFGH= ▲ ；
若EG＝a，FH＝b，猜想S四边形EFGH与a，b的关系，并证明你的猜想．
（4）【理解运用】
如图④，在△MNK中，MN＝3，KN＝4，MK＝5，点P为边MN上一点．小明利用直尺和圆规分四步作图；
（ⅰ）以点K为圆心，适当长为半径画弧，分别交边KN，KM于点R，I；
（ⅱ）以点P为圆心，KR长为半径画弧，交线段PM于点I'；
（ⅲ）以点I'为圆心，IR长为半径画弧，交前一条弧于点R'，点R'，K在MN同侧；
（ⅳ）过点P画射线PR'，在射线PR'上截取PQ＝KN，连接KP，KQ，MQ．
请你直接写出S四边形MPKQ的值．
【答案】（1）2
（2）4
（3）解：S四边形EFGH=；
猜想：S四边形EFGH＝，
证明：∴S△EFG＝EG FO，S△EHG＝EG HO，
∴S四边形EFGH＝S△EFG+S△EHG＝EG FO+EG HO＝EG FH＝；
（4）解：S四边形MPKQ＝10．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；菱形的性质；尺规作图-作一个角等于已知角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：（1）解：∵在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，CD＝2，
∴AC＝2CD＝4，
∴S△ABC＝AC BD＝2．
故答案为：2；
（2）∵在菱形S菱形A'B'C'D'中，A'C'＝4，B'D'＝2，
∴S菱形A'B'C'D'＝A'C' B'D'＝4，
故答案为：4；
（3）∵EG⊥FH，∴S△EFG＝EG FO，S△EHG＝EG HO，
∴S四边形EFGH＝S△EFG+S△EHG＝EG FO+EG HO＝EG FH＝，
故答案为：；
（4）根据尺规作图可知：∠QPM＝∠MKN，
∵在△MNK中，MN＝3，KN＝4，MK＝5，
∴MK2＝MN2+KN2，
∴△MNK是直角三角形，且∠MNK＝90°，
∴∠NMK+∠MKN＝90°，
∵∠QPM＝∠MKN，
∴∠NMK+∠QPM＝90°，
∴MK⊥PQ，
∵PQ＝KN＝4，MK＝5，
∴根据（3）中结论得S四边形MPKQ＝MK PQ＝10．
【分析】（1）由等腰三角形的三线合一可得AC＝2CD＝4，进而根据三角形面积计算公式列式计算即可；
（2）根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半列式计算即可；
（3）根据S四边形EFGH＝S△EFG+S△EHG，并结合三角形面积计算公式列式计算即可解决此题；
（4）根据尺规作图可知：∠QPM＝∠MKN，首先用勾股定理的逆定理判断出△MNK是直角三角形，且∠MNK＝90°，然后根据直角三角形两锐角互余及等量代换推出∠NMK+∠QPM＝90°，进而由三角形的内角和定理推出MK⊥PQ，从而根据（3）得结论列式计算可得答案.
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（2024·吉林）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3cm，AD是△ABC的角平分线．动点P从点A出发，以的速度沿折线AD﹣DB向终点B运动．过点P作PQ∥AB，交AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQE，且点C，E在PQ同侧．设点P的运动时间为t（s）（t＞0），△PQE与△ABC重合部分图形的面积为S（cm2）．
（1）当点P在线段AD上运动时，判断△APQ的形状（不必证明），并直接写出AQ的长（用含t的代数式表示）．
（2）当点E与点C重合时，求t的值．
（3）求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围．
【答案】（1）△APQ是等腰三角形，AQ＝t；
（2）解：如图所示，E、C重合时图形．
∵△PQE是等边三角形，
∴QE＝QP，
由（1）得QA＝QP，
∴AE＝2AQ，即2t＝3，
∴t＝；
（3）解：①当点P在AD上，点E在AC上时，重合部分是等边三角形PQE，如图作PG⊥QE于点G，
∵∠PAQ＝30°，
∴PG＝AP＝t，
∵△PQE是等边三角形，
∴QE＝PQ＝AQ＝t，
∴S＝QE PG＝．
由（2）知当点E、C重合时，t＝，
∴S＝（0＜t≤）；
②当点P在AD上，点E在AC延长线上时，重合部分是四边形PQCF．
在Rt△FCE中，CE＝2t﹣3，∠E＝60°，
∴CF＝CE tan60°＝（2t﹣3），
∴S△PCE＝（2t﹣3） （2t﹣3）＝（2t﹣3）2，
∴S＝S△PAC﹣S△PCE＝﹣（2t﹣3）2＝﹣t2+6t﹣（＜t＜2）；
③当点P在DB上，重合部分是直角三角形PQC，
S＝CQ CP＝（t﹣1） （t﹣1）＝（t﹣1）2，（2≤t≤4）．
综上所述，.
