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2024--2025学年度人教版数学八年级上册学讲练测讲义
第十一章 三角形
专题11.3 多边形及其内角和
课节学习目标
1．掌握多边形的定义及其有关概念，理解正多边形及其相关概念；
2．正确区分凹多边形和凸多边形；
3．理解多边形的对角线的概念，探索一个多边形能画几条对角线；
4．理解多边形内角和公式的推导过程，并掌握多边形的内角和与外角和公式；
5．灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决有关问题。
课节知识点解读
知识点1. 多边形的概念及其组成元素
多边形的顶点、边、内角、外角、对角线是组成多边形的关键元素.
1.多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
2.多边形的内角的定义：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
3.多边形的外角的定义：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
4.多边形的对角线的定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
5.正多边形的定义：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
知识点2. 与多边形有关的规律
1.从n边形的一个顶点出发，能引出(n﹣3)条对角线；
2.经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成(n﹣2)个三角形；
3. n边形共有对角线(n≥3)条．
4．性质：多边形的内角和等于(n－2)·180°；多边形的外角和等于360°.
5．多边形的边数与内角和、外角和的关系：
(1)n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.
(2)多边形的外角和等于360°，与边数的多少无关.
(3)正n边形：正n边形的内角的度数为，外角的度数为.
课节知识点例题讲析
【例题1】如图所示的图形中，属于多边形的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】A
【解析】根据多边形的定义：平面内不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形．显然只有第一个、第二个、第五个符合题意．故选A．
【例题2】一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形为（ ）
A．九边形 B．十边形 C．十一边形 D．十二边形
【答案】D
【解析】根据多边形内角和公式“”进行计算，即可得．
由题意得，
，
故选D．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是掌握多边形内角和公式．
【例题3】下列哪一个角度可以作为一个多边形的内角和（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用多边形的内角和公式逐个选项进行分析即可作出判断．
∵多边形内角和公式为，
∴多边形内角和一定是180的倍数．
∵1980°=11×180°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和公式，在解题时要记住多边形内角和公式，并加以应用即可解决问题．
【例题4】在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的倍还大．
（1）求这个多边形的边数；
（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？
【答案】（1）9；（2）1080 或1260 或1440 ．
【解析】【分析】
（1）设多边形的一个外角为，则与其相邻的内角等于，根据内角与其相邻的外角的和是 列出方程，求出的值，再由多边形的外角和为，求出此多边形的边数为；
（2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，根据多边形的内角和定理即可求出答案．
【详解】（1）设每一个外角为，则与其相邻的内角等于，
，
，即多边形的每个外角为，
∵多边形的外角和为，
∴多边形的外角个数为：，
∴这个多边形的边数为；
（2）因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，
①若剪去一角后边数减少1条，即变成边形，
内角和为，
②若剪去一角后边数不变，即变成边形，
内角和为，
③若剪去一角后边数增加1，即变成边形，
内角和为，
∴将这个多边形剪去一个角后，剩下多边形的内角和为或或 ．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，外角和定理，多边形内角与外角的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
深化对课节知识点理解的试题专炼
1．若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（ ）
A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8
【答案】C
【解析】实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到．
如图，原来多边形的边数可能是5，6，7．
故选C
【点睛】本题考查的是截去一个多边形的一个角，解此类问题的关键是要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况．
2.一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ）
A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形
【答案】A
【解析】根据n边形的内角和是（n﹣2） 180°，列出方程即可求解．
根据n边形的内角和公式，得
（n﹣2） 180°=900°，
解得n=7，
∴这个多边形的边数是7，故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是熟记内角和公式并列出方程．
3．如果过一个多边形的一个顶点的对角线有5条，则该多边形是（ ）
A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形
【答案】B
【解析】根据边形一个顶点的对角线为计算求解即可．
由题意知
解得
故选B．
【点睛】本题考查了多边形的对角线．解题的关键在于熟练掌握多边形的对角线．
4. 剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为________．
【答案】6
【解析】根据多边形的内角和进行即可求解．
根据题意用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，则每剪一次，所有的多边形的内角和增加360°，
10张纸片，则剪了9次，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，设还有一张多边形纸片的边数为，
，
解得．故答案为：．
【点睛】本题考查了多边形内角和公式，理解题意是解题的关键．
5．一个四边形它有_____条边，有_____个内角，有______个外角，从一个顶点出发可以引______条对角线，一共可以画______条对角线.
【答案】 4 4 4 1 2
【解析】根据四边形的定义得一个四边形它有4条边，有4个内角，有4个外角，从一个顶点出发可以引4-3=1条对角线，一共可以画=2条对角线.
6．把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状可能是_______边形.
【答案】三、四、五
【解析】当剪去一个角后，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状可能是四边形或三角形或五边形.
