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11.2 图形在坐标系中的平移 题型专练
课程标准 学习目标
①在平面直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移一定距离后图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系。 ②在平面直角坐标系中，探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形和原来图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化。 ①掌握在坐标系中描述图形平移的方法； ②理解并掌握图形在平面直角坐标系中的平移与坐标变化的关系,会写出平移前后图形上任一点的坐标； ③能按照点的坐标变化要求在平面直角坐标系中作出简单的平移变换图形。
·点在坐标系中的平移
在平面直角坐标系中，某个点经过平移后，其位置发生了变化，其坐标也发生了变化 .
·点的平移与坐标变化的关系
根据点的平移情况可以得到平移后点的坐标变化情况；反过来，根据点的坐标变化情况，可以得到点的平移情况，即：
【即学即练1】将点向上平移3个单位长度，则对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【即学即练2】（23-24八年级下·山西运城·期中）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点N，则点N的坐标为（ ）
A． B． C． D．
·图形在坐标平面中的平移:是指在坐标系中，在保持坐标轴不动的情况下，图形的整体移动 .
图形在坐标平面中平移变换的实质：
①图形的位置及表示位置的坐标发生变化；
②图形的形状、大小、 方向不变。
·图形的平移与图形上各点的坐标变化的关系
①因为图形的平移是图形的整体平移，所以已知图形的平移情况，即可得到图形上各点坐标的变化情况；
②平移时，因为图形上各点的变化情况相同，所以已知图形上某点的坐标变化情况，即可知图形的平移情况。
【即学即练3】如图，四盏灯笼位置A、B、C、D坐标分别是，，，，平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（ ）
A．将D向左平移4.5个单位 B．将C向左平移5.5个单位
C．将D向左平移3.5个单位 D．将C向左平移3.5个单位
【即学即练4】在平面直角坐标系中，线段是由线段平移得到的，点A的对应点为C，则点B的对应点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【即学即练5】（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形ABC的顶点A的坐标为，顶点B的坐标为，顶点C的坐标为
(1)把三角形向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形，请你画出三角形；
(2)请直接写出点，，的坐标；
(3)若点是内部一点，则点P平移前对应点Q的坐标为_________．
·已知平移后的点的坐标和平移方式，确定平移前的点的坐标时，需将平移后的点按照相反的方向平移，再求平移前坐标。在审题时要先明确是求平移前的坐标还是平移后的坐标。
【案例】在平面直角坐标系中，将点 A( x， y)向右平移 5个单位，再向上平移 3 个单位后与点B(－3， 2)重合，则点A 的坐标为 。【分析】该问题即求平移前的坐标：B(－3， 2) 向左平移 5个单位，再向下平移 3 个单位后的点A( -8， -1)
或x+5=-3，y+3=2，解得x=-8、y=-1，点A( -8， -1)
·图形在坐标系的平移中，只要给出一组对应点的坐标就可确定平移的方向和平移的距离，图形的平移方式与点的平移方式相同
【题型一：已知图形的平移求点的坐标】
例1．（21-22八年级下·安徽宿州·期中）在平面直角坐标系中，点向右平移2个单位后得到点，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
变式1-1.（22-23八年级下·山东潍坊·期末）把点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点，点正好落在轴上，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式1-2.（23-24七年级下·山西吕梁·期末）在平面直角坐标系中，线段是由线段平移得到的，点A的对应点为C，则点B的对应点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【技巧方法与总结】
解题通法：已知平移方式，确定点的坐标的方法
(1)已知平移前的点的坐标和平移方式，确定平移后的点的坐标时，按点的平移与坐标变化的关系求点的坐标；
(2)已知平移后的点的坐标和平移方式，确定平移前的点的坐标时，只需将平移后的点按照相反的方向平移即可 .
