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2.6应用一元二次方程 题型专练
题型一、传播传染问题
1．（22-23九年级上·广东惠州·期中）某班在举行图书共享仪式上互赠图书，每位同学都把自己的图书给其他同学赠送一本，全班共互赠了1260本书．设全班共有x名同学，依题意，可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设全班共有x名同学，则每名同学都要给其他名同学赠送一本图书，再根据全班共互赠了1260本书列出方程即可．
【详解】解：设全班共有x名同学，
由题意得，，
故选：A．
2．（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个支干长出小分支的数量是 ．
【答案】9
【分析】本题涉及一元二次方程的应用，根据主干、支干和小分支的总数为91列出方程求解即可. 解答此题的关键是根据主干、支干和分支的关系列出方程．
【详解】设每个支干长出的小分支的数目是个，根据题意列方程得：，
解得：或（不合题意，应舍去）．
∴．
故答案为：9．
3．（23-24九年级·山东威海·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信．
(1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？
(2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？
【答案】(1)这个短信要求收到短信的人必须转发给9人
(2)从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，含乘方的有理数混合计算的实际应用：
（1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可；
（2）根据（1）所求列式求解即可．
【详解】（1）解：设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，
由题意得，，
整理得，
解得或（舍去），
答：这个短信要求收到短信的人必须转发给9人；
（2）解：人，
答：从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信．
4．（23-24九年级上·湖北襄阳·阶段练习）某名同学参加了学校统一组织的某项实验培训，回到班上后，第一节课他教会了若干名同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36名同学会做这项实验．求每节课每名同学教会多少名同学做实验？
【答案】5
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意表示出两节课教会的人数是解题关键．
设平均每节课一人教会x人，第一节课后会做的有人，第二节课教会人，会做的有人，据此列方程求解即可．
【详解】解：设每节课一人教会x人，根据题意可得：
，
解得：（不合题意舍去）
答：每节课一人教会5人．
题型二、增长率问题
5．（2024·广东深圳·模拟预测）电影《飞驰人生2》讲述了传奇车手张驰重回巴音布鲁克赛场为自己证明的故事，一上映就获得全国人民的追捧，影片第一天票房约4亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达17亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用中平均增长率问题，根据题意，把增长率记作x，则第二天票房约为亿元，第三天票房约为亿元，列出方程即可．
【详解】解：若把增长率记作x，则第二天票房约为亿元，第三天票房约为亿元，
依题意得：．
故选：D．
6．（23-24九年级·上海嘉定·期末）一辆汽车的新车购买价为20万元，每年的年折旧率为，如果在购买后的第二年年末，这辆车折旧后的价值为12.8万元，那么这个x的值是 ．
【答案】0.2
【分析】根据“新车购买价为20万元，购买之后的第二年年末折旧后的价值为12.8万元”列方程求解即可．
本题考查一元二次方程的应用，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】设每年的年折旧率为x，根据题意，得
，
解得：，（不符合题意，舍去），
故答案为：0.2．
7．（2024·甘肃武威·三模）为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元，并规划投入教育经费逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入教育经费2640万元，设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同，求这两年该县投入教育经费的年平均增长率．
【答案】
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，掌握增长率问题是本题的关键，
设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可．
【详解】设这两年该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意，
得：，
解得：，（舍），
∴两年该县投入教育经费的年平均增长率为．
8．（2024·辽宁大连·三模）某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
(1)求进馆人次的月平均增长率；
(2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳．
【答案】(1)月平均增长率为
(2)能接纳第四个月的进馆人次，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由等量关系列出方程是解题的关键；
（1）设进馆人次的月平均增长率为x，根据三个月进馆人次和等于608，列出一元二次方程求解即可；
（2）根据（1）计算出的月平均增长率，可计算出第四个的进馆人次，再与500比较大小即可．
【详解】（1）解：设进馆人次的月平均增长率为x，
由题意得：，
化简得：，
解得：（舍去）；
答：进馆人次月平均增长率为；
（2）解：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次；
由于进馆人次的月平均增长率为，
则第四个月的进馆人次为：；
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
题型三、面积问题
9．（2024·吉林·一模）如图，利用一面墙（墙的长度不限），要用长的篱笆围成一个面积为的矩形场地．应怎样设计篱笆的边长？设垂直于墙的边长为，则可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
由篱笆的总长及垂直于墙的篱笆长度，可得出平行于墙的篱笆长为，根据矩形场地的面积为，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：∵要用长的篱笆围成一个面积为的矩形场地，垂直于墙的边长为，
∴平行于墙的边长为，
根据题意，可得．
故答案为：．
10．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在长为28米，宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243平方米，请列出关于x的方程，并化为一般式 ．
【答案】
【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，利用平移，得到草坪的长和宽分别为：米和米，根据草坪的面积为243平方米，列出方程即可．
【详解】解：设草坪的长和宽分别为：米和米，
由题意，得：，整理得：；
故答案为：．
11．（23-24九年级·山东济宁·期中）如图，要修建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长为18米），其余三边用竹篱笆，篱笆的总长度为35米，围成长方形鸡场的四周不能有空隙．
(1)若要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各应为多少米？
(2)围成鸡场的面积能达到160平方米吗？如果能，写出计算过程，如果不能，说明理由．
【答案】(1)鸡场的长为15米，宽为10米
(2)不能
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键，注意宽的取值范围．
（1）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出x的值即可，注意x要符合题意；
（2）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，根据根的判别式的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：设养鸡场的宽为，根据题意得：
