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2024--2025学年度人教版数学八年级上册学讲练测讲义
第十三章 轴对称
专题13.6 轴对称单元核心素养达标检测
（试卷满分100分，答题时间90分钟）
一、选择题（本大题有7个小题，每小题3分，共21分）
1.冬季奥林匹克运动会是世界上规模最大的冬季综合性运动会，下列四个图是历届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）
A B. C. D.
2.平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）
3.如图,△ABC关于直线l的对称图形是△DEF，下列判断错误的是（ ）
A. AB=DE B.BC∥EF C.直线l⊥BE D.∠ABC=∠DEF
4．如图，AC是正五边形ABCDE的对角线，的度数是（ ）
A．72° B．36° C．74° D．88°
5．如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线分别交 于点D和点E，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6.小莹和小博士下棋，小莹执白子，小博士执黑子．如图，棋盘中心黑子的位置用（-1，0）表示，右下角黑子的位置用（0，-1）表示．小莹将第4枚白子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．他放的位置是（ ）
A．（-2，1） B．（-1，1） C．（1，-2） D．（-1，-2）
7.如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（ ）
A．2+2 B．2+ C．4 D．3
二、填空题（本大题有7个小题，每空3分，共21分）
1. 若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为 ．
2. 如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为 ．
3．如图，在中，的垂直平分线分别交、于点E、F．若是等边三角形，则_________°．
4. 如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是 ．
5．如图，在四边形中，．设，则______（用含的代数式表示）．
6．如图，D是等边三角形外一点．若，连接，则的最大值与最小值的差为_____．
7. （2023湖北荆州）如图，，点在上，，为内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点到的距离为___________．
三、解答题（6个小题，共58分）
1.（8分）如图，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．
2.（8分）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）
（2）在（1）问的结果下，连接BB1，CC1，求四边形BB1C1C的面积．
3．（10分）如图，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于点O．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）判断△BOC的形状，并说明理由．
4．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝20，BC＝DC＝10
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）当∠BCA＝45°时，求∠BAD的度数．
5. （10分）如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．
求证：BF=2CF．
6.(12分)已知，如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，EF=FD．
求证：AD=CE．
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2024--2025学年度人教版数学八年级上册学讲练测讲义
第十三章 轴对称
专题13.6 轴对称单元核心素养达标检测
（试卷满分100分，答题时间90分钟）
一、选择题（本大题有7个小题，每小题3分，共21分）
1.冬季奥林匹克运动会是世界上规模最大的冬季综合性运动会，下列四个图是历届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】根据轴对称图形的定义，即可求解．
A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．
2.平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）
【答案】A
【解析】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．直接利用关于x轴对称点的性质，横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而得出答案．
点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标为（﹣2，﹣3）．
3.如图,△ABC关于直线l的对称图形是△DEF，下列判断错误的是（ ）
A. AB=DE B.BC∥EF C.直线l⊥BE D.∠ABC=∠DEF
【答案】B
【解析】轴对称图形的相关性质。结合轴对称图形的相关性质逐一检验，从而找到合理答案.
成轴对称的图形是全等形，故AB=DE，∠ABC=∠DEF，对称点之间的线段被对称轴垂直平分即直线l⊥BE，而BC∥EF没有依据，故B选项错误.