【题型二：根据平移方式和坐标特征求参数的值或范围】
例2．若点先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点，若点位于第四象限，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式2-1．（23-24七年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点，若点位于第四象限，则m，n的取值范围分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
变式2-2．（23-24八年级下·山东青岛·期末）已知点， ，将线段平移至，点的对应点在x轴上，点B的对应点在y 轴上，点的横坐标为a，点的纵坐标为b，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
先利用平移中点的变化规律得到 ，再根据各象限内点的坐标规律得到关于参数的方程或不等式组，求解可得即可。
【题型三：根据平移前后点的坐标判断平移方式】
例3．（22-23八年级下·湖南邵阳·期末）的三个顶点坐标分别为，，经过平移后，得到点的像点，则点的像点的坐标为 ．
变式3-1.（20-21八年级上·安徽马鞍山·期中）通过平移把点移到点，按同样的平移方式，点移动到点，则点的坐标是 ．
【题型四：根据图形的平移方式作出平移后的图形】
例4．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．将向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到．
(1)写出点A，B，C的对应点，，的坐标；
(2)画出平移后的．
变式4-2.（22-23八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知是原点，四边形是长方形，且四个顶点都在格点上．
(1)分别写出，，，四个点的坐标；
(2)画出将长方形先向下平移4个单位，再向右平移2个单位得到的四边形．
【技巧方法与总结】坐标系中的平移变换作图问题，关键是掌握平移的基本要素有两个：平移方向，平移距离。先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离，利用点平移的坐标规律：左右移动横坐标变，上下移动纵坐标变，即上加下减，右加左减，
【题型五：根据图形的平移方式表示点的坐标——求图形面积】
例5．如图，三角形的边在轴的正半轴上，点是原点，点的坐标为，把三角形沿轴向右平移2个单位长度，得到三角形，连接，．若三角形的面积为3，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．1 C．2 D．
例6．（23-24八年级上·安徽·期中）如图，将向左、向下分别平移5个单位，得到．
(1)画出；
(2)求出的面积；
(3)若点是内一点，直接写出点P平移后对应点的坐标．
变式6-1．（22-23七年级下·安徽芜湖·期末）平面直角坐标系xOy中，已知点，，．
(1)在网格中画出这个平面直角坐标系；
(2)连接，平移线段，使点C移动到点A，得到线段．
①画出线段；
②连接，，求四边形的面积．
【方法技巧与总结】①根据平移方式和坐标特征表示出相关点的坐标；②进而表示出相关边长；③最后运用用面积公式（割补法）表示面积．
【题型六：与图形平移有关的点的坐标的规律探索】
例7．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）如图所示，平面直角坐标系中，轴负半轴有一点 ，点第次向上平移个单位至点，接着又向右平移个单位至点，然后再向上平移个单位至点，向右平移个单位至点，照此规律平移下去，点平移至点时，点的坐标 ．
【方法技巧与总结】关键是总结出点的坐标的平移规律
【题型七：图形在坐标系中的平移与图形综合问题】
例8．（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）在平面直角坐标系中，已知点，且a，b，c满足．
(1)求A，B，C三点的坐标．
(2)若将线段平移，对应的线段是由C，D为端点的线段，求点D的坐标．
(3)若第一象限存在点，使得的面积为，求点P的坐标．
变式8-1．在平面直角坐标系中，对于图形M与图形N给出如下定义：点P为图形M上任意一点，点P与图形N上的所有点的距离的最小值为k，将点P延x轴正方向平移个单位长度得到点，称点是点P关于图形N的“关联点”，图形M上所有点的“关联点”组成的新图形记为，称是图形M关于图形N的“相关图形”．已知，，，其中．
（1）若，点关于线段的“关联点”的坐标是______；
（2）若，请用尺规在图中画出点关于线段的“关联点”（保留作图痕迹）；
【思想方法】数形结合、分类讨论、方程思想
关键：线段之间的数量关系，转化为坐标之间的数量关系，然后根据坐标的特征列方程或不等式求解。
一、选择题
1．（21-22八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，点P（2，－3）先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的点坐标是（ ）
A．（0，0） B．（6，－4） C．（6，0） D．（0，－6）
2．（23-24七年级下·湖北十堰·期末）如果将点向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（23-24八年级下·山东青岛·期末）已知点， ，将线段平移至，点的对应点在x轴上，点B的对应点在y 轴上，点的横坐标为a，点的纵坐标为b，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知点经过平移后的对应点是，点也经过这样的平移后对应点是，则的值为（ ）