，
解得：，
当时，，
当时，，（舍去），
则养鸡场的宽是，长为．
（2）解：设养鸡场的宽为xm，根据题意得：
，
整理得：，
，
∵方程没有实数根，
∴围成养鸡场的面积不能达到160平方米．
12．（2024·陕西渭南·二模）现有可建60米长围墙的建筑材料，如图，利用该材料在某工地的直角墙角处围成一个矩形堆物场地（靠墙面不需要建筑材料），中间用同样的材料分隔为两间，要使所围成的矩形和矩形的面积分别是和，求BF的长（假设已有建筑材料恰好用完）
【答案】的长是
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设的长为，则的长为，根据矩形的面积公式及矩形的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再利用矩形的面积公式结合矩形的面积为，即可求出的长．
【详解】解：设的长为，则的长为，依题意，得：
，
整理，得：，
解得：
，
答：的长是
题型四、动态几何问题
13．（2024·江苏南通·模拟预测）某商品进价为25元，当每件售价为50元时，每天能售出100件，经市场调查发现，每件售价每降低1元，则每天可多售出5件，店里每天的利润要达到1500元．若设店主把该商品每件售价降低x元，求解可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意列出方程是解题关键．
设每件商品售价降低元，根据题意列出方程即可．
【详解】解：设每件商品售价降低元
则每天的利润为：，
故答案为：．
14．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，则第二周每个旅游纪念品的销售价格为 元．
【答案】9
【分析】本题考查一元二次方程的应用，由纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，根据“这批旅游纪念品共获利1250元”等式求出即可．理解题意，正确列出方程是解答的关键．
【详解】解：设降低x元，由题意得出:
，
整理得：，
解得：．
∴．
即：第二周的销售价格为9元．
故答案为：9．
15．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）某体育用品店销售一种跳绳，4月份销售量为300条，6月份销售量为432条，若从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该跳绳销售量的月增长率；
(2)若此种跳绳的进价为30元/条，经过市场调研，当售价为40元/条时，月销售量为600条，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10条，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，那么该跳绳的售价应定为多少？
【答案】(1)该跳绳销售量的月增长率为；
(2)该跳绳的售价应定为50元/条．
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键．
（1）设该跳绳销售量的月增长率为x，4月份销售量为300条，6月份销售量为432条，若从4月份到6月份销售量的月增长率相同．据此列出方程，解方程即可得到答案；
（2）设该跳绳的售价应定为y元/条，则每条跳绳的销售利润为元，月销售量为条，根据月销售利润达到10000元列出方程，解方程并根据尽可能让顾客得到实惠即可得到答案．
【详解】（1）解：设该跳绳销售量的月增长率为x，
根据题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：该跳绳销售量的月增长率为；
（2）设该跳绳的售价应定为y元/条，则每条跳绳的销售利润为元，月销售量为条，
根据题意得：，
整理得：，
解得：
又∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴．
答：该跳绳的售价应定为50元/条．
16．（23-24九年级·浙江宁波·期中）每年的4月12日为载人空间飞行国际日，也是世界航天日．我国在2023年完成“天宫空间站”的在轨建造，取得了举世瞩目的航天成就．某商店为满足航天爱好者的需求，特推出“天宫空间站”系列A、B两款模型，A款模型比B款模型售价低20元，800元购买A款模型的数量与960元购买B款模型的数量相等．按定价销售一段时间后发现B款模型每天可以卖15件．为扩大销售，该商店准备适当降价，经过一段时间测算，B款模型每降价5元，则每天可以多卖1件．
(1)A、B两款模型每件售价分别是多少？
(2)为了使B款模型每天的销售额为1900元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B款模型的降价后的售价为多少元/件？
【答案】(1)A模型每件售价100元，B模型每件售价120元
(2)95元
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，
（1）根据800元购买A款模型的数量等于960元购买B款模型的数量列出分式方程，求出解即可；
（2）根据销售量乘以单价等于销售额列出一元二次方程，根据让顾客得到实惠求出解即可．
【详解】（1）解：设A模型每件售价x元，根据题意，得
∴
解得，
经检验：是方程的解，
∴，
答:A模型每件售价100元，B模型每件售价120元；
（2）解：设B模型每件下降元，根据题意，得
∴，
解得，，
∵尽可能实惠，
∴，
∴，
答：实际售价应为95元．
题型五、营销问题
17．（22-23九年级上·安徽·阶段练习）如图，在中，，点M从点A出发沿边向点B以的速度移动，同时点N从点B出发沿边向点C以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动．当的面积为时，运动时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，在中，利用勾股定理可求出的长度，当运动时间为时，，，根据的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：在中，，，，
∴．
当运动时间为时，，，，
依题意得：，即，
整理得：，
解得：，
∴点，的运动时间为．
故选：A．
18．（23-24九年级·安徽合肥·期中）如图，长方形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止．
（1）若经过x秒，用x的代数式表示，则 ；
（2）经过 秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出的长；（2）分及两种情况，列出关于的方程．
（1）利用的长的长点的运动速度运动时间，可用含的代数式表示出的长；
（2）当时，，，根据以、、为顶点的三角形面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值；当时，，根据以、、为顶点的三角形面积为，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值．再取符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：（1）动点从点出发，沿向终点以的速度移动，
经过秒，，
．
故答案为：；
（2），，．
当时，，，
，即，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）；
当时，，
，
解得：（不符合题意，舍去）．
经过秒时，以、、为顶点的三角形面积为．
故答案为：．
19．（23-24九年级·安徽马鞍山·期中）如图，长方形（长方形的对边相等，每个角都是），，，动点、分别从点、同时出发，点以2厘米/秒的速度向终点移动，点以1厘米/秒的速度向移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为．
（1）当点和点距离是3cm时， ．
（2）当 ，为直角三角形（）．
【答案】 或 或
【分析】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，一元二次方程的解法的运用．解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键．
（1）作于E，在中，由勾股定理建立方程求出其解即可，作于E，在中，由勾股定理建立方程求出其解即可；
（2）分情况讨论，当时，当时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程可以得出结论．
【详解】解：（1）如图1，作于，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
．
在中，由勾股定理，得
，
解得：，
如图2，作于，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
．
在中，由勾股定理，得
，
解得：，
综上：或．
（2）如图，连接，过点作，
点P，Q，D为顶点的三角形是等腰三角形．
① 当时，即，
