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2024--2025学年度人教版数学八年级上册学讲练测讲义
第十一章 三角形
专题11.5 三角形单元核心素养达标检测
（试卷满分100分，答题时间90分钟）
一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分）
1. （2023福建）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（ ）
A. 1 B. 5 C. 7 D. 9
2．下列叙述中错误的一项是（ ）
A．三角形的中线、角平分线、高都是线段．
B．三角形的三条高线中至少存在一条在三角形内部．
C．只有一条高在三角形内部的三角形一定是钝角三角形．
D．三角形的三条角平分线都在三角形内部．
3．三角形的两边长分别是4和11，第三边长为，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE＝34°，那么∠BED＝（ ）
A．134° B．124° C．114° D．104°
5. （2023山东东营）如图，，点在线段上（不与点，重合），连接，若，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在中，和的平分线相交于点O，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，下列说法中错误是（ ）
A． B．
C． D．
8．在中，BC是斜边，∠B＝35°，则∠C＝（ ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
9．在等腰△ABC 中，AB=AC，中线 BD将这个三角形的周长分为 15和12 两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A．7 B．10 C．7 或 11 D．7 或 10
10．从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成10个三角形，则n的值是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
11．如图，是五边形ABCDE的3个外角，若，则=（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，则∠NCF的度数为（ ）
A．22° B．21° C．20° D．19°
二、填空题（本大题有10个小题，11个空，每空3分，共33分）
1．一个凸多边形最小的一个内角为100°，其他的内角依次增加10°，则这个多边形的边数为_____．
2．一个三角形的三边长分别为x、8、2，那么x的取值范围是__________.
3．如图，，则线段______是中边上的高．
4．如图，在三角形中，，，垂足为，，，，则______．
5．下列是利用了三角形的稳定性的有_______个．
①自行车的三角形车架；②校门口的自动伸缩栅栏门；
③照相机的三脚架； ④长方形门框的斜拉条。
6．在△ABC中，若∠A-2∠B＝70°，2∠C-∠B＝10°，则∠C＝________．
7．如图，在中，平分，DEAC，若，，那么______ ．
8．从八边形的—个顶点可以引_______条对角线，八边形总共有_______条对角线．
9. 如图，在中，平分若则 ．
10. 在中，为边上的高，，，则
是______度．
三、解答题（6个小题，共31分）
1. （4分）已知三角形的两边长为4和6，第三条边长x最小.
（1）求x的取值范围；
（2）当x为何值时，组成的三角形周长最大？最大值是多少？
2．（4分）如图，BD和CE是△ABC的中线，AE=3cm，CD=2cm，若△ABC周长为15cm，求BC边的长．
3．（4分）一个多边形的外角和是它的内角和的，求这个多边形的边数和内角和．
4．（6分）如图，在四边形中，，，平分交于点，交的延长线于点．
(1)求的大小；
(2)若，求的大小．
5．（5分）如图，在中，是的角平分线交于点，，交于点，，，求各内角的度数．
6．（8分）如图，直线，与，分别相交于点A，，且，交直线于点．
(1)若∠1=58°，求的度数；
(2)若，，，求直线与的距离．
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第十一章 三角形
专题11.5 三角形单元核心素养达标检测
（试卷满分100分，答题时间90分钟）
一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分）
1. （2023福建）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（ ）
A. 1 B. 5 C. 7 D. 9
【答案】B
【解析】根据三角形的三边关系求解即可．
由题意，得，即，
故的值可选5，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答的关键．
2．下列叙述中错误的一项是（ ）
A．三角形的中线、角平分线、高都是线段．
B．三角形的三条高线中至少存在一条在三角形内部．
C．只有一条高在三角形内部的三角形一定是钝角三角形．
D．三角形的三条角平分线都在三角形内部．
【答案】C
【解析】根据三角形的角平分线、中线、高的概念和性质进行一一判断．
A.三角形的中线、角平分线、高都是线段，正确；
B.锐角三角形三条高在三角形内部，直角三角形一条高在三角形内部，钝角三角形一条高在三角形内部，正确；
C.只有一条高在三角形内部的三角形是钝角三角形或直角三角形，错误；
D.锐角三角形、钝角三角形、直角三角形的三条角平分线都在三角形内部，正确
故选：C
【点睛】本题考查三角形的三线，掌握高、中线、角平分线的定义是解题关键．
3．三角形的两边长分别是4和11，第三边长为，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】已知两边的长，第三边应该大于任意两边的差，而小于任意两边的和，列不等式进行求解后再进行判断即可．
根据三角形的三边关系，得
11-4＜3+4m＜11+4，
解得1＜m＜3．
故选：A．