【知识点】三角形-动点问题；二次函数与分段函数的综合应用；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：（1）解：如图，过Q作QH⊥AD于点H，
∵PQ∥AB，
∴∠BAD＝∠QAP，
∵AD是角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠QAP，
∴QA＝QP，
∴△APQ是等腰三角形．
∵QH⊥AP，
∴AH＝AP＝，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAC=30°，
∴AQ＝＝t，
故△APQ是等腰三角形，AQ＝t；
【分析】（1）过Q作QH⊥AD于点H，由平行线的性质及角平分线定义可推出∠CAD＝∠QAP，从而可得△APQ是等腰三角形；由等腰三角形的三线合一得AH＝AP＝，进而由三角形的内角和定理及角平分线定义可算出∠CAD=30°，从而利用∠CAD的余弦函数可求出AQ的长；
（2）由等边三角形及等腰三角形性质可推出AQ=PQ=QC，则AE＝2AQ，结合（1）得结论建立方程可求出t的值；
（3）分类讨论：①当点P在AD上，点E在AC上时，重合部分是等边三角形PQE，如图作PG⊥QE于点G，②当点P在AD上，点E在AC延长线上时，重合部分是四边形PQCF，③当点P在DB上，重合部分是直角三角形PQC，分别画出图形，结合图形特点及三角形面积计算公式列式计算即可得出S关于t的函数关系式.
26．（2024·吉林）小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x的值为﹣2时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6．
（1）直接写出k，a，b的值．
（2）小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图象，如图（2）．
Ⅰ．当y随x的增大而增大时，求x的取值范围．
Ⅱ．若关于x的方程ax2+bx+3﹣t＝0（t为实数），在0＜x＜4时无解，求t的取值范围．
Ⅲ．若在函数图象上有点P，Q（P与Q不重合）．P的横坐标为m，Q的横坐标为﹣m+1．小明对P，Q之间（含P，Q两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）解：a＝1，b＝﹣2，k＝1；
（2）解：I：∵k＝1，a＝1，b＝﹣2，
∴一次函数解析式为：y＝x+3，二次函数解析式为：y＝x2﹣2x+3，
当x＞0时，y＝x2﹣2x+3，其对称轴为直线x＝1，开口向上，
∴x≥1时，y随着x的增大而增大；
当x≤0时，y＝x+3，k＝1＞0，
∴x≤0时，y随着x的增大而增大，
综上，x的取值范围：x≤0或x≥1；
Ⅱ：∵ax2+bx+3﹣t＝0在0＜x＜4时无解，
∴ax2+bx+3＝t，在0＜x＜4时无解，
∴问题转化为抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝t在0＜x＜4时无交点，
∵对于y＝x2﹣2x+3，当x＝1时，y＝2，
∴顶点为（1，2），
如图：
∴当t＝2时，抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝t在0＜x＜4时正好一个交点，
∴当t＜2时，抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝t在0＜x＜4时没有交点；
当x＝4，y＝16﹣8+3＝11，
∴当t＝11时，抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝t在0＜x≤4时正好一个交点，
∴当t≥11时，抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝t在0＜x＜4时没有交点，
∴当t＜2或t≥11时，抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝t在0＜x＜4时没有交点，
即：当t＜2或t≥11时，关于x的方程 ax2+bx+3﹣t＝0 （t为实数），在0＜x＜4时无解；
Ⅲ：﹣1≤m≤0或1≤m≤2．
【知识点】一次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）∵x＝﹣2＜0，
∴将x＝﹣2，y＝1代入y＝kx+3，
得：﹣2k+3＝1，
解得：k＝1，
∵x＝2＞0，x＝3＞0，
将x＝2，y＝3和x＝3，y＝6分别代入y＝ax2+bx+3，
得：，
解得：；
故：a＝1，b＝﹣2，k＝1；
（2）Ⅲ：∵xP＝m，xQ＝﹣m+1，
∴，
∴点P、Q关于直线对称，
当x＝1，y最小值＝1﹣2+3＝2，当x＝1，y最小值=2，当x＝0时，y最大值＝3，
当x＝0时，y最大值＝3，
∵当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当x＝2 时，y＝3，x＝﹣1时，y＝2，
∴①当如图：
由题意得：，
∴1≤m≤2；
②当，如图：
由题意得：，
∴﹣1≤m≤0，
综上：﹣1≤m≤0或1≤m≤2．
【分析】（1）将x＝﹣2，y＝1代入y＝kx+3，可求出k的值；将x＝2，y＝3和x＝3，y＝6分别代入y＝ax2+bx+3，可得关于字母a、b的方程组，求解可得a、b的值；
（2）I：由（1）中所求的k、a、b的值可得出一次函数与二次函数的解析式，再根据一次函数与二次函数的增减性即可求解；
Ⅱ：此题可转化为抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝t在0＜x＜4时无交点，而抛物线y＝x2﹣2x+3的顶点坐标为（1，2），且经过点（4，11），从而结合图象即可分析得出答案；
Ⅲ：根据题意可得点P、Q关于直线对称，当x＝1，y最小值=2，当x＝0时，y最大值＝3，当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当x＝2 时，y＝3，x＝﹣1时，y＝2；然后分①当与②当两种情况，结合图象分析分别列出关于字母m的不等式组，求解即可.
1 / 1吉林省2024年中考数学试卷
