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2024--2025学年度人教版数学八年级上册学讲练测讲义
第十四章 整式的乘法与因式分解
专题14.1 整式的乘法
课节学习目标
1．理解并掌握同底数幂的乘法法则．能进行相关运算．
2．理解幂的乘方的运算性质。掌握幂的乘方法则的推导过程并灵活应用．
3．掌握积的乘方的运算法则．掌握积的乘方的推导过程，并能灵活运用．
4．理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算．掌握多项式与多项式的乘法法则的应用．
5．探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．
6．掌握同底数幂的除法法则与运用．
7．掌握单项式除以单项式和多项式除以单项式的运算法则．
8．熟练地进行整式除法的计算．
课节知识点解读
知识点1. 幂的运算
1. 同底数幂的乘法
同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am·an＝am＋n(m、n都是正整数)．
条件：(1)同底数幂；(2)乘法．
结果：(1)底数不变；(2)指数相加．
2. 幂的乘方
幂的乘方的运算公式：(am)n＝amn(m，n为正整数)．即幂的乘方，底数不变，指数相乘．
3. 积的乘方
积的乘方公式：(ab)n＝anbn(n为正整数)．即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
知识点2. 整式的乘法
（1）单项式与单项式相乘法则：单项式与单项式相乘就是它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式．
（2）单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加．m（a+b+c）=ma+mb+mc.
（3）多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个
多项式的每一项，再把所得的积相加．（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb.
知识点3. 整式的除法
（1）同底数幂的除法法则：am÷an＝am－n(m，n为正整数，m>n，a≠0)．
注意：同底数幂的除法法则逆用：am－n＝am÷an(m，n为正整数，m>n，a≠0)．
（2）单项式除以单项式的除法法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
（3）多项式除以单项式的除法法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加．
课节知识点例题讲析
考点1.同底数幂的运算
【例题1】计算：(1)23×24×2；
(2)－a3·(－a)2·(－a)3；
(3)mn＋1·mn·m2·m.
【例题2】若82a＋3·8b－2＝810，求2a＋b的值．
【例题3】已知am＝3，an＝21，求am＋n的值．
【例题4】计算：
(1)(a3)4; (2)(xm－1)2；
(3)[(24)3]3; (4)[(m－n)3]4.
【例题5】请看下面的解题过程：
“比较2100与375的大小，解：∵2100＝(24)25，375＝(33)25，又∵24＝16，33＝27，16＜27，∴2100＜375”．请你根据上面的解题过程，比较3100与560的大小，并总结本题的解题方法．
【例题6】计算：(1)(－5ab)3；(2)－(3x2y)2；
(3)(－ab2c3)3；(4)(－xmy3m)2.
【例题7】计算：()2015×()2016.
【例题8】试比较大小：213×310与210×312.
考点2.整式的乘法
【例题9】已知多项式x2+ax+b=（x+1）（x﹣3）则a，b的值分别是（ ）
A．a=2，b=3 B．a=﹣2，b=﹣3
C．a=﹣2，b=3 D．a=2，b=﹣3
【例题10】计算：
(1)(－a2b)·(ac2)；
(2)(－x2y)3·3xy2·(2xy2)2；
(3)－6m2n·(x－y)3·mn2(y－x)2.
【例题11】计算：
(1)(ab2－2ab)·ab；
(2)－2x·(x2y＋3y－1)．
考点3.同底数幂的除法
【例题12】计算：
(1)(－xy)13÷(－xy)8；
(2)(x－2y)3÷(2y－x)2；
(3)(a2＋1)6÷(a2＋1)4÷(a2＋1)2.
【例题13】若(x－6)0＝1成立，则x的取值范围是( )
A．x≥6 B．x≤6 C．x≠6 D．x＝6
考点4.整式的除法
【例题14】计算．
(1)(2a2b2c)4z÷(－2ab2c2)2；
(2)(3x3y3z)4÷(3x3y2z)2÷(x2y6z)．
【例题15】计算：(72x3y4－36x2y3＋9xy2)÷(－9xy2)．
深化对课节知识点理解的试题专炼
1. 下列各式中，计算结果等于的是（ ）
A. B. C. D.
2. 计算：
(1)(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3·(2a＋b)n－4；
(2)(x－y)2·(y－x)5.
