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2024--2025学年度人教版数学八年级上册学讲练测讲义
第十二章 全等三角形
专题12.4 全等三角形单元基础知识归纳总结
单元课标要求
1. 理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角。
2. 掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。
3. 掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。
4. 掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等。
5. 证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
6. 理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
7. 探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。
8. 能用尺规作图：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形。
单元知识点思维导图与题型方法总结
一、全等三角形的性质
1.定义：能够完全重合的两个图形叫全等图形，能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.
2.性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.
二、三角形全等的判定方法
1.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (可以简写成“边角边”或“SAS”).
2.有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”）.
3.三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）.
4.有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”）.
5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边、直角边”或“HL”.
三、 角平分线的性质与判定
四、方法技巧总结
1.证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤
（1）确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），
（2）回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，
（3）正确地书写证明格式.
2.三角形中作辅助线的常用方法
（1）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明.
（2）在用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再用外角定理.
（3）有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形.
（4）有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。
（5）有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。
（6）截长补短法作辅助线。
（7）延长已知边构造三角形.
（8）连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。
（9）有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。
（10）连接已知点，构造全等三角形。
（11）取线段中点构造全等三有形。
3.全等三角形辅助线做法顺口溜
图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。
单元考点例题讲析
考点1. 全等三角形的性质
【例题1】如图，和是对应角，和是对应边．
（1）写出和的其他对应角和对应边；
（2）若，求的度数；
（3）若，求的长．
【答案】（1）其他对应角为和，和；其他对应边为和和；（2）；（3）．
【解析】【分析】
（1）根据全等三角形的性质，对应角相等，对应边相等，解答即可；
（2）根据全等三角形的性质可得，运用三角形外角的性质即可解答；
（3）根据全等三角形的性质可得，进一步证明，然后可得．
【详解】（1）其他对应角为：和，和；
其他对应边为：和和；
（2）∵，
∴
∵，
∴；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形对应角相等，对应边相等是解本题的关键．
考点2. 全等三角形的判定定理
【例题2】如图， ， ， .求证： .
【答案】见解析
【解析】证明：在△ADB和△AEC中，
∴
∴
∴
即
【点拨】首先利用SSS证明△ADB≌△AEC，根据全等三角形的对应边相等得到∠BAD＝∠CAE，根据等式的性质可证得∠BAC＝∠DAE.
【例题3】如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C.求证∠A=∠D.
【答案】见解析
【解析】证明:∵BE=CF
∴BE+EF=CF+EF
即BF=CE
在△ABF和△DCE中，
∴△ABF≌△DCE(SAS)
∴∠A=∠D
【例题4】如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。
求证：AM是△ABC的中线。
【答案】见解析。
【解析】证明：
∵BE‖CF
∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM
∵BE=CF
∴△BEM≌△CFM
∴BM=CM
∴AM是△ABC的中线.
【例题5】如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是 ．
【答案】AC=BC．
【解析】添加AC=BC，根据三角形高的定义可得∠ADC=∠BEC=90°，再证明∠EBC=∠DAC，然后再添加AC=BC可利用AAS判定△ADC≌△BEC．
添加AC=BC，
∵△ABC的两条高AD，BE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，
∴∠EBC=∠DAC，
在△ADC和△BEC中，
∴△ADC≌△BEC（AAS）
【例题6】如图，AC⊥AD，BC⊥BD，AC=BD，求证：AD=BC.
【答案】见解析
【解析】证明:连接DC.
∵AC⊥AD，BC⊥BD，
∴∠A=∠B=90°，
在Rt△ADC和Rt△BCD中，
∴Rt△ADC≌Rt△BCD (HL) ，
∴AD=BC.
考点3. 与三角形全等有关的作图
【例题7】人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：
已知：
求作：的平分线
做法：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，
（2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C
（3）画射线OC，射线OC即为所求．
请你根据提供的材料完成下面问题：
（1）这种作已知角平分线的方法的依据是__________________(填序号)．
① ② ③ ④
（2）请你证明OC为的平分线．
【答案】（1）①；（2）证明见解析
【解析】（1）根据作图的过程知道：OM=ON，OC=OC，CM=CM，由“SSS”可以证得△EOC≌△DOC；
（2）根据作图的过程知道：OM=ON，OC=OC，CM=CM，由全等三角形的判定定理SSS可以证得△EOC≌△DOC，从而得到OC为的平分线．
【详解】（1）根据作图的过程知道：OM=ON，OC=OC，CM=CM，所以由全等三角形的判定定理SSS可以证得△EOC≌△DOC，从而得到OC为的平分线；
故答案为：①；
（2）如图，
连接MC、NC．
根据作图的过程知，
在△MOC与△NOC中，
，
∴△MOC≌△NOC（SSS），
∠AOC=∠BOC，
∴OC为的平分线．
【点拨】本题考查了作图-基本作图及全等三角形的判定定理的应用，注意：三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
考点4. 角平分线的性质与判定
【例题8】如图，在中，，平分交于点，，垂足为，若，，则的长为______．
【答案】
【解析】先根据角平分线的性质可得，再根据线段的和差即可得．
平分，，，，
，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．
【例题9】如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为( )
A．110° B．120° C．130° D．140°
【答案】A
【解析】由已知，O到三角形三边的距离相等，所以O是三条角平分线的交点，
BO，CO都是角平分线，所以有∠CBO＝∠ABO＝1/2∠ABC，
∠BCO＝∠ACO＝1/2∠ACB，
∵∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，
∴∠OBC＋∠OCB＝70°，
∴∠BOC＝180°－70°＝110°.
