2023-2024学年上海市嘉定区封浜高级中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年上海市嘉定区封浜高级中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数为虚数单位，则复数在复平面内对应的点所在的象限为( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知，向量为单位向量，，则( )
A. B. C. D.
3.函数的最小正周期为( )
A. B. C. D.
4.下列关于平面基向量的说法中，正确的是( )
平面内不平行的任意两个向量都可以作为一组基向量；
基向量中的向量可以是零向量；
平面内基向量一旦确定，该平面内的向量关于基向量的线性分解形式是唯一确定的．
A. B. C. 、 D. 、
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5. ______．
6.已知，，则 ______．
7.已知复数，，则在复平面内对应的点位于第______象限．
8.已知关于的实系数二次方程的一根为其中是虚数单位，则 ______．
9.正方体中，异面直线与所成角的大小为______．
10.已知，，则向量在向量方向上的投影向量为______用坐标表示．
11.给出下列命题：
书桌面是平面；
平面与平面相交，它们只有有限个公共点；
如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合正确的是______填写序号．
12.已知两条直线，，两个平面，，给出下列四个说法：
，，；
，，；
，；
，，，
其中正确的序号是______．
13.已知复数满足，则的最小值为______．
14.已知向量，若与的夹角为锐角，其中，则的取值范围是______．
15.将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则 ______．
16.如图，在四面体中，与所成的角为，，分别为，的中点，则线段的长为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知是虚数单位，复数，为实数．
当实数满足什么条件时，为纯虚数．
若复数在复平面内对应的点位于实轴负半轴，求复数．
18.本小题分
如图，底面为菱形，点是平面外一点，且平面，、分别是为，的中点．
求证：平面；
若，，，求直线与平面所成角的大小．
19.本小题分
已知向量，，．
若与向量垂直，求实数的值；
若向量，且与向量平行，求实数的值．
20.本小题分
如图，在正方体中，
求证：平面；
求直线与所成的角的大小；
求证：平面．
21.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
Ⅰ求角的大小；
Ⅱ若，．
求的值；
求的面积．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.二
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.或
17.解：由复数是纯虚数，则，解得；
由复数在复平面内对应的点位于实轴负半轴，得，解得，则．
18.解：证明：因为、分别是为，的中点，
所以，又因为，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
因为为菱形，，，
所以三角形为等边三角形，
故BD，
又，所以，
因为平面，
所以就是直线与平面所成角，
在直角三角形中，
，
所以，
即直线与平面所成角的大小为．
19.解：，．
与向量垂直，
，解得．
，
与向量平行，
，解得．
20.证明：因为在正方体中，可知，
而平面，平面，
所以平面；
解：如图，连接，，
在正方体中，可知，，
所以四边形是平行四边形，所以，
所以或其补角是直线与直线所成角，又，
所以，
所以直线与直线所成角为；
证明：因为在正方体中，
可知平面，且平面，
所以，
又因为，是正方形的对角线，因此，
又，且，平面，
所以平面．
21.解：Ⅰ，
由余弦定理可知，，
则，
，
则；
Ⅱ，
则，即，
故，
故，
由正弦定理可知，，
故的面积为．
第1页，共1页