4．如图，AC是正五边形ABCDE的对角线，的度数是（ ）
A．72° B．36° C．74° D．88°
【答案】A
【解析】根据正五边形的性质可得，，根据等腰三角形的性质可得，利用角的和差即可求解．
∵ABCDE是正五边形，
∴，，
∴,
∴，故选：A．
【点睛】本题考查正五边形的性质，求出正五边形内角的度数是解题的关键．
5．如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线分别交 于点D和点E，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由尺规作图痕迹可知，MN是线段AB的垂直平分线，进而得到DB=DA，∠B=∠BAD，再由AB=AC得到∠B=∠C=50°，进而得到∠BAC=80°，∠CAD=∠BAC-∠BAD=30°即可求解．
由题意可知：MN是线段AB的垂直平分线，
∴DB=DA，
∴∠B=∠BAD=50°，
又AB=AC，
∴∠B=∠C=50°，
∴∠BAC=80°，
∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=30°，故选：A．
【点睛】本题考查等腰三角形的两底角相等，线段垂直平分线的尺规作图等，属于基础题，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解决本题的关键．
6.小莹和小博士下棋，小莹执白子，小博士执黑子．如图，棋盘中心黑子的位置用（-1，0）表示，右下角黑子的位置用（0，-1）表示．小莹将第4枚白子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．他放的位置是（ ）
A．（-2，1） B．（-1，1） C．（1，-2） D．（-1，-2）
【答案】B
【解析】本题考查了轴对称图形和坐标位置的确定.棋盘中心黑子的位置用（-1，0）表示，则这点所在的横线是x轴，右下角黑子的位置用（0，-1），则这点所在的纵线是y轴，则当放的位置是（-1，1）时构成轴对称图形．故选B.
7.如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（ ）
A．2+2 B．2+ C．4 D．3
【答案】A
【解析】本题考查了线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质等知识点，主要考查运用性质进行推理的能力．
过A作AF⊥BC于F，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°，得到AB=AC=2，根据线段垂直平分线的性质得到BE=AE，即可得到结论．
过A作AF⊥BC于F，
∵AB=AC，∠A=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∴AB=AC=2，
∵DE垂直平分AB，∴BE=AE，
∴AE+CE=BC=2，
∴△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+2
二、填空题（本大题有7个小题，每空3分，共21分）
1. 若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为 ．
【答案】36°．
【解析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
∵等腰三角形的一个底角为72°，
∴等腰三角形的顶角＝180°﹣72°﹣72°＝36°
2. 如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为 ．
【答案】34°．
【解析】根据三角形的内角和得出∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝104°，根据等腰三角形两底角相等得出∠BAD＝∠ADB＝（180°﹣∠B）÷2＝70°，进而根据角的和差得出∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝34°．
∵∠B＝40°，∠C＝36°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝104°
∵AB＝BD
∴∠BAD＝∠ADB＝（180°﹣∠B）÷2＝70°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝34°
3．如图，在中，的垂直平分线分别交、于点E、F．若是等边三角形，则_________°．
【答案】30
【解析】根据垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC=60°，从而可得∠B.
∵EF垂直平分BC，
∴BF=CF，
∴∠B=∠BCF，
∵△ACF为等边三角形，
∴∠AFC=60°，
∴∠B=∠BCF=30°.
故答案为：30.
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF.
4. 如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是 ．
【答案】10°或100°
【解析】分两种情况画图，由作图可知得，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．
如图，点即为所求；
在中，，，
，
由作图可知：，
，
；
由作图可知：，
，
，
，
．
综上所述：度数是或．
【点睛】本题考查了作图复杂作图，三角形内角和定理，等腰三角形判定与性质，解题的关键是掌握基本作图方法．
5．如图，在四边形中，．设，则______（用含的代数式表示）．
【答案】
【解析】由等腰的性质可得：∠ADB=，∠BDC=，两角相加即可得到结论．
在△ABD中，AB=BD
∴∠A=∠ADB=
在△BCD中，BC=BD
∴∠C=∠BDC=
∵
∴
=
=
=
=
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，分别求出∠ADB=，∠BDC=是解答本题的关键．
6．如图，D是等边三角形外一点．若，连接，则的最大值与最小值的差为_____．
【答案】12
【解析】以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，可证得△ECB≌△DCA从而得到BE=AD，再根据三角形的三边关系即可得出结论．
如图1，以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，
∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°，∴∠ECB=∠DCA，∴△ECB≌△DCA（SAS），∴BE=AD，
∵DE=CD=6，BD=8，∴8-6
∴则的最大值与最小值的差为12．故答案为：12
【点睛】本题考查三角形全等与三角形的三边关系，解题关键在于添加辅助线构建全等三角形把AD转化为BE从而求解，是一道较好的中考题．
7. （2023湖北荆州）如图，，点在上，，为内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点到的距离为___________．
【答案】1
【解析】首先利用垂直平分线的性质得到，利用角平分线，求出，再在中用勾股定理求出，最后利用角平分线的性质求解即可．
【详解】如图所示，
由尺规作图痕迹可得，是的垂直平分线，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
由尺规作图痕迹可得，是的平分线，
∴点到的距离等于点P到的距离，即的长度，
∴点到的距离为1．
故答案为：1 ．
【点睛】本题考查角平分线和垂直平分线的性质，勾股定理，数形结合思想是关键．
三、解答题（6个小题，共58分）
1.（8分）如图，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．
【答案】30°．
【解析】∵DE垂直平分AB，
∴∠DAE=∠B，
∵在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，
∴∠DAE=（90°﹣∠B）/2=∠B，
∴3∠B=90°，
∴∠B=30°．
2.（8分）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）
（2）在（1）问的结果下，连接BB1，CC1，求四边形BB1C1C的面积．
【答案】（1）如图，△A1B1C1 是△ABC关于直线l的对称图形。
（2）由图得四边形BB1C1C是等腰梯形，BB1=4，CC1=2，高是4。
∴S四边形BB1C1C。
【解析】考点是作图（轴对称变换）。
（1）关于轴对称的两个图形，各对应点的连线被对称轴垂直平分．作BM⊥直线l于点M，并延长到B1，使B1M=BM，同法得到A，C的对应点A1，C1，连接相邻两点可得到所求的图形。
（2）由图得四边形BB1 C1C是等腰梯形，BB1=4，CC1=2，高是4，根据梯形的面积公式进行计算即可。
3．（10分）如图，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于点O．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）判断△BOC的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）等腰三角形，理由见解析．
【解析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE；
（2）由全等三角形的性质可得∠ABD=∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，可求∠OBC=∠OCB，可得BO=CO，即可得结论．
【详解】证明：（1）∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）△BOC是等腰三角形，
理由如下：
∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC﹣∠ABD=∠ACB﹣∠ACE，
∴∠OBC=∠OCB，∴BO=CO，
∴△BOC是等腰三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记相关定理是解题关键．
4．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝20，BC＝DC＝10
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）当∠BCA＝45°时，求∠BAD的度数．
【答案】（1）见详解；（2）60°
【分析】（1）通过SSS证明△ABC≌△ADC，即可；
（2）先证明AC垂直平分BD，从而得是等腰直角三角形，求出BO= 10，从而得BD=20，是等边三角形，进而即可求解．
【详解】（1）证明：在△ABC和△ADC中，
∵
∴△ABC≌△ADC（SSS），
（2）连接BD，交AC于点O，
∵△ABC≌△ADC，
∴AB=AD，BC=DC，
∴AC垂直平分BD，即：∠AOB=∠BOC=90°，
又∵∠BCA＝45°，
∴是等腰直角三角形，
∴BO=BC÷=10÷=10，
∴BD=2BO=20，
∵AB＝AD＝20，
∴是等边三角形，
∴∠BAD=60°．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握垂直平分线的判定定理，是解题的关键．
5. （10分）如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．
求证：BF=2CF．
证明：连接AF，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，
∴CF=AF，
∴∠FAC=∠C=30°，
∴∠BAF=∠BAC-∠FAC=120°-30°=90°，
在Rt△ABF中，∠B=30°，
∴BF=2AF，
∴BF=2CF．
6.(12分)已知，如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，EF=FD．
求证：AD=CE．
【答案】看解析。
【解析】作DG∥BC交AC于G，先证明△DFG≌△EFC，得出GD=CE，再证明△ADG是等边三角形，得出AD=GD，即可得出结论．
证明：作DG∥BC交AC于G，如图所示：
则∠DGF=∠ECF，
在△DFG和△EFC中，，
∴△DFG≌△EFC（AAS），
∴GD=CE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，
∵DG∥BC，
∴∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，
∴∠A=∠ADG=∠AGD，
∴△ADG是等边三角形，
∴AD=GD，∴AD=CE．
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