在中，，，
，
由（2）知，，
，
（舍去）或，
② 当时，即，
，
（舍去）或，
综上：或．
20．（2024·甘肃武威·二模）如图，、、、为矩形的个顶点，，，动点从点出发，沿方向运动，动点同时从点出发，沿方向运动，如果点、的运动速度均为，经过多长时间、两点之间的距离是？
【答案】秒或秒
【分析】可设运动秒时，它们相距，根据题意表示出，的长，再根据勾股定理列出方程求解即可．
本题主要考查了勾股定理与一元二次方程，根据勾股定理列出关于的方程及正确求得方程的解是解决本题的关键．
【详解】解：设运动秒时，它们相距，则，，依题意有
，
解得，．
故运动秒或秒时，它们相距．
题型六、数字问题
21．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，准确列式是解题的关键．
根据题意可得个位数为，根据个位数字平方与这个两位数相等列出方程即可．
【详解】设设周瑜去世时年龄的十位数字是，则个位数上的数字是，
由题意可得：．
故答案为：．
22．（2024九年级·全国·竞赛）已知a是一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小6，把十位上的数字与个位上的数字对调后得到一个新的两位数b，如果，那么 ．
【答案】39
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确列出方程是解答本题的关键． 设十位上的数字为x，则个位上的数字为，根据列方程求解即可．
【详解】解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为，
，
解得（舍），或，
．
故答案为：39．
23．（2024九年级·全国·专题练习）一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和．已知这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数．
【答案】257
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．正确理解数字与每个位上的数字的关系是关键．设该三位数的百位数字是，则十位数字是，个位数字是．所以根据“这个三位数比个位数字的平方的5倍大12”列出方程．
【详解】解：设该三位数的百位数字是为正整数），则十位数字是，个位数字是．则：
，
整理，得：，
所以．
所以或，
解得，或（舍去），
则，，
则该三位数是257．
答：这个数是257．
24．（2023·山东枣庄·模拟预测）第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份．
(1)请把八进制数换算成十进制数；
(2)小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值（为正整数）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查有理数的混合运算，解题关键是根据题意找到进制转化的方法．
（1）根据题意，从个位数字起，将八进制的每一位数分别乘以，，，，再把所得的结果相加即可；
（2）根据进制数和十进制数的计算方法得到关于的方程，解方程即可．
【详解】（1）
．
故答案为：；
（2）依题意有：，
解得，负值舍去．
故的值是．
题型七 、行程问题
25．（22-23九年级上·湖北荆州·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（ ）
A．36 B．26 C．24 D．10
【答案】C
【分析】设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，将其值代入中即可求出结论．
【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，
依题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），
∴．
故乙走的步数是．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
26．（2021九年级·陕西·专题练习）甲，乙两人分别骑车从两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇．相遇后两人按原来的方向继续前进，乙在由C地到达A地的途中因故障停了20分钟，结果乙由C地到达A地比甲由C地到达B地还提前了40分钟．已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（ ）千米/时．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为千米/时，根据题意得到乙所用的时间比甲少一小时，列出关于x的分式方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：设甲每小时行驶x千米，则有乙每小时行驶千米，
根据题意得：，
去分母得：
，
即，
解得：或（舍去），
经检验分式方程的解，且符合题意，
，
则甲、乙两人骑车的速度分别为千米/时，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，准确找出等量关系布列分式方程是解题的关键．
27．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动．
(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？
(2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，）
【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少
(2)小球滚动约用了秒
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可；
（2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少，
答：小球的滚动速度平均每秒减少．
（2）解：设小球滚动约用了秒，此时速度为，
由题意得：，
整理得：，
解得：或，
当时，，不符题意，舍去，
，
答：小球滚动约用了秒．
28．（22-23九年级下·重庆北碚·阶段练习）月日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的倍．
(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？
(2)乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快千米/小时，乙开车时间比甲开车时间少小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时，乙步行了小时后到达目的地，求的值．
【答案】(1)甲开车的平均速度是千米/小时，步行的平均速度是千米/小时；
(2)．
【分析】（）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，根据甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时．列出分式方程，解方程即可；
（）根据乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米．列出一元二次方程，解之取其正值即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一元二次方程．
【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲开车的平均速度是千米小时，步行的平均速度是千米小时；
（2）由（）可知，甲开车的时间为小时，则乙开车的时间为小时，
由题意可知，乙开车的速度为千米小时，乙步行的速度为千米小时，
由题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
答：的值为．
题型八、图表信息问题
29．（21-22九年级·安徽池州·期中）如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数．
(1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）；
(2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．
【答案】(1)；
(2)9．
【分析】（1）设圈出的四个数中，最小的数为，根据日历上两个数之间的关系可得答案；
（2）根据最小数与最大数的乘积为105，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】（1）解：设圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为
故答案为：
（2）设四个数中，最小数为，根据题意，得.
