2023-2024学年福建省福州三中高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年福建省福州三中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.已知数列的前项和为，且满足，则( )
A. B. C. D.
4.若函数向左平移个单位后在区间上单调递增，则( )
A. B. C. D.
5.如图所示是一个以为直径，点为圆心的半圆，其半径为，为线段的中点，其中，，是半圆圆周上的三个点，且把半圆的圆周分成了弧长相等的四段，若将该半圆围成一个以为顶点的圆锥的侧面，则在该圆锥中下列结果正确的是( )
A. 为正三角形 B. 平面
C. 平面 D. 点到平面的距离为
6.若命题“，”是假命题，则不能等于( )
A. B. C. D.
7.若，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.下列不等式中，所有正确的序号是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面直角坐标系中四点，，，，为坐标原点，则下列叙述正确的是( )
A. B. 若，则
C. 当时，，，三点共线 D. 若与的夹角为锐角，则
10.在下列底面为平行四边形的四棱锥中，，，，，是四棱锥的顶点或棱的中点如图，则平面的有( )
A. B.
C. D.
11.设点是抛物线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，分别交抛物线于点和点，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D. 直线与抛物线相切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，含的项的系数是______．
13.已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 ______．
14.已知动点，分别在圆：和曲线上，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，已知，．
求角的大小；
求的取值范围．
16.本小题分
已知等差数列与正项等比数列满足，且，，既是等差数列，又是等比数列．
求数列和的通项公式；
若，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，与底面所成的角为，为的中点．
求证：平面；
若，为的内心，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
如图，已知椭圆和抛物线，的焦点是的上顶点，过的直线交于、两点，连接、并延长之，分别交于、两点，连接，设、的面积分别为、．
求的值；
求的值；
求的取值范围．
19.本小题分
已知函数，其导函数为．
求函数的极值点；
若直线是曲线的切线，求的最小值；
证明：．
参考答案
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15.解：，，，
，，，，
，
由正弦定理得，
，
当且仅当，，，．
16.解：由题意可得，，，为常数列，公比为，公差为，
所以．
又，设公差为、公比为，
则，解得，
所以；
由可得，
所以，
，
两式相减得，
，
所以．
17.证明：因为平面，平面，
所以，而，，
所以平面，平面，
所以，
因为，为的中点，与底面所成的角为，
所以，又因为，
所以平面；
解：以为坐标原点，以，，所在的直线分别为，，轴，
建立空间直角坐标系，
因为正方形中，，由可得，
则，，，，
，，，
由可知平面的法向量为，
因为为的内心，设圆与切于，，，如图所示：
由为等腰直角三角形，可得在对角线上，
设，的交点为，则为圆的切点，圆的半径为，
，
则，而，
可得，
可得，
所以
，，，
所以，．
直线与平面所成的角为，，
所以，．
18.解：抛物线的焦点为，故．
若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，点、，
联立，可得，
恒成立，则，
．
设直线、的斜率分别为、，其中，，
联立，可得，解得，
点在第三象限，则，
点在第四象限，同理可得，
且，
，
当且仅当时，等号成立．
的取值范围为．
19.解：定义域为，
则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以函数的极小值点为，没有极大值点；
令，则，
设切点为，则，，
则切线方程为，
即，又是曲线的切线方程，
则，则，
令，则，，
令，得，
所以时，；时，，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，即的最小值为；
证明：由可知，在单调递减，单调递增，
所以，则，
因为，则，当时取等号，
令，则，
因为，所以，
又因为，
所以，
则，，，，
累加后可得，
即．
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