3. 计算的结果是（ ）
A. a B. C. D.
4. 下列计算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 经济发展和消费需求的增长促进了房地产的发展，使得房价持续上涨，2015年前5个月，某市共销售商品房8.31×104平方米．据监测，商品房平均售价为每平方米4.7×103元，2015年前5个月该市的商品房销售总额是多少元？
6. 已知2a＝3，2b＝6，2c＝18，试问a、b、c之间有怎样的关系？请说明理由．
7. 计算：a2(－a)2(－a2)3＋a10.
8. 已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值．
9. 已知2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则代数式x＋y的值为________．
10. 太阳可以近似地看作是球体，如果用V、R分别代表球的体积和半径，那么V＝πR3，太阳的半径约为6×105千米，它的体积大约是多少立方千米？(π取3)
11. 计算：(1)－4xy2·(xy2)2·(－2x2)3
(2)(－a3b6)2＋(－a2b4)3.
12. 计算：
(1)(3x＋2)(x＋2)；
(2)(4y－1)(5－y)．
13. 计算：(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)．
14. 先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1.
15. 解方程：(x－3)(x－2)＝(x＋9)(x＋1)＋4.
16. 已知ax2＋bx＋1(a≠0)与3x－2的积不含x2项，也不含x项，求系数a、b的值．
17. 已知－2x3m＋1y2n与7xn－6y－3－m的积与x4y是同类项，求m2＋n的值．
18. 有一块长为xm，宽为ym的矩形空地，现在要在这块地中规划一块长xm，宽ym的矩形空地用于绿化，求绿化的面积和剩下的面积．
19. 一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a米，下底宽(a＋2b)米，坝高a米．
(1)求防洪堤坝的横断面积；
(2)如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？
20. 先化简，再求值：3a(2a2－4a＋3)－2a2(3a＋4)，其中a＝－2.
21. 如果(－3x)2(x2－2nx＋)的展开式中不含x3项，求n的值．
22. 已知am＝4，an＝2，a＝3，求am－n－1的值．
23. 若a(xmy4)3÷(3x2yn)2＝4x2y2，求a、m、n的值．
24. 一颗人造地球卫星的速度为2.88×107m/h，一架喷气式飞机的速度为1.8×106m/h，这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的多少倍？
25. 已知一个多项式除以2x2，所得的商是2x2＋1，余式是3x－2，请求出这个多项式．
26. 先化简，后求值：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y，其中x＝2015，y＝2014.
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第十四章 整式的乘法与因式分解
专题14.1 整式的乘法
课节学习目标
1．理解并掌握同底数幂的乘法法则．能进行相关运算．
2．理解幂的乘方的运算性质。掌握幂的乘方法则的推导过程并灵活应用．
3．掌握积的乘方的运算法则．掌握积的乘方的推导过程，并能灵活运用．
4．理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算．掌握多项式与多项式的乘法法则的应用．
5．探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．
6．掌握同底数幂的除法法则与运用．
7．掌握单项式除以单项式和多项式除以单项式的运算法则．
8．熟练地进行整式除法的计算．
课节知识点解读
知识点1. 幂的运算
1. 同底数幂的乘法
同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am·an＝am＋n(m、n都是正整数)．
条件：(1)同底数幂；(2)乘法．
结果：(1)底数不变；(2)指数相加．
2. 幂的乘方
幂的乘方的运算公式：(am)n＝amn(m，n为正整数)．即幂的乘方，底数不变，指数相乘．
3. 积的乘方
积的乘方公式：(ab)n＝anbn(n为正整数)．即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
知识点2. 整式的乘法
（1）单项式与单项式相乘法则：单项式与单项式相乘就是它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式．
（2）单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加．m（a+b+c）=ma+mb+mc.
（3）多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个
多项式的每一项，再把所得的积相加．（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb.