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2024·吉林）若（﹣3）×□的运算结果为正数，则□内的数字可以为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
2．（2024·吉林）长白山天池系由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如镜，群峰倒映，风景秀丽，总蓄水量约达2040000000m3．数据2040000000用科学记数法表示为（ ）
A．2.04×1010 B．2.04×109 C．20.4×108 D．0.204×1010
3．（2024·吉林）葫芦在我国古代被看作吉祥之物．如图是一个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同
B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同
D．主视图、左视图与俯视图都相同
4．（2024·吉林）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．（x﹣2）2＝﹣1 B．（x﹣2）2＝0
C．（x﹣2）2＝1 D．（x﹣2）2＝2
5．（2024·吉林）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（0，2）．以OA，OC为边作矩形OABC．若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA'B'C'，则点B'的坐标为（ ）
A．（﹣4，﹣2） B．（﹣4，2）
C．（2，4） D．（4，2）
6．（2024·吉林）如图，四边形ABCD内接于⊙O．过点B作BE∥AD，交CD于点E．若∠BEC＝50°，则∠ABC的度数是（ ）
A．50° B．100° C．130° D．150°
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（2024·吉林）当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为 ．
8．（2024·吉林）因式分解：a2﹣3a=
9．（2024·吉林）不等式组的解集是 ．
10．（2024·吉林）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是 ．
11．（2024·吉林）正六边形的一个内角的度数是 °．
12．（2024·吉林）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，点F是OD上一点，连接EF．若∠FEO＝45°，则的值为 ．
13．（2024·吉林）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB'，AB⊥B'C于点C，BC＝0.5尺，B'C＝2尺．设AC的长度为x尺，可列方程为 ．
14．（2024·吉林）某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地．小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由⊙O和扇形OBC组成，OB，OC分别与⊙O交于点A，D．OA＝1m，OB＝10m，∠AOD＝40°，则阴影部分的面积为 m2（结果保留π）．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（2024·吉林）先化简，再求值：（a+1）（a﹣1）+a2+1，其中．
16．（2024·吉林）吉林省以“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”为指引，不断加大冰雪旅游的宣传力度，推出各种优惠活动，“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道舰丽的风景线．某滑雪场为吸引游客，每天抽取一定数量的幸运游客，每名幸运游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机抽取一个免费游玩．若三个项目被抽中的可能性相等，用画树状图或列表的方法，求幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率．
17．（2024·吉林）如图，在 ABCD中，点O是AB的中点，连接CO并延长，交DA的延长线于点E．求证：AE＝BC．
18．（2024·吉林）钢琴素有“乐器之王”的美称．键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（2024·吉林）图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，E，O均在格点上．图①中已画出四边形ABCD，图②中已画出以OE为半径的⊙O．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
（1）在图①中，画出四边形ABCD的一条对称轴．
（2）在图②中，画出经过点E的⊙O的切线．
20．（2024·吉林）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．
（2）当电阻R为3Ω时，求此时的电流I．
21．（2024·吉林）中华人民共和国2019﹣2023年全国居民人均可支配收入及其增长速度情况如图所示．
（以上数据引自《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》）
根据以上信息回答下列问题：
（1）2019﹣2023年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多多少元？
（2）直接写出2019﹣2023年全国居民人均可支配收入的中位数．
（3）下列判断合理的是 （填序号）．
①2019﹣2023年全国居民人均可支配收入呈逐年上升趋势．
②2019﹣2023年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年，因此这5年中，2020年全国居民人均可支配收入最低．
