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2024--2025学年度人教版数学八年级上册学讲练测讲义
第十二章 全等三角形
专题12.2 三角形全等的判定
课节学习目标
1.理解“SSS”判定方法和应用.
2.会用尺规作一个角等于已知角，了解图形的作法．
3. 探索并正确理解三角形全等的判定方法“SAS”. 会用“SAS”判定方法证明两个三角形全等及进行简单的应用．
4. 了解“SSA”不能作为两个三角形全等的条件．
5. 探索并正确理解三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”．会用三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”证明两个三角形全等．
6. 探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”． 会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．
课节知识点解读
一、理解并牢记三角形全等的五种判定方法
判定方法1：“边边边”或“SSS”判定方法
三边对应相等的两个三角形全等。
几何符号语言：
在△ABC和△A′B′C′中，
则△ABC≌△ A′B′C′(SSS)
注意：作一个角等于已知角的方法
已知：∠AOB 求作：∠A′0′B′，使∠A′0′B′=∠AOB.
作法：
1.以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
2.画一条射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
3.以C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′；
4.过点D′画射线O′B′，则∠A′0′B′=∠AOB.
思考：为什么这样作出的∠A′O′B′和∠AOB是相等的？
在△OCD和△O′C′D′中，
∴△OCD ≌△O′C′D′(SSS)，
∴∠AOB=∠A′O′B′.
判定方法2：“边角边”或“SAS”判定方法
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.
几何符号语言：
在△ABC和△A′B′C′中，
则△ABC≌△A′B′C′(SAS)
判定方法3：“角边角”或“ASA”判定方法
有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等.
几何符号语言：
在△ABC和△A′B′C′中，
则△ABC≌△A′B′C′(ASA)
判定方法4：“角角边”或“AAS”判定方法
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
几何符号语言：
在△ABC和△A′B′C′中，
则△ABC≌△A′B′C′(AAS)
判定方法5：直角三角形“HL”判定方法
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
几何符号语言：
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
则Rt△ABC≌Rt△ A′B′C′（HL）
二、证明两个三角形全等的书写步骤
1.准备条件：证全等时要用的条件要先证好；
2.指明范围：写出在哪两个三角形中；
3.摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；
4.写出结论：写出全等结论.
课节知识点例题讲析
【例题1】如图，C是AB的中点，AD=CE，CD=BE. 求证△ACD≌△CBE.
【答案】见解析
【解析】证明：∵C是AB的中点，
∴AC=CB，
在△ACD和△CBE中，
∴△ACD≌△CBE(SSS).
【例题2】如图，CA=CB，AD=BD，M、N分别是CA、CB的中点,求证DM=DN.
【答案】见解析
【解析】证明:连接CD，
在△CAD和△CBD中，
∴△CAD≌△CBD(SSS)
∴∠A=∠B
∵M、N分别是CA、CB中点，且CA=CB
∴AM=BN
在△MAD和△NBD中，
∴△MAD≌△NBD(SAS)
∴DM=DN
【例题3】如图，AB//CD，AF//DE，BE=CF．求证:AB=CD.
【答案】见解析
【解析】证明:AB//CD，AF//DE
∴∠B=∠C, ∠AFB=∠DEC
∵BE=CF
∴BE+EF=CF+EF
即BF=CE
在△ABF和△DCE中,
∴ △ABF≌△DCE(ASA)
∴AB=CD
【例题4】如图，AB=AC，∠D=∠E，∠BAD=∠CAE.求证：△ABE≌△ACD.
【答案】见解析
【解析】证明:∵∠BAD=∠CAE
∴∠BAD-∠EAD=∠CAE-∠EAD
即∠BAE=∠CAD
在△ABE和△ACD中,
∴△ABE≌△ACD(AAS)
【例题5】如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C、D，AC=BD.求证BC=AD.
【答案】见解析
【解析】证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD，
∴ ∠C与∠D都是直角，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL) ，
∴ BC=AD.
