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12.3角的平分线的性质 题型专练
题型一 角平分线的性质定理
1．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，是的角平分线，，垂足为的面积为，则的长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：作于，
是的角平分线，，
故选：C．
2．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，是中的平分线，于点，于点．若，，，则的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】先根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式得到，然后解关于的方程即可．本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【详解】解：是的平分线，，，
，
，
，
．
故选：B．
3．（2024·青海·中考真题）如图，平分，点P在上，，，则点P到的距离是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质定理．过点P作于点E，根据角平分线的性质可得，即可求解．
【详解】解：过点P作于点E，
∵平分，，，
∴，
故选：C．
4．（2024·辽宁大连·一模）如图，在中，是的平分线，于点，于点．若的面积是30，，，则的长是（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】由角平分线的性质推出，由三角形的面积公式得到，又，，即可求出．本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质得到．
【详解】解：为的平分线，于点，于点，
，
的面积的面积的面积，即，
，
，，
．
故选：C．
题型二 角平分线的判定定理
1．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）如图，，，，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查角平分线的判定（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．），解题的关键是根据角平分线的判定得出是的平分线．据此可得出答案．
【详解】解：∵，，，
∴是的平分线，
又∵，
∴．
故答案为：．
2．（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，是的外角，，和的平分线相交于点E，连接，则的度数是 ．
【答案】/48度
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义列式并整理得到，过点E作交延长线于F，作于G，作于H，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后求出，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出是的平分线，再根据角平分线的定义解答即可．
【详解】解：∵和的角平分线相交于点E，
∴，
由三角形的外角性质得，，
，
∴，
∴，
整理得，，
∵，
∴，
过点E作交延长线于F，作于G，作于H，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴是的平分线，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质定理与角平分线的判定定理，难点在于作辅助线并判断出是外角的平分线．
3．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知点分别是的三边上的点，，，且，则的值是 ．
【答案】/84度
【分析】本题考查了三角形面积公式、角平分线的判定与性质，作于，于，由三角形面积公式得出，从而得出平分，再由角平分线的性质即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，作于，于，
，
，，，，
，
，，
平分，
，
故答案为：．
4．（23-24八年级上·四川遂宁·阶段练习）如图， 是 内一点，且 到三边 的距离 ，若 ．
【答案】 /125度
【分析】本题考查了角平分的判定、三角形内角和定理等知识，掌握在角的内部到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上是解题的关键．根据角平分线的判定定理得出平分，平分，然后根据三角形内角和定理求出，进而求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出的度数即可．
【详解】到三边的距离，
平分，平分，
，
，
，
，
．
故答案为：．
题型三 作角平分线（尺规作图）
1．（23-24八年级下·江西九江·期中）已知：如图，求作：一点，使在上，且点到的两边的距离相等．（要求尺规作图，并保留作图痕迹，不要求写作法）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的性质和尺规作图，点到的两边的距离相等则点P在的角平分线上，据此作图即可．
【详解】解：如图所示，作的角平分线交于P，点P即为所求．
2．（2024·浙江台州·一模）如图，已知，请用圆规和无刻度的直尺作的平分线，与交于点．（保留作图痕迹，不要求写作法）
【答案】见解析．
【分析】本题考查尺规作图——作角平分线，根据作角平分线的方法作图即可．熟练掌握各种尺规作图的方法是解题关键．
【详解】解：以点为圆心，任意长为半径画弧，交、于、，分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交点，即为所求．
3．（2024·陕西商洛·三模）如图，在中，，，过点作，请用尺规作图法，在边的延长线上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查作图-复杂作图，平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角和的性质等知识．作平分，交的延长线于点，则，故．
【详解】解：如图，作平分，交的延长线于点，点即为所求．
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
4．（2024·广东东莞·一模）如图，在中，．
(1)请用尺规作图，作的平分线，与BC交于点D；（不要求写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，，求的面积．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质定理，
（1）根据角平分线的作图步骤画出图形即可；
（2）根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：如图，AD即为所求．