22．（2024·吉林）图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A处探测到吉塔，此时飞行高度AB＝873m，如图②．从直升飞机上看塔尖C的俯角∠EAC＝37°，看塔底D的俯角∠EAD＝45°，求吉塔的高度CD（结果精确到0.1m）．
（参考数据：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75）
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（2024·吉林）综合与实践
某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究．第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识；第三小组负责汇报和交流．下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．
【背景调查】
图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．
【收集数据】
小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为xmm，凳面的宽度为ymm，记录如下：
以对称轴为基准向两边各取相同的长度x/mm 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7
凳面的宽度y/mm 115.5 132 148.5 165 181.5
【分析数据】
如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．
【建立模型】
请你帮助小组解决下列问题：
（1）观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．
（2）当凳面宽度为213mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？
24．（2024·吉林）小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：
【探究论证】
（1）如图①，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC，垂足为点D．若CD＝2，BD＝1，则S△ABC＝ ．
（2）如图②，在菱形A'B'C'D'中，A'C'＝4，B'D'＝2，则S菱形A'B'C'D'＝ ．
（3）如图③，在四边形EFGH中，EG⊥FH，垂足为点O．
若EG＝5，FH＝3，则S四边形EFGH= ▲ ；
若EG＝a，FH＝b，猜想S四边形EFGH与a，b的关系，并证明你的猜想．
（4）【理解运用】
如图④，在△MNK中，MN＝3，KN＝4，MK＝5，点P为边MN上一点．小明利用直尺和圆规分四步作图；
（ⅰ）以点K为圆心，适当长为半径画弧，分别交边KN，KM于点R，I；
（ⅱ）以点P为圆心，KR长为半径画弧，交线段PM于点I'；
（ⅲ）以点I'为圆心，IR长为半径画弧，交前一条弧于点R'，点R'，K在MN同侧；
（ⅳ）过点P画射线PR'，在射线PR'上截取PQ＝KN，连接KP，KQ，MQ．
请你直接写出S四边形MPKQ的值．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（2024·吉林）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3cm，AD是△ABC的角平分线．动点P从点A出发，以的速度沿折线AD﹣DB向终点B运动．过点P作PQ∥AB，交AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQE，且点C，E在PQ同侧．设点P的运动时间为t（s）（t＞0），△PQE与△ABC重合部分图形的面积为S（cm2）．
（1）当点P在线段AD上运动时，判断△APQ的形状（不必证明），并直接写出AQ的长（用含t的代数式表示）．
（2）当点E与点C重合时，求t的值．
（3）求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围．
26．（2024·吉林）小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x的值为﹣2时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6．
（1）直接写出k，a，b的值．
（2）小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图象，如图（2）．
Ⅰ．当y随x的增大而增大时，求x的取值范围．
Ⅱ．若关于x的方程ax2+bx+3﹣t＝0（t为实数），在0＜x＜4时无解，求t的取值范围．
Ⅲ．若在函数图象上有点P，Q（P与Q不重合）．P的横坐标为m，Q的横坐标为﹣m+1．小明对P，Q之间（含P，Q两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，直接写出m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：A、-3×2=-6＜0，故此选项错误，不符合题意；
B、-3×1=-3＜0，故此选项错误，不符合题意；
C、-3×0=0，故此选项错误，不符合题意；
D、-3×(-1)=3＞0，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据有理数的乘法法则“不为零的两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数同零相乘都等于零”可判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：2040000000用科学记数法表示为：2.04×109.
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
3．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：葫芦的俯视图是四个同心圆，且带圆心，从外到内第三个圆的弧线画成虚线，左视图与主视图都是下面一个较大的圆，中间一个较小的圆，上面一个小矩形，最顶端是一条线段，故主视图与左视图相同，俯视图与左视图及主视图不相同.