深化对课节知识点理解的试题专炼
1.如图，AC=BD，AO=BO，CO=DO，∠D=30°，∠A=95°，则∠AOC等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在△ACO和△BDO中，
∵ ，
∴△ACO≌△BDO（SSS），
∴∠C=∠D=30°，
∵∠AOC=180°-∠C-∠A=180°-30°-95°=55°，
故答案为：B．
【点拨】先利用“SSS”证明△ACO≌△BDO，得∠C=∠D=30°，最后用三角形的内角和计算即可。
2. 如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据，，正好是两边一夹角，即可得出答案．
∵在△ABO和△DCO中，，
∴，故B正确．故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握两边对应相等，且其夹角也对应相等的两个三角形全等，是解题的关键．
3．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF．
（1）求证：△ABC≌DEF；
（2）若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度数．
【答案】见解析。
【解析】求出AC=DF，根据SSS推出△ABC≌△DEF．由（1）中全等三角形的性质得到：∠A=∠EDF，进而得出结论即可．
证明：（1）∵AC=AD+DC，DF=DC+CF，且AD=CF
∴AC=DF
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SSS）
（2）由（1）可知，∠F=∠ACB
∵∠A=55°，∠B=88°
∴∠ACB=180°﹣（∠A+∠B）=180°﹣（55°+88°）=37°
∴∠F=∠ACB=37°
4.如图，点A、F、E、C在同一直线上，AF=CE，BE//DF，BE=DF,求证:AB//CD.
【答案】见解析。
【解析】证明:∵AF=CE
∴AF+EF=CE+EF，
即AE=CF
∵BE//DF
∴∠1=∠2
在△AEB和△CFD中，
∴△AEB≌△CFD(SAS)
∴∠A=∠C
∴AB//CD
5.如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD交于点0，且AO平分∠BAC，那么图中全等三角形共有______对.
【答案】见解析
【解析】根据条件: CD⊥AB，BE⊥AC ,AO平分∠BAC及隐含的条件AO=AO(公共边).
∴△ADO≌△AEO(AAS)，∴AD=AE
∴△ADC≌△AEB(ASA)，∴∠B=∠C
∴△ABO≌△ACO(AAS)，∴BO=CO ∴△BDO≌△CEO(AAS)
∴图中全等三角形共有4对.
6. 如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D、E两地. DA⊥AB，EB⊥AB. D，E与路段AB的距离相等吗？为什么？
【答案】见解析
【解析】AD=BE，理由如下：
依题意可得，AC=BC，CD=CE.
∵ DA⊥AB，EB⊥AB，
∴ ∠A=∠B=90°，
在Rt△ACD和Rt△BCE中，
∴ Rt△ACD≌Rt△BCE (HL) ，
∴ AD=BE.
7.如图，已知AD是△ABC的角平分线,且BD=CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足分别为E、F.求证BE=CF.
【答案】见解析
【解析】证明:AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE、DF分别垂直于AB、AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在△AED和△AFD中，
∴△AED≌△AFD(AAS) ，
∴DE=DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE=CF.
8．如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B＝∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．
【答案】AB＝ED．
【解析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，可以是AB＝ED或BC＝DF或AC＝EF或AE＝CF等，只要符合全等三角形的判定定理即可．
添加的条件是：AB＝ED，
理由是：∵在△ABC和△EDF中
，
∴△ABC≌△EDF（ASA）
9.如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．
【答案】见解析。
【解析】证明：延长BA、CE，两线相交于点F
∵BE⊥CE
∴∠BEF=∠BEC=90°
在△BEF和△BEC中
∠FBE=∠CBE,
BE=BE,
∠BEF=∠BEC
∴△BEF≌△BEC(ASA)
∴EF=EC
∴CF=2CE
∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90°
又∵∠ADB=∠CDE
∴∠ABD=∠ACF
在△ABD和△ACF中
∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°
∴△ABD≌△ACF(ASA)
∴BD=CF
∴BD=2CE
10．如图所示，已知△ABF≌△DEC，说明AC∥DF成立的理由.
【答案】见解析
【解析】∵△ABF △DEC,
∴AB=DE,BF=CE, ∠B=∠E
∴BF＋FC=CE＋CF,即 BC=EF.
