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2024--2025学年度人教版数学八年级上册学讲练测讲义
第十三章 轴对称
专题13.5 轴对称单元基础知识归纳总结
单元课标要求
1. 通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分。
2. 能画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形。
3. 理解轴对称图形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质。
4. 认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形。
5. 理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
6. 理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理: 等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60° .探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一 个角是60°的等腰三角形）是等边三角形。
7. 理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。
8. 能用尺规作图：已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形。
单元知识点思维导图与题型方法总结
一、轴对称相关定义和性质
1.定义
(1)如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
(2)如果一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线就是它的对称轴。
2.性质
(1)关于某直线对称的两个图形是全等图形；
(2)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
(3)轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
二、垂直平分线的性质和判定
性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
三、平面直角坐标系中轴对称
点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为(x, -y)
点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为(-x, y) .
四、等腰三角形的性质及判定
1.性质
(1) 两腰相等；
(2) 轴对称图形,等腰三角形的顶角平分线所在的直线是它的对称轴；
(3) 两个底角相等，简称“等边对等角”；
(4) 顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”。
2.判定
(1)有两边相等的三角形是等腰三角形；
(2)如果一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。
五、等边三角形的性质及判定
1.性质
⑴等边三角形的三边都相等；
⑵等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°；
⑶是轴对称图形，对称轴是三条高所在的直线；
⑷任意角平分线、角对边上的中线、对边上的高互相重合，简称“三线合一”。
2.判定
⑴三条边都相等的三角形是等边三角形。
⑵三个角都相等的三角形是等边三角形。
⑶有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
六、含30°角的直角三角形的性质
直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
七、有关作图
1.过已知直线外的一点作该直线的垂线。
2.作线段的垂直平分线。
3.最短路径：(1)牧人饮马问题；(2)造桥选址马问题。
重点提醒：解题方法要领
1.等腰（边）三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在
等腰（边）三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰（边）三角形，然后利用其定义和有关性质，快捷地证出结论。
2.常用的辅助线有：（1）作顶角的平分线、底边上的高线、中线。（2）在三角形的中线问
题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。
3.分类讨论是等腰三角形问题中常用的思想方法，在已知等腰三角形的边和角的情况下求其他三角形的边或角，要对已知的边和角进行讨论，分类的标准一般是根据边是腰还是底来分类。
单元考点例题讲析
考点一 轴对称及轴对称图形
【例题1】下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A B C D
考点二 关于坐标轴对称的点的坐标
【例题2】按要求完成作图：
（1）作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)在x轴上找出点P，使PA+PC最小，并直接写出P点的坐标：
考点三 线段垂直平分线的性质和判定
【例题3】 在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC.
求证：E点在线段AC的垂直平分线上．
考点四 等腰三角形的性质和判定
【例题4】如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．则CD的长为 ．
情感态度与价值观教育--数学家事迹
拿破仑定理
拿破仑不只是会打仗，还是一名数学家，留下一个著名定理！拿破仑定理是法国著名的军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆中心恰为另一个等边三角形的顶点。”该等边三角形称为拿破仑三角形。如果向内（原三角形不需为等边三角形）作三角形，结论同样成立。
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2024--2025学年度人教版数学八年级上册学讲练测讲义
第十三章 轴对称
专题13.5 轴对称单元基础知识归纳总结
单元课标要求
1. 通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分。
2. 能画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形。
3. 理解轴对称图形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质。
4. 认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形。
5. 理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
6. 理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理: 等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60° .探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一 个角是60°的等腰三角形）是等边三角形。
7. 理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。
8. 能用尺规作图：已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形。
单元知识点思维导图与题型方法总结
一、轴对称相关定义和性质
1.定义
(1)如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
(2)如果一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线就是它的对称轴。
2.性质
(1)关于某直线对称的两个图形是全等图形；
(2)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
(3)轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
二、垂直平分线的性质和判定
性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
三、平面直角坐标系中轴对称
点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为(x, -y)
点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为(-x, y) .