故答案为：A.
【分析】主视图就是从正面看得到的正投影，左视图就是从左面看得到的正投影，俯视图就是从上面看得到的正投影，能看见的轮廓线都要画成实线，看不见但又存在的轮廓线画成虚线，据此结合葫芦的形状即可判断得出答案.
4．【答案】B
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A、∵(x-2)2=-1＜0，∴该方程无实数根，此选项不符合题意；
B、∵(x-2)2=0，∴x-2=0，解得x1=x2=2，故该方程有两个相等的实数根，此选项符合题意；
C、∵(x-2)2=1，∴x-2=±1，解得x1=3，x2=1，故该方程有两个不相等的实数根，此选项不符合题意；
D、∵(x-2)2=2，∴x-2=±，解得x1=，x2=，故该方程有两个不相等的实数根，此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据偶数次幂的非负性可判断A选项；利用直接开平方法求出B、C、D三个方程的根，即可判断得出答案.
5．【答案】C
【知识点】矩形的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵A（-4，0），C（0，2），
∴OA=4，OC=2，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC=OA=4，
∵将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA'B'C'，
∴OC'=OC=2，B'C'=BC=4，
∴点B'（2，4）.
故答案为：C.
【分析】根据点A、C的坐标可得OA=4，OC=2，根据矩形的性质得BC=OA=4，由旋转的性质得OC'=OC=2，B'C'=BC=4，从而即可得出点B'的坐标.
6．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵BE∥AD，
∴∠D=∠BEC=50°，
∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠ABC=180°-∠D=130°.
故答案为：C.
【分析】由二直线平行，同位角相等，得∠D=∠BEC=50°，进而根据圆内接四边形的对角互补可求出∠ABC的度数.
7．【答案】0
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵，且1＞0，
∴x+1＞0，
解得x＞-1，
∴满足条件的x的值可以为0（答案不唯一）.
故答案为：0.
【分析】开放性命题，答案不唯一；由分式的值为正数可得分子、分母同号，再结合分子为正数，可列出关于字母x的不等式，求解得出x的取值范围，进而在取值范围内随便取值即可.
8．【答案】a（a﹣3）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2﹣3a=a（a﹣3）．
故答案为：a（a﹣3）．
【分析】直接把公因式a提出来即可．本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是a是解题的关键．
9．【答案】2＜x＜3
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
由①得x＞2，
由②得x＜3，
∴该不等式组的解集为2＜x＜3.
故答案为：2＜x＜3.
【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可.
10．【答案】两点之间，线段最短
【知识点】两点之间线段最短
【解析】【解答】解：从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短.
故答案为：两点之间，线段最短.
【分析】根据“两点之间，线段最短”即可得出结论.
11．【答案】120
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设正六边形一个内角的度数为x°，
由题意得(6-2)×180°=6x°，
解得x=120.
故答案为：120.
【分析】根据多边形内角和公式可得该六边形的内角和为：(6-2)×180°，由于正多边形每一个内角度数相等，故该正六边形的内角和可表示为：6x°，根据用两个不同的式子表示同一个量可得这两个式子相等，从而建立出方程，求解即可.
12．【答案】
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠DAC=45°，
又∠FEO=45°，
∴∠FEO=∠DAC=45°，
∴EF∥AD，
∴△OEF∽△OAD，
∴，
∵点E是OA的中点，AD=BC，
∴.
故答案为：.
【分析】由正方形的性质得AD=BC，∠DAC=45°，然后由同位角相等两直线平行判断出EF∥AD，再根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△OEF∽△OAD，由相似三角形对应边成比例可得，最后根据中点定义即可求出答案.
13．【答案】x2+22＝（x+0.5）2
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设AC的长度为x尺，则AB'=AB=x+0.5(尺)，
在Rt△ACB'中，∵AC2+B'C2=AB'2，
即x2+22＝（x+0.5）2.
故答案为：x2+22＝（x+0.5）2.
【分析】设AC的长度为x尺，则AB'=AB=x+0.5(尺)，在Rt△ACB'中，利用勾股定理即可列出方程.
14．【答案】11π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：S阴影=S扇形BOC-S扇形AOD =40π×102360-40π×12360=100π9-π9=99π9=11π
故答案为：11π.
【分析】根据扇形面积计算公式“”及S阴影=S扇形BOC-S扇形AOD列式计算即可.