在△ABC和ADEF中,∵
【点拨】根据三角形全等的性质可得BC=EF，于是利用边角边定理可证△ABC≌△DEF，则∠ACB=∠DFE，因此根据平行线的判定定理证出AC∥DF。
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC的延长线上，ED⊥AB于点D，若BC＝ED，求证：CE＝DB．
【答案】见解析。
【解析】由“AAS”可证△ABC≌△AED，可得AE＝AB，AC＝AD，由线段的和差关系可得结论．
证明：∵ED⊥AB，
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，BC＝DE，
∴△ABC≌△AED（AAS），
∴AE＝AB，AC＝AD，
∴CE＝BD．
12. 如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC＝DE．求证：AB＝CD．
【答案】见解析。
【解析】证明△ABC≌△CDE（ASA），可得出结论．
证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，
∴∠ACE＝∠ABC＝∠CDE＝90°，
∴∠ACB+∠ECD＝90°，∠ECD+∠CED＝90°，
∴∠ACB＝∠CED．
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（ASA），
∴AB＝CD．
13. 如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．
【答案】见解析。
【分析】（1）根据DE⊥AB，DF⊥AC可得∠BED＝∠CFD＝90°，由于∠B＝∠C，D是BC的中点，AAS求证△BED≌△CFD即可得出结论．
（2）根据直角三角形的性质求出∠B＝50°，根据等腰三角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BED与△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF；
（2）∵∠BDE＝40°，
∴∠B＝50°，
∴∠C＝50°，
∴∠BAC＝80°．
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第十二章 全等三角形
专题12.2 三角形全等的判定
课节学习目标
1.理解“SSS”判定方法和应用.
2.会用尺规作一个角等于已知角，了解图形的作法．
3. 探索并正确理解三角形全等的判定方法“SAS”. 会用“SAS”判定方法证明两个三角形全等及进行简单的应用．
4. 了解“SSA”不能作为两个三角形全等的条件．
5. 探索并正确理解三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”．会用三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”证明两个三角形全等．
6. 探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”． 会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．
课节知识点解读
一、理解并牢记三角形全等的五种判定方法
判定方法1：“边边边”或“SSS”判定方法
三边对应相等的两个三角形全等。
几何符号语言：
在△ABC和△A′B′C′中，
则△ABC≌△ A′B′C′(SSS)
注意：作一个角等于已知角的方法
已知：∠AOB 求作：∠A′0′B′，使∠A′0′B′=∠AOB.
作法：
1.以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
2.画一条射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
3.以C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′；
4.过点D′画射线O′B′，则∠A′0′B′=∠AOB.
思考：为什么这样作出的∠A′O′B′和∠AOB是相等的？
在△OCD和△O′C′D′中，
∴△OCD ≌△O′C′D′(SSS)，
∴∠AOB=∠A′O′B′.
判定方法2：“边角边”或“SAS”判定方法
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.
几何符号语言：
在△ABC和△A′B′C′中，
则△ABC≌△A′B′C′(SAS)
判定方法3：“角边角”或“ASA”判定方法
有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等.
几何符号语言：
在△ABC和△A′B′C′中，
则△ABC≌△A′B′C′(ASA)
判定方法4：“角角边”或“AAS”判定方法
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
几何符号语言：
在△ABC和△A′B′C′中，
则△ABC≌△A′B′C′(AAS)
判定方法5：直角三角形“HL”判定方法
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
几何符号语言：
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
则Rt△ABC≌Rt△ A′B′C′（HL）
二、证明两个三角形全等的书写步骤
1.准备条件：证全等时要用的条件要先证好；
2.指明范围：写出在哪两个三角形中；
3.摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；
4.写出结论：写出全等结论.
课节知识点例题讲析
【例题1】如图，C是AB的中点，AD=CE，CD=BE. 求证△ACD≌△CBE.
【例题2】如图，CA=CB，AD=BD，M、N分别是CA、CB的中点,求证DM=DN.
【例题3】如图，AB//CD，AF//DE，BE=CF．求证:AB=CD.
【例题4】如图，AB=AC，∠D=∠E，∠BAD=∠CAE.求证：△ABE≌△ACD.
【例题5】如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C、D，AC=BD.求证BC=AD.
深化对课节知识点理解的试题专炼
1.如图，AC=BD，AO=BO，CO=DO，∠D=30°，∠A=95°，则∠AOC等于（ ）
A． B． C． D．
2. 如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（ ）
A. B. C. D.
3．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF．
（1）求证：△ABC≌DEF；
（2）若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度数．
4.如图，点A、F、E、C在同一直线上，AF=CE，BE//DF，BE=DF,求证:AB//CD.
5.如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD交于点0，且AO平分∠BAC，那么图中全等三角形共有______对.
6. 如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D、E两地. DA⊥AB，EB⊥AB. D，E与路段AB的距离相等吗？为什么？
7.如图，已知AD是△ABC的角平分线,且BD=CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足分别为E、F.求证BE=CF.
8．如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B＝∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．
9.如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．
10．如图所示，已知△ABF≌△DEC，说明AC∥DF成立的理由.
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC的延长线上，ED⊥AB于点D，若BC＝ED，求证：CE＝DB．
12. 如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC＝DE．求证：AB＝CD．
13. 如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．
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