2023-2024学年北京市朝阳区高一（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年北京市朝阳区高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
3.如图，八面体的每个面都是正三角形，并且个顶点，，，在同一平面内，若四边形是边长为的正方形，则这个八面体的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
4.已知平面，直线，，若，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5.在中，，，，则( )
A. B. C. D.
6.李华统计了他爸爸年月的手机通话明细清单，发现他爸爸该月共通话次，他按每次通话时间长短进行分组每组为左闭右开的区间，画出了如图所示的频率分布直方图则每次通话时长不低于分钟且小于分钟的次数为( )
A. B. C. D.
7.已知向量，不共线，，，若与同向，则实数的值为( )
A. B. C. D. 或
8.近年来，我国国民经济运行总体稳定，延续回升向好态势如图是我国年月到年月规模以上工业增加值同比增长速度以下简称增速统计图．
注：规模以上工业指年主营业务收入万元及以上的工业企业．
下列说法正确的是( )
A. 月，月，月这三个月增速的方差比月，月，月，月这四个月增速的方差大
B. 月，月，月这三个月增速的平均数比月，月，月，月这四个月增速的平均数小
C. 连续三个月增速的方差最大的是月，月，月这三个月
D. 连续三个月增速的平均数最大的是月，月，月这三个月
9.在梯形中，，，，，，则与夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
10.已知，，若动点，与点，共面，且满足，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.已知某学校汉服社、书法社、诗歌社、曲艺社四个学生社团的人数比为：：：，现用比例分配的分层随机抽样的方法，从这四个社团中抽取人担任志愿者，则从曲艺社抽取的人数为______．
12.袋子中有个大小和质地相同的小球，标号为，，，若从中随机摸出一个小球，则摸到球的标号大于的概率是______；若从中随机摸出两个小球，则摸到球的标号之和为偶数的概率是______．
13.在中，点，满足，若，则 ______．
14.在中，，，若存在且唯一，则的一个取值为______．
15.已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，向量满足，且若网格纸上小正方形的边长为，则 ______， ______．
16.在正四棱锥中，与所成的角的大小为，与底面所成的角的大小为，侧面与底面所成的角的大小为，二面角的大小为．
给出下列四个结论：
；
；
；
．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在长方体中，，，为的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求证：平面平面；
Ⅲ求点到平面的距离．
18.本小题分
生成式人工智能工具正处于蓬勃发展期，在对话系统、机器翻译、文本摘要等领域得到广泛应用为了解学生对生成式人工智能工具的使用情况，某校从全体学生中随机抽取了名学生，调查得到如下数据：
经常使用 人
偶尔使用 人
从未使用 人
用频率估计概率．
Ⅰ估计该校学生经常使用生成式人工智能工具的概率；
Ⅱ假设每名学生使用生成式人工智能工具的情况相互独立，从该校全体学生中随机抽取两名学生，估计这两名学生中至少有一名学生经常使用生成式人工智能工具的概率；
Ⅲ从这名学生中抽取次，每次随机抽取名学生，记第次抽取的名学生中，有名学生经常使用生成式人工智能工具，有名学生偶尔使用或者从未使用过生成式人工智能工具将，，，，的方差记为，，，，，的方差记为，比较，的大小结论不要求证明
19.本小题分
在中，．
Ⅰ求；
Ⅱ若的面积是，求的最小值．
20.本小题分
如图，在中，，，，，分别为，的中点将沿折起到的位置，得到四棱锥，如图．
Ⅰ求证：；
Ⅱ若是线段上的点，平面与线段交于点再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知使点唯一确定，并解答问题．
求证：为的中点；
求证：平面．
条件：；
条件：；
条件：B.
21.本小题分
设是由个非负整数组成的行列的数表，记，，，设，，，的平均数为，若，则称数表为“阶数表”．
Ⅰ判断如下两个数表是否为“阶数表”，说明理由；
，．
Ⅱ证明：对于一个给定的正整数，不存在“阶数表”，使得对任意的，都成立；
Ⅲ对任意的“阶数表”，是否存在，，满足，使得？说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.答案不唯一
15. 或
16.
17.解：Ⅰ证明：如图，设，连接，
在长方体中，，
为的中点，又为的中点，
，又平面，平面，
平面；
Ⅱ证明：在长方体中，，
，且底面，又底面，
，又，
平面，又平面，
平面平面；
Ⅲ由Ⅱ知平面平面，
在平面内过作垂直两平面的交线于点，
则平面，即即为所求，
在中，易知，，，
．
18.解：依题意，这名学生中有名学生经常使用生成式人工智能工具，
故所求概率的估计值为；
设“第名学生经常使用生成式人工智能工具”为事件，，，
“从该校全体学生中随机选取两名学生，至少有一名学生经常使用生成式人工智能工具”这事件，
则，
依题意，，
则，
故所求概率估计为；
记，，，，的平均数为，，，，，的平均数为，
依题意，，
，，
因此，，
所以．
19.解：Ⅰ因为，
由正弦定理可得：，
在中，，
所以，而，
所以，
因为，
可得；
Ⅱ因为，，
可得，
由余弦定理可得，当且仅当时取等号，
所以，
即的最小值为．
20.证明：Ⅰ在中，因为，，，
所以，即，
因为，分别为，的中点，
所以，所以，
所以，，
又因为，
所以平面，
又因为平面，
所以A.
Ⅱ选条件：，
因为，
又因为平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面平面，
所以，
又因为，所以，
因为，
所以，即为的中点．
(ⅱ)因为，由得，
所以，
由Ⅰ得，
又因为，
所以平面．
Ⅱ选条件：，
又因为，所以，
因为，
又因为平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面平面，
所以，
又因为，所以，
因为，
所以，即为的中点．
(ⅱ)因为，由得，
所以，
由Ⅰ得，
又因为，
所以平面．
21.解：Ⅰ数表不是“阶数表”，数表是“阶数表”理由如下：
在数表中，，
因此数表不是“阶数表”．
在数表中，，
因此数表是“阶数表”．
Ⅱ证明：假设存在满足题设的“阶数表”，
由题意有，
又由，，，
得．
而
．
所以，即，
这与矛盾．
所以满足题设的“阶数表”不存在．
Ⅲ对任意的“阶数表”，存在，，满足，使得．
理由如下：
记显然交换数表中任意两行或两列的位置或行列互换，不变．
不妨设，
因为，所以，
则．
若，则不妨设，同理．
则存在，，满足，使得．
若，则设自然数对任意有．
显然．
所以．
因此．
不妨设．
注意到
，
即．
因此，
从而．
故存在，，满足，使得．
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