【点睛】此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
4．如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE＝34°，那么∠BED＝（ ）
A．134° B．124° C．114° D．104°
【答案】B
【解析】根据角平分线的性质和平行线的性质计算即可；
∵AE平分∠BAC
∴∠BAE=∠CAE=34°
∵ED∥AC
∴∠CAE+∠DEA=180°
∴∠DEA=180°-34°=146°
∵∠AED+∠AEB+∠BED=360°
∴∠BED=360°-146°-90°=124°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和平行线的性质，结合周角的定理计算是解题的关键．
5. （2023山东东营）如图，，点在线段上（不与点，重合），连接，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据三角形的外角的性质求得，根据平行线的性质即可求解．
∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
6. 如图，在中，和的平分线相交于点O，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，利用角平分线的性质得，再根据得，所以求解即可．
设，则，
∵，
∴，
∵OB，OC平分和，
∴，即，解之得：，
故选：A．
【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形内角和定理，解一元一次方程，解题的关键是找出等量关系进行求解．
7．如图，下列说法中错误是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据三角形外角的性质即可判断A、C、D；根据三角形内角和定理即可判断B．
∵∠ACD=∠A+∠B，∠FEC=∠ACD+∠D，
∴∠FEC=∠A+∠B+∠D，
∴∠FEC＞∠B，故A、D不符合题意，C符合题意；
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴∠B+∠ACB=180°-∠A，故B不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知三角形外角的性质和三角形内角和定理是解题的关键．
8．在中，BC是斜边，∠B＝35°，则∠C＝（ ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
【答案】B
【解析】根据直角三角形的性质计算即可．
∵中，BC是斜边，
∴，
∵∠B＝35°，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余，是解题的关键．
9．在等腰△ABC 中，AB=AC，中线 BD将这个三角形的周长分为 15和12 两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A．7 B．10 C．7 或 11 D．7 或 10
【答案】C
【解析】题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案．
设等腰三角形的底边长为x，腰长为y，则根据题意，
得①或②
解方程组①得，
根据三角形三边关系定理，此时能组成三角形；
解方程组②得，
根据三角形三边关系定理此时能组成三角形，
即等腰三角形的底边长是11或7；
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质及相关计算．学生在解决本题时，有的同学会审题错误，以为15，12中包含着中线BD的长，从而无法解决问题，有的同学会忽略掉等腰三角形的分情况讨论而漏掉其中一种情况；注意：求出的结果要看看是否符合三角形的三边关系定理．
10．从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成10个三角形，则n的值是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【解析】根据从一个n边形的某个顶点出发，可以引（n﹣3）条对角线，把n边形分为（n﹣2）的三角形作答．
设多边形有n条边，
则n﹣2=10，
解得n=12．
故选C．
【点睛】本题主要考查了多边形的性质，解题的关键是熟悉从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为（n﹣2）的规律．
11．如图，是五边形ABCDE的3个外角，若，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据多边形内角和，结合计算即可．
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查多边形内角和，熟知多边形内角和公式是解题关键．
12．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，则∠NCF的度数为（ ）
A．22° B．21° C．20° D．19°
【答案】C
【解析】根据三角形的内角和定理可得∠ACB＝100°，再由折叠的性质可得∠ACN＝∠A＝30°，∠FCE＝∠B＝50°，即可求解．
∵∠A＝30°，∠B＝50°，
∴∠ACB＝100°，
∵将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，
∴∠ACN＝∠A＝30°，∠FCE＝∠B＝50°，
∴∠NCF＝20°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了图形的折叠的性质、三角形内角和定理、熟练掌握图形的折叠的性质、三角形内角和定理是解题的关键．
二、填空题（本大题有10个小题，11个空，每空3分，共33分）
1．一个凸多边形最小的一个内角为100°，其他的内角依次增加10°，则这个多边形的边数为_____．
【答案】8
【解析】设该凸多边形的边数为n (n为正整数且n>2). 将该多边形的内角按角度从小到大排列后，第n个内角的角度为.
