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2024--2025学年度人教版数学八年级上册学讲练测讲义
第十一章 三角形
专题11.4 三角形单元基础知识归纳总结
单元课标要求
1. 理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念, 了解三角形的稳定性。
2. 探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
3. 证明三角形的任意两边之和大于第三边。
4. 了解三角形重心的概念。
5. 了解多边形的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线；探索并掌握多边形内角和与外角和公式。
单元知识点思维导图与题型方法总结
一、基础知识
1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
3. 三角形的分类
按边分:不等边三角形和等腰三角形（等边三角形）。
按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
4. 三角形的高、中线与角平分线
（1）高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
（2）中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
（3）角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
5.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
6. 三角形的内角和与外角
（1）三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°；
（2）三角形外角的性质：
性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
7. 多边形及其内角和
（1）多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
（2）多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
（3）多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
（4）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
（5）正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
（6）平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。
（7）多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）·180°
（8）多边形的外角和：多边形的内角和为360°。
（9）多边形对角线的条数：从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形，n边形共有条对角线。
单元考点例题讲析
考点1.三角形三边关系问题
【例题1】五条线段的长度分别为，，，，，以其中任意三条线段为边，可以构成（ ）个三角形．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】利用两边之和大于第三边的原则来进行排列组合即可求解．
∵1+5=6，1+6＜8，1+8＜13，
∴构成三角形的边中没有长度为1cm的线段，
∴在剩下的5cm，6cm，8cm，13cm中，构成三角形的组合有：5cm，6cm，8cm；6cm，8cm，13cm，共计2种，
故选：C．
【点睛】本题考查三角形的构成条件的知识，注意：三角形的三边满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
考点2.三角形的高、中线与角平分线三线问题
【例题2】已知，AE、BD是的高线，AE=6cm，BD=5cm，BC=8cm，则AC的长度是（ ）
A．8cm B．8.6cm C．9cm D．9.6cm
【答案】D
【解析】根据等面积法即可求解．
∵AE、BD是的高线，AE=6cm，BD=5cm，BC=8cm，
∴，
即 cm．
故选D．
【点睛】本题考查了三角形高线的相关计算，理解三角形的高线的意义是解题的关键．
【例题3】如图，在△ABC中，AD、AE分别是BC边上的中线和高，AE＝6，S△ABD＝15，则CD＝_____．
【答案】5
【解析】由利用三角形的面积公式可求得BD的长，再由中线的定义可得CD=BD，从而得解．
∵S△ABD=15，AE是BC边上的高，
∴BD AE=15，
则×6BD=15，
解得：BD=5，
∵AD是BC边上的中线，
∴CD=BD=5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查三角形的中线，三角形的高，解答的关键是由三角形的面积公式求得BD的长．
【例题4】如图，△ABC的周长是21cm，AB＝AC，中线BD分△ABC为两个三角形，且△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，求AB，BC．
【答案】AB＝9cm，BC＝3cm．
【解析】由BD是中线，可得AD=CD，又由△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，△ABC的周长是21cm，AB=AC，可得AB-BC=6cm，2AB+BC=21cm，继而求得答案．
∵BD是中线，
∴AD＝CD＝AC，
∵△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，
∴（AB+AD+BD）﹣（BD+CD+BC）＝AB﹣BC＝6cm①，
∵△ABC的周长是21cm，AB＝AC，
∴2AB+BC＝21cm②，
联立①②得：AB＝9cm，BC＝3cm．
【点睛】本题考查了三角形周长与三角形的中线．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
考点3.三角形的稳定性
【例题5】下列图形中不具备稳定性的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【解析】三角形具有稳定性，只要选项中的图形可以分解成三角形，则图形就有稳定性，据此即可确定．