15．【答案】解：（a+1）（a﹣1）+a2+1
＝a2﹣1+a2+1
＝2a2
∵
∴原式＝2×（ ）2＝6．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】将待求式子，先根据平方差公式去括号，再合并同类项化简，最后将a的值代入化简结果计算即可.
16．【答案】解：把“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果有3种，
∴幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】此题是抽取放回类型，把“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目分别记为A、B、C，画出树状图展示出所有等可能的情况数，由图可知共有9种等可能的结果，其中幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果有3种，从而根据概率公式计算可得答案.
17．【答案】证明：∵点O是AB的中点，
∴AO＝OB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠E＝∠BCO，
又∠AOE＝∠BOC，
∴△AOE≌△BOC（AAS），
∴AE＝BC．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】由中点定义得AO=OB，由平行四边形的性质得AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠E＝∠BCO，从而由AAS判断出△AOE≌△BOC，最后根据全等三角形的对应边相等可得AE=BC.
18．【答案】解：设白色琴键的个数为x个，黑色琴键的个数为y个，
由题意得：，
解得：，
答：白色琴键的个数为52个，黑色琴键的个数为36个．
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】设白色琴键的个数为x个，黑色琴键的个数为y个，根据“ 键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个 ”列出方程组，求解即可.
19．【答案】（1）解：如图①所示，直线GH与直线EF即为所求；
（2）解：如图②所示，直线AB即为所求．
【知识点】切线的判定；作图-作给定图形的对称轴
【解析】【分析】（1）把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此并结合网格纸的特点作图即可；
（2）利用网格纸的特点及切线的性质“圆的切线垂直于半径的外端点”进行作图即可.
20．【答案】（1）解：设I＝，
由题意得：K＝RI＝36，
∴这个反比例函数的解析式为I＝；
（2）解：电阻R为3Ω时，I＝＝12A．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据图象给出的点的坐标，利用待定系数法可求出电流I关于电阻R的反比例函数关系式；
（2）将R=3代入（1）所求的函数解析式算出对应的函数值即可.
21．【答案】（1）解：39218﹣30733＝8485（元），
答：2019﹣2023年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低多8485元；
（2）解：2019﹣2023年全国居民人均可支配收入的中位数是35128元；
（3）①
【知识点】条形统计图；折线统计图；数据分析；中位数
【解析】【解答】解：（2）把2019﹣2023年全国居民人均可支配收入从小到大排列，排在中间的数是2021年人均可支配收入，
所以2019﹣2023年全国居民人均可支配收入的中位数是35128元；
（3）由折线统计图可知，2019﹣2023年全国居民人均可支配收入呈逐年上升趋势，故①说法正确；
因为2019﹣2023年全国居民人均可支配收入呈逐年上升趋势，所以这5年中，2019年全国居民人均可支配收入最低，故②说法错误．
故答案为：①．
【分析】（1）由统计图可得2023年全国居民人均可支配收入最高为39218元，2019年全国居民人均可支配收入最低为30733元，然后求差即可得出答案；
（2）中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此可直接得出答案；
（3）根据统计图提供的信息逐个判断即可.
22．【答案】解：过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵AB⊥BD，CF⊥AB，DC⊥BD，
∴∠CDB＝∠B＝∠CFB＝90°．
∴四边形CDBF是矩形．
∴BF＝CD，CF＝BD＝873m．
∵CF∥BD∥AE，
∴∠EAC＝∠ACF＝37°，∠EAD＝∠ADB＝45°．
在Rt△ACF中，
∵tan∠ACF＝，
∴AF＝tan∠ACF CF
＝tan37°×873
≈0.75×873
≈654.75（m）．
在Rt△DBA中，
∵tan∠ADB＝，
∴AB＝tan∠ADB BD
＝tan45°×873
＝1×873
＝873（m）．
∴CD＝FB＝AB﹣AF
＝873﹣654.75
＝218.25
≈218.3（m）．
答：吉塔的高度CD约为218.3m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点C作CF⊥AB，垂足为F，首先判断出四边形CDBF是矩形，得BF＝CD，CF＝BD＝873m，由二直线平行，内错角相等得∠EAC＝∠ACF＝37°，∠EAD＝∠ADB＝45°，在Rt△ACF中，由∠ACF得正切函数可求出AF的长，在Rt△DBA中，由∠ADB得正切函数可求出AB的长，最后根据CD＝FB＝AB﹣AF可算出答案.