A．4 B． C．3 D．
5．（22-23七年级下·安徽·期末）已知点向上平移3个单位得，则的值为( )
A．1 B．－8 C．7 D．16
6．（2023·浙江绍兴·中考真题）在平面直角坐标系中，将点先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（22-23八年级上·安徽六安·期末）在平面直角坐标系中，将点向上平移 个单位后得到点
8．（20-21七年级下·江西赣州·期末）在平面直角坐标系内，把点P先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到的点的坐标是（-5，3）则点P的坐标是 ．
9.（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的．左图案中左右眼睛的坐标分别是、，右图中左眼的坐标是，，则右图案中右眼的坐标是 ，左图内有一点经过上述平移后，对应点坐标为 ．
10．（22-23八年级上·安徽宣城·期末）将P点向上平移2个单位到Q点，且点Q在x轴上，那么Q点坐标为 ．
11．（22-23八年级下·江西吉安·期末）点向左平移m个单位长度，再向上平移的n个单位长度所得对应点为，则 ．
三、解答题
12．（22-23七年级下·安徽阜阳·期末）如图，在边长均为1个单位的正方形网格图中，建立了直角坐标系，按要求解答下列问题：
(1)写出A点的坐标；
(2)画出向右平移6个单位，再向下平移2个单位后的图形；
(3)求的面积．
13．（22-23八年级上·安徽滁州·期末）在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形，位置如图所示．
(1)分别写出点的坐标： ， ．
(2)请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的；
(3)若点是三角形外部一点，则平移后对应点的坐标为，求和的值．
1．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次跳动至点，第二次向右跳动3个单位至点，第三次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，…，以此规律跳动下去，点第次跳动至点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23七年级下·安徽·期末）将点向上平移5个单位，再向右平移3个单位，得到点，则 ．
3．（23-24八年级上·安徽亳州·期中）已知点，将点M向上平移4个单位得到点N．
(1)若点N的纵坐标比横坐标大3，求点M的坐标；
(2)若点M到x轴的距离为2，且在第四象限，求点N的坐标．
（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，；
(1)直接写出坐标：点（____________，__________），点（___________，___________）
(2)，分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？
(3)点是直线上一个动点，连接，，当点在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系．中小学教育资源及组卷应用平台
11.2 图形在坐标系中的平移 题型专练
课程标准 学习目标
①在平面直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移一定距离后图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系。 ②在平面直角坐标系中，探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形和原来图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化。 ①掌握在坐标系中描述图形平移的方法； ②理解并掌握图形在平面直角坐标系中的平移与坐标变化的关系,会写出平移前后图形上任一点的坐标； ③能按照点的坐标变化要求在平面直角坐标系中作出简单的平移变换图形。
知识点01 用坐标表示点的平移
·点在坐标系中的平移
在平面直角坐标系中，某个点经过平移后，其位置发生了变化，其坐标也发生了变化 .
·点的平移与坐标变化的关系
根据点的平移情况可以得到平移后点的坐标变化情况；反过来，根据点的坐标变化情况，可以得到点的平移情况，即：
【即学即练1】将点向上平移3个单位长度，则对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：将点向上平移3个单位长度得到点，则的坐标是，即．
故选：B．
【即学即练2】（23-24八年级下·山西运城·期中）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点N，则点N的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：点向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点N的坐标为；
故选：A．
知识点02 用点的坐标表示图形的平移
·图形在坐标平面中的平移:是指在坐标系中，在保持坐标轴不动的情况下，图形的整体移动 .
