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10 三 角 形
一、选择题
1．（2024·天津·中考真题）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得，结合，即可得证，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的．
【详解】解：记与相交于一点H，如图所示：
∵中，将绕点顺时针旋转得到，
∴
∵
∴在中，
∴
故D选项是正确的，符合题意；
设
∴
∵
∴
∴
∵不一定等于
∴不一定等于
∴不一定成立，
故B选项不正确，不符合题意；
∵不一定等于
∴不一定成立，
故A选项不正确，不符合题意；
∵将绕点顺时针旋转得到，
∴
∴
故C选项不正确，不符合题意；
故选：D
2．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，，．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关键．
由三角形内角和定理可得，再根据平行线的性质即可解答．
【详解】解：∵在中，，，
∴,
∵，
∴．
故选：C．
3．（2024·云南·中考真题）已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
由等腰三角形“三线合一”得到平分，再角平分线的性质定理即可求解．
【详解】解： 如图，
∵是等腰底边上的高，
∴平分，
∴点F到直线，的距离相等，
∵点到直线的距离为3，
∴点到直线的距离为3．
故选：C．
4．（2024·山东泰安·中考真题）如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质、等边三角形的性质，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据等边三角形的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：B．
5．（2024·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ）
A．24 B．36 C．40 D．44
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理，设直角三角形的两直角边为 ， ，斜边为 ，根据图1，结合已知条件得到，，进而求出的值，再进一步求解即可.
【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为，，斜边为，
图1中大正方形的面积是24，
，
小正方形的面积是4，
，
，
图2中最大的正方形的面积；
故选：D．
6．（2024·广东深圳·中考真题）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．只有①
【答案】B
【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线的定义．利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．在图①中，利用基本作图可判断平分；在图③中，利用作法得， 可证明，有，可得，进一步证明，得，继而可证明，得，得到是的平分线；在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线．
【详解】在图①中，利用基本作图可判断平分；
在图③中，利用作法得，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的平分线；
在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线．
则①③可得出射线平分．
故选：B．
7．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（ ）
A．8 B．16 C．12 D．24
【答案】B
【分析】本题考查了尺规作图，含的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识， 由作图知平分，则可求，利用含的直角三角形的性质得出，利用等角对等边得出，进而得出，然后利用面积公式即可求解．
【详解】解： ∵，
∴，
由作图知：平分，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又的面积为8，
∴的面积是，
故选B．
8．（2024·青海·中考真题）如图，平分，点P在上，，，则点P到的距离是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质定理．过点P作于点E，根据角平分线的性质可得，即可求解．
【详解】解：过点P作于点E，
∵平分，，，
∴，
故选：C．
9．（2024·青海·中考真题）如图，在中，D是的中点，，，则的长是（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定和性质．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等边三角形的判定得到等边三角形，据此求解即可．
【详解】解：∵在中，，D是的中点，
∴，
∵，
∴等边三角形，
∴．
故选：A．
10．（2024·四川自贡·中考真题）如图，等边钢架的立柱于点D，长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形的应用．利用三角函数的定义分别求得，，，利用新钢架减少用钢，代入数据计算即可求解．
【详解】解：∵等边，于点D，长，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴新钢架减少用钢
，
故选：D．
11．（2024·广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（ ）
A．18 B． C．9 D．
【答案】C
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是解题关键．连接，根据等腰直角三角形的性质以及得出，将四边形的面积转化为三角形的面积再进行求解．
【详解】解：连接，如图：
∵，，点D是中点，
∴
∴，
∴
又∵
∴
故选：C
12．（2024·四川广元·中考真题）如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（ ）
A．5 B．7 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理，
由图象可知，面积最大值为6，此时当点P运动到点C，得到，由图象可知， 根据勾股定理，结合完全平方公式即可求解．
【详解】解：由图象可知，面积最大值为6
由题意可得，当点P运动到点C时，的面积最大，
∴，即，
由图象可知，当时，，此时点P运动到点B，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A
