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2024--2025学年度人教版数学八年级上册学讲练测讲义
第十二章 全等三角形
专题12.3 角的平分线的性质
课节学习目标
1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理.
2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题.
3. 理解角平分线的判定定理.
4. 掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题.
5. 学会判断一个点是否在一个角的平分线上.
课节知识点解读
知识点1. 角平分线的概念
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线.
∵ ∠1=∠2
∴ BD是∠ABC的平分线
知识点2.用尺规作角的平分线方法.
已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线.
作法：
1.以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
2.分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部相交于点C.
3.画射线OC.
则：射线OC即为所求.
请你说明OC为什么是∠AOB的平分线.
证明：在△OMC与△ONC中，
∴△OMC≌△ONC (SSS)
∴∠AOC=∠BOC
即OC是∠AOB的角平分线.
知识点3. 角平分线的性质
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言：
∵ 点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB.
∴ PD=PE
知识点4. 角的平分线判定定理
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：(1)点在角的内部；(2)该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.(证明两角相等).
几何符号语言：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE
∴ 点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC=BOC)
课节知识点例题讲析
【例题1】如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E. 求证PD=PE.
【答案】见解析
【解析】证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB
∴ ∠PDO=∠PEO=90°
在△PDO和△PEO中，
∴ △PDO≌△PEO (AAS)
∴ PD=PE
【例题2】已知，如图，P为∠AOB内部一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE.
求证：点P在∠AOB的平分线上.
【答案】见解析
【解析】证明：经过点P作射线OC.
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ∠PDO=∠PEO=90°，
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO (HL) ，
∴ ∠POD=∠POE，
即点P在∠AOB的平分线上.
深化对课节知识点理解的试题专炼
1. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（ ）
A．44° B．40° C．39° D．38°
【答案】C．
【解析】根据三角形内角和得出∠ACB，利用角平分线得出∠DCB，再用平行线的性质解答即可．
∵∠A=54°，∠B=48°，
∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴∠DCB=78°=39°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE=∠DCB=39°，
【点拨】本题考查三角形内角和定理、平行线性质、角平分线定义。
2．如图，在△ABC中，∠B＝42°，AD⊥BC于点D，点E是BD上一点，EF⊥AB于点F，若ED＝EF，则∠AEC的度数为( )
A．60° B．62° C．64° D．66°
【答案】D
【解析】∵∠B=42°，AD⊥BC，
∴∠BAD=48°，
∵ED=EF，AD⊥BC，EF⊥AB，
∴∠BAE=∠DAE=24°，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=66°，
故答案为：D
【点拨】根据三角形的内角和得出∠BAD=48°，根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得出AE平分∠BAD，根据角平分线的定义得出∠BAE=∠DAE=24°，根据三角形的外角定理即可算出答案。
3．如图，在△ABC中∠ABC和∠ACB平分线交于点O，过点O作OD⊥BC于点D，△ABC的周长为18，OD=4，则△ABC的面积是 ．
【答案】36
【解析】作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵OB是∠ABC的平分线，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE=OD=4，
同理OF=OD=4，
△ABC的面积= ×AB×4+ ×AC×4+ ×BC×4=36．
【点拨】作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线的性质求出OE=OD=4和OF=OD=4，根据三角形面积公式计算即可．
4. 如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且D是BC的中点,DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．求证:BE=CF.
证明:∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF
∵ D是BC的中点
∴BD=CD
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)
∴BE=CF
5. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,问:能否在AB上确定一点E，使△BDE之周长等于AB的长
【答案】见解析
【解析】能在AB上确定一点E,使△BDE的周长等于AB的长.
即过点D作DE⊥AB于E，则E点就是所要确定的点.
∵AD平分∠CAB，且∠C=90°，DE⊥AB
∴DC=DE
在Rt△ACD和Rt△AED中,
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)
∴AC=AE
∴AC=BC
∴AE=BC
∴C△BDE=BD+DE+BE=BD+DC+BE=BC+BE=AE+BE=AB
6. 如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC．求证:AD是∠BAC的平分线.
【答案】见解析
【解析】证明:∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF (HL) ，
∴DE=DF，
∴AD是∠BAC的平分线.