图形在坐标平面中平移变换的实质：
①图形的位置及表示位置的坐标发生变化；
②图形的形状、大小、 方向不变。
·图形的平移与图形上各点的坐标变化的关系
①因为图形的平移是图形的整体平移，所以已知图形的平移情况，即可得到图形上各点坐标的变化情况；
②平移时，因为图形上各点的变化情况相同，所以已知图形上某点的坐标变化情况，即可知图形的平移情况。
【即学即练3】如图，四盏灯笼位置A、B、C、D坐标分别是，，，，平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（ ）
A．将D向左平移4.5个单位 B．将C向左平移5.5个单位
C．将D向左平移3.5个单位 D．将C向左平移3.5个单位
【答案】B
【详解】解：，，，这四个点的纵坐标都是，
这四个点在一条直线上，这条直线平行于轴，
，，
，关于轴对称，只需要，对称即可，
，，
可以将点向左移动到，移动5.5个单位，
或可以将向左移动到，移动个单位，
故选：B．
【即学即练4】在平面直角坐标系中，线段是由线段平移得到的，点A的对应点为C，则点B的对应点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵线段是由线段平移得到的，点A的对应点为C，
∴线段是把线段向右平移了个单位长度，再向下平移个单位长度得到的，
∴点B的对应点D的坐标为，即，
故选：B．
【即学即练5】（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形ABC的顶点A的坐标为，顶点B的坐标为，顶点C的坐标为
(1)把三角形向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形，请你画出三角形；
(2)请直接写出点，，的坐标；
(3)若点是内部一点，则点P平移前对应点Q的坐标为_________．
【答案】(1)见解析
(2)，，
(3)
【详解】（1）解：如图：即为所画的三角形；
（2）由图可得：，，；
（3）点是内部一点，则点P平移前对应点Q的坐标为．
·已知平移后的点的坐标和平移方式，确定平移前的点的坐标时，需将平移后的点按照相反的方向平移，再求平移前坐标。在审题时要先明确是求平移前的坐标还是平移后的坐标。
【案例】在平面直角坐标系中，将点 A( x， y)向右平移 5个单位，再向上平移 3 个单位后与点B(－3， 2)重合，则点A 的坐标为 。
【分析】该问题即求平移前的坐标：B(－3， 2) 向左平移 5个单位，再向下平移 3 个单位后的点A( -8， -1)
或x+5=-3，y+3=2，解得x=-8、y=-1，点A( -8， -1)
·图形在坐标系的平移中，只要给出一组对应点的坐标就可确定平移的方向和平移的距离，图形的平移方式与点的平移方式相同
【题型一：已知图形的平移求点的坐标】
例1．（21-22八年级下·安徽宿州·期中）在平面直角坐标系中，点向右平移2个单位后得到点，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵点C向右平移2个单位后得到点D（-2，4），
∴点C的坐标为（-2-2，4），即（-4，4），
故选：B．
变式1-1.（22-23八年级下·山东潍坊·期末）把点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点，点正好落在轴上，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点，
点的坐标为，
点正好落在轴上，
，
，
，
点的坐标为，
故选：A．
变式1-2.（23-24七年级下·山西吕梁·期末）在平面直角坐标系中，线段是由线段平移得到的，点A的对应点为C，则点B的对应点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵线段是由线段平移得到的，点A的对应点为C，
∴线段是把线段向右平移了个单位长度，再向下平移个单位长度得到的，
∴点B的对应点D的坐标为，即，
故选：B．
【技巧方法与总结】
解题通法：已知平移方式，确定点的坐标的方法
(1)已知平移前的点的坐标和平移方式，确定平移后的点的坐标时，按点的平移与坐标变化的关系求点的坐标；
(2)已知平移后的点的坐标和平移方式，确定平移前的点的坐标时，只需将平移后的点按照相反的方向平移即可 .