解得（不符合题意负值舍去）
答：这个最小值为9.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
30．（21-22九年级上·广东广州·期末）某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费．
（1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？
（2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况：
月份 用水量（吨） 交水费总金额（元）
4 18 62
5 24 86
根据上表数据，求规定用水量a的值
【答案】（1） ；（2）10
【分析】（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，然后根据“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，即可求解；
（2）若 ，可得 ，从而得到 ，再由“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，列出方程，即可求解．
【详解】解：（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，
元；
（2）若 ，有
，解得： ，即 ，不合题意，舍去，
∴ ，
根据题意得： ，
解得： （舍去），
答：规定用水量a的值为10吨．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
31．（2024·安徽合肥·模拟预测）【观察思考】
【规律发现】
（）第个图案中“”的个数为______；
（）第（为正整数）个图案中“○”的个数为_____“”的个数为_____（用含的式子表示）
【规律应用】
（）结合上面图案中“○”和“”的排列方式及规律，求正整数，使得“○”比“”的个数多．
【答案】（）；（），；（）．
【分析】（）根据前几个图案的规律，即可求解；
（）根据题意，结合图形规律，即可求解；
（）根据题意，列出方程，解方程即可求解；
本题考查了图形类规律以及解一元二次方程，根据图形找出规律是解题的关键．
【详解】解：（）第个图案中“”的个数可表示为，
第个图案中“”的个数可表示为，
第个图案中“”的个数可表示为，
第个图案中“”的个数可表示为，
∴第个图案中“”的个数是个，
故答案为：；
（）第个图案中“”的个数可表示为，
第个图案中“”的个数可表示为，
第个图案中“”的个数可表示为，
第个图案中“”的个数可表示为，
第个图案中“”的个数是个，
∴第个图案中“”的个数可表示为，
第个图案中有个○，
第个图案中有个○，
第个图案中有个○，
第个图案中有个○，
第个图案中“○”的个数是，
∴第个图案中“○”的个数是，
故答案为：，；
由题意可得，，
整理得，，
解得：（舍去）或．
32．（23-24九年级·安徽淮北·期中）如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d．请解答下列问题．
(1)若用含有 a 的式子分别表示出b，c，d， 则 ， ， ；按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ．
(2)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数．
(3)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由．
【答案】(1)；；；
(2)10
(3)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据日历的特点先求出b、c、d，再根据当a越大时，b也越大，求出a的最大值即可求出的最大值；
（2）根据方框中最大数与最小数的乘积为180，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（3）假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，根据方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和为124，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，由在最后一列，可得出假设不成立，即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124．
【详解】（1）解：由题意得，；
∵a是正整数，
∴也是正整数，
∴当a越大时，b也越大，
根据日历的特点可知a的最大值为23，此时b的值为24，
∴的最大值为；
故答案为：；；；；
（2）解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
∴最小数是10；
（3）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由如下：
假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∵时，在最后一列，
假设不成立，
即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124．
一、单选题
1．（23-24九年级上·重庆丰都·期末）在“两学一做”活动中，某社区居民在一幅长，宽的矩形宣传画的四周加上宽度相同的边框，制成一幅挂图（如图），如果宣传画的面积占这个挂图面积的，所加边框的宽度为，则根据题意列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，所加边框的宽度为，那么挂图的面积就应该为，根据题意即可列出方程，解题的关键是根据题中的等量关系，列出方程．
【详解】设所加边框的宽度为，那么挂图的面积就应该为，
∴，
故选：．
2．（23-24九年级上·重庆綦江·期末）幼儿园的甲乙两个小朋友做“搬家”游戏，小朋友甲拿着木条进屋，过长方形门框时，横拿竖拿都拿不进去，横着比门框宽2尺，竖着比门框高1.5尺．小朋友乙叫他沿着门的两个对角斜着拿木条，小朋友甲按照小朋友乙的方法一试，不多不少刚好进去了，你知道木条有多长吗？若设木条的长为尺，则下列方程符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握勾股定理是解决问题的关键．
先根据题意用木条的长为，表示出门框的长、宽、以及竹竿长是直角三角形的三个边长，然后根据勾股定理列方程即可．
【详解】解：∵竹竿的长为x尺，横着比门框宽2尺，竖着比门框高尺．
∴门框的长为尺，宽为尺，
由勾股定理可得：．
故选：A．
3．（23-24九年级上·重庆·期中）我国古代数学著作《增减算法统宗〉记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一”，其大意为：有一块正方形水池，测量出除水池外图内可耕地的面积垥好是72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是步，则列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
此题主要考查了正方形的性质以及由实际问题抽象出一元二次方程，直接利用圆的面积减去正方形面积，进而得出答案，正确表示出圆的面积是解题关键．
