2023-2024学年辽宁省沈阳市于洪区高一（下）第二次月考数学试卷（含答案）

2023-2024学年辽宁省沈阳市于洪区高一（下）第二次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则等于( )
A. B. C. D.
3.国家二级文化保护遗址玉皇阁的台基可近似看作上、下底面边长分别为，，侧棱长为的正四棱台，则该台基的体积约为( )
A. B. C. D.
4.在边长为的正方形中，是的中点，点是的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点，则到平面的距离为( )
A. B. C. D.
5.若圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为( )
A. B. C. D.
6.三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则的最小值与最大值之和为( )
A. B. C. D.
7.已知，，是三个不同的平面，，，则“”是“”的条件．
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要
8.设向量，，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知是平面内的一组基底，则下列向量中能作为一组基底的是( )
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
10.如图，在边长为的正方体中，，分别是棱，的中点，是正方形内的动点，则下列结论正确的是( )
A. 若平面，则点的轨迹长度为
B. 若，则点的轨迹长度为
C. 若，则直线与平面所成角的正弦值的最小值是
D. 若是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是
11.设为复数为虚数单位，下列命题正确的有( )
A. 复数的共轭复数的虚部为 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数是奇函数，则 ______．
13.如图所示，水平放置的一个平面图形的直观图是边长为的正方形，则原图形的周长是______．
14.在中，、、所对边分别是、、，若：：：：，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在直三棱柱中，，，．
求直三棱柱的体积；
求直三棱柱的表面积．
16.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求，的值；
求的单调增区间；
求在区间上的最大值和最小值．
17.本小题分
在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，二面角为直二面角．
求证：；
当时，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知幂函数在定义域上不单调．
试问：函数是否具有奇偶性？请说明理由；
若，求实数的取值范围．
19.本小题分
如图，在三棱锥中，平面，，分别为，的中点，且，，．
证明：．
求二面角的正切值．
参考答案
1.
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14.
15.解：，，，
则直三棱柱的体积为；
，．
则，解得，
故直三棱柱的表面积为．
16.解：由图象知，
由图象得函数的最小正周期为，
则由得，
，
．
．
所以的单调递增区间为，
，，
，
，
当，即时，取得最大值，
当，即时，取得最小值．
17.解：证明：由于底面是边长为的正方形，则，
由于二面角为直二面角，则平面，
由于平面，则，又，，、平面，
则平面，由于平面，则．
取中点，连、，由知，由于二面角为直二面角，
则平面，于是，由于底面是边长为的正方形，则，
，于是，同理，于是，又，设到平面距离为，则由得：，于是解得：，故直线与平面所成角的正弦值为：．
18.解：由题意，解得或，
当时，，
函数在上单调递增，不合题意；
当时，，
函数的定义域为，
函数在上单调递减，在上单调递减，
但，，
所以函数在定义域上不单调，符合题意，
所以，
因为函数的定义域关于原点对称，
且，
所以为奇函数；
由及为奇函数，
可得，
即，
而在上递减且恒负，在上递减且恒正，
所以或或，
解得实数的取值范围为
19.解：证明：在三棱锥中，，分别为，的中点，
则有且，
而，则有，
又由，，则，则有，
又由平面，则，
而，面，面，
则面，则有；
根据题意，取的中点，过点作，交于点，连接、、，
为的中点，为的中点，则且，
又由，，，面，面，
则面，
而，则面，则有，
又由，，，面，面，
则有面，
故AE，
故是二面角的平面角，
中，，，则，
则，
故，
即二面角的正切值为．
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