23．【答案】（1）解：它们在同一条直线上，
设y＝kx+b，
则：，
解得：，
所以这条直线所对应的函数解析式为y＝5x+33；
（2）解：当y＝213mm时，213＝5x+33，
解得：x＝36，
所以当凳面宽度为213mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是36mm．
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求出y关于x的函数解析式；
（2）将y=213代入（1）所求的函数解析式算出对应的自变量x的值即可.
24．【答案】（1）2
（2）4
（3）解：S四边形EFGH=；
猜想：S四边形EFGH＝，
证明：∴S△EFG＝EG FO，S△EHG＝EG HO，
∴S四边形EFGH＝S△EFG+S△EHG＝EG FO+EG HO＝EG FH＝；
（4）解：S四边形MPKQ＝10．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；菱形的性质；尺规作图-作一个角等于已知角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：（1）解：∵在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，CD＝2，
∴AC＝2CD＝4，
∴S△ABC＝AC BD＝2．
故答案为：2；
（2）∵在菱形S菱形A'B'C'D'中，A'C'＝4，B'D'＝2，
∴S菱形A'B'C'D'＝A'C' B'D'＝4，
故答案为：4；
（3）∵EG⊥FH，∴S△EFG＝EG FO，S△EHG＝EG HO，
∴S四边形EFGH＝S△EFG+S△EHG＝EG FO+EG HO＝EG FH＝，
故答案为：；
（4）根据尺规作图可知：∠QPM＝∠MKN，
∵在△MNK中，MN＝3，KN＝4，MK＝5，
∴MK2＝MN2+KN2，
∴△MNK是直角三角形，且∠MNK＝90°，
∴∠NMK+∠MKN＝90°，
∵∠QPM＝∠MKN，
∴∠NMK+∠QPM＝90°，
∴MK⊥PQ，
∵PQ＝KN＝4，MK＝5，
∴根据（3）中结论得S四边形MPKQ＝MK PQ＝10．
【分析】（1）由等腰三角形的三线合一可得AC＝2CD＝4，进而根据三角形面积计算公式列式计算即可；
（2）根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半列式计算即可；
（3）根据S四边形EFGH＝S△EFG+S△EHG，并结合三角形面积计算公式列式计算即可解决此题；
（4）根据尺规作图可知：∠QPM＝∠MKN，首先用勾股定理的逆定理判断出△MNK是直角三角形，且∠MNK＝90°，然后根据直角三角形两锐角互余及等量代换推出∠NMK+∠QPM＝90°，进而由三角形的内角和定理推出MK⊥PQ，从而根据（3）得结论列式计算可得答案.
25．【答案】（1）△APQ是等腰三角形，AQ＝t；
（2）解：如图所示，E、C重合时图形．
∵△PQE是等边三角形，
∴QE＝QP，
由（1）得QA＝QP，
∴AE＝2AQ，即2t＝3，
∴t＝；
（3）解：①当点P在AD上，点E在AC上时，重合部分是等边三角形PQE，如图作PG⊥QE于点G，
∵∠PAQ＝30°，
∴PG＝AP＝t，
∵△PQE是等边三角形，
∴QE＝PQ＝AQ＝t，
∴S＝QE PG＝．
由（2）知当点E、C重合时，t＝，
∴S＝（0＜t≤）；
②当点P在AD上，点E在AC延长线上时，重合部分是四边形PQCF．
在Rt△FCE中，CE＝2t﹣3，∠E＝60°，
∴CF＝CE tan60°＝（2t﹣3），
∴S△PCE＝（2t﹣3） （2t﹣3）＝（2t﹣3）2，
∴S＝S△PAC﹣S△PCE＝﹣（2t﹣3）2＝﹣t2+6t﹣（＜t＜2）；
③当点P在DB上，重合部分是直角三角形PQC，
S＝CQ CP＝（t﹣1） （t﹣1）＝（t﹣1）2，（2≤t≤4）．
综上所述，.
