2023-2024学年河南省郑州七中高一（下）月考数学试卷（含答案）

2023-2024学年河南省郑州七中高一（下）月考数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知所在平面内一点，满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知、为单位向量，且，则、的夹角为( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，，若，反向共线，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
5.下列命题正确的是( )
A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱
B. 有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
C. 有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱
D. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台
6.设的内角，，的对边分别为，，，已知，为边上一点，，，则的面积为( )
A. B. C. D.
7.如图，在等腰梯形中，，，，，是线段上一点，且，动点在以为圆心，为半径的圆上，则的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知某圆锥的母线长为，底面积为，记该圆锥的体积为，若用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，且截去一个体积为的小圆锥，则剩余几何体的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
9.已知等边的边长为，在上且，为线段上的动点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
10.如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，，点为线段上的动点，则的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
11.已知复数，，下列结论正确的有( )
A. 若，
B. 若，则
C. 若复数，满足，则
D. 若，则的最大值为
12.下列命题中正确的是( )
A. 两个非零向量，，若，则与共线且反向
B. 已知，且，则
C. 若，，，为锐角，则实数的取值范围是
D. 若，则为钝角三角形
13.如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是( )
A. 是钝角三角形
B. 的面积是的面积的倍
C. 是等腰直角三角形
D. 的周长是
14.如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标若在坐标系中，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D. 与的夹角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
15.如图，在长方体中，，，，一小虫从顶点出发沿长方体的表面爬到顶点，则小虫走过的最短路线的长为______．
16.已知非零向量、、两两不平行，且，，设，，，则 ______．
17.如图，点为内一点，，，，过点作直线分别交射线，于，两点，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
设，复数．
当满足什么条件时，复数是纯虚数？
当满足什么条件时，复数在复平面所对应的点在复平面内位于第二象限？
19.本小题分
已知向量，且与的夹角为．
求及；
若与所成的角是锐角，求实数的取值范围．
20.本小题分
如图，在中，已知，，，且，边上的两条中线，相交于点．
求；
求的余弦值．
21.本小题分
如图，在中，点在边上，．
若，，，求；
若是锐角三角形，，求的取值范围．
22.本小题分
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
求；
若，设点为的费马点，求；
设点为的费马点，，求实数的最小值．
参考答案
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18.解：由题意得，，
当是纯虚数时，，解得，
即时，是纯虚数．
当在复平面所对应的点在复平面内位于第二象限时，，解得，
即时，在复平面内对应的点在第二象限．
19.解：因为，且与的夹角为，
所以，解得，
则，
所以；
因为，
所以，
由于与所成的角是锐角，
所以，，
解得且，
所以实数的取值范围为．
20.解：设，
则根据题意可得，
又，，三点共线，，，
，
，
；
，，
，
，
，
，．
21.解：根据余弦定理，在中，
，
则，所以，
则，
在中，
，
所以；
以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示直角坐标系，
设，，又，则，
则，，，
则，，，，
由是锐角三角形，可得，
即，解得，
故．
22.解：由已知中，即，
故，由正弦定理可得，
故直角三角形，
即；
由可得，所以三角形的三个角都小于，
则由费马点定义可知：，
设，
由，得，
整理得，
则；
点为的费马点，则，
设，，，，，，
则由，得；
由余弦定理得，
，
，
故由，得，
即，而，，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，即有，解得或舍去．
故实数的最小值为．
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