按从小到大以及从大到小的顺序分别写出该多边形的各个内角的角度：
；
.
可以发现，上下两行对应角度之和均等于，像这样的和共有n个.
因此，该凸多边形的内角和为.
根据凸多边形的内角和公式，该凸多边形的内角和为.
根据上述结论，可以列出关于n的方程：
，
解之，得 n1=9，n2=8.
①当n=9时，该凸多边形最大的内角的角度为，不符合题意.
②当n=8时，该凸多边形最大的内角的角度为，符合题意.
故本题应填写：8.
点睛：本题考查了凸多边形内角和的相关知识. 本题的难点在于如何获得该多边形内角角度的表达式以及由这些表达式得到的内角和的表达式. 本题的一个易错点在于忽略对所得最终结果合理性的检验. 另外，运用将两列排列顺序相互颠倒的内角角度相加的方式求解内角和的表达式，是数学中的重要方法.
2．一个三角形的三边长分别为x、8、2，那么x的取值范围是__________.
【答案】6＜x＜10
【解析】∵三角形的三边长分别为2，8，x，
∴8-2＜x＜8+2，
即6＜x＜10．
3．如图，，则线段______是中边上的高．
【答案】
【解析】根据三角形高线的定义判断即可；
∵，
∴中BC边上的高是AE．
故答案是AE．
【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高线，准确分析判断是解题的关键．
4．如图，在三角形中，，，垂足为，，，，则______．
【答案】2.4
【解析】根据面积相等可列式，代入相关数据求解即可．
∵，，
∴
∵，，，
∴
故答案諀：2.4
【点睛】此题主要考查了运用等积关系求线段的长，准确识图是解答本题的关键．
5．下列是利用了三角形的稳定性的有_______个．
①自行车的三角形车架；②校门口的自动伸缩栅栏门；
③照相机的三脚架； ④长方形门框的斜拉条。
【答案】3
【解析】只要三角形的三边确定，则三角形的大小唯一确定，即三角形的稳定性．
①自行车的三角形车架，利用了三角形的稳定性；
②校门口的自动伸缩栅栏门，利用了四边形的不稳定性；
③照相机的三脚架，利用了三角形的稳定性；
④长方形门框的斜拉条，利用了三角形的稳定性．
故利用了三角形稳定性的有3个．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了三角形的特性：稳定性，应注意在实际生活中的应用．
6．在△ABC中，若∠A-2∠B＝70°，2∠C-∠B＝10°，则∠C＝________．
【答案】20°
【解析】利用三角形的内角和为180°，结合所给的条件即可求解．
根据题意，
联立方程组：，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是熟记三角形的内角和定理并灵活运用．
7．如图，在中，平分，DEAC，若，，那么______ ．
【答案】30°##30度
【解析】由三角形的内角和定理可求解∠BAC的度数，结合角平分线的定义可得∠CAD的度数，利用平行线的性质可求解．
∵∠C＝75°，∠B＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD∠BAC＝30°，
∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠CAD＝30°．
故答案为30°．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，求解∠CAD的度数．
8．从八边形的—个顶点可以引_______条对角线，八边形总共有_______条对角线．
【答案】 5 20
【解析】n边形的一个顶点可以引出(n－3)条对角线，总共有条对角线，将八边形的边数代入即可得解.
【详解】八边形的一个顶点可以引出的对角线为：8－3＝5（条）；
八边形总共有对角线为：＝20（条）.