13．（2024·四川广元·中考真题）如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，连接，点D恰好落在线段上，若，，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转得，，，推出是等腰直角三角形，，过点A作于点H，得到，利用勾股定理求出的长．
【详解】解：由旋转得，，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，，
过点A作于点H，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
二、填空题
14．（2024·重庆·中考真题）如图，在中，，，平分交于点．若，则的长度为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再由角平分线的定义得到，进而可证明，即可推出．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴,
故答案为：2．
15．（2024·重庆·中考真题）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则 ．
【答案】
【分析】先根据平行线分线段成比例证，进而得，，再证明，得，从而即可得解．
【详解】解：∵，过点作，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质是解题的关键．
16．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可）
【答案】或（答案不唯一）
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一．
【详解】解：∵
∴，，
∴添加条件，可以使得，
添加条件，也可以使得，
∴；
故答案为：或（答案不唯一）．
17．（2024·四川成都·中考真题）如图，，若，，则的度数为 ．
【答案】/100度
【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可．
【详解】解：由，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
18．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，在中，，，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，作射线交于点G．则的大小为 度．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的尺规作法，熟练掌握等腰三角形的性质和角平分线的尺规作法是解题的关键．根据，，由等边对等角，结合三角形内角和定理，可得，由尺规作图过程可知为的角平分线，由此可得．
【详解】解： ，，
，
根据尺规作图过程，可知为的角平分线，
，
故，
故答案为：．
19．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，中，，，，折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点D，与交于点E，则的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了折叠的性质和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
设，则，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：由折叠的性质，得，
设，则，
由勾股定理，得，
∴，
解得.
故答案为：3．
20．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，得到，，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当三点共线时，的最小值为，再利用勾股定理求即可．
【详解】解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，
则可知，，
∴，
即当三点共线时，的最小值为，
∵直线垂直于y轴，
∴轴，
∵，，
∴，
∴在中，
，
故答案为：5
21．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）矩形的面积是90，对角线交于点O，点E是边的三等分点，连接，点P是的中点，，连接，则的值为 ．
【答案】13或
【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理．当时，利用三角形中位线定理求得，再求得矩形的边长，利用勾股定理求得的长，再根据斜边中线的性质即可求解；当时，同理求解即可．
【详解】解：当时，如图，
∵矩形，
∴点O是的中点，
∵点P是的中点，
∴，，
∵点E是边的三等分点，
∴，，
∵矩形的面积是90，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，如图，
∵矩形，
∴点O是的中点，
∵点P是的中点，
∴，，
∵点E是边的三等分点，
∴，，
∵矩形的面积是90，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：13或．
22．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；作点P关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，根据对称的性质结合等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：作关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，连接，
关于对称，
∴，
同理，，，
，，
是等腰三角形．
，
故答案为：．
三、解答题
23．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，点C在线段上，，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，证明是等边三角形是解答的关键．
（1）直接根据全等三角形的判定证明结论即可；
（2）根据全等三角形的性质得到，，再证明是等边三角形，利用等边三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：在与中，
，
所以；
（2）解：因为，，
所以，，
所以是等边三角形．
所以．
24．（2024·云南·中考真题）如图，在和中，，，．
求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．利用“”证明，即可解决问题．
【详解】证明：，
，即，
在和中，
，
．
25．（2024·四川内江·中考真题）如图，点、、、在同一条直线上，，，
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键.
（1）先证明，再结合已知条件可得结论；
（2）证明，再结合三角形的内角和定理可得结论.