知识点3. 整式的除法
（1）同底数幂的除法法则：am÷an＝am－n(m，n为正整数，m>n，a≠0)．
注意：同底数幂的除法法则逆用：am－n＝am÷an(m，n为正整数，m>n，a≠0)．
（2）单项式除以单项式的除法法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
（3）多项式除以单项式的除法法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加．
课节知识点例题讲析
考点1.同底数幂的运算
【例题1】计算：(1)23×24×2；
(2)－a3·(－a)2·(－a)3；
(3)mn＋1·mn·m2·m.
【答案】见解析
【解析】(1)根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；(2)先算乘方，再根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；(3)根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．
解：(1)原式＝23＋4＋1＝28；
(2)原式＝－a3·a2·(－a3)＝a3·a2·a3＝a8；
(3)原式＝mn＋1＋n＋2＋1＝m2n＋4.
【方法总结】同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用；单个字母或数可以看成指数为1的幂，进行运算时，不能忽略了幂指数1.
【例题2】若82a＋3·8b－2＝810，求2a＋b的值．
【答案】见解析
【解析】根据同底数幂的乘法，底数不变指数相加，可得a、b的关系，根据a、b的关系求解．
∵82a＋3·8b－2＝82a＋3＋b－2＝810，∴2a＋3＋b－2＝10，解得2a＋b＝9.
【方法总结】将等式两边化为同底数幂的形式，底数相同，那么指数也相同．
【例题3】已知am＝3，an＝21，求am＋n的值．
【答案】见解析
【解析】把am＋n变成am×an，代入求值即可．
∵am＝3，an＝21，∴am＋n＝am×an＝3×21＝63.
【方法总结】逆用同底数幂的乘法法则把am＋n变成am×an.
【例题4】计算：
(1)(a3)4; (2)(xm－1)2；
(3)[(24)3]3; (4)[(m－n)3]4.
【答案】见解析
【解析】直接运用(am)n＝amn计算即可．
(1)(a3)4＝a3×4＝a12；
(2)(xm－1)2＝x2(m－1)＝x2m－2；
(3)[(24)3]3＝24×3×3＝236；
(4)[(m－n)3]4＝(m－n)12.
【方法总结】运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式．
【例题5】请看下面的解题过程：
“比较2100与375的大小，解：∵2100＝(24)25，375＝(33)25，又∵24＝16，33＝27，16＜27，∴2100＜375”．请你根据上面的解题过程，比较3100与560的大小，并总结本题的解题方法．
【答案】见解析
【解析】首先理解题意，然后可得3100＝(35)20，560＝(53)20，再比较35与53的大小，即可求得答案．
∵3100＝(35)20，560＝(53)20，又∵35＝243，53＝125，243＞125，即35＞53，∴3100＞560.
【方法总结】此题考查了幂的乘方的性质的应用．注意理解题意，根据题意得到3100＝(35)20，560＝(53)20是解此题的关键．
【例题6】计算：(1)(－5ab)3；(2)－(3x2y)2；
(3)(－ab2c3)3；(4)(－xmy3m)2.
【答案】见解析
【解析】直接应用积的乘方法则计算即可．
(1)(－5ab)3＝(－5)3a3b3＝－125a3b3；
(2)－(3x2y)2＝－32x4y2＝－9x4y2；
(3)(－ab2c3)3＝(－)3a3b6c9＝－a3b6c9；
(4)(－xmy3m)2＝(－1)2x2my6m＝x2my6m.
【方法总结】运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方．
【例题7】计算：()2015×()2016.
【答案】见解析
【解析】将()2016转化为()2015×，再逆用积的乘方公式进行计算．
原式＝()2015×()2015×＝(×)2015×＝.
【方法总结】对公式an·bn＝(ab)n，要灵活运用，对于不符合公式的形式，要通过恒等变形，转化为公式的形式．运用此公式可进行简便运算．
【例题8】试比较大小：213×310与210×312.
【答案】见解析
【解析】∵213×310＝23×(2×3)10，210×312＝32×(2×3)10，23＜32，∴213×310＜210×312.