情感态度与价值观教育--数学家事迹
泰勒斯 ( http: / / www. / link url=6D1UowPn5Yzvp4_WOzEFafVpHz0yIEwSaL1tG_ZDx20OTG6TcJukOtACKEmX6Bj7_bo2PWDZ6zMGq4UJ7xEjcNs2rWBb6RLBsE9YDelDmOiKfENn0WtGQFv9lWIadld9dRRPKu6LBSplEVEFNEJ3Wy8O6-weIOnUxc1XMthqfEZDl0M2v2_lImkYYAR1e3aonDP6ZHJ0cdUbE9nIacaM8KMocf4QXXrH926O7FGAcymo_uCTXJoQZ8uaEMsvnHdmflda-8lwIrbU6Il9k3uxJ12steMYJ7KYD5JZHWXMAXxEX222NL9JOJ8g_mbhtaJ7aPzyBXVpsomTDyT8lzC1sE3nrOPb_zDPvgNmogboAqI8ZFRleTFMu2_v6J8fF6blQycvHmWVycSChH4tZQ7qFAOEjWw4Bmmu-cl11FmW1JbLIuS1oWlxE5cqLvBcBLKWMSeGfIyQa6KasIDFMDOtCLHw7YvRP4XmLUQX-WDUDPB_VCL3mZyoLOIqPANUmoqtk1ARlQPHVq1u6pJCWjWJTPo7q7NeVRtyWf44vIPoAEh_n38nxsidXjBoRaffGW2m" \t "https: / / www. / _blank )
全等三角形的概念起源于古代人们对测量的需求。据史料记载，古希腊学者泰勒斯 ( https: / / www. / s tn=25017023_2_pg&wd=%E6%B3%B0%E5%8B%92%E6%96%AF&rsv_crq=6&usm=4&ie=utf-8&rsv_pq=fd1ef25c0136b2c8&oq=%E5%85%A8%E7%AD%89%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E7%9A%84%E5%8E%86%E5%8F%B2%E8%B5%B7%E6%BA%90&rsv_t=c7554ktAJah5Z6fmLihEDUtG1P2T6Xkr1nAQ6cD12KmQfR+NhWXvx0fadPRpB3Cc3SXg1A&sa=re_dqa_zy&icon=1" \t "https: / / www. / _self )被认为是第一个应用全等三角形的人。他发现了全等三角形的第一个判定定理，即当两个三角形的两个角及其夹边已知时，这两个三角形是完全确定的。这个定理为后来的几何学 ( https: / / www. / s tn=25017023_2_pg&wd=%E5%87%A0%E4%BD%95%E5%AD%A6&rsv_crq=6&usm=4&ie=utf-8&rsv_pq=fd1ef25c0136b2c8&oq=%E5%85%A8%E7%AD%89%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E7%9A%84%E5%8E%86%E5%8F%B2%E8%B5%B7%E6%BA%90&rsv_t=c7554ktAJah5Z6fmLihEDUtG1P2T6Xkr1nAQ6cD12KmQfR+NhWXvx0fadPRpB3Cc3SXg1A&sa=re_dqa_zy&icon=1" \t "https: / / www. / _self )发展奠定了基础。泰勒斯还利用这个判定三角形全等的依据，求出了岸上一点到海中一艘船的距离，展示了他对全等三角形应用的深刻理解。这个故事不仅展示了全等三角形在实践中的应用，也体现了古希腊数学家对几何学的贡献。泰勒斯的工作为全等三角形的研究和应用开辟了道路，使得这一概念在数学和科学领域中占据了重要的地位。随着时间的推移，全等三角形的概念不仅在理论上得到了进一步的发展，而且在建筑学、工程学等多个领域中得到了广泛的应用。
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第十二章 全等三角形
专题12.4 全等三角形单元基础知识归纳总结
单元课标要求
1. 理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角。
2. 掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。
3. 掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。
4. 掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等。
5. 证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
6. 理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
7. 探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。
8. 能用尺规作图：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形。
单元知识点思维导图与题型方法总结
一、全等三角形的性质
1.定义：能够完全重合的两个图形叫全等图形，能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.
2.性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.
二、三角形全等的判定方法
1.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (可以简写成“边角边”或“SAS”).
2.有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”）.
3.三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）.
4.有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”）.
5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边、直角边”或“HL”.
三、 角平分线的性质与判定
四、方法技巧总结
1.证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤
（1）确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），
（2）回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，
（3）正确地书写证明格式.
2.三角形中作辅助线的常用方法
（1）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明.
（2）在用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再用外角定理.
（3）有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形.