A、可以看成两个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误；
B、可以看成三个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误；
C、可以看成一个三角形和一个四边形，而四边形不具有稳定性，则这个图形一定不具有稳定性，故本选项正确；
D、可以看成7个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，正确理解各个图形具有稳定性的条件是解题的关键．
考点4.体现三角形的内角（外角）和定理以及直角三角形性质与判定
【例题6】如图，EF与的边BC，AC相交，则与的大小关系为（ ）．
A． B．
C． D．大小关系取决于的度数
【答案】C
【解析】根据对顶角相等和三角形的内角和定理即可得结论．
∵∠3=∠CEF,∠4=∠CFE
∴∠CEF+∠CFE+∠C=∠3+∠4+∠C=180°
又∵∠1+∠2+∠C=180°
∴
故选：C
【点睛】本题主要考查对顶角的性质和三角形的内角和定理，掌握对顶角的性质和三角形的内角和定理是解题的关键．
【例题7】如图，在中，AD是角平分线，E为边AB上一点，连接DE，，过点E作，垂足为F．
(1)试说明；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)46°
【解析】(1)证明：∵AD平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
(2)∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定与性质，是解题的关键．
【例题8】如图，∠BDC=100°，∠C=35°，∠A=28°，则∠B的度数是（ ）
A．43° B．33° C．47° D．37°
【答案】D
【解析】延长BD交AC于点E，根据三角形外角的性质可得∠BDC=∠A+∠B+∠C，计算可求解．
延长BD交AC于点E，
∵∠BDC=∠C+∠BEC，∠BEC=∠A+∠B，
∴∠BCD=∠A+∠B+∠C，
∵∠BDC=100°，∠A=28°，∠C=35°，
∴∠B=100°-28°-35°=37°，
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，证得∠BDC=∠A+∠B+∠C是解题的关键．
【例题9】在中，若，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．斜三角形
【答案】B
【解析】根据三角形内角和定理，结合得出即可判断．
在中，，
，
，即，
，即是直角三角形，
故选B．
【点睛】本题考查三角形形状的判定，熟练掌握三角形内角和定理及直角三角形角内角特征是解决问题的关键．
【例题10】如图，在中，，于点D，AE平分∠BAC交BC于点E．
(1)若，求∠DAE的度数
(2)若，交AC于点F，请补全图形，并在第（1）问的条件下，求∠FEC的度数．
【答案】(1)20°；(2)图见解析，20°
【解析】(1)解：∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
(2)解：如图， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）中知∠DAE=20°，
∴．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、等角的余角相等、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握它们的联系与运用是解答的关键．
考点5.体现三角形的作图问题
【例题11】如图，已知是的一个外角．请用尺规作图法，求作射线，使．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】作的角平分线即可．
如图，射线即为所求作．
【点睛】考查角平分线、三角形外角的性质、平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理．
考点6.多边形问题
【例题12】从多边形一条边上的一点（不是顶点）处出发，连接各个顶点得到2021个三角形，则这个多边形的边数为（ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
【答案】B
【解析】设多边形的边数为n，可根据多边形的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到的三角形个数为n-1，即可求解．
设多边形的边数为n，根据题意得：
n-1=2020，
解得n=2021，
故选B.
【点睛】此题考查了规律型：图形的变化，理解多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到的三角形个数=多边形的边数-1是解题的关键．
【例题13】过边形的一个顶点有12条对角线，边形没有对角线，则的值为（ ）
A．27 B．30 C．36 D．45
【答案】D
【解析】根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线可得m、n的值，进而可得答案．
∵过m边形的一个顶点有12条对角线，
∴，
∵n边形没有对角线，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了多边形对角线，关键是掌握计算对角线条数的规律．
【例题14】一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（ ）
A．15或16或17 B．15或17 C．16或17 D．16或17或18
【答案】A
【解析】分三种情况讨论，当截线不经过多边形的顶点时，当截线经过多边形的一个顶点时，当截线经过多边形的两个顶点时，再利用数形结合的方法可得答案.
【详解】如图，当截线不经过多边形的顶点时，被截后的多边形比原多边形增加一条边，
所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为15边形，
如图，当截线经过多边形的一个顶点时，被截后的多边形与原多边形边数相同，
所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为16边形，
如图，当截线经过多边形的两个顶点时，被截后的多边形比原多边形少一条边，
所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为17边形，
故选：
【点睛】本题考查的是用直线截多边形的一个角后，被截后的多边形的边数与原多边形的边数之间的关系，解题的关键是清晰的分类讨论.