（2）解：如图，作交于E，
∵平分，，
∴．
∴的面积为．
题型四 角平分线性质的应用
1．（2024·江西吉安·一模）如图，，平分，交于点，求证．
【答案】见解析
【分析】此题主要考查了角平分线和全等三角形的判定与性质，做题的关键是掌握角平分线和全等三角形的判定定理． 根据平分，可得，由于，，可得，最后可得 ．
【详解】证明：平分，
，
，，
，
．
2．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，已知的周长是21，，分别平分，，于点，且，求的面积．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质定理及三角形面积的求解是解题的关键．过点O分别作于点E，于点F，根据角平分线性质定理，可证明，根据，可列出算式，并结合的周长求出面积．
【详解】如图，过点O分别作于点E，于点F，
分别平分，，
，
同理，
的周长是21，
，
．
3．（22-23八年级上·陕西商洛·期末）如图，在中，，是的平分线，于点，点在边上，连接．
(1)求证：；
(2)若，试说明与的数量关系．
【答案】(1)证明见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查直角三角形全等的判定与性质，涉及角平分线性质、直角三角形全等的判定与性质和邻补角定义，熟练掌握直角三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．
（1）根据角平分线的性质得到，再利用直角三角形全等的判定与性质即可得到答案；
（2）利用直角三角形全等的判定与性质得到，再由邻补角定义即可得到答案．
【详解】（1）证明：在中，，是的平分线，于点，
由角平分线性质可知，
在和中，
，
，
；
（2）解：，
理由如下：
在和中，
，
，
，
，
．
4．（22-23八年级上·湖北荆门·期中）如图，在中，是它的角平分线，．
(1)求的值；
(2)求证：；
(3)求的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）作于点E，于点F，根据角平分线的性质得，则．
（2）作于点G，则，所以；
（3）由， ，得计算即可．
【详解】（1）作于点E，于点F，
∵是的角平分线，，
所以，
所以．
∴的值是．
（2）作于点G，则，
因为，
所以．
（3）因为， ，
所以．
【点睛】本题考查了角的平分线的性质定理，三角形面积的计算，熟练掌握角的平分线的性质是解题的关键．
1．（23-24八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图， 和的角平分线，相交点P，．
(1)求；
(2)求证：；
(3)若，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再根据三角形内角和定理即可求出的度数．
（2）过P作，，，根据角平分线的性质可得，再证，，根据ASA证明即可得．
（3）作的平分线交于点N，由平分，和平分，平分，可得．易证，由等边对等角可得，，由此得，根据可证，因此可得．
【详解】（1），分别平分和，
，，
．
（2）
如图，过P作，，，
，分别平分和，
∴，，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
（3）
如图，作的平分线交于点N，则，
，BD平分，
．
∵平分，
．
∵中，，，
．
∵平分，
，
∴，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理和外角定理，以及等腰三角形的性质．综合性强，难度较大．正确的作出辅助线，灵活运用转化的思想方法是解题的关键．
2．（23-24八年级上·江苏泰州·期中） 如图1，在平面直角坐标系中，点 点P为x轴正半轴上一点，直线直线，垂足为C，直线与y轴交于点E，设P点的横坐标为m．
(1)求证：；
(2)求E点坐标 (用含m的代数式表示)；
(3)如图2， 连接，作点O关于的对称点D，连接与轴交于点F．
①求证：当时， 平分；
②试探索三条线段长度之间的数量关系，直接写出结论．
【答案】(1)证明见详解
(2)
(3)
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求解；
（2）证，即可求解；
（3）①作，由，可得，进而可证；②作，则，证，即可求解；
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴．
（2）在和中，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）①作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时， 平分．
②，理由如下：
作，则，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查三角形的全等证明及性质、角平分线的性质，能够真确做出辅助线是解题的关键．
3．（23-24八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图1，在中，牛分平分与交于点．
图1 图2
(1)如图1，若．
①求的度数；
②作于点，探究之间的数量关系并说明理由；
(2)如图2，若，则的值为________________．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】①利用三角形内角和及角平分线的定义求出即可；
②过点O作于点M，于点N，连接，证明，得到．再证明，得到，即可得到结论；
（2）在取点G、F，使，，过F作于M，于N，先证明，得出，，，同理，，由，得出，设，则，仿照（1）①求出，进而求出，，由角平分线的性质得出，可求出，然后利用即可求解．
【详解】（1）解：①在中，．
∵平分，平分，
∴．
∴．
在中，；
②过点O作于点M，于点N，连接．
∵平分，，，
∴，．
∵平分，，
∴，．
∴，．
由（1）得：．
∴．
在四边形中，．
∵，
∴．
在和中，
∴．
∴．
在和中，
∴．
∴．
∴．
（2）解：在取点G、F，使，，过F作于M，于N，
∵平分，
∴，
又，，
∴，
∴，，，
同理，，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
在中，．
∵平分，平分，
∴．
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分的性质，全等三角形的判定与性质等知识，添加合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
4．（20-21八年级上·广西南宁·期末）已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．
（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC；
（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长．
【答案】（1）见解析；（2）AD﹣AB＝2BE，理由见解析；（3）3．