7. 如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证:
（1）AM平分∠DAB;
(2)AD=AB+CD.
【答案】见解析
【解析】证明:(1)作MN⊥AD于N.
∵DM平分∠ADC，且MC⊥CD，MN⊥AD，
∴CM=MN，
∵M是BC的中点，
∴CM=MB，
∴MN=MB，
∵MB⊥BA，MN⊥AD，且MN=MB，
∴AM平分∠DAB.
(2)由(1)得MC=MN,MB=MN，
在Rt△MCD和Rt△MND中，
，
∴Rt△MCD≌Rt△MND (HL) ，
∴CD=ND，
同理可得AB=AN，
∵AD=AN+ND，
∴AD=AB+CD.
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
【答案】见解析。
【解析】先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=90°﹣∠A=50°，由邻补角定义得出∠CBD=130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE=∠CBD=65°；先根据三角形外角的性质得出∠CEB=90°﹣65°=25°，再根据平行线的性质即可求出∠F=∠CEB=25°．
（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，
∴∠CBD=130°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE=∠CBD=65°；
（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，
∴∠CEB=90°﹣65°=25°．
∵DF∥BE，
∴∠F=∠CEB=25°．
9．如图，四边形ABCD中AD=AB，∠DAB+∠BCD=180°，求证：CA平分∠DCB
【答案】见解析
【解析】证明：过点A分别作AN⊥BC，AM⊥CD，垂足为N、M.
∵∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°
∴∠1=∠3
∵AN⊥BC，AM⊥CD
∴∠ANB=∠AMD=90°
又∵AB=AD
∴△ABN≌△ADM
∴AN=AM
∴点A在∠BCD的平分线上，
即CA平分∠BCD.
【点拨】过点A分别作AN⊥BC，AM⊥CD，垂足为N、M，由垂直的定义得∠ANB=∠AMD=90°，根据同角的补角相等得出 ∠1=∠3 ，进而利用AAS判断出△ABN≌△ADM，根据全等三角形的对应边相等得出AN=AM，然后根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上即可得出结论.
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第十二章 全等三角形
专题12.3 角的平分线的性质
课节学习目标
1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理.
2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题.
3. 理解角平分线的判定定理.
4. 掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题.
5. 学会判断一个点是否在一个角的平分线上.
课节知识点解读
知识点1. 角平分线的概念
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线.
∵ ∠1=∠2
∴ BD是∠ABC的平分线
知识点2.用尺规作角的平分线方法.
已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线.
作法：
1.以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
2.分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部相交于点C.
3.画射线OC.
则：射线OC即为所求.
请你说明OC为什么是∠AOB的平分线.
证明：在△OMC与△ONC中，
∴△OMC≌△ONC (SSS)
∴∠AOC=∠BOC
即OC是∠AOB的角平分线.
知识点3. 角平分线的性质
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言：
∵ 点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB.
∴ PD=PE
知识点4. 角的平分线判定定理
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：(1)点在角的内部；(2)该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.(证明两角相等).
几何符号语言：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE
∴ 点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC=BOC)
课节知识点例题讲析
【例题1】如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E. 求证PD=PE.
【例题2】已知，如图，P为∠AOB内部一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE.
求证：点P在∠AOB的平分线上.
深化对课节知识点理解的试题专炼
1. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（ ）
A．44° B．40° C．39° D．38°
2．如图，在△ABC中，∠B＝42°，AD⊥BC于点D，点E是BD上一点，EF⊥AB于点F，若ED＝EF，则∠AEC的度数为( )
A．60° B．62° C．64° D．66°
3．如图，在△ABC中∠ABC和∠ACB平分线交于点O，过点O作OD⊥BC于点D，△ABC的周长为18，OD=4，则△ABC的面积是 ．
4. 如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且D是BC的中点,DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．求证:BE=CF.
5. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,问:能否在AB上确定一点E，使△BDE之周长等于AB的长
6. 如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC．求证:AD是∠BAC的平分线.
7. 如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证:
（1）AM平分∠DAB;
(2)AD=AB+CD.
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
9．如图，四边形ABCD中AD=AB，∠DAB+∠BCD=180°，求证：CA平分∠DCB
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