【详解】（1）证明：∵
∴，即
∵，
∴
（2）∵，，
∴，
∵，
∴
26．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接．
(1)求证：，；
(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置．
①请直接写出与的位置关系：___________________；
②求证：．
【答案】(1)见解析
(2)①；②见解析
【分析】（1）先证明得到，，根据直角三角形斜边中线性质得到，根据等边对等角证明，进而可证明；
（2）①延长到点，使，连结，延长到，使，连接并延长交于点．同（1）证明得到，然后利用三角形的中位线性质得到，则，进而证明即可得到结论；
②延长到点，使，连接．先证明，得到，，进而，．证明得到即可得到结论．
【详解】（1）证明：在和中，
，，，
，
，．
是斜边的中点，
，
，
，
．
，
，
．
；
（2）解：①；
理由如下：延长到点，使，连结，延长到，使，连接并延长交于点．
证明（具体证法过程跟②一样）．
，
是中点，是中点，
是中位线，
，
，
，
，
，
．
故答案为：；
②证明：延长到点，使，连接．
，，，
，
，，
，
，
，
，
．
，
．
在和中，
，，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、平行线的判定与性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，灵活添加辅助线构造全等三角形是解答的关键．
27．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线分别交于点D，E，连接
(1)求的长；
(2)求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，斜中半定理：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定理等知识点，熟记相关结论是解题关键．
（1）由题意得是线段的垂直平分线，故点D是斜边的中点．据此即可求解；
（2）根据、的周长即可求解；
【详解】（1）解：由作图可知，是线段的垂直平分线，
∴在中，点D是斜边的中点．
∴．
（2）解：在中，．
∵是线段的垂直平分线，
∴．
∴的周长．
28．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】
（1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【答案】（1），理由见详解，（2），理由见详解，（3），理由见详解
【分析】（1）直接证明，即可证明；
（2）过E点作于点M，过E点作于点N，先证明，可得，结合等腰直角三角形的性质可得：， ，即有，，进而可得，即可证；
（3）过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，先证明，再结合等腰直角三角形的性质，即可证明．
【详解】（1），理由如下：
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2），理由如下：
过E点作于点M，过E点作于点N，如图，
∵四边形是正方形，是正方形的对角线，
∴，平分，，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，，
∴四边形是正方形，
∴是正方形对角线，，
∴， ，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
即有；
（3），理由如下，
过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，如图，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵在正方形中，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，题目难度中等，作出合理的辅助线，灵活证明三角形的全等，并准确表示出各个边之间的数量关系，是解答本题的关键．
29．（2024·内蒙古通辽·中考真题）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是，长6米，在距离C点4米处的点测得杨树顶端A点的仰角为，求杨树的高度（精确到米，，，在同一平面内，点C，D在同一水平线上．参考数据：．
【答案】米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，勾股定理，等腰直角三角形性质定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．分别在表示出，，在得出，在中，根据等腰三角形的性质得，即可得出答案．
【详解】解：过点B作于点E，
在中，，米，
∴米，米，
米，
米
在中，，
米，
米，
，
米．
答：杨树的高度约米．
30．（2024·湖北武汉·中考真题）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．
(1)在图（1）中，画射线交于点D，使平分的面积；
(2)在（1）的基础上，在射线上画点E，使；
(3)在图（2）中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转到点C，再画射线交于点G；
(4)在（3）的基础上，将线段绕点G旋转，画对应线段（点A与点M对应，点B与点N对应）．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
(4)作图见解析
【分析】本题考查了网格作图．熟练掌握全等三角形性质，平行四边形性质，等腰三角形性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键．
（1）作矩形，对角线交于点D，做射线，即可；
（2）作,射线于点Q，连接交于点E，即可；
（3）在下方取点F，使，是等腰直角三角形，连接， ，交于点G，即可；
（4）作，交于点M，作，交于点N，连接，即可．
【详解】（1）如图，作线段，使四边形是矩形，交于点D，做射线，点D即为所求作；
（2）如图，作,作于点Q，连接交于点E，点E即为作求作；
（3）如图，在下方取点F，使，连接，连接并延长，交于点G，点F，G即为所求作；
（4）如图，作，交射线于点M，作，交于点N，连接，线段即为所求作．
31．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在中，，点D在直线上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作，交直线于点F．
（1）当点D在线段上时，如图①，求证：；
分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：
推理证明：写出图①的证明过程：
探究问题：
（2）当点D在线段的延长线上时，如图②：当点D在线段的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段，，之间的数量关系；
拓展思考：
（3）在（1）（2）的条件下，若，，则______．
【答案】（1）见解析；（2）图②：，图③：；（3）10或18
【分析】（1）在边上截取，连接，根据题意证明出，得到，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可；
（2）图②：在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接，首先证明出是等边三角形，得到，然后求出，然后证明出，得到，，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可；
图③：在上取点H使，同理证明出，得到，，进而求解即可；
（3）根据勾股定理和含角直角三角形的性质求出，，然后结合，分别（1）（2）的条件下求出的长度，进而求解即可．
【详解】（1）证明：在边上截取，连接．
在中，．
，
．
又，
．
又，，
．
又，
．
．
．
．
，
．
是等边三角形．
，
，
；
（2）图②：当点D在线段的延长线上时，，证明如下：
如图所示，在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵线段绕点A顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
图③：当点D在线段的延长线上时，，证明如下∶
如图所示，在上取点H使，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（3）如图所示，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
由（1）可知，，
∴；
如图所示，当点D在线段的延长线上时，
∵，与矛盾，
∴不符合题意；
如图所示，当点D在线段的延长线上时，
∵，，
∴，
由（2）可知，，
∵，
∴．
综上所述，或18．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质和判定，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
32．（2024·北京·中考真题）已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.
