人教版2024-2025学年度九年级上册数学第二十一章 一元二次方程 单元测试卷（含答案）

人教版2024-2025学年度九年级上册数学单元测试卷
第二十一章 一元二次方程
（本试卷三个大题，25个小题。满分150分，考试时间120分钟。）
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分；每个小题只有一项符合题意。）
1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）
A． B． C． D．
2．将一元二次方程配方后所得的方程是（ ）
A． B． C． D．
3．关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．－5 D．－2
4．关于x的一元二次方程的根的情况是（　 　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．不能确定
5．已知一元二次方程x2－4x－1＝0的两根分别为m，n，则m＋n－mn的值是（ ）
A．5 B．3 C．－3 D．－4
6．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
7．一同学将方程化成了的形式，则m、n的值应为（　 　）
A．m=2．n=7 B．m=﹣2，n=7 C．m=﹣2，n=1 D．m=2，n=﹣7
8．如果关于的一元二次方程有实数根，则满足条件是（ ）
A． B．且 C．且 D．
9．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
10．目前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市年底有用户万户，计划到年底全市用户数达到万户．设全市用户数年平均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
11．在平面直角坐标系中，若直线不经过第二象限，则关于x的方程的实数根的个数为( )
A．0个 B．0或1个 C．2个 D．1或2个
12．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．设长为x步，则可列方程为（ ）
A．x（x - 12）= 864 B．x（x + 12）= 864 C．x（12 - x）= 864 D．2（2x - 12）= 864
填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分。）
13．方程的根的判别式
14．已知是方程的两根，则 ．
15．已知a、b实数且满足（a2+b2）2-（a2+b2）-12=0，则a2+b2的值为 ．
16．方程的两根分别为，，且，则的取值范围是 ．
三、解答题（本题共9个小题，共98分。）
17．（8分）解下列方程：
(1) (2)
18．（10分）已知关于的一元二次方程．
(1)若方程有两个相等的实数根，求的值．（5分）
(2)设，是方程的两个实数根，当时，求的值．（5分）
19．（10分）某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．
(1)若售价下降1元，每月能售出______个台灯，若售价下降元，每月能售出______个台灯．（4分）
(2)为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价．（6分）
20．（10分）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱．
(1)若每箱降价3元，每天销售该饮料可获利多少元？（5分）
(2)若要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？（5分）
21．（12分）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和．
(1)填空：________，________；（4分）
(2)求，；（4分）
(3)已知，求的值．（4分）
22．（12分）如图，在边长为24cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟2cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟4cm的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求：
（1）经过6秒后，BP=　　　　cm，BQ=　　　　cm；（4分）
（2）经过几秒△BPQ的面积等于？ （4分）
（3）经过几秒后，△BPQ是直角三角形？ （4分）
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x，y轴于A，B．直线（k为任意常实数）．
(1)直接写出点A，B坐标和线段的长；（4分）
(2)第四象限的直线n上存在点P，使，且，求直线n的解析式；（4分）
(3)如图2，直线上有一点E、，过且平行于y轴的直线上有点F，若为等腰直角三角形，且，直接写出E点坐标．（4分）
24．（12分）先阅读材料，再回答问题．
我们定义：形如 (m、n为非零实数)，且两个解分别为 的方程称为“可分解分式方程”．例如： 为可分解分式方程，可化为
应用上面的结论解答下列问题：
(1)若 为可分解分式方程，则： = ， .（4分）