【分析】（1）过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE＝CF，证明△BCE≌△DCF，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE＝CF，AE＝AF，证明△BCE≌△DCF，得到DF＝BE，结合图形解答即可；
（3）在BD上截取BH＝BG，连接OH，证明△OBH≌△OBG，根据全等三角形的性质得到∠OHB＝∠OGB，根据角平分线的判定定理得到∠ODH＝∠ODF，证明△ODH≌△ODF，得到DH＝DF，计算即可．
【详解】（1）证明：如图1，过点C作CF⊥AD，垂足为F，
∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF，
∵∠CBE+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°，
∴∠CBE＝∠CDF，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（AAS）
∴BC＝DC；
（2）解：AD﹣AB＝2BE，
理由如下：如图2，过点C作CF⊥AD，垂足为F，
∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF，AE＝AF，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，
∴∠CDF＝∠CBE，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（AAS），
∴DF＝BE，
∴AD＝AF+DF＝AE+DF＝AB+BE+DF＝AB+2BE，
∴AD﹣AB＝2BE；
（3）解：如图3，在BD上截取BH＝BG，连接OH，
∵BH＝BG，∠OBH＝∠OBG，OB＝OB
在△OBH和△OBG中，
，
∴△OBH≌△OBG（SAS）
∴∠OHB＝∠OGB，
∵AO是∠MAN的平分线，BO是∠ABD的平分线，
∴点O到AD，AB，BD的距离相等，
∴∠ODH＝∠ODF，
∵∠OHB＝∠ODH+∠DOH，∠OGB＝∠ODF+∠DAB，
∴∠DOH＝∠DAB＝60°，
∴∠GOH＝120°，
∴∠BOG＝∠BOH＝60°，
∴∠DOF＝∠BOG＝60°，
∴∠DOH＝∠DOF，
在△ODH和△ODF中，
，
∴△ODH≌△ODF（ASA），
∴DH＝DF，
∴DB＝DH+BH＝DF+BG＝2+1＝3．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，关键是依照基础示例引出正确辅助线．中小学教育资源及组卷应用平台
12.3角的平分线的性质 题型专练
题型一 角平分线的性质定理
1．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，是的角平分线，，垂足为的面积为，则的长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
2．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，是中的平分线，于点，于点．若，，，则的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2024·青海·中考真题）如图，平分，点P在上，，，则点P到的距离是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（2024·辽宁大连·一模）如图，在中，是的平分线，于点，于点．若的面积是30，，，则的长是（ ）
A．3 B． C．4 D．
题型二 角平分线的判定定理
1．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）如图，，，，若，则 ．
2．（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，是的外角，，和的平分线相交于点E，连接，则的度数是 ．
3．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知点分别是的三边上的点，，，且，则的值是 ．
4．（23-24八年级上·四川遂宁·阶段练习）如图， 是 内一点，且 到三边 的距离 ，若 ．
题型三 作角平分线（尺规作图）
1．（23-24八年级下·江西九江·期中）已知：如图，求作：一点，使在上，且点到的两边的距离相等．（要求尺规作图，并保留作图痕迹，不要求写作法）
2．（2024·浙江台州·一模）如图，已知，请用圆规和无刻度的直尺作的平分线，与交于点．（保留作图痕迹，不要求写作法）
3．（2024·陕西商洛·三模）如图，在中，，，过点作，请用尺规作图法，在边的延长线上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
4．（2024·广东东莞·一模）如图，在中，．
(1)请用尺规作图，作的平分线，与BC交于点D；（不要求写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，，求的面积．
题型四 角平分线性质的应用
1．（2024·江西吉安·一模）如图，，平分，交于点，求证．
2．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，已知的周长是21，，分别平分，，于点，且，求的面积．
3．（22-23八年级上·陕西商洛·期末）如图，在中，，是的平分线，于点，点在边上，连接．
(1)求证：；
(2)若，试说明与的数量关系．
4．（22-23八年级上·湖北荆门·期中）如图，在中，是它的角平分线，．
(1)求的值；
(2)求证：；
(3)求的长．
1．（23-24八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图， 和的角平分线，相交点P，．
(1)求；
(2)求证：；
(3)若，求证：．
2．（23-24八年级上·江苏泰州·期中） 如图1，在平面直角坐标系中，点 点P为x轴正半轴上一点，直线直线，垂足为C，直线与y轴交于点E，设P点的横坐标为m．
(1)求证：；
(2)求E点坐标 (用含m的代数式表示)；
(3)如图2， 连接，作点O关于的对称点D，连接与轴交于点F．
①求证：当时， 平分；
②试探索三条线段长度之间的数量关系，直接写出结论．
3．（23-24八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图1，在中，牛分平分与交于点．
图1 图2
(1)如图1，若．
①求的度数；
②作于点，探究之间的数量关系并说明理由；
(2)如图2，若，则的值为________________．
4．（20-21八年级上·广西南宁·期末）已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．
（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC；
（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长．
