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2024--2025学年度人教版数学八年级上册学讲练测讲义
第十一章 三角形
专题11.1 与三角形有关的线段
课节学习目标
1.认识三角形并会用几何语言表示三角形，了解三角形分类.
2.掌握三角形的三边关系. 运用三角形三边关系解决有关的问题.
3. 掌握三角形的高，中线及角平分线的概念.
4. 掌握三角形的高，中线及角平分线的画法.
5. 掌握钝角三角形的两短边上高的画法.
6. 了解三角形的稳定性和四边形不稳定性在实际生活中的应用.
课节知识点解读
知识点1.三角形的概念及组成要素
1.三角形概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2.三角形的组成要素：如下图，
边：三条，分别为线段AB、BC、CA；
顶点：三个，点A、B、C为三角形的三个顶点；
角：三个，分别为∠A、∠B、∠C．∠A，∠B，∠C是相邻两边组成的角，叫做三角形的顶角，简称三角形的角.
顶点：定点是A，B，C的三角形记作：△ABC，读作：三角形ABC．
知识点2. 三角形的分类
（1）按照角分类有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
（2）按照边分类有不等边三角形和等腰三角形（等边三角形）
知识点3. 三角形三边的关系
定理：三角形任意两边的和大于第三边.
推论：三角形任意两边的差小于第三边.
数学语言：
在如图所示ΔABC中，三角形任意两边的和大于第三边.即：
在如图所示ΔABC中，三角形任意两边的差小于第三边.即：
AC-BC＜AB
AB-BC＜AC
AC-AB＜BC
注意：在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
知识点4. 三角形的高、中线与角平分线
1．三角形的高。从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
如下图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.
注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°或AD⊥BC.
（1）三角形的高是线段；
（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；
（3）三角形的三条高：
(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；
(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；
(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.
2．三角形的中线。三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．
如下图，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC.
（1）三角形的中线是线段；
(2)三角形三条中线全在三角形内部；
(3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；
(4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.
3．三角形的角平分线。三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上.
注意：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) .
（1）三角形的角平分线是线段；
（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；
（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；
（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.
知识点5. 三角形的稳定性
1. 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。用三根木棒钉一个三角形，你会发现再也无法改变这个三角形的形状和大小，也就是说，如果一个三角形的三条边固定了，那么三角形的形状和大小就完全确定了.在数学上把三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.
2. 四边形不具有稳定性，人们往往通过改造，将其变成三角形从而增强其稳定性.
如图，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状不会改变。
课节知识点例题讲析
【例题1】如图，图中三角形的个数有 （ ）
A．6个 B．8个 C．10个 D．12个
【例题2】若，则以、为边长的等腰三角形的周长为______．
【例题3】三角形的两边长分别为和，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ）
A． B． C． D．
【例题4】在△ABC中，画边BC上的高，正确的是（ ）
A B C D
【例题5】如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD为BC边上的中线，则△ABD与△ACD的周长之差
为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【例题6】下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A B C D
深化对课节知识点理解的试题专炼
1. 下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（ ）
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
2. 平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能
是（ ）
A. 1 B. 2 C. 7 D. 8
3．如图，在中，边上的高为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，，，分别是的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知中，，中线把分成两个三角形，这两个三角形的周长差是，则的长是________．
6．下列物品不是利用三角形稳定性的是（ ）
A．自行车的三角形车架 B．三角形房架
C．高架桥的三角形结构 D．伸缩晾衣架
7．如图，工具房有一个方形框架，小华发现它很容易变形，以下加固方案最好的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且使用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？
9. 已知a，b，c是的三边长，若，，且的周长不超过，求a范围．
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第十一章 三角形
专题11.1 与三角形有关的线段
课节学习目标
1.认识三角形并会用几何语言表示三角形，了解三角形分类.
2.掌握三角形的三边关系. 运用三角形三边关系解决有关的问题.
3. 掌握三角形的高，中线及角平分线的概念.
4. 掌握三角形的高，中线及角平分线的画法.
5. 掌握钝角三角形的两短边上高的画法.
6. 了解三角形的稳定性和四边形不稳定性在实际生活中的应用.