【详解】解：设正方形的边长是步，则列出的方程是，
，
故选：B．
4．（23-24九年级上·云南昆明·期中）古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如的方程的图解法是：如图1，以和为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．若关于的一元二次方程，按照图1，构造图2，在中，，连接，若，则的值为（）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程的解法-公式法，解一元二次方程的方法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，要根据方程的特点进行选择即可．
先根据勾股定理求得的长， 再求的长，根据可得列方程即可求解．
【详解】∵，
根据题意可得：，
，
即
即
解得：或（舍），
故选：C．
二、填空题
5．（23-24九年级上·山西晋中·期末）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下、左、右页边距分别为a、b 、c 、d ．若纸张大小为，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的，则需设置页边距为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设页边距为x，根据打印区域的面积占纸张面积的，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】解：设页边距为x，
由题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
故答案为：3．
6．（23-24九年级上·四川成都·期中）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则 ．
【答案】
【分析】结合题意可得，和是扇形的边，则，根据正方形性质可得，，因为是的中点，则；根据勾股定理可得，直角中，，即，综合可得即可求得的值．
【详解】解：依题得：，
设，
则正方形中，，，
是的中点，
，
又，
，
在直角中，，
即
，，
，即，
，
舍去，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质、圆的性质、勾股定理、一元二次方程的解，解题关键是找到和两个等量关系式列一元二次方程．
7．（23-24九年级上·湖南常德·期中）观察思考
结合图案中“★”和“◎”的排列方式及规律，则第 个图案中“★”的个数比“◎”的个数的3倍少35个．
【答案】7或10
【分析】本题考查了规律探索，一元二次方程的应用，利用枚举法，确定“★”的规律；再确定“◎”的规律，根据题意，列出方程解答即可．
【详解】根据题意，得
第1个图案中的个数为：1；
第2个图案中的个数为：；
第3个图案中的个数为：；…，
所以第n个图案中的个数为：．
第1个图案中的个数为：；
第2个图案中的个数为：；
第3个图案中的个数为：；…，
所以第n个图案中的个数为：．
由题知，，
解得或，
故答案为：7或10．
8．（23-24九年级上·四川德阳·阶段练习）《代数学》中记载，形如的方程求正数解的几何方法是：“如图①，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解决了关于x的方程，构造图②，已知阴影部分的面积为60，则该方程的正数解为 ．
【答案】
【分析】先把方程化为指定的形式，根据题意，得，确定，继而得到大正方形的面积为，从而得到方程的正数解为计算即可．
【详解】由得，
∵阴影部分的面积为60，
∴，
根据题意，得，
∴，
∴大正方形的面积为，
∴方程的正数解为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了阅读学习的本领，利用图形求一元二次方程的解，正确读取解题信息是解题的关键．
三、解答题
9．（2024·江苏徐州·三模）用手机抢红包是大家春节期间进行交流联系、增强感情的一部分．下面是宁宁和她的妹妹在春节期间的对话
请问：
(1)2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是多少？
(2)2024年除夕，宁宁和她妹妹用手机各抢到了多少元的红包？
【答案】(1)2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是
(2)宁宁和她妹妹2024年除夕用手机抢到红包分别为180元和396元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用．对于增长率问题，增长前的量×（1+年平均增长率）年数=增长后的量．
（1）设2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是x，由此可列出方程，求解即可．
（2）设宁宁在2024年除夕用手机抢到的红包为y元，则她妹妹收到微信红包为元，根据她们共收到微信红包576元列出方程并解答．
【详解】（1）解：设2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是x，
依题意得：，
解得：，（舍去）．
答：2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是．
（2）解：设宁宁在2024年除夕用手机抢到的红包为y元，
依题意得：，
解得：，
所以，
答：宁宁和她妹妹2024年除夕用手机抢到红包分别为180元和396元．
10．（23-24六年级上·河南南阳·阶段练习）今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，多见于5岁及以上儿童，如果外出时能够戴上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)某药房最近售出了普通医用口罩和医用口罩共180盒，已知售出的普通医用口罩的盒数不少于医用口罩的5倍，每盒医用口罩的价格为10元，每盒普通医用口罩的价格为4元，则售出医用口罩和普通医用口罩各多少盒时，总销售额最多？请说明理由．
【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了6个人
(2)售出医用口罩和普通医用口罩各30盒和150盒时，总销售额最多
【分析】本题主要考查一元二次方程，一次函数的应用，不等式的应用，解题的关键是找到等量(或不等量)关系，列方程或列不等式．
（1）设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，列方程求解；
（2）设售出的医用口罩的数量是a盒，普通医用口罩的数量是盒，根据题意得列不等式得到，设总销售额为y元，根据题意得到，根据一次函数的性质得到结论．
【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人．
由题意，得解得，．经检验，符合题意．
答：每轮传染中平均一个人传染了6个人．
（2）设售出医用口罩的盒数是a盒，则售出普通医用口罩的盒数是盒．总销售额为y元．
由题意，得，解得．
．
∵，
∴y随a的增大而增大．
∴当时，y有最大值，此时．
答：售出医用口罩和普通医用口罩各30盒和150盒时，总销售额最多．