四、等腰三角形的性质及判定
1.性质
(1) 两腰相等；
(2) 轴对称图形,等腰三角形的顶角平分线所在的直线是它的对称轴；
(3) 两个底角相等，简称“等边对等角”；
(4) 顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”。
2.判定
(1)有两边相等的三角形是等腰三角形；
(2)如果一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。
五、等边三角形的性质及判定
1.性质
⑴等边三角形的三边都相等；
⑵等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°；
⑶是轴对称图形，对称轴是三条高所在的直线；
⑷任意角平分线、角对边上的中线、对边上的高互相重合，简称“三线合一”。
2.判定
⑴三条边都相等的三角形是等边三角形。
⑵三个角都相等的三角形是等边三角形。
⑶有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
六、含30°角的直角三角形的性质
直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
七、有关作图
1.过已知直线外的一点作该直线的垂线。
2.作线段的垂直平分线。
3.最短路径：(1)牧人饮马问题；(2)造桥选址马问题。
重点提醒：解题方法要领
1.等腰（边）三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在
等腰（边）三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰（边）三角形，然后利用其定义和有关性质，快捷地证出结论。
2.常用的辅助线有：（1）作顶角的平分线、底边上的高线、中线。（2）在三角形的中线问
题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。
3.分类讨论是等腰三角形问题中常用的思想方法，在已知等腰三角形的边和角的情况下求其他三角形的边或角，要对已知的边和角进行讨论，分类的标准一般是根据边是腰还是底来分类。
单元考点例题讲析
考点一 轴对称及轴对称图形
【例题1】下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A B C D
【答案】A
【解析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
A.是轴对称图形，故该选项正确，符合题意；
B.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；
C.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；
D.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；故选A
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
考点二 关于坐标轴对称的点的坐标
【例题2】按要求完成作图：
（1）作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)在x轴上找出点P，使PA+PC最小，并直接写出P点的坐标：
【答案】见解析
【解析】(1)先找出点A、B、C关于y轴的对称点，再依次连线即可.
(2)找出点A关于x轴的对称点A'，连接A'C，A'C与x轴的交点即是点P的位置.
【方法总结】坐标轴中作轴对称图形，一般先根据点关于坐标轴对称的点的特征，找出对称点，而后连线即可.点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y) ，关于y轴对称的点的坐标为(-x,y).
考点三 线段垂直平分线的性质和判定
【例题3】 在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC.
求证：E点在线段AC的垂直平分线上．
【答案】见解析
【解析】要证明点E在线段AC的垂直平分线上，即要证明AE=EC.根据题意及线段垂直平分线的定义，得出AB=AE.而后根据AB+BD=
DC，进行等量变换，可到AE=EC.
证明：∵AD是高，∴AD⊥BC，
又∵BD=DE，
∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线，
∴AB=AE，
∴AB+BD=AE+DE，
又∵AB+BD=DC，
∴DC=AE+DE，
∴DE+EC=AE+DE
∴EC=AE，
∴点E在线段AC的垂直平分线上．
【方法总结】 线段的垂直平分线一般会与中点、90°角、等腰三角形一同出现，在求角度、三角形的周长，或证明线段之间的等量关系时，要注意角或线段之间的转化.
考点四 等腰三角形的性质和判定
【例题4】如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．则CD的长为 ．
【答案】a
【解析】观察图形可以发现，在Rt△ADC中，AC=2a，而∠DAC是△ABC的一个外角，则∠DAC=15°×2=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，可求出CD．
∵∠ABC=∠ACB=15°，
∴∠DAC=∠ABC+∠BAC=30°．
∴CD=AC=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．
情感态度与价值观教育--数学家事迹
拿破仑定理
拿破仑不只是会打仗，还是一名数学家，留下一个著名定理！拿破仑定理是法国著名的军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆中心恰为另一个等边三角形的顶点。”该等边三角形称为拿破仑三角形。如果向内（原三角形不需为等边三角形）作三角形，结论同样成立。
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