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2024--2025学年度人教版数学八年级上册学讲练测讲义
第十三章 轴对称
专题13.1 轴对称
课节学习目标
1. 认识轴对称和轴对称图形，并能找出对称轴；轴对称和轴对称图形的区别和联系。
2. 掌握线段垂直平分线的性质与判定；运用线段垂直平分线的性质与判定解决问题。
3. 会依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称及轴对称图形的对称轴。
4. 掌握作出轴对称图形的对称轴的方法，即线段垂直平分线的尺规作图。
课节知识点解读
知识点1. 轴对称图形
1．轴对称图形的定义及对称轴
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.
说明：如果一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线就是它的对称轴.
2．轴对称图形与两个图形成轴对称的比较
3.轴对称的性质
（1）成轴对称的两个图形全等。
（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。
（3）对应点到对称轴的距离相等。
（4）对应点的连线互相平行。
也就是不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.对称的图形都全等.
知识点2. 线段的垂直平分线
1.线段垂直平分线的定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
如图，MN⊥AA′， AP=A′P. 直线MN是线段AA ′的垂直平分线.
2．线段的垂直平分线的作法．
已知：直线AB和AB外一点C .
求作：AB的垂线，使它经过点C .
作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁.
（2）以点C 为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和点E.
（3）分别以点D和点E为圆心，大于 1/2DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.
（4）作直线CF. 直线CF就是所求作的垂线.
3．线段的垂直平分线性质定理和逆定理．
性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
注意：见垂直平分线，得线段相等。
判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
注意：判断一个点是否在线段的垂直平分线上。
4．三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.
课节知识点例题讲析
考点1. 轴对称图形的识别
【例题1】下列体育运动标志中，从图案看不是轴对称图形的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
考点2. 判断对称轴的条数
【例题2】下列轴对称图形中，恰好有两条对称轴的是( )
A．正方形 B．等腰三角形 C．长方形 D．圆
考点3.轴对称的性质
【例题3】如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°，则∠BCD的度数是( )
A．130° B．150° C．40° D．65°
考点4.轴对称在折叠问题中的应用
【例题4】如图，将长方形纸片先沿虚线AB向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，那么打开后的展开图是( )
考点5.线段垂直平分线的性质
【例题5】如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为( )
A．5cm B．10cm C．15cm D．17.5cm
考点6.线段垂直平分线的判定
【例题6】如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系．
考点7.垂直平分线作法的应用
【例题7】如图，某地由于居民增多，要在公路l边增加一个公共汽车站，A，B是路边两个新建小区，这个公共汽车站C建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法)
深化对课节知识点理解的试题专炼
1. 画出下列轴对称图形的所有对称轴(不考虑颜色)．
2. 如图，在4×3的正方形网格中，阴影部分是由4个正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在如图方格内填涂2个小正方形，使这6个小正方形组成的图形是轴对称图形，并画出其对称轴．
3. 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．求证：PA =PB．
4. 已知：如图，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．
5. 已知：如图，AB=AC，DB=DC，E是AD上一点． 求证：BE=CE．
6. 已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.
求证：OE是CD的垂直平分线.
7. 如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O.
(1)找出图中相等的线段；
(2)OE，OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．
8. 如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？(注：作一对对应点的对称轴就是作线段AB的垂直平分线)
9. 如图，已知点A、点B以及直线l.
(1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PA＝PB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)；
(2)在(1)中所作的图中，若AM＝PN，BN＝PM，求证：∠MAP＝∠NPB.
10. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.
求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.
11. 如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O.
(1)找出图中相等的线段；
(2)OE，OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．
12. 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
13. 如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为( )
A．4cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2
14. 如图，O为△ABC内部一点，OB＝，P、R为O分别以直线AB、BC为对称轴的对称点．
(1)请指出当∠ABC是什么角度时，会使得PR的长度等于7？并完整说明PR的长度为何在此时等于7的理由．
(2)承(1)小题，请判断当∠ABC不是你指出的角度时，PR的长度小于7还是大于7？并完整说明你判断的理由．
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第十三章 轴对称
专题13.1 轴对称
课节学习目标
1. 认识轴对称和轴对称图形，并能找出对称轴；轴对称和轴对称图形的区别和联系。
2. 掌握线段垂直平分线的性质与判定；运用线段垂直平分线的性质与判定解决问题。
3. 会依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称及轴对称图形的对称轴。
4. 掌握作出轴对称图形的对称轴的方法，即线段垂直平分线的尺规作图。
课节知识点解读
知识点1. 轴对称图形
1．轴对称图形的定义及对称轴
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.
说明：如果一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线就是它的对称轴.
2．轴对称图形与两个图形成轴对称的比较
3.轴对称的性质
（1）成轴对称的两个图形全等。
（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。
（3）对应点到对称轴的距离相等。
（4）对应点的连线互相平行。
也就是不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.对称的图形都全等.
知识点2. 线段的垂直平分线
1.线段垂直平分线的定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
如图，MN⊥AA′， AP=A′P. 直线MN是线段AA ′的垂直平分线.