11．（23-24九年级上·山东济南·期末）2022年9月，教育部正式印发《义务教育课程方案》，《劳动教育》称为一门独立的课程，某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地；一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为15米），用长为30米的篱笆，围成矩形养殖园如图1，已知矩形的边靠院墙，和与院墙垂直，设的长为．
(1)当围成的矩形养殖园面积为时，求的长；
(2)如图2，该学校打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道篱笆作为隔离网，并与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
【答案】(1)的长为10m；
(2)不能，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式．
（1）设的长为，根据篱笆的总长及的长，可得出的长，利用矩形的面积公式，可列出关于的一元二次方程，解之即可求出结论；
（2）假设养殖园的面积能达到，设的长为，则的长为，利用矩形的面积公式，可列出关于的一元二次方程，由根的判别式△，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即养殖园的面积不能达到．
【详解】（1）解：设的长为，则矩形的宽，
由题意得：，
解得．，
墙的最大可用长度为15米，
，
，
即的长为；
（2）解：不能，理由如下：
设AB的长为，则矩形的宽，
由题意得：，
整理得：，
∵，
∴该方程没有实数根，
∴此时养殖园的面积不能达到．
12．（2024·福建福州·模拟预测）重庆市自发布“重庆市长江10年禁鱼通告”后，忠县内的黄钦水库自然生态养殖鱼在市场上热销，并被誉为“清凉五月天，黄钦自有贤”的美誉2024年五一假期依依同学旅游到此，并购买了若干桂花鱼和大罗非，她用840元买的桂花鱼的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20斤，且大罗非的单价是桂花鱼的1.5倍，
(1)求桂花鱼、大罗非两种鱼的单价分别为多少元；
(2)两种鱼在得到一致好评后，依依决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中桂花鱼按照原单价购买，大罗非的单价每斤降低m元，则购买的数量会比第一次购买大罗非的数量增加2m斤，第二次一共购买80斤鱼共用了1340元．求m的值．
【答案】(1)桂花鱼的单价是14元，大罗非的单价是21元；
(2)m的值为2
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）设桂花鱼的单价是x元，则大罗非的单价是元，利用数量=总价÷单价，结合用840元买的桂花鱼的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20斤，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出桂花鱼的单价，再将其代入中，即可得出大罗非的单价；
（2）利用数量=总价÷单价，可求出第一次购买大罗非的数量，再利用总价=单价×数量，可列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设桂花鱼的单价是x元，则大罗非的单价是元，
根据题意得： ，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴（元）．
答：桂花鱼的单价是14元，大罗非的单价是21元；
（2）第一次购买大罗非的数量是（斤）．
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：m的值为2．
13．（23-24八年级下·浙江金华·期中）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？
素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件．
素材2 该商品的网上销售价定为60元/件，平均每天销售量是200件，在实体店的销售价定为80元/件，平均每天销售量是100件．按公司规定，实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价．
素材3 据调查，网上销售价每降低1元，网上销售每天平均多售出20件，实体店的销售受网上影响，平均每天销售量减少2件．
问题解决
任务1 计算所获利润 当该商品网上销售价为50元/件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？
任务2 平衡市场方案 该商品的网上销售价每件_________元时，该公司网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润相等
任务3 拟定价格方案 公司要求每天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润＋实体店毛利润）达到8160元，求每件商品的网上销售价是多少元？
【答案】（1）任务1：网上销售：4000元；实体店销售：3200元；（2）任务2：60或46；（3）任务3：58或56元
【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元二次方程的应用，根据题意列出总毛利润的代数式是解答本题的关键．
任务1：根据毛利润单件毛利润销售数量求解即可；
任务2：设网上销售单价下降x元/件时，该公司网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润相等，分别算出网上销售和实体店销售的利润，根据相等列式求解即可；
任务3：设网上销售单价下降y元/件，分别算出网上销售和实体店销售的利润再算总利润等于8160，进行求解即可．
【详解】解：任务1：网上毛利润为：（元），
实体店毛利润为：（元）；
任务2：设网上销售单价下降x元/件时，该公司网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润相等，
根据题意得： ，
整理得：，解得：或，
当网上销售单价下降0元或14元时，即售价为60元/件时，或46元/件时，该公司网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润相等；
任务3：设网上销售单价下降y元/件，
则网上毛利润为：，
实体店毛利润为：；
总毛利润为：，
根据题意，
解得：，，
或56，
则每件商品的网上销售价是58或56元．
14．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）根据以下素材，完成探索任务．
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米.
素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元
问题解决
任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响. （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求.