7．从边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个边形分割成17个三角形，则＝______．
【答案】19
【解析】根据从n边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个n边形分割成（n-2）个三角形的规律作答．
∵一个多边形从一个顶点出发，连接其余各顶点，可以把多边形分成(n-2)个三角形，
∴-2=17，
∴．
【点睛】本题主要考查多边形的性质，解题关键是熟记多边形顶点数与分割成的三角形个数的关系．
8．一个多边形减去一个角后，所得多边形的内角和是，则这个多边形的边数不可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解析】根据多边形的内角和求出减去一个角后的多边形的边数即可判断．
由题意得，
，解得，
由于减去一个角后边数为6，则这个多边形不可能为四边形，
故选A．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形的边数与内家和的关系是解题的关键．
9. 已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是______边形．
【答案】5
【解析】设这个多边形是n边形，由题意得，
(n-2) ×180°=540°，解之得，n=5．
10．如果过多边形的一个顶点共有3条对角线，那么这个多边形的内角和是______度．
【答案】720
【解析】根据过多边形的一个顶点共有3条对角线，则这个多边形的边数是6，n边形的内角和可以表示成（n-2） 180°，代入公式就可以求出内角和．
∵过多边形的一个顶点共有3条对角线，
∴该多边形边数为6，
∴（6-2） 180°=720°，
∴这个多边形的内角和为720°，
故答案为：720．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，多边形的对角线，解题的关键是掌握多边形对角线规律．
11．在五边形中，，，，则的度数是______．
【答案】##142度
【解析】根据平行线的性质求得根据，可得，根据，以及五边形的内角和为，即可求解．
，
，
，
五边形的内角和为，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，多边形的内角和，掌握以上知识是解题的关键．
12. （2023湖南永州）下列多边形中，内角和等于的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据n边形内角和公式分别求解后，即可得到答案
A．三角形内角和是，故选项不符合题意；
B．四边形内角和为，故选项符合题意；
C．五边形内角和为，故选项不符合题意；
D．六边形内角和为，故选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了n边形内角和，熟记n边形内角和公式是解题的关键．
13．已知正多边形的周长为56，从其一个顶点出发共有4条对角线，求这个正多边形的边长．
【答案】这个多边形的边长为 8．
【解析】根据从一个顶点出发共有 4 条对角线，求出这是正七边形即可求出边长.
∵过多边形的一个顶点共有 4 条对角线， 故该多边形边数为 4+3＝7，
设这个正方形的边长为 x， 则 7x＝56，
解得：x＝8
∴这个多边形的边长为 8．
【点睛】本题考查了正n边形的对角线和周长,属于简单题,熟悉正多边形对角线的求法是解题关键.
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第十一章 三角形
专题11.3 多边形及其内角和
课节学习目标
1．掌握多边形的定义及其有关概念，理解正多边形及其相关概念；
2．正确区分凹多边形和凸多边形；
3．理解多边形的对角线的概念，探索一个多边形能画几条对角线；
4．理解多边形内角和公式的推导过程，并掌握多边形的内角和与外角和公式；
5．灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决有关问题。
课节知识点解读
知识点1. 多边形的概念及其组成元素
多边形的顶点、边、内角、外角、对角线是组成多边形的关键元素.
1.多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
2.多边形的内角的定义：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
3.多边形的外角的定义：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
4.多边形的对角线的定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
5.正多边形的定义：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
知识点2. 与多边形有关的规律
1.从n边形的一个顶点出发，能引出(n﹣3)条对角线；
2.经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成(n﹣2)个三角形；
3. n边形共有对角线(n≥3)条．
4．性质：多边形的内角和等于(n－2)·180°；多边形的外角和等于360°.
5．多边形的边数与内角和、外角和的关系：
(1)n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.
(2)多边形的外角和等于360°，与边数的多少无关.
(3)正n边形：正n边形的内角的度数为，外角的度数为.
课节知识点例题讲析
【例题1】如图所示的图形中，属于多边形的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【例题2】一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形为（ ）
A．九边形 B．十边形 C．十一边形 D．十二边形
【例题3】下列哪一个角度可以作为一个多边形的内角和（ ）
A． B． C． D．
【例题4】在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的倍还大．
（1）求这个多边形的边数；
（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？
深化对课节知识点理解的试题专炼
1．若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（ ）
A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8
2.一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ）
A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形
3．如果过一个多边形的一个顶点的对角线有5条，则该多边形是（ ）
A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形
4. 剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为________．
5．一个四边形它有_____条边，有_____个内角，有______个外角，从一个顶点出发可以引______条对角线，一共可以画______条对角线.
6．把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状可能是_______边形.
7．从边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个边形分割成17个三角形，则＝______．
8．一个多边形减去一个角后，所得多边形的内角和是，则这个多边形的边数不可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9. 已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是______边形．
10．如果过多边形的一个顶点共有3条对角线，那么这个多边形的内角和是______度．
11．在五边形中，，，，则的度数是______．
12. （2023湖南永州）下列多边形中，内角和等于的是（ ）
A. B. C. D.
13．已知正多边形的周长为56，从其一个顶点出发共有4条对角线，求这个正多边形的边长．
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