(1)如图1，当点在射线上时，求证：是的中点；
(2)如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。
【答案】(1)见详解
(2)，理由见详解
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，则，故，再根据等角的余角相等即可得到，故，最后等量代换出，即点是的中点；
（2）在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，可证明，则，，则，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得到，则，而，故可等量代换出．
【详解】（1）证明：连接，
由题意得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点是的中点；
（2）解：，
在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∵是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，外角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
33．（2024·吉林·中考真题）如图，在中，，，，是的角平分线．动点P从点A出发，以的速度沿折线向终点B运动．过点P作，交于点Q，以为边作等边三角形，且点C，E在同侧，设点P的运动时间为，与重合部分图形的面积为．
(1)当点P在线段上运动时，判断的形状（不必证明），并直接写出的长（用含t的代数式表示）．
(2)当点E与点C重合时，求t的值．
(3)求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围．
【答案】(1)等腰三角形，
(2)
(3)
【分析】（1）过点Q作于点H，根据“平行线+角平分线”即可得到，由，得到，解得到；
（2）由为等边三角形得到，而，则，故，解得；
（3）当点P在上，点E在上，重合部分为，过点P作于点G，，则，此时；当点P在上，点E在延长线上时，记与交于点F，此时重合部分为四边形，此时，因此，故可得，此时；当点P在上，重合部分为， 此时，，解直角三角形得，故，此时，再综上即可求解．
【详解】（1）解：过点Q作于点H，由题意得：
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
∴在中，；
（2）解：如图，
∵为等边三角形，
∴，
由（1）得，
∴，
即，
∴；
（3）解：当点P在上，点E在上，重合部分为，过点P作于点G，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
由（2）知当点E与点C重合时，，
∴；
当点P在上，点E在延长线上时，记与交于点F，此时重合部分为四边形，如图，
∵是等边三角形，
∴，
而，
∴，
∴，
∴，
当点P与点D重合时，在中，，
∴，
∴；
当点P在上，重合部分为，如图，
∵，
由上知，
∴，
∴此时，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当点P与点B重合时，，
解得：，
∴，
综上所述：．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形的相关计算，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．
34．（2024·吉林·中考真题）小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：
【探究论证】
（1）如图①，在中，，，垂足为点D．若，，则______．
（2）如图②，在菱形中，，，则______．
（3）如图③，在四边形中，，垂足为点O．若，，则______；若，，猜想与a，b的关系，并证明你的猜想．
【理解运用】
（4）如图④，在中，，，，点P为边上一点．
小明利用直尺和圆规分四步作图：
（ⅰ）以点K为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点R，I；
（ⅱ）以点P为圆心，长为半径画弧，交线段于点；
（ⅲ）以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点，点，K在同侧；
（ⅳ）过点P画射线，在射线上截取，连接，，．
请你直接写出的值．
【答案】（1）2，（2）4，（3），，证明见详解，（4）10
【分析】（1）根据三角形的面积公式计算即可；
（2）根据菱形的面积公式计算即可；
（3）结合图形有，，即可得，问题随之得解；
（4）先证明是直角三角形，由作图可知：，即可证明，再结合（3）的结论直接计算即可．
【详解】（1）∵在中，，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2；
（2）∵在菱形中，，，
∴，
故答案为：4；
（3）∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：，
猜想：，
证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（4）根据尺规作图可知：，
∵在中，，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴根据（3）的结论有：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，菱形的性质，作一个角等于已知角的尺规作图，勾股定理的逆定理等知识，难度不大，掌握作一个角等于已知角的尺规作图方法，是解答本题的关键．
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10 三 角 形
一、选择题
1．（2024·天津·中考真题）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，，．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·云南·中考真题）已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（ ）
A． B．2 C．3 D．
4．（2024·山东泰安·中考真题）如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ）
A．24 B．36 C．40 D．44
6．（2024·广东深圳·中考真题）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．只有①
7．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（ ）
A．8 B．16 C．12 D．24
8．（2024·青海·中考真题）如图，平分，点P在上，，，则点P到的距离是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．（2024·青海·中考真题）如图，在中，D是的中点，，，则的长是（ ）
A．3 B．6 C． D．