任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润＝销售利润﹣承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？
【答案】（1）
（2）路面设置的宽度符合要求
（3）每平方米草莓平均利润下调40元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，
（1）根据“道路宽度不超过米，且不小于米”，即可得出纵向道路宽度的取值范围；
（2）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值，再对照（1）中的取值范围，即可得出结论；
（3）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润销售利润承包费，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论．
【详解】（1）解：根据题意得：；
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得： 不符合题意，舍去，
，
路面设置的宽度符合要求；
（3）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，平方米草莓，
根据题意得：，
整理得：，解得：，，
又要让利于顾客，
．
答：每平方米草莓平均利润下调元中小学教育资源及组卷应用平台
2.6应用一元二次方程 题型专练
题型一、传播传染问题
1．（22-23九年级上·广东惠州·期中）某班在举行图书共享仪式上互赠图书，每位同学都把自己的图书给其他同学赠送一本，全班共互赠了1260本书．设全班共有x名同学，依题意，可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个支干长出小分支的数量是 ．
3．（23-24九年级·山东威海·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信．
(1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？
(2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？
4．（23-24九年级上·湖北襄阳·阶段练习）某名同学参加了学校统一组织的某项实验培训，回到班上后，第一节课他教会了若干名同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36名同学会做这项实验．求每节课每名同学教会多少名同学做实验？
题型二、增长率问题
5．（2024·广东深圳·模拟预测）电影《飞驰人生2》讲述了传奇车手张驰重回巴音布鲁克赛场为自己证明的故事，一上映就获得全国人民的追捧，影片第一天票房约4亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达17亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24九年级·上海嘉定·期末）一辆汽车的新车购买价为20万元，每年的年折旧率为，如果在购买后的第二年年末，这辆车折旧后的价值为12.8万元，那么这个x的值是 ．
7．（2024·甘肃武威·三模）为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元，并规划投入教育经费逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入教育经费2640万元，设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同，求这两年该县投入教育经费的年平均增长率．
8．（2024·辽宁大连·三模）某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．(1)求进馆人次的月平均增长率；
(2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳．
题型三、面积问题
9．（2024·吉林·一模）如图，利用一面墙（墙的长度不限），要用长的篱笆围成一个面积为的矩形场地．应怎样设计篱笆的边长？设垂直于墙的边长为，则可列方程为 ．
10．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在长为28米，宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243平方米，请列出关于x的方程，并化为一般式 ．
11．（23-24九年级·山东济宁·期中）如图，要修建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长为18米），其余三边用竹篱笆，篱笆的总长度为35米，围成长方形鸡场的四周不能有空隙．
(1)若要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各应为多少米？
(2)围成鸡场的面积能达到160平方米吗？如果能，写出计算过程，如果不能，说明理由．
12．（2024·陕西渭南·二模）现有可建60米长围墙的建筑材料，如图，利用该材料在某工地的直角墙角处围成一个矩形堆物场地（靠墙面不需要建筑材料），中间用同样的材料分隔为两间，要使所围成的矩形和矩形的面积分别是和，求BF的长（假设已有建筑材料恰好用完）
题型四、动态几何问题
13．（2024·江苏南通·模拟预测）某商品进价为25元，当每件售价为50元时，每天能售出100件，经市场调查发现，每件售价每降低1元，则每天可多售出5件，店里每天的利润要达到1500元．若设店主把该商品每件售价降低x元，求解可列方程为 ．
14．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，则第二周每个旅游纪念品的销售价格为 元．
15．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）某体育用品店销售一种跳绳，4月份销售量为300条，6月份销售量为432条，若从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该跳绳销售量的月增长率；
(2)若此种跳绳的进价为30元/条，经过市场调研，当售价为40元/条时，月销售量为600条，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10条，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，那么该跳绳的售价应定为多少？
16．（23-24九年级·浙江宁波·期中）每年的4月12日为载人空间飞行国际日，也是世界航天日．我国在2023年完成“天宫空间站”的在轨建造，取得了举世瞩目的航天成就．某商店为满足航天爱好者的需求，特推出“天宫空间站”系列A、B两款模型，A款模型比B款模型售价低20元，800元购买A款模型的数量与960元购买B款模型的数量相等．按定价销售一段时间后发现B款模型每天可以卖15件．为扩大销售，该商店准备适当降价，经过一段时间测算，B款模型每降价5元，则每天可以多卖1件．
(1)A、B两款模型每件售价分别是多少？
(2)为了使B款模型每天的销售额为1900元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B款模型的降价后的售价为多少元/件？
题型五、营销问题
17．（22-23九年级上·安徽·阶段练习）如图，在中，，点M从点A出发沿边向点B以的速度移动，同时点N从点B出发沿边向点C以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动．当的面积为时，运动时间为（ ）
A． B． C． D．
18．（23-24九年级·安徽合肥·期中）如图，长方形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止．
（1）若经过x秒，用x的代数式表示，则 ；
（2）经过 秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为．
19．（23-24九年级·安徽马鞍山·期中）如图，长方形（长方形的对边相等，每个角都是），，，动点、分别从点、同时出发，点以2厘米/秒的速度向终点移动，点以1厘米/秒的速度向移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为．
（1）当点和点距离是3cm时， ．
（2）当 ，为直角三角形（）．
20．（2024·甘肃武威·二模）如图，、、、为矩形的个顶点，，，动点从点出发，沿方向运动，动点同时从点出发，沿方向运动，如果点、的运动速度均为，经过多长时间、两点之间的距离是？
题型六、数字问题
21．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为 ．
22．（2024九年级·全国·竞赛）已知a是一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小6，把十位上的数字与个位上的数字对调后得到一个新的两位数b，如果，那么 ．
23．（2024九年级·全国·专题练习）一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和．已知这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数．
24．（2023·山东枣庄·模拟预测）第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份．
(1)请把八进制数换算成十进制数；
(2)小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值（为正整数）．
题型七 、行程问题
25．（22-23九年级上·湖北荆州·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（ ）
A．36 B．26 C．24 D．10
26．（2021九年级·陕西·专题练习）甲，乙两人分别骑车从两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇．相遇后两人按原来的方向继续前进，乙在由C地到达A地的途中因故障停了20分钟，结果乙由C地到达A地比甲由C地到达B地还提前了40分钟．已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（ ）千米/时．
A． B． C． D．
27．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动．