【方法总结】利用积的乘方，转化成同底数的同指数的幂是解答此类问题的关键．
考点2.整式的乘法
【例题9】已知多项式x2+ax+b=（x+1）（x﹣3）则a，b的值分别是（ ）
A．a=2，b=3 B．a=﹣2，b=﹣3
C．a=﹣2，b=3 D．a=2，b=﹣3
【答案】B
【解析】运用多项式乘以多项式的法则求出（x+1）（x﹣3）的值，对比系数可以得到a，b的值．
∵（x+1）（x﹣3）=x x﹣x 3+1 x﹣1×3=x2﹣3x+x﹣3=x2﹣2x﹣3
∴x2+ax+b=x2﹣2x﹣3
∴a=﹣2，b=﹣3．
【例题10】计算：
(1)(－a2b)·(ac2)；
(2)(－x2y)3·3xy2·(2xy2)2；
(3)－6m2n·(x－y)3·mn2(y－x)2.
【答案】见解析
【解析】运用幂的运算法则和单项式乘以单项式的法则计算即可．
(1)(－a2b)·(ac2)＝－×a3bc2＝－a3bc2；
(2)(－x2y)3·3xy2·(2xy2)2＝－x6y3×3xy2×4x2y4＝－x9y9；
(3)－6m2n·(x－y)3·mn2(y－x)2＝－6×m3n3(x－y)5＝－2m3n3(x－y)5.
【方法总结】：(1)在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；(2)注意按顺序运算；(3)不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；(4)此性质对于多个单项式相乘仍然成立．
【例题11】计算：
(1)(ab2－2ab)·ab；
(2)－2x·(x2y＋3y－1)．
【答案】见解析
【解析】先去括号，然后计算乘法，再合并同类项即可．
(1)(ab2－2ab)·ab＝ab2·ab－2ab·ab＝a2b3－a2b2；
(2)－2x·(x2y＋3y－1)＝－2x·x2y＋(－2x)·3y－(－2x)·1＝－x3y＋(－6xy)－(－2x)＝－x3y－6xy＋2x.
【方法总结】单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
考点3.同底数幂的除法
【例题12】计算：
(1)(－xy)13÷(－xy)8；
(2)(x－2y)3÷(2y－x)2；
(3)(a2＋1)6÷(a2＋1)4÷(a2＋1)2.
【答案】见解析
【解析】利用同底数幂的除法法则即可进行计算，其中(1)应把(－xy)看作一个整体；(2)把(x－2y)看作一个整体，2y－x＝－(x－2y)；(3)注意(a2＋1)0＝1.
(1)(－xy)13÷(－xy)8＝(－xy)13－8＝(－xy)5＝－x5y5；
(2)(x－2y)3÷(2y－x)2＝(x－2y)3÷(x－2y)2＝x－2y；
(3)(a2＋1)6÷(a2＋1)4÷(a2＋1)2＝(a2＋1)6－4－2＝(a2＋1)0＝1.
【方法总结】计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或变形为相同，再根据法则计算．
【例题13】若(x－6)0＝1成立，则x的取值范围是( )
A．x≥6 B．x≤6 C．x≠6 D．x＝6
【答案】见解析
【解析】∵(x－6)0＝1成立，∴x－6≠0，解得x≠6.故选C.
【方法总结】本题考查的是0指数幂，非0数的0次幂等于1，注意0指数幂的底数不能为0.
考点4.整式的除法
【例题14】计算．
(1)(2a2b2c)4z÷(－2ab2c2)2；
(2)(3x3y3z)4÷(3x3y2z)2÷(x2y6z)．
【答案】见解析
【解析】先算乘方，再根据单项式除单项式的法则进行计算即可．
(1)(2a2b2c)4z÷(－2ab2c2)2＝16a8b8c4z÷4a2b4c4＝4a6b4z；
(2)(3x3y3z)4÷(3x3y2z)2÷(x2y6z)＝81x12y12z4÷9x6y4z2÷x2y6z＝18x4y2z.
【方法总结】掌握整式的除法的运算法则是解题的关键，有乘方的先算乘方，再算乘除．
【例题15】计算：(72x3y4－36x2y3＋9xy2)÷(－9xy2)．
【答案】见解析
【解析】根据多项式除单项式，先用多项式的每一项分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加．
原式＝72x3y4÷(－9xy2)＋(－36x2y3)÷(－9xy2)＋9xy2÷(－9xy2)＝－8x2y2＋4xy－1.