课节知识点解读
知识点1.三角形的概念及组成要素
1.三角形概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2.三角形的组成要素：如下图，
边：三条，分别为线段AB、BC、CA；
顶点：三个，点A、B、C为三角形的三个顶点；
角：三个，分别为∠A、∠B、∠C．∠A，∠B，∠C是相邻两边组成的角，叫做三角形的顶角，简称三角形的角.
顶点：定点是A，B，C的三角形记作：△ABC，读作：三角形ABC．
知识点2. 三角形的分类
（1）按照角分类有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
（2）按照边分类有不等边三角形和等腰三角形（等边三角形）
知识点3. 三角形三边的关系
定理：三角形任意两边的和大于第三边.
推论：三角形任意两边的差小于第三边.
数学语言：
在如图所示ΔABC中，三角形任意两边的和大于第三边.即：
在如图所示ΔABC中，三角形任意两边的差小于第三边.即：
AC-BC＜AB
AB-BC＜AC
AC-AB＜BC
注意：在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
知识点4. 三角形的高、中线与角平分线
1．三角形的高。从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
如下图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.
注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°或AD⊥BC.
（1）三角形的高是线段；
（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；
（3）三角形的三条高：
(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；
(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；
(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.
2．三角形的中线。三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．
如下图，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC.
（1）三角形的中线是线段；
(2)三角形三条中线全在三角形内部；
(3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；
(4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.
3．三角形的角平分线。三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上.
注意：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) .
（1）三角形的角平分线是线段；
（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；
（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；
（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.
知识点5. 三角形的稳定性
1. 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。用三根木棒钉一个三角形，你会发现再也无法改变这个三角形的形状和大小，也就是说，如果一个三角形的三条边固定了，那么三角形的形状和大小就完全确定了.在数学上把三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.
2. 四边形不具有稳定性，人们往往通过改造，将其变成三角形从而增强其稳定性.
如图，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状不会改变。
课节知识点例题讲析
【例题1】如图，图中三角形的个数有 （ ）
A．6个 B．8个 C．10个 D．12个
【答案】B
【解析】以O为一个顶点的有△CBO、△CDO、△ABO、△ADO，不以O为顶点的三角形有△CAD、△CBA、△BCD、△BAD. 共有8个．故选B.
【例题2】若，则以、为边长的等腰三角形的周长为______．
【答案】17
【解析】先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分情况讨论求解即可．
∵，∴a－3=0，7－b =0，解得a=3，b=7
①若a=3是腰长，则底边为7，三角形的三边分别为3、3、7，
∵3+3＜7，∴3、3、7不能组成三角形。
②若b=7是腰长，则底边为3，三角形的三边分别为7、7、3，能组成三角形，周长=7+7+3=17.
∴以、为边长的等腰三角形的周长为17.
【点睛】考查等腰三角形的性质，非负数的性质，以及三角形的三边关系，难点在于要讨论求解．
【例题3】三角形的两边长分别为和，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据三角形的三边关系可得10 6设三角形的第三边为xcm，由题意可得：
10 6即4故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边．
【例题4】在△ABC中，画边BC上的高，正确的是（ ）
A B C D
【答案】A
【解析】A．此图形中AD是BC边上的高，符合题意；
B．此图形中CE不是BC边上的高，不符合题意；
C．此图形中BE是AC边上的高，不符合题意；
D．此图形中BG是△BCG中BC边上的高，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查三角形高的画法，解题关键在理解底与高的对应关系，作钝角三角形的高是易错点．
【例题5】如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD为BC边上的中线，则△ABD与△ACD的周长之差
为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】根据题意，AD是△ABC的边BC上的中线，可得BD=CD，进而得出△ABD的周长=AB+BD+AD，△ACD的周长=AC+CD+AD，相减即可得到周长差．
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∴△ABD与△ACD的周长之差为：
（AB+BD+AD）-（AC+CD+AD）
=AB+BD+AD-AC-CD-AD
=AB-AC=5-3=2；
故选：A．