【例题15】如图，从△ABC的纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE．若∠1+∠2＝230°，则∠C＝（ ）
A．230° B．130° C．50° D．110°
【答案】C
【解析】根据∠1+∠2的度数，再利用四边形内角和定理得出∠A+∠B的度数，即可得出∠C的度数
∵四边形ABDE的内角和为360°，且∠1+∠2＝230°．
∴∠A+∠B＝360°﹣230°＝130°．
∵△ABC的内角和为180°，
∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）
＝180°﹣130°
＝50°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角，掌握“四边形的内角和是360度与三角形内角和是180度”是解题关键．
【例题16】已知一个多边形的内角和再加上一个外角共 , 则这个多边形的边数是________
【答案】5
【解析】设多边形的边数是，加的外角为，根据多边形的内角和公式（n－2） 180°可知，多边形的内角和是180°的倍数，然后列式求解即可．
设多边形的边数是，加的外角为，
∵600÷180＝3余60°，且多边形的内角和公式（n－2） 180°，
∴n－2＝3，a＝60°，
∴n＝5，,
即这个多边形的边数是 5．
故答案为：5
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，利用好多边形的内角和是180°的倍数是解题的关键．
情感态度与价值观教育--数学家事迹
帕斯卡发现三角形内角和定理
法国科学家帕斯卡 ( https: / / www. / s word=%E5%B8%95%E6%96%AF%E5%8D%A1&sa=re_dqa_zy" \t "https: / / answer. / answer / _self )在12岁时独立发现了三角形的内角和等于180°。他的发现过程是通过将一个长方形沿着对角线分割成两个完全相同的直角三角形，从而得出任意直角三角形的内角和为180°。接着，他通过在锐角三角形的一个顶点画高，将这个锐角三角形分割成两个直角三角形，进而验证了锐角三角形的内角和也是180°。帕斯卡的方法是通过观察和简单的几何操作，而不是通过复杂的数学推导，来得出这个结论的。
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第十一章 三角形
专题11.4 三角形单元基础知识归纳总结
单元课标要求
1. 理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念, 了解三角形的稳定性。
2. 探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
3. 证明三角形的任意两边之和大于第三边。
4. 了解三角形重心的概念。
5. 了解多边形的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线；探索并掌握多边形内角和与外角和公式。
单元知识点思维导图与题型方法总结
一、基础知识
1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
3. 三角形的分类
按边分:不等边三角形和等腰三角形（等边三角形）。
按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
4. 三角形的高、中线与角平分线
（1）高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
（2）中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
（3）角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
5.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
6. 三角形的内角和与外角
（1）三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°；
（2）三角形外角的性质：
性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
7. 多边形及其内角和
（1）多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
（2）多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
（3）多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
（4）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
（5）正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
（6）平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。
（7）多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）·180°
（8）多边形的外角和：多边形的内角和为360°。
（9）多边形对角线的条数：从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形，n边形共有条对角线。
单元考点例题讲析
考点1.三角形三边关系问题
【例题1】五条线段的长度分别为，，，，，以其中任意三条线段为边，可以构成（ ）个三角形．
A．4 B．3 C．2 D．1
考点2.三角形的高、中线与角平分线三线问题
【例题2】已知，AE、BD是的高线，AE=6cm，BD=5cm，BC=8cm，则AC的长度是（ ）
A．8cm B．8.6cm C．9cm D．9.6cm
【例题3】如图，在△ABC中，AD、AE分别是BC边上的中线和高，AE＝6，S△ABD＝15，则CD＝_____．
【例题4】如图，△ABC的周长是21cm，AB＝AC，中线BD分△ABC为两个三角形，且△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，求AB，BC．
考点3.三角形的稳定性
【例题5】下列图形中不具备稳定性的是（ ）
A．B．C． D．
考点4.体现三角形的内角（外角）和定理以及直角三角形性质与判定
【例题6】如图，EF与的边BC，AC相交，则与的大小关系为（ ）．
A． B．
C． D．大小关系取决于的度数
【例题7】如图，在中，AD是角平分线，E为边AB上一点，连接DE，，过点E作，垂足为F．
(1)试说明；
(2)若，，求的度数．
【例题8】如图，∠BDC=100°，∠C=35°，∠A=28°，则∠B的度数是（ ）
A．43° B．33° C．47° D．37°
【例题9】在中，若，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．斜三角形
【例题10】如图，在中，，于点D，AE平分∠BAC交BC于点E．
(1)若，求∠DAE的度数
(2)若，交AC于点F，请补全图形，并在第（1）问的条件下，求∠FEC的度数．
考点5.体现三角形的作图问题
【例题11】如图，已知是的一个外角．请用尺规作图法，求作射线，使．（保留作图痕迹，不写作法）
考点6.多边形问题
【例题12】从多边形一条边上的一点（不是顶点）处出发，连接各个顶点得到2021个三角形，则这个多边形的边数为（ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
【例题13】过边形的一个顶点有12条对角线，边形没有对角线，则的值为（ ）
A．27 B．30 C．36 D．45
【例题14】一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（ ）
A．15或16或17 B．15或17 C．16或17 D．16或17或18
【例题15】如图，从△ABC的纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE．若∠1+∠2＝230°，则∠C＝（ ）
A．230° B．130° C．50° D．110°
【例题16】已知一个多边形的内角和再加上一个外角共 , 则这个多边形的边数是________
情感态度与价值观教育--数学家事迹
帕斯卡发现三角形内角和定理
法国科学家帕斯卡 ( https: / / www. / s word=%E5%B8%95%E6%96%AF%E5%8D%A1&sa=re_dqa_zy" \t "https: / / answer. / answer / _self )在12岁时独立发现了三角形的内角和等于180°。他的发现过程是通过将一个长方形沿着对角线分割成两个完全相同的直角三角形，从而得出任意直角三角形的内角和为180°。接着，他通过在锐角三角形的一个顶点画高，将这个锐角三角形分割成两个直角三角形，进而验证了锐角三角形的内角和也是180°。帕斯卡的方法是通过观察和简单的几何操作，而不是通过复杂的数学推导，来得出这个结论的。
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