【方法总结】多项式除以单项式，先把多项式的每一项都分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加．
深化对课节知识点理解的试题专炼
1. 下列各式中，计算结果等于的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】利用整式加减运算和幂的运算对每个选项计算即可．
A．，不是同类项，不能合并在一起，故选项A不合题意；
B．，符合题意；
C．，不是同类项，不能合并在一起，故选项C不合题意；
D．，不符合题意，
故选B
【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式的运算性质是解题的关键．
2. 计算：
(1)(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3·(2a＋b)n－4；
(2)(x－y)2·(y－x)5.
【答案】见解析
【解析】将底数看成一个整体进行计算．
(1)原式＝(2a＋b)(2n＋1)＋3＋(n－4)＝(2a＋b)3n；
(2)原式＝－(x－y)2·(x－y)5＝－(x－y)7.
【方法总结】底数互为相反数的幂相乘时，先把底数统一，再进行计算．(a－b)n＝
3. 计算的结果是（ ）
A. a B. C. D.
【答案】D
【解析】根据同底数幂的乘法法则计算判断即可．
∵ =，故选D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4. 下列计算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】分别根据同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，同底数幂的除法法则、幂的乘方法则以及平方差公式逐一判断即可．
A. ，故本选项错误；
B. ，故本选项符合题意；
C. ，故本选项错误；
D. ，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，同底数幂的除法法则、幂的乘方法则以及平方差公式，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
5. 经济发展和消费需求的增长促进了房地产的发展，使得房价持续上涨，2015年前5个月，某市共销售商品房8.31×104平方米．据监测，商品房平均售价为每平方米4.7×103元，2015年前5个月该市的商品房销售总额是多少元？
【答案】见解析
【解析】先根据题意列出算式计算即可．
8.31×104×4.7×103＝(8.31×4.7)×(104×103)＝3.9057×108(元)．
答：2015年前5个月该市的商品房销售总额是3.9057×108(元)．
【方法总结】本题考查了同底数幂的乘法的应用，关键是根据题意得出算式，注意结果要用科学记数法表示．
6. 已知2a＝3，2b＝6，2c＝18，试问a、b、c之间有怎样的关系？请说明理由．
【答案】见解析
【解析】观察题目的已知可以发现3×6＝18，利用同底数幂相乘，底数不变指数相加解答．
∵3×6＝18，∴2a·2b＝2a＋b＝2c，∴a＋b＝c.
【方法总结】解答此类问题就是利用同底数幂的乘法，将等式两边转化为底数相同的形式，然后让指数相等解答．
7. 计算：a2(－a)2(－a2)3＋a10.
【答案】见解析
【解析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则运算求解．
a2(－a)2(－a2)3＋a10＝－a2·a2·a6＋a10＝－a10＋a10＝0.
【方法总结】先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法，最后算加减，然后合并同类项．
8. 已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值．
【答案】见解析
【解析】由2x＋5y－3＝0得2x＋5y＝3，再把4x·32y统一为底数为2的乘方的形式，最后根据同底数幂的乘法法则即可得到结果．
∵2x＋5y－3＝0，∴2x＋5y＝3，∴4x·32y＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8.
【方法总结】本题考查了幂的乘方的逆用及同底数幂的乘法，整体代入求解也比较关键．
9. 已知2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则代数式x＋y的值为________．
【答案】见解析
【解析】由2x＝8y＋1，9y＝3x－9得2x＝23(y＋1)，32y＝3x－9，则x＝3(y＋1)，2y＝x－9，解得x＝21，y＝6，故代数式x＋y＝7＋3＝10.
【方法总结】根据幂的乘方与积的乘方公式转化得到x和y的方程组，求出x、y，再计算代数式．
10. 太阳可以近似地看作是球体，如果用V、R分别代表球的体积和半径，那么V＝πR3，太阳的半径约为6×105千米，它的体积大约是多少立方千米？(π取3)
【答案】见解析
【解析】将R＝6×105千米代入V＝πR3，即可求得答案．
∵R＝6×105千米，∴V＝πR3＝×π×(6×105)3＝8.64×1017(立方千米)．
答：它的体积大约是8.64×1017立方千米．
【方法总结】读懂题目信息，理解球的体积公式并熟记积的乘方的性质是解题的关键．
11. 计算：(1)－4xy2·(xy2)2·(－2x2)3
(2)(－a3b6)2＋(－a2b4)3.