【知识点】三角形-动点问题；二次函数与分段函数的综合应用；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：（1）解：如图，过Q作QH⊥AD于点H，
∵PQ∥AB，
∴∠BAD＝∠QAP，
∵AD是角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠QAP，
∴QA＝QP，
∴△APQ是等腰三角形．
∵QH⊥AP，
∴AH＝AP＝，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAC=30°，
∴AQ＝＝t，
故△APQ是等腰三角形，AQ＝t；
【分析】（1）过Q作QH⊥AD于点H，由平行线的性质及角平分线定义可推出∠CAD＝∠QAP，从而可得△APQ是等腰三角形；由等腰三角形的三线合一得AH＝AP＝，进而由三角形的内角和定理及角平分线定义可算出∠CAD=30°，从而利用∠CAD的余弦函数可求出AQ的长；
（2）由等边三角形及等腰三角形性质可推出AQ=PQ=QC，则AE＝2AQ，结合（1）得结论建立方程可求出t的值；
（3）分类讨论：①当点P在AD上，点E在AC上时，重合部分是等边三角形PQE，如图作PG⊥QE于点G，②当点P在AD上，点E在AC延长线上时，重合部分是四边形PQCF，③当点P在DB上，重合部分是直角三角形PQC，分别画出图形，结合图形特点及三角形面积计算公式列式计算即可得出S关于t的函数关系式.
26．【答案】（1）解：a＝1，b＝﹣2，k＝1；
（2）解：I：∵k＝1，a＝1，b＝﹣2，
∴一次函数解析式为：y＝x+3，二次函数解析式为：y＝x2﹣2x+3，
当x＞0时，y＝x2﹣2x+3，其对称轴为直线x＝1，开口向上，
∴x≥1时，y随着x的增大而增大；
当x≤0时，y＝x+3，k＝1＞0，
∴x≤0时，y随着x的增大而增大，
综上，x的取值范围：x≤0或x≥1；
Ⅱ：∵ax2+bx+3﹣t＝0在0＜x＜4时无解，
∴ax2+bx+3＝t，在0＜x＜4时无解，
∴问题转化为抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝t在0＜x＜4时无交点，
∵对于y＝x2﹣2x+3，当x＝1时，y＝2，
∴顶点为（1，2），
如图：
∴当t＝2时，抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝t在0＜x＜4时正好一个交点，
∴当t＜2时，抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝t在0＜x＜4时没有交点；
当x＝4，y＝16﹣8+3＝11，
∴当t＝11时，抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝t在0＜x≤4时正好一个交点，
∴当t≥11时，抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝t在0＜x＜4时没有交点，
∴当t＜2或t≥11时，抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝t在0＜x＜4时没有交点，
即：当t＜2或t≥11时，关于x的方程 ax2+bx+3﹣t＝0 （t为实数），在0＜x＜4时无解；
Ⅲ：﹣1≤m≤0或1≤m≤2．
【知识点】一次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）∵x＝﹣2＜0，
∴将x＝﹣2，y＝1代入y＝kx+3，
得：﹣2k+3＝1，
解得：k＝1，
∵x＝2＞0，x＝3＞0，
将x＝2，y＝3和x＝3，y＝6分别代入y＝ax2+bx+3，
得：，
解得：；
故：a＝1，b＝﹣2，k＝1；
（2）Ⅲ：∵xP＝m，xQ＝﹣m+1，
∴，
∴点P、Q关于直线对称，
当x＝1，y最小值＝1﹣2+3＝2，当x＝1，y最小值=2，当x＝0时，y最大值＝3，
当x＝0时，y最大值＝3，
∵当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当x＝2 时，y＝3，x＝﹣1时，y＝2，
∴①当如图：
由题意得：，
∴1≤m≤2；
②当，如图：
由题意得：，
∴﹣1≤m≤0，
综上：﹣1≤m≤0或1≤m≤2．
【分析】（1）将x＝﹣2，y＝1代入y＝kx+3，可求出k的值；将x＝2，y＝3和x＝3，y＝6分别代入y＝ax2+bx+3，可得关于字母a、b的方程组，求解可得a、b的值；
（2）I：由（1）中所求的k、a、b的值可得出一次函数与二次函数的解析式，再根据一次函数与二次函数的增减性即可求解；
Ⅱ：此题可转化为抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝t在0＜x＜4时无交点，而抛物线y＝x2﹣2x+3的顶点坐标为（1，2），且经过点（4，11），从而结合图象即可分析得出答案；
Ⅲ：根据题意可得点P、Q关于直线对称，当x＝1，y最小值=2，当x＝0时，y最大值＝3，当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当x＝2 时，y＝3，x＝﹣1时，y＝2；然后分①当与②当两种情况，结合图象分析分别列出关于字母m的不等式组，求解即可.
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