2．线段的垂直平分线的作法．
已知：直线AB和AB外一点C .
求作：AB的垂线，使它经过点C .
作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁.
（2）以点C 为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和点E.
（3）分别以点D和点E为圆心，大于 1/2DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.
（4）作直线CF. 直线CF就是所求作的垂线.
3．线段的垂直平分线性质定理和逆定理．
性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
注意：见垂直平分线，得线段相等。
判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
注意：判断一个点是否在线段的垂直平分线上。
4．三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.
课节知识点例题讲析
考点1. 轴对称图形的识别
【例题1】下列体育运动标志中，从图案看不是轴对称图形的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】根据轴对称图形的概念可得(1)(2)(4)都不是轴对称图形，只有(3)是轴对称图形．故选B.
【方法总结】要确定一个图形是否是轴对称图形要根据定义进行判断，关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
考点2. 判断对称轴的条数
【例题2】下列轴对称图形中，恰好有两条对称轴的是( )
A．正方形 B．等腰三角形 C．长方形 D．圆
【答案】C
【解析】A.正方形有四条对称轴；B.等腰三角形有一条对称轴；C.长方形有两条对称轴；D.圆有无数条对称轴．故选C.
【方法总结】判断对称轴的条数，仍然是根据定义进行判断，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，注意不要遗漏．
考点3.轴对称的性质
【例题3】如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°，则∠BCD的度数是( )
A．130° B．150° C．40° D．65°
【答案】A
【解析】∵这种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°，∴∠D＝40°，∴∠BCD＝360°－150°－40°－40°＝130°.故选A.
【方法总结】轴对称其实就是一种全等变换，轴对称往往和三角形的内角和、外角的性质综合考查．
考点4.轴对称在折叠问题中的应用
【例题4】如图，将长方形纸片先沿虚线AB向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，那么打开后的展开图是( )
【答案】D
【解析】∵第三个图形是三角形，∴将第三个图形展开，可得，即可排除答案A.∵再展开可知两个短边正对着，∴选择答案D，排除B与C.故选D.
【方法总结】对于此类问题，要充分发挥空间想象能力，或亲自动手操作答案即可呈现．
考点5.线段垂直平分线的性质
【例题5】如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为( )
A．5cm B．10cm C．15cm D．17.5cm
【答案】C
【解析】∵△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝35cm，
又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，
故BC＋AD＋CD＝35cm.
∵AC＝AD＋DC＝20cm，
∴BC＝35－20＝15cm.故选C.
【方法总结】利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
考点6.线段垂直平分线的判定
【例题6】如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系．
【答案】见解析。
【解析】先利用角平分线的性质得出DE＝DF，再证△AED≌△AFD，易证AD垂直平分EF.
AD垂直平分EF.∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAD＝∠FAD，DE＝DF.在△ADE和△ADF中，∵
∴△ADE≌△ADF，∴AE＝AF，
∴A、D均在线段EF的垂直平分线上，即直线AD垂直平分线段EF.
【方法总结】当一条直线上有两点都在同一线段的垂直平分线上时，这条直线就是该线段的垂直平分线，解题时常需利用此性质进行线段相等关系的转化．
考点7.垂直平分线作法的应用
【例题7】如图，某地由于居民增多，要在公路l边增加一个公共汽车站，A，B是路边两个新建小区，这个公共汽车站C建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法)
【答案】见解析
【解析】作线段AB的垂直平分线，由垂直平分线的定理可知，垂直平分线上的点到A，B的距离相等．
连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于O，交AB于E.
∵EO是线段AB的垂直平分线，∴点O到A，B的距离相等，∴这个公共汽车站C应建在O点处，才能使到两个小区的路程一样长．
【方法总结】对于作图题首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
深化对课节知识点理解的试题专炼
1. 画出下列轴对称图形的所有对称轴(不考虑颜色)．
【答案】见解析
【解析】利用轴对称图形的性质分别得出其对称轴即可．
如图所示：
【方法总结】画轴对称图形的对称轴，先找出对称点，然后作对称点的垂直平分线即可．
2. 如图，在4×3的正方形网格中，阴影部分是由4个正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在如图方格内填涂2个小正方形，使这6个小正方形组成的图形是轴对称图形，并画出其对称轴．
【答案】见解析
【解析】根据轴对称的性质画出图形即可．
如图所示：
【方法总结】解答此类问题，一般要先设计出轴对称图形，然后根据图形的特点，画出对称轴．
3. 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．求证：PA =PB．
【答案】见解析
【解析】证明：∵ l⊥AB，
∴ ∠PCA =∠PCB．
又 AC =CB，PC =PC，
∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
∴ PA =PB．
4. 已知：如图，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．
【答案】见解析
【解析】证明：过点P 作AB 的垂线PC，垂足为点C．
则∠PCA =∠PCB =90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．
∴ AC =BC．
又 PC⊥AB，
∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
5. 已知：如图，AB=AC，DB=DC，E是AD上一点． 求证：BE=CE．
【答案】见解析
【解析】证明：连结BC
∵AB＝AC，DB＝DC．
∴点A、D在线段BC的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE=CE（线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等）．
【点拨】本题综合运用了线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，通过本例要学会灵活运用这两个定理解决几何问题，性质定理可以用来证明线段相等，本题中要注意必须有和已知线段两端距离相等的两个点才能确定垂直平分线这条直线．
6. 已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.