【答案】见解析
【解析】(1)先进行积的乘方，然后根据同底数幂的乘法法则求解；(2)先进行积的乘方和幂的乘方，然后合并．
解：(1)原式＝4xy2·x2y4·8x6＝8x9y6；
(2)原式＝a6b12－a6b12＝0.
【方法总结】先算积的乘方，再算乘法，最后算加减，然后合并同类项．
12. 计算：
(1)(3x＋2)(x＋2)；
(2)(4y－1)(5－y)．
【答案】见解析
【解析】利用多项式乘多项式法则计算，即可得到结果．
(1)原式＝3x2＋6x＋2x＋4＝3x2＋8x＋4；
(2)原式＝20y－4y2－5＋y＝－4y2＋21y－5.
【方法总结】多项式乘以多项式，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
13. 计算：(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)．
【答案】见解析
【解析】根据整式混合运算的顺序和法则分别进行计算，再把所得结果合并即可．
(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)＝6a2－9a＋2a－3－6a2＋24a＋5a－20＝22a－23.
【方法总结】在计算时要注意混合运算的顺序和法则以及运算结果的符号．
14. 先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1.
【答案】见解析
【解析】先将式子利用整式乘法展开，合并同类项化简，再代入计算．
解：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2＝－8b3＋2a2b＋15ab2.当a＝－1，b＝1时，原式＝－8＋2－15＝－21.
【方法总结】化简求值是整式运算中常见的题型，一定要注意先化简，再求值，不能先代值，再计算．
15. 解方程：(x－3)(x－2)＝(x＋9)(x＋1)＋4.
【答案】见解析
【解析】方程两边利用多项式乘以多项式法则计算，移项合并同类项，将x系数化为1，即可求出解．
去括号后得：x2－5x＋6＝x2＋10x＋9＋4，移项合并同类项得：－15x＝7，解得x＝－.
【方法总结】解答本题就是利用多项式的乘法，将原方程转化为已学过的方程解答．
16. 已知ax2＋bx＋1(a≠0)与3x－2的积不含x2项，也不含x项，求系数a、b的值．
【答案】见解析
【解析】首先利用多项式乘法法则计算出(ax2＋bx＋1)(3x－2)，再根据积不含x2的项，也不含x的项，可得含x2的项和含x的项的系数等于零，即可求出a与b的值．
(ax2＋bx＋1)(3x－2)＝3ax3－2ax2＋3bx2－2bx＋3x－2，∵积不含x2的项，也不含x的项，∴－2a＋3b＝0，－2b＋3＝0，解得b＝，a＝.∴系数a、b的值分别是，.
【方法总结】解决此类问题首先要利用多项式乘法法则计算出展开式，合并同类项后，再根据不含某一项，可得这一项系数等于零，再列出方程解答．
17. 已知－2x3m＋1y2n与7xn－6y－3－m的积与x4y是同类项，求m2＋n的值．
【答案】见解析
【解析】根据－2x3m＋1y2n与7xn－6y－3－m的积与x4y是同类项可得出关于m，n的方程组，进而求出m，n的值，即可得出答案．
∵－2x3m＋1y2n与7xn－6y－3－m的积与x4y是同类项，∴解得：∴m2＋n＝7.