【点睛】主要考查三角形的中线、高和三角形周长的求法，熟练掌握三角形周长公式是解题的关键．
【例题6】下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A B C D
【答案】C
【解析】首先观察图A，B，都是四边形，由四边形是否具有稳定性，解答即可；对于图C，是由三角形构成的，根据三角形是否具有稳定性解答；对于图D，是由三角形和四边形组成的，根据三角形和四边形的特性解答．
A．因为四边形不具有稳定性，所以本选项不符合题意；
B．因为四边形不具有稳定性，所以本选项不符合题意；
C．因为三角形具有稳定性，所以C符合题意；
D．因为四边形不具有稳定性，所以D不符合题意．故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的特性，“三角形具有稳定性”在生活实际中有很重要的应用．
深化对课节知识点理解的试题专炼
1. 下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（ ）
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
【答案】B
【解析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
根据三角形的三边关系，知
A、1+2＝3，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；
B、3+4＞5，能够组成三角形，故选项正确，符合题意；
C、5+4＜10，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；
D、2+6＜9，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形的三边关系．解题的关键是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
2. 平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能
是（ ）
A. 1 B. 2 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】如图，设这个凸五边形为，连接，并设，先在和中，根据三角形的三边关系定理可得，，从而可得，，再在中，根据三角形的三边关系定理可得，从而可得，由此即可得出答案．
如图，设这个凸五边形为，连接，并设，
在中，，即，
在中，，即，
所以，，
在中，，
所以，
观察四个选项可知，只有选项C符合，故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，通过作辅助线，构造三个三角形是解题关键．
3．如图，在中，边上的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据三角形高的定义是从一个顶点到它对边的垂线段即可判断．
根据三角形的高的定义，在△ABC中，BC边上的高应是过点A垂直于BC的线段，
从图中可以看出，过点A垂直于BC的线段是AE，所以AE是BC边上的高．故选：C．
【点睛】考查了三角形高的定义，熟练掌握三角形的高概念，仔细观察图形中符合定义的线段即可．
4．如图，，，分别是的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据三角形的高线，角平分线和中线解答即可；
A．∵是的中线
∴，
故选项正确，不符合题意；
B．∵是的角平分线
∴
故选项正确，不符合题意；
C．∵分别是的高，
∴
故选项正确，不符合题意；
D．不一定成立，故选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查三角形的高线，角平分线和中线，关键是根据三角形的高线，角平分线和中线的定义进行判断即可．
5．已知中，，中线把分成两个三角形，这两个三角形的周长差是，则的长是________．
【答案】42cm或18cm
【解析】先根据三角形中线的定义可得BD=CD，再求出AD把△ABC周长分为的两部分的差等于|AB-AC|，然后分AB＞AC，AB＜AC两种情况分别列式计算即可得解．
∵AD是△ABC中线，
∴BD=CD．
∵AD是两个三角形的公共边，两个三角形的周长差是12cm，
∴如果AB＞AC，那么AB-AC=12cm，即AB-30=12cm
∴AB=42cm；
如果AB＜AC，那么AC-AB=12cm，即30-AB=12cm
AB=18cm．
综上所述：AB的长为42cm或18cm．
故答案为：42cm或18cm．
【点睛】考查了三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
6．下列物品不是利用三角形稳定性的是（ ）
A．自行车的三角形车架 B．三角形房架
C．高架桥的三角形结构 D．伸缩晾衣架
【答案】D
【解析】利用三角形的稳定性进行解答．
由四边形组成的伸缩衣架是利用了四边形的不稳定性，
而A、B、C选项都是利用了三角形的稳定性，故选D．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
7．如图，工具房有一个方形框架，小华发现它很容易变形，以下加固方案最好的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据三角形的稳定性即可解答．
根据三角形的稳定性可得D是最好的加固方案．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了三角形的稳定性，解题的关键是当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
8．如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且使用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？
【答案】见解析
【解析】根据题意运用四边形的不稳定性和三角形的稳定性来回答问题即可．
这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离．它的固定方法是：任选两个不在同一木条上的顶点固定就行了．
【点睛】本题考查了四边形的不稳定性，要使物体具有稳定性，应做成三角形，否则做成四边形、五边形等等，理解题意是解题的关键．
9. 已知a，b，c是的三边长，若，，且的周长不超过，求a范围．
【答案】3＜a≤4
【解析】根据三边关系以及题意得到关于a的不等式组，解不等式组得出a的取值．
根据三角形三边关系和题意得，
∵，，
∴
解得3＜a≤4．
【点睛】此题考查三角形的三边关系，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题．
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