10．（2024·四川自贡·中考真题）如图，等边钢架的立柱于点D，长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（ ）
A．18 B． C．9 D．
12．（2024·四川广元·中考真题）如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（ ）
A．5 B．7 C． D．
13．（2024·四川广元·中考真题）如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，连接，点D恰好落在线段上，若，，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．
二、填空题
14．（2024·重庆·中考真题）如图，在中，，，平分交于点．若，则的长度为 ．
15．（2024·重庆·中考真题）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则 ．
16．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可）
17．（2024·四川成都·中考真题）如图，，若，，则的度数为 ．
18．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，在中，，，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，作射线交于点G．则的大小为 度．
19．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，中，，，，折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点D，与交于点E，则的长为 ．
20．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ．
21．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）矩形的面积是90，对角线交于点O，点E是边的三等分点，连接，点P是的中点，，连接，则的值为 ．
22．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则 ．
三、解答题
23．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，点C在线段上，，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
25．（2024·四川内江·中考真题）如图，点、、、在同一条直线上，，，
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
26．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接．
(1)求证：，；
(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置．
①请直接写出与的位置关系：___________________；
②求证：．
27．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线分别交于点D，E，连接
(1)求的长；
(2)求的周长．
28．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】
（1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
29．（2024·内蒙古通辽·中考真题）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是，长6米，在距离C点4米处的点测得杨树顶端A点的仰角为，求杨树的高度（精确到米，，，在同一平面内，点C，D在同一水平线上．参考数据：．
30．（2024·湖北武汉·中考真题）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．
(1)在图（1）中，画射线交于点D，使平分的面积；
(2)在（1）的基础上，在射线上画点E，使；
(3)在图（2）中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转到点C，再画射线交于点G；
(4)在（3）的基础上，将线段绕点G旋转，画对应线段（点A与点M对应，点B与点N对应）．
31．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在中，，点D在直线上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作，交直线于点F．
（1）当点D在线段上时，如图①，求证：；
分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：
推理证明：写出图①的证明过程：
探究问题：
（2）当点D在线段的延长线上时，如图②：当点D在线段的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段，，之间的数量关系；
拓展思考：
（3）在（1）（2）的条件下，若，，则______．
32．（2024·北京·中考真题）已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.
(1)如图1，当点在射线上时，求证：是的中点；
(2)如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。
33．（2024·吉林·中考真题）如图，在中，，，，是的角平分线．动点P从点A出发，以的速度沿折线向终点B运动．过点P作，交于点Q，以为边作等边三角形，且点C，E在同侧，设点P的运动时间为，与重合部分图形的面积为．
(1)当点P在线段上运动时，判断的形状（不必证明），并直接写出的长（用含t的代数式表示）．
(2)当点E与点C重合时，求t的值．
(3)求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围．
34．（2024·吉林·中考真题）小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：
【探究论证】
（1）如图①，在中，，，垂足为点D．若，，则______．
（2）如图②，在菱形中，，，则______．
（3）如图③，在四边形中，，垂足为点O．若，，则______；若，，猜想与a，b的关系，并证明你的猜想．
【理解运用】
（4）如图④，在中，，，，点P为边上一点．
小明利用直尺和圆规分四步作图：
（ⅰ）以点K为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点R，I；
（ⅱ）以点P为圆心，长为半径画弧，交线段于点；
（ⅲ）以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点，点，K在同侧；
（ⅳ）过点P画射线，在射线上截取，连接，，．
请你直接写出的值．
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