求证：OE是CD的垂直平分线.
【答案】见解析
【解析】证明：∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
∴DE=CE.
又∵OE=OE，
∴Rt△OED≌Rt△OEC.
∴DO=CO.
∴ OE是CD的垂直平分线.
7. 如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O.
(1)找出图中相等的线段；
(2)OE，OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．
【答案】见解析
【解析】(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段；
(2)由条件可证明△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根据角平分线的性质可得OE＝OF.
解：(1)∵AB、CD互相垂直平分，
∴OC＝OD，AO＝OB，
且AC＝BC＝AD＝BD；
(2)OE＝OF，理由如下：
在△AOC和△AOD中，
∵AC=AD，AO＝AO，OC＝OD，
∴△AOC≌△AOD(SSS)，
∴∠CAO＝∠DAO.
又∵OE⊥AC，OF⊥AD，
∴OE＝OF.
8. 如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？(注：作一对对应点的对称轴就是作线段AB的垂直平分线)
【答案】见解析
【解析】本题其实就是作线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的作法作出即可．
作法：(1)分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于E、F两点；
(2)作直线EF，EF即为所求的直线．同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．
【方法总结】要熟练掌握线段垂直平分线的作法，作出的图形中的作图痕迹要保留．
9. 如图，已知点A、点B以及直线l.
(1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PA＝PB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)；
(2)在(1)中所作的图中，若AM＝PN，BN＝PM，求证：∠MAP＝∠NPB.
【答案】见解析
【解析】(1)利用线段垂直平分线的作法作出即可；(2)利用全等三角形的判定方法以及利用其性质得出即可．
(1)如图所示：
（2）在△AMP和△BNP中，∵
∴△AMP≌△PNB(SSS)，∴∠MAP＝∠NPB.
【方法总结】解决此类问题首先要正确作出图形，然后运用相关的知识解决其他问题．
10. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.
求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.
【答案】见解析。
【解析】(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答．(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF即可．
证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中点，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.
(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.
【方法总结】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，利用它可以证明线段相等．
11. 如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O.
(1)找出图中相等的线段；
(2)OE，OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．
【答案】见解析。
【解析】(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段；
(2)由条件可证明△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根据角平分线的性质可得OE＝OF.
解：(1)∵AB、CD互相垂直平分，∴OC＝OD，AO＝OB，且AC＝BC＝AD＝BD；
（2）OE＝OF，理由如下：在△AOC和△AOD中，
∵∴△AOC≌△AOD(SSS)，
∴∠CAO＝∠DAO.
又∵OE⊥AC，OF⊥AD，
∴OE＝OF.
【方法总结】本题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合，掌握它们的适用条件和表示方法是解题的关键．
12. 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
【答案】见解析
【解析】到两条公路的距离相等，在这两条公路的夹角的平分线上；到两所大学的距离相等，在这两所大学两个端点的连线的垂直平分线上，所画两条直线的交点即为所求的位置．
如图，点P为所求．
【方法总结】通过本题要熟练地掌握角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法．
13. 如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为( )
A．4cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2
【答案】B
【解析】根据正方形的轴对称性可得，阴影部分的面积等于正方形ABCD面积的一半，∵正方形ABCD的边长为4cm，∴S阴影＝×42＝8(cm)2.故选B.
【方法总结】正方形是轴对称图形，据图形判断出阴影部分的面积等于正方形面积的一半是解题关键．
14. 如图，O为△ABC内部一点，OB＝，P、R为O分别以直线AB、BC为对称轴的对称点．
(1)请指出当∠ABC是什么角度时，会使得PR的长度等于7？并完整说明PR的长度为何在此时等于7的理由．
(2)承(1)小题，请判断当∠ABC不是你指出的角度时，PR的长度小于7还是大于7？并完整说明你判断的理由．
【答案】见解析
【解析】(1)连接PB、RB，根据轴对称的性质可得PB＝OB，RB＝OB，然后判断出点P、B、R三点共线时PR＝7，再根据平角的定义求解；(2)根据三角形的任意两边之和大于第三边解答．
解：(1)如图，∠ABC＝90°时，PR＝7.证明如下：连接PB、RB，∵P、R为O分别以直线AB、BC为对称轴的对称点，∴PB＝OB＝，RB＝OB＝.∵∠ABC＝90°，∴∠ABP＋∠CBR＝∠ABO＋∠CBO＝∠ABC＝90°，∴点P、B、R三点共线，∴PR＝2×＝7；
(2)PR的长度小于7，理由如下：∠ABC≠90°，则点P、B、R三点不在同一直线上，∴PB＋BR＞PR，∵PB＋BR＝2OB＝2×＝7，∴PR＜7.
【方法总结】利用轴对称的性质可以将线段进行转化，然后结合三角形的任意两边之和大于第三边的性质予以解答，总之熟记各性质是解题的关键．
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