【题型二：根据平移方式和坐标特征求参数的值或范围】
例2．若点先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点，若点位于第四象限，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：点先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点，
，
点位于第四象限，
，
解得．
故选：C．
变式2-1．（23-24七年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点，若点位于第四象限，则m，n的取值范围分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【详解】解：∵将点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点，
∴，
∵在第四象限，
∴，
∴，，
故选：B．
变式2-2．（23-24八年级下·山东青岛·期末）已知点， ，将线段平移至，点的对应点在x轴上，点B的对应点在y 轴上，点的横坐标为a，点的纵坐标为b，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵将线段平移至，点的对应点在x轴上，点B的对应点在y轴上，
∴点的纵坐标为0，点的横坐标为0，
∵点，，
∵点的纵坐标减3得点的纵坐标，点的横坐标加5得点的横坐标，
根据平移可得点的横坐标加5得点的横坐标，点的纵坐标减3得点的纵坐标，
∴，，
∴，
故选：C．
【方法技巧与总结】
先利用平移中点的变化规律得到 ，再根据各象限内点的坐标规律得到关于参数的方程或不等式组，求解可得即可。
【题型三：根据平移前后点的坐标判断平移方式】
例3．（22-23八年级下·湖南邵阳·期末）的三个顶点坐标分别为，，经过平移后，得到点的像点，则点的像点的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：∵点经过平移后得到像点，
∴点A的平移方式是先向右平移7个单位，再向上平移6个单位，
∴点经过平移后得到的像点的坐标为；
故答案为：．
变式3-1.（20-21八年级上·安徽马鞍山·期中）通过平移把点移到点，按同样的平移方式，点移动到点，则点的坐标是 ．
【答案】
【详解】解：把点移到点，只需要将点A向上平移3个单位长度，即横坐标不变，纵坐标加3，
∴按同样的平移方式，点移动到点，即向下平移3个单位长度可得点，
∴点B的坐标是．
【题型四：根据图形的平移方式作出平移后的图形】
例4．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．将向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到．
(1)写出点A，B，C的对应点，，的坐标；
(2)画出平移后的．
【答案】(1)，，；
(2)见详解．
【详解】（1）解：，，．将向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后，根据向右移动横坐标加5，向上移动纵坐标加3这个规律可得：，，；
故答案为：，，；
（2）解：在平面直角坐标系中分别描出点，，，如图，即为所作．
变式4-2.（22-23八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知是原点，四边形是长方形，且四个顶点都在格点上．
(1)分别写出，，，四个点的坐标；
(2)画出将长方形先向下平移4个单位，再向右平移2个单位得到的四边形．
【答案】(1)
(2)见解析
【详解】（1）根据题意，得：；
（2）四边形如图所示：
【技巧方法与总结】坐标系中的平移变换作图问题，关键是掌握平移的基本要素有两个：平移方向，平移距离。先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离，利用点平移的坐标规律：左右移动横坐标变，上下移动纵坐标变，即上加下减，右加左减，
【题型五：根据图形的平移方式表示点的坐标——求图形面积】
例5．如图，三角形的边在轴的正半轴上，点是原点，点的坐标为，把三角形沿轴向右平移2个单位长度，得到三角形，连接，．若三角形的面积为3，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】D
【详解】解：设点，
点的坐标为，
，
由平移的性质可知，，，，
，，
，
，
，
故选：D．
例6．（23-24八年级上·安徽·期中）如图，将向左、向下分别平移5个单位，得到．
(1)画出；
(2)求出的面积；
(3)若点是内一点，直接写出点P平移后对应点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)2.5
(3)
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：由题意知，，
∴的面积为；
（3）解：由题意知，点平移后对应点的坐标为 ．
变式6-1．（22-23七年级下·安徽芜湖·期末）平面直角坐标系xOy中，已知点，，．
(1)在网格中画出这个平面直角坐标系；
(2)连接，平移线段，使点C移动到点A，得到线段．
①画出线段；
②连接，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【详解】（1）解：根据点，，，建立直角坐标系如图所示：
（2）解：①如图所示，线段即为所求．
②四边形的面积：．