(2)若可分解分式方程方程： 的两个解分别为 求 的值．（4分）
(3)若关于的可分解分式方程 的两个解分别为 (k为实数)，且 求k的值．（4分）
25．（12分）如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
(1)当时，写出该“勾系一元二次方程”；（4分）
(2)求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根；（4分）
(3)如图，若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积．（4分）
试卷第1页，共3页
九年级上册 数学单元测试卷 第 1 页(共4页) 九年级上册 数学单元测试卷 第 1 页(共4页)
参考答案：
选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分；每个小题只有一项符合题意。）
1．D 2．D 3．C 4．A 5．A 6．C
7．B 8．C 9．C 10．D 11．D 12．A
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分。）
13．105 14．-3 15．4 16．
三、解答题（本题共9个小题，共98分。）
17．(1)，； (2)
18．(1)或 (2)
【详解】（1）解：根据题意得，
解得，；
即b的值为或；
（2）当时，方程化为，
根据根与系数的关系得，
所以．
19．(1)， (2)每个台灯的售价为37元
【详解】（1）解：由题意得，若售价下降1元，每月能售出个台灯，若售价下降元，每月能售出个台灯
故答案为：，；
（2）解：设售价下降元，
由题意得，，
整理得：，
解得或，
当，，符合题意；
当，，不符合题意；
∴，
∴，
∴每个台灯的售价为37元．
20．(1)1440元 (2)5元
【详解】（1）设每箱饮料降价x元，超市该饮料日销量箱，每箱饮料盈利元，
则每天销售该种饮料可获利（12-x）(100+20x),
当x=3时,（元）
答：每箱降价3元，每天销售该饮料可获利1440元；
（2）要使每天销售饮料获利1400元，依据题意列方程得，
，
整理得，
解得，；
∵为了扩大销售，增加利润，
∴x＝5．
21．(1)，； (2)，； (3)．
【详解】（1）解：由根与系数的关系得，，，
故答案为：，；
（2）解：∵，，
∴，
∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由根与系数的关系得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∴一元二次方程为或，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意；
∴．
22．（1）12、24；（2）经过2秒△BPQ的面积等于.（3）经过6秒或秒后，△BPQ是直角三角形.
【详解】（1）由题意，得
AP=12cm，BQ=24cm．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=24cm，
∴BP=224-12=12cm．
故答案为12、24．
（2）设经过x秒△BPQ的面积等于，作QD⊥AB于D，则 BQ=4xcm.
∴∠QDB=90°，
∴∠DQB=30°，
在Rt△DBQ中，由勾股定理，得
解得；x1=10，x2=2，
∵x=10时，4x＞24，故舍去
∴x=2．
答：经过2秒△BPQ的面积等于.
（3）经过t秒后，△BPQ是直角三角形.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=24cm，∠A=∠B=∠C=60°，
当∠PQB=90°时，
∴∠BPQ=30°，
∴BP=2BQ．
∵BP=24-2t，BQ=4t，
∴24-2t=2×4t，
解得t=；
当∠QPB=90°时，
∴∠PQB=30°，
∴BQ=2PB，
∴4t=2×（24-2t）
解得t=6
∴经过6秒或秒后，△BPQ是直角三角形.
23．(1) (2)直线n的解析式为 (3)或
【详解】（1）解：把代入得，，
解得，
把代入得，，
∴直线交x，y轴于A，B的坐标为、，
∴；
（2）解：∵，且，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵直线的解析式为，
∴直线的解析式为，
设点，
∵，
∴，
解得，
∴，
把代入得，，
解得，
∴直线n的解析式为；
（3）解：设点，点，
过点F作直线交y轴于点G，交过点F和y轴的平行线于点H，
∵为等腰直角三角形，且，则，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
解得或1，
∴点或．
24．(1)6，（或，6） (2) (3)
【详解】（1）解： ∵方程 是可分解分式方程，
∴
故答案为： 6，．
（2）解：∵可分解分式方程 的两个解分别为
∴，
∴的值为．
（3）解：方程 是可分解分式方程，
∴
∵k为实数，不妨设 ，
，
，
∴，
解得，，
∵，
∴，，
∴k的值为．
25．(1)“勾系一元二次方程”为： (2)见解析 (3)
【详解】（1），
“勾系一元二次方程”为：；
（2）根据题意，得，
“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）当时，有，即，
四边形的周长是，
，即
答案第1页，共2页
答案 第1页，共6页 答案 第1页，共6页