【方法总结】单项式乘以单项式就是把它们的系数和同底数幂分别相乘，结合同类项，列出二元一次方程组．
18. 有一块长为xm，宽为ym的矩形空地，现在要在这块地中规划一块长xm，宽ym的矩形空地用于绿化，求绿化的面积和剩下的面积．
【答案】见解析
【解析】先求出长方形的面积，再求出矩形绿化的面积，两者相减即可求出剩下的面积．
长方形的面积是xym2，矩形空地绿化的面积是x×y＝xy(m)2，则剩下的面积是xy－xy＝xy(m2)．
【方法总结】掌握长方形的面积公式和单项式乘单项式法则是解题的关键．
19. 一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a米，下底宽(a＋2b)米，坝高a米．
(1)求防洪堤坝的横断面积；
(2)如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？
【答案】见解析
【解析】(1)根据梯形的面积公式，然后利用单项式乘多项式的法则计算；(2)防洪堤坝的体积＝梯形面积×坝长．
解：(1)防洪堤坝的横断面积S＝[a＋(a＋2b)]×a＝a(2a＋2b)＝a2＋ab.故防洪堤坝的横断面积为(a2＋ab)平方米；
(2)堤坝的体积V＝Sh＝(a2＋ab)×100＝50a2＋50ab.故这段防洪堤坝的体积是(50a2＋50ab)立方米．
【方法总结】通过本题要知道梯形的面积公式及堤坝的体积(堤坝体积＝梯形面积×长度)的计算方法，同时掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
20. 先化简，再求值：3a(2a2－4a＋3)－2a2(3a＋4)，其中a＝－2.
【答案】见解析
【解析】首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可．
3a(2a2－4a＋3)－2a2(3a＋4)＝6a3－12a2＋9a－6a3－8a2＝－20a2＋9a，当a＝－2时，原式＝－20×4－9×2＝－98.
【方法总结】在做乘法计算时，一定要注意单项式的符号和多项式中每一项的符号，不要搞错．
21. 如果(－3x)2(x2－2nx＋)的展开式中不含x3项，求n的值．
【答案】见解析
【解析】原式先算乘方，再利用单项式乘多项式法则计算，根据结果不含x3项，求出n的值即可．
(－3x)2(x2－2nx＋)＝(9x2)(x2－2nx＋)＝9x4－18nx3＋6x2，由展开式中不含x3项，得到n＝0.
【方法总结】单项式与多项式相乘，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0.
22. 已知am＝4，an＝2，a＝3，求am－n－1的值．
【答案】见解析
【解析】先逆用同底数幂的除法，对am－n－1进行变形，再代入数值进行计算．
∵am＝4，an＝2，a＝3，∴am－n－1＝am÷an÷a＝4÷2÷3＝.
【方法总结】解此题的关键是逆用同底数幂的除法得出am－n－1＝am÷an÷a.
23. 若a(xmy4)3÷(3x2yn)2＝4x2y2，求a、m、n的值．
【答案】见解析
【解析】利用积的乘方的计算法则以及整式的除法运算得出即可．
∵a(xmy4)3÷(3x2yn)2＝4x2y2，∴ax3my12÷9x4y2n＝4x2y2，∴a÷9＝4，3m－4＝2，12－2n＝2，解得a＝36，m＝2，n＝5.
【方法总结】熟练掌握积的乘方的计算法则以及整式的除法运算是解题关键．
24. 一颗人造地球卫星的速度为2.88×107m/h，一架喷气式飞机的速度为1.8×106m/h，这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的多少倍？
【答案】见解析
【解析】求人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的多少倍，用人造地球卫星的速度除以喷气式飞机的速度，列出式子：(2.88×107)÷(1.8×106)，再利用同底数幂的除法计算．
(2.88×107)÷(1.8×106)＝(2.88÷1.8)×(107÷106)＝1.6×10＝16.则这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的16倍．
【方法总结】用科学记数法表示的数的运算可以利用单项式的相关运算法则计算．
25. 已知一个多项式除以2x2，所得的商是2x2＋1，余式是3x－2，请求出这个多项式．
【答案】见解析
【解析】根据被除式、除式、商式、余式之间的关系解答．
根据题意得：2x2(2x2＋1)＋3x－2＝4x4＋2x2＋3x－2，则这个多项式为4x4＋2x2＋3x－2.
【方法总结】“被除式＝商×除式＋余式”是解题的关键．
26. 先化简，后求值：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y，其中x＝2015，y＝2014.
【答案】见解析
【解析】利用去括号法则先去括号，再合并同类项，然后根据除法法则进行化简，最后把x与y的值代入计算，即可求出答案．
[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y＝[2x3y－2x2y2＋x2y2－x3y]÷x2y＝x－y，把x＝2015，y＝2014代入上式得：原式＝x－y＝2015－2014＝1.
【方法总结】熟练掌握去括号，合并同类项，整式的除法的法则．
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