【方法技巧与总结】①根据平移方式和坐标特征表示出相关点的坐标；②进而表示出相关边长；③最后运用用面积公式（割补法）表示面积．
【题型六：与图形平移有关的点的坐标的规律探索】
例7．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）如图所示，平面直角坐标系中，轴负半轴有一点 ，点第次向上平移个单位至点，接着又向右平移个单位至点，然后再向上平移个单位至点，向右平移个单位至点，照此规律平移下去，点平移至点时，点的坐标 ．
【答案】
【详解】解：∵，，……，
∴，
∴．
故答案为：．
【方法技巧与总结】关键是总结出点的坐标的平移规律
【题型七：图形在坐标系中的平移与图形综合问题】
例8．（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）在平面直角坐标系中，已知点，且a，b，c满足．
(1)求A，B，C三点的坐标．
(2)若将线段平移，对应的线段是由C，D为端点的线段，求点D的坐标．
(3)若第一象限存在点，使得的面积为，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【详解】（1）解：∵，
又∵大于或等于0，大于或等于0，大于或等于0，
，
解得，
∴A，B，C三点的坐标分别为．
（2）由（1）可知A，B，C三点的坐标分别为．
当点A的对应点为C时，平移的方式是向左平移了4个单位长度，
∴点B的对应点D的坐标为；
当点B的对应点为C时，平移的方式是先向左平移了1个单位长度，再向下平移4个单位长度，
∴点A的对应点D的坐标为，
综上所述，符合题意的点D的坐标为或．
（3）由（1）可知，点A的坐标为，点B的坐标为，
．
如图，
当点P在下方时，连接．
点P的坐标为，且在第一象限，
，，
．
三角形的面积为，
，解得，
∴点P的坐标为．
如图，
当点P在上方时，连接，同理可得，
得，，
．
三角形的面积为，
，解得，
点P的坐标为
综上所述，符合题意的点P的坐标为或．
变式8-1．在平面直角坐标系中，对于图形M与图形N给出如下定义：点P为图形M上任意一点，点P与图形N上的所有点的距离的最小值为k，将点P延x轴正方向平移个单位长度得到点，称点是点P关于图形N的“关联点”，图形M上所有点的“关联点”组成的新图形记为，称是图形M关于图形N的“相关图形”．已知，，，其中．
（1）若，点关于线段的“关联点”的坐标是______；
（2）若，请用尺规在图中画出点关于线段的“关联点”（保留作图痕迹）；
【答案】(1) ； (2)见解析
【详解】（1）解：①若时，经过一，三，四象限，
与所有点的距离的最小值为2，
延x轴正方向平移个单位长度得到点，
，
故答案为：；
②若时，经过一，二，四象限，点关于线段的“关联点”如下图：
【思想方法】数形结合、分类讨论、方程思想
关键：线段之间的数量关系，转化为坐标之间的数量关系，然后根据坐标的特征列方程或不等式求解。
一、选择题
1．（21-22八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，点P（2，－3）先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的点坐标是（ ）
A．（0，0） B．（6，－4） C．（6，0） D．（0，－6）
【答案】D
【详解】解：点P（2，－3）先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
点的坐标为，即
故选D
2．（23-24七年级下·湖北十堰·期末）如果将点向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【详解】解：∵将点向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得，
∴，
∴，
故选：D．
3．（23-24八年级下·山东青岛·期末）已知点， ，将线段平移至，点的对应点在x轴上，点B的对应点在y 轴上，点的横坐标为a，点的纵坐标为b，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵将线段平移至，点的对应点在x轴上，点B的对应点在y轴上，
∴点的纵坐标为0，点的横坐标为0，
∵点，，
∵点的纵坐标减3得点的纵坐标，点的横坐标加5得点的横坐标，
根据平移可得点的横坐标加5得点的横坐标，点的纵坐标减3得点的纵坐标，
∴，，
∴，
故选：C．
4．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知点经过平移后的对应点是，点也经过这样的平移后对应点是，则的值为（ ）
A．4 B． C．3 D．
【答案】B
【详解】解：由在经过此次平移后对应点知、，
即、，
则，
故选：B．
5．（22-23七年级下·安徽·期末）已知点向上平移3个单位得，则的值为( )
A．1 B．－8 C．7 D．16
【答案】A
【详解】解：∵向上平移3个单位得，
∴，
∴
故选：A．
6．（2023·浙江绍兴·中考真题）在平面直角坐标系中，将点先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：将点先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是．
故选：D．
二、填空题
7．（22-23八年级上·安徽六安·期末）在平面直角坐标系中，将点向上平移 个单位后得到点
【答案】2
【详解】解：点向上平移2个单位后得到点，
故答案为：2．