9. 如图，在中，平分若则 ．
【答案】1
【解析】作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可．
如图，作于点F，
∵平分，，，
∴，
∴．
故答案：1．
【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边的高是解题的关键．
10. 在中，为边上的高，，，则
是______度．
【答案】40或80或者填写80或40
【解析】根据题意，由于类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形边上和高在三角形外部讨论求解．
【详解】解：根据题意，分三种情况讨论：
①高在三角形内部，如图所示：
在中，为边上的高，，
，
，
；
②高在三角形边上，如图所示：
可知，
，
故此种情况不存在，舍弃；
③高在三角形外部，如图所示：
在中，为边上的高，，
，
，
；
综上所述：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查求角度问题，在没有图形的情况下，必须考虑清楚各种不同的情况，根据题意分情况讨论是解决问题的关键．
三、解答题（6个小题，共31分）
1. （4分）已知三角形的两边长为4和6，第三条边长x最小.
（1）求x的取值范围；
（2）当x为何值时，组成的三角形周长最大？最大值是多少？
【答案】（1）；（2），14.
【解析】（1）根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三条边长x的取值范围．
（2）由（1）可知，当x=4时，三角形周长最大，据此求解即可.
解：（1）∵6-4=2，6+4=10，并且第三条边长x最小，
∴
∴．
故答案为：．
（2）当组成的三角形周长最大时，x取最大值，
即，
∴周长最大值是：6+4+4=14
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟记性质是解题的关键．
2．（4分）如图，BD和CE是△ABC的中线，AE=3cm，CD=2cm，若△ABC周长为15cm，求BC边的长．
【答案】
【解析】根据中线定义可得AB，AC，根据△ABC周长公式即可求解．
∵BD和CE是△ABC的中线，
∴，，
∵△ABC周长为15cm，即，
∴．
【点睛】考查三角形中线定义、三角形周长公式，解题的关键是根据三角形中线求出AB和AC的长．
3．（4分）一个多边形的外角和是它的内角和的，求这个多边形的边数和内角和．
【答案】11，
【解析】n边形的内角和是(n 2) 180°，外角和是360°，根据一个多边形的内角和与外角和的关系，得到一个关于n的方程，解得边数n，即可求得内角和．
设这个多边形是n边形，
由题意，得，解得．
故这个多边形的内角和是，
∴这个多边形是十一边形，其内角和为1620°．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和与内角和，熟练掌握n边形内角和为(n 2) 180°、外角和为360°是解题的关键．
4．（6分）如图，在四边形中，，，平分交于点，交的延长线于点．
(1)求的大小；
(2)若，求的大小．
【答案】(1)25° (2)23°
【解析】（1）∵，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠ABC=180°-∠BCD=180°-130°=50°，
∵平分
∴∠ABE=∠ABC==25°；
（2）∵，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∴∠BAD=180°-∠ADC=180°-48°=132°，
∵∠BAD+∠ABE+∠AEB=180°，
又由（1）知：∠ABE=25°，
∴∠AEB=180°-∠BAD-∠ABE=180°-132°-25°=23°，
∴∠DEF=∠AEB=23°．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，对顶角性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
5．（5分）如图，在中，是的角平分线交于点，，交于点，，，求各内角的度数．
【答案】，
【解析】利用三角形外角的性质得∠ACD=∠BDC-∠A= 80°- 60°= 20°，再根据平行线的性质和三角形内角和定理可得答案．
是的角平分线，
，
又是的外角，
，
，
，
，
，
，
，．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质等知识，熟练掌握各三角形外角的性质是解题的关键．
6．（8分）如图，直线，与，分别相交于点A，，且，交直线于点．
(1)若∠1=58°，求的度数；
(2)若，，，求直线与的距离．
【答案】(1)32° (2)
【解析】(1)∵，
∴∠BAC=90°，
∵∠1=58°，
∴∠ABC=90°-58°=32°,
∵,
∴∠2=∠ABC=32°．
(2)如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D
所以线段AD的长度等于a与b之间的距离，
因为AB⊥AC
所以 AB·AC=BC·AD，
所以AD= ，
所以a与b的距离为 ．
【点睛】本题考查了垂直的定义、直角三角形两个锐角互余，平行线的性质、三角形的面积公式等内容，解题关键是牢记相关概念与性质．
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