(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？
(2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，）
28．（22-23九年级下·重庆北碚·阶段练习）月日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的倍．
(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？
(2)乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快千米/小时，乙开车时间比甲开车时间少小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时，乙步行了小时后到达目的地，求的值．
题型八、图表信息问题
29．（21-22九年级·安徽池州·期中）如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数．
(1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）；
(2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．
30．（21-22九年级上·广东广州·期末）某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费．
（1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？
（2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况：
月份 用水量（吨） 交水费总金额（元）
4 18 62
5 24 86
根据上表数据，求规定用水量a的值
31．（2024·安徽合肥·模拟预测）【观察思考】
【规律发现】
（）第个图案中“”的个数为______；
（）第（为正整数）个图案中“○”的个数为_____“”的个数为_____（用含的式子表示）
【规律应用】
（）结合上面图案中“○”和“”的排列方式及规律，求正整数，使得“○”比“”的个数多．
32．（23-24九年级·安徽淮北·期中）如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d．请解答下列问题．
(1)若用含有 a 的式子分别表示出b，c，d， 则 ， ， ；按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ．
(2)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数．
(3)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由．
一、单选题
1．（23-24九年级上·重庆丰都·期末）在“两学一做”活动中，某社区居民在一幅长，宽的矩形宣传画的四周加上宽度相同的边框，制成一幅挂图（如图），如果宣传画的面积占这个挂图面积的，所加边框的宽度为，则根据题意列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24九年级上·重庆綦江·期末）幼儿园的甲乙两个小朋友做“搬家”游戏，小朋友甲拿着木条进屋，过长方形门框时，横拿竖拿都拿不进去，横着比门框宽2尺，竖着比门框高1.5尺．小朋友乙叫他沿着门的两个对角斜着拿木条，小朋友甲按照小朋友乙的方法一试，不多不少刚好进去了，你知道木条有多长吗？若设木条的长为尺，则下列方程符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24九年级上·重庆·期中）我国古代数学著作《增减算法统宗〉记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一”，其大意为：有一块正方形水池，测量出除水池外图内可耕地的面积垥好是72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是步，则列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24九年级上·云南昆明·期中）古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如的方程的图解法是：如图1，以和为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．若关于的一元二次方程，按照图1，构造图2，在中，，连接，若，则的值为（）
A．3 B．4 C．6 D．8
二、填空题
5．（23-24九年级上·山西晋中·期末）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下、左、右页边距分别为a、b 、c 、d ．若纸张大小为，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的，则需设置页边距为 ．
6．（23-24九年级上·四川成都·期中）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则 ．
7．（23-24九年级上·湖南常德·期中）观察思考
结合图案中“★”和“◎”的排列方式及规律，则第 个图案中“★”的个数比“◎”的个数的3倍少35个．
8．（23-24九年级上·四川德阳·阶段练习）《代数学》中记载，形如的方程求正数解的几何方法是：“如图①，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解决了关于x的方程，构造图②，已知阴影部分的面积为60，则该方程的正数解为 ．
三、解答题
9．（2024·江苏徐州·三模）用手机抢红包是大家春节期间进行交流联系、增强感情的一部分．下面是宁宁和她的妹妹在春节期间的对话
请问：(1)2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是多少？
(2)2024年除夕，宁宁和她妹妹用手机各抢到了多少元的红包？
10．（23-24六年级上·河南南阳·阶段练习）今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，多见于5岁及以上儿童，如果外出时能够戴上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)某药房最近售出了普通医用口罩和医用口罩共180盒，已知售出的普通医用口罩的盒数不少于医用口罩的5倍，每盒医用口罩的价格为10元，每盒普通医用口罩的价格为4元，则售出医用口罩和普通医用口罩各多少盒时，总销售额最多？请说明理由．
11．（23-24九年级上·山东济南·期末）2022年9月，教育部正式印发《义务教育课程方案》，《劳动教育》称为一门独立的课程，某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地；一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为15米），用长为30米的篱笆，围成矩形养殖园如图1，已知矩形的边靠院墙，和与院墙垂直，设的长为．
(1)当围成的矩形养殖园面积为时，求的长；
(2)如图2，该学校打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道篱笆作为隔离网，并与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
12．（2024·福建福州·模拟预测）重庆市自发布“重庆市长江10年禁鱼通告”后，忠县内的黄钦水库自然生态养殖鱼在市场上热销，并被誉为“清凉五月天，黄钦自有贤”的美誉2024年五一假期依依同学旅游到此，并购买了若干桂花鱼和大罗非，她用840元买的桂花鱼的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20斤，且大罗非的单价是桂花鱼的1.5倍，
(1)求桂花鱼、大罗非两种鱼的单价分别为多少元；
(2)两种鱼在得到一致好评后，依依决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中桂花鱼按照原单价购买，大罗非的单价每斤降低m元，则购买的数量会比第一次购买大罗非的数量增加2m斤，第二次一共购买80斤鱼共用了1340元．求m的值．
13．（23-24八年级下·浙江金华·期中）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？
素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件．
素材2 该商品的网上销售价定为60元/件，平均每天销售量是200件，在实体店的销售价定为80元/件，平均每天销售量是100件．按公司规定，实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价．
素材3 据调查，网上销售价每降低1元，网上销售每天平均多售出20件，实体店的销售受网上影响，平均每天销售量减少2件．
问题解决
任务1 计算所获利润 当该商品网上销售价为50元/件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？
任务2 平衡市场方案 该商品的网上销售价每件_________元时，该公司网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润相等
任务3 拟定价格方案 公司要求每天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润＋实体店毛利润）达到8160元，求每件商品的网上销售价是多少元？
14．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）根据以下素材，完成探索任务．
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米.
素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元
问题解决
任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响. （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求.
任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润＝销售利润﹣承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？