8．（20-21七年级下·江西赣州·期末）在平面直角坐标系内，把点P先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到的点的坐标是（-5，3）则点P的坐标是 ．
【答案】（-3，-1）
【详解】解：设点P的坐标为（x，y），
∵点P先向左平移2个单位长度，向上平移4个单位长度后得到的点的坐标是（-5，3），
∴x-2=-5，y+4=3，
解得x=-3，y=-1，
∴点P的坐标为（-3，-1）．
故答案为：（-3，-1）．
9.（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的．左图案中左右眼睛的坐标分别是、，右图中左眼的坐标是，，则右图案中右眼的坐标是 ，左图内有一点经过上述平移后，对应点坐标为 ．
【答案】
【详解】解：∵左图案中左右眼睛的坐标分别是、，
∴两眼间的距离为2，且平行于轴，
∵右图中左眼的坐标是，
∴右图案中右眼的横坐标为．
则右图案中右眼的坐标是．
∵左眼的坐标从平移到右图中左眼的坐标是，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，
∴左图内有一点经过上述平移后，对应点坐标为
故答案为：，．
10．（22-23八年级上·安徽宣城·期末）将P点向上平移2个单位到Q点，且点Q在x轴上，那么Q点坐标为 ．
【答案】
【详解】∵P点向上平移2个单位到Q点，
∴，
∵点Q在x轴上，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
11．（22-23八年级下·江西吉安·期末）点向左平移m个单位长度，再向上平移的n个单位长度所得对应点为，则 ．
【答案】4
【详解】解：∵点向左平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度所得对应点，
∴，，解得，
∴．
故答案为：4．
三、解答题
12．（22-23七年级下·安徽阜阳·期末）如图，在边长均为1个单位的正方形网格图中，建立了直角坐标系，按要求解答下列问题：
(1)写出A点的坐标；
(2)画出向右平移6个单位，再向下平移2个单位后的图形；
(3)求的面积．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【详解】（1）解：由图可知：；
（2）如图，为所作；
（3）的面积．
13．（22-23八年级上·安徽滁州·期末）在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形，位置如图所示．
(1)分别写出点的坐标： ， ．
(2)请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的；
(3)若点是三角形外部一点，则平移后对应点的坐标为，求和的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【详解】（1）解：观察图象可知．
故答案为：；
（2）解：三角形是由三角形向左平移个单位，向上平移个单位得到．
（3）解：由题意，，
解得，．
1．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次跳动至点，第二次向右跳动3个单位至点，第三次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，…，以此规律跳动下去，点第次跳动至点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，，
，，
，，
，，
∴，（为正整数），
∴，
∴，
∴，
故选：A．
2．（22-23七年级下·安徽·期末）将点向上平移5个单位，再向右平移3个单位，得到点，则 ．
【答案】
【详解】解：∵点向上平移5个单位，再向右平移3个单位，得到点，
∴
解得：
∴，
故答案为：．
3．（23-24八年级上·安徽亳州·期中）已知点，将点M向上平移4个单位得到点N．
(1)若点N的纵坐标比横坐标大3，求点M的坐标；
(2)若点M到x轴的距离为2，且在第四象限，求点N的坐标．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：将点向上平移4个单位得到点，点的纵坐标比横坐标大3，
，
解得，
点的坐标为．
（2）点到轴的距离为2，且点在第四象限，
，
解得：，
则，，
点的坐标为．
（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，；
(1)直接写出坐标：点（____________，__________），点（___________，___________）
(2)，分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？
(3)点是直线上一个动点，连接，，当点在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系．
【答案】(1)；；
(2)秒后，轴
(3)当点P在线段上时，；当点P在的延长线上时，；当点P在的延长线上时，
【详解】（1）解：∵向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，
∴，，
故答案为：；；
（2）解：设t秒后轴，
∵轴，
∴点M与点N的纵坐标相同，
∴，
解得，
∴秒后，轴；
（3）解：①如图1中，当点P在线段上时，
作交于点E，
∴．
∵（平移的性质），
∴，
∴，
∴；
②如图2中，当点P在的延长线上时，
作，
∴．
∵（平移的性质），
∴，
∴，
∴；
③如图3中，当点P在的延长线上时，．
作，同②可证．