（4）有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。
（5）有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。
（6）截长补短法作辅助线。
（7）延长已知边构造三角形.
（8）连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。
（9）有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。
（10）连接已知点，构造全等三角形。
（11）取线段中点构造全等三有形。
3.全等三角形辅助线做法顺口溜
图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。
单元考点例题讲析
考点1. 全等三角形的性质
【例题1】如图，和是对应角，和是对应边．
（1）写出和的其他对应角和对应边；
（2）若，求的度数；
（3）若，求的长．
考点2. 全等三角形的判定定理
【例题2】如图， ， ， .求证： .
【例题3】如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C.求证∠A=∠D.
【例题4】如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。
求证：AM是△ABC的中线。
【例题5】如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是 ．
【例题6】如图，AC⊥AD，BC⊥BD，AC=BD，求证：AD=BC.
考点3. 与三角形全等有关的作图
【例题7】人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：
已知：
求作：的平分线
做法：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，
（2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C
（3）画射线OC，射线OC即为所求．
请你根据提供的材料完成下面问题：
（1）这种作已知角平分线的方法的依据是__________________(填序号)．
① ② ③ ④
（2）请你证明OC为的平分线．
考点4. 角平分线的性质与判定
【例题8】如图，在中，，平分交于点，，垂足为，若，，则的长为______．
【例题9】如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为( )
A．110° B．120° C．130° D．140°
情感态度与价值观教育--数学家事迹
泰勒斯 ( http: / / www. / link url=6D1UowPn5Yzvp4_WOzEFafVpHz0yIEwSaL1tG_ZDx20OTG6TcJukOtACKEmX6Bj7_bo2PWDZ6zMGq4UJ7xEjcNs2rWBb6RLBsE9YDelDmOiKfENn0WtGQFv9lWIadld9dRRPKu6LBSplEVEFNEJ3Wy8O6-weIOnUxc1XMthqfEZDl0M2v2_lImkYYAR1e3aonDP6ZHJ0cdUbE9nIacaM8KMocf4QXXrH926O7FGAcymo_uCTXJoQZ8uaEMsvnHdmflda-8lwIrbU6Il9k3uxJ12steMYJ7KYD5JZHWXMAXxEX222NL9JOJ8g_mbhtaJ7aPzyBXVpsomTDyT8lzC1sE3nrOPb_zDPvgNmogboAqI8ZFRleTFMu2_v6J8fF6blQycvHmWVycSChH4tZQ7qFAOEjWw4Bmmu-cl11FmW1JbLIuS1oWlxE5cqLvBcBLKWMSeGfIyQa6KasIDFMDOtCLHw7YvRP4XmLUQX-WDUDPB_VCL3mZyoLOIqPANUmoqtk1ARlQPHVq1u6pJCWjWJTPo7q7NeVRtyWf44vIPoAEh_n38nxsidXjBoRaffGW2m" \t "https: / / www. / _blank )
全等三角形的概念起源于古代人们对测量的需求。据史料记载，古希腊学者泰勒斯 ( https: / / www. / s tn=25017023_2_pg&wd=%E6%B3%B0%E5%8B%92%E6%96%AF&rsv_crq=6&usm=4&ie=utf-8&rsv_pq=fd1ef25c0136b2c8&oq=%E5%85%A8%E7%AD%89%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E7%9A%84%E5%8E%86%E5%8F%B2%E8%B5%B7%E6%BA%90&rsv_t=c7554ktAJah5Z6fmLihEDUtG1P2T6Xkr1nAQ6cD12KmQfR+NhWXvx0fadPRpB3Cc3SXg1A&sa=re_dqa_zy&icon=1" \t "https: / / www. / _self )被认为是第一个应用全等三角形的人。他发现了全等三角形的第一个判定定理，即当两个三角形的两个角及其夹边已知时，这两个三角形是完全确定的。这个定理为后来的几何学 ( https: / / www. / s tn=25017023_2_pg&wd=%E5%87%A0%E4%BD%95%E5%AD%A6&rsv_crq=6&usm=4&ie=utf-8&rsv_pq=fd1ef25c0136b2c8&oq=%E5%85%A8%E7%AD%89%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E7%9A%84%E5%8E%86%E5%8F%B2%E8%B5%B7%E6%BA%90&rsv_t=c7554ktAJah5Z6fmLihEDUtG1P2T6Xkr1nAQ6cD12KmQfR+NhWXvx0fadPRpB3Cc3SXg1A&sa=re_dqa_zy&icon=1" \t "https: / / www. / _self )发展奠定了基础。泰勒斯还利用这个判定三角形全等的依据，求出了岸上一点到海中一艘船的距离，展示了他对全等三角形应用的深刻理解。这个故事不仅展示了全等三角形在实践中的应用，也体现了古希腊数学家对几何学的贡献。泰勒斯的工作为全等三角形的研究和应用开辟了道路，使得这一概念在数学和科学领域中占据了重要的地位。随着时间的推移，全等三角形的概念不仅在理论上得到了进一步的发展，而且在建筑学、工程学等多个领域中得到了广泛的应用。
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