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2024--2025学年度人教版数学八年级上册学讲练测讲义
第十四章 整式的乘法与因式分解
专题14.2 乘法公式
课节学习目标
1．掌握平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的理解．
2．掌握平方差公式的应用．
3．会推导完全平方公式，灵活运用完全平方公式进行计算．
课节知识点解读
知识点1.平方差公式
文字语言：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差
符号语言：(a＋b)(a－b)＝a2－b2
知识点2.完全平方公式
文字语言：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
符号语言：
；
温馨提醒：完全平方公式与公式的灵活变形
（1）a2+b2=(a+b)2-2ab;
（2）a2+b2=(a-b)2+2ab;
（3）(a+b)2=(a-b)2+4ab;
（4）(a-b)2=(a+b)2-4ab.
课节知识点例题讲析
考点1.平方差公式
【例题1】下列运算中，可用平方差公式计算的是( )
A．(x＋y)(x＋y)
B．(－x＋y)(x－y)
C．(－x－y)(y－x)
D．(x＋y)(－x－y)
考点2.完全平方公式
【例题2】利用完全平方公式计算：
(1)(5－a)2；
(2)(－3m－4n)2；
(3)(－3a＋b)2.
考点3.添括号后运用完全平方公式
【例题3】计算：(1)(a－b＋c)2；
(2)(1－2x＋y)(1＋2x－y)．
深化对课节知识点理解的试题专炼
1. 利用平方差公式计算：
(1)(3x－5)(3x＋5)；
(2)(－2a－b)(b－2a)；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)；
(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．
2. 求2(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)的值．
3. 利用平方差公式简算：
(1)20×19； (2)13.2×12.8.
4. 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
5. 对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的倍数吗？
6. 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
7. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 下列运算中，计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 运用乘法公式计算(x＋3)2的结果是（ ）
A．x2＋9 B．x2－6x＋9 C．x2＋6x＋9 D．x2＋3x＋9
10. 将二次三项式x2+4x+5化成（x+p）2+q的形式应为 ．
11. 已知，求代数式的值．
12. 如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值．
13. 利用乘法公式计算：
(1)982－101×99；
(2)20162－2016×4030＋20152.
14. 已知x－y＝6，xy＝－8.
(1)求x2＋y2的值；
(2)求代数式(x＋y＋z)2＋(x－y－z)(x－y＋z)－z(x＋y)的值．
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2024--2025学年度人教版数学八年级上册学讲练测讲义
第十四章 整式的乘法与因式分解
专题14.2 乘法公式
课节学习目标
1．掌握平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的理解．
2．掌握平方差公式的应用．
3．会推导完全平方公式，灵活运用完全平方公式进行计算．
课节知识点解读
知识点1.平方差公式
文字语言：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差
符号语言：(a＋b)(a－b)＝a2－b2
知识点2.完全平方公式
文字语言：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
符号语言：
；
温馨提醒：完全平方公式与公式的灵活变形
（1）a2+b2=(a+b)2-2ab;
（2）a2+b2=(a-b)2+2ab;
（3）(a+b)2=(a-b)2+4ab;
（4）(a-b)2=(a+b)2-4ab.
课节知识点例题讲析
考点1.平方差公式
【例题1】下列运算中，可用平方差公式计算的是( )
A．(x＋y)(x＋y)
B．(－x＋y)(x－y)
C．(－x－y)(y－x)
D．(x＋y)(－x－y)
【答案】C
【解析】A中含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；B中(－x＋y)(x－y)＝－(x－y)(x－y)，含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；C中(－x－y)(y－x)＝(x＋y)(x－y)，含x的项符号相同，含y的项符号相反，能用平方差公式计算，正确；D中(x＋y)(－x－y)＝－(x＋y)(x＋y)，含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；故选C.
【方法总结】对于平方差公式，注意两个多项式均为二项式且两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．
考点2.完全平方公式
【例题2】利用完全平方公式计算：
(1)(5－a)2；
(2)(－3m－4n)2；
(3)(－3a＋b)2.
【答案】见解析
【解析】直接运用完全平方公式进行计算即可．
(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；
(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；
(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.
【方法总结】完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.可巧记为“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
考点3.添括号后运用完全平方公式
【例题3】计算：(1)(a－b＋c)2；
(2)(1－2x＋y)(1＋2x－y)．
【答案】见解析
【解析】利用整体思想将三项式转化为二项式，再利用完全平方公式或平方差公式求解，并注意添括号的符号法则．
(1)原式＝[(a－b)＋c]2＝(a－b)2＋c2＋2(a－b)c＝a2－2ab＋b2＋c2＋2ac－2bc＝a2＋b2＋c2－2ab＋2ac－2bc；
(2)原式＝[1＋(－2x＋y)][1－(－2x＋y)]＝12－(－2x＋y)2＝1－4x2＋4xy－y2.
【方法总结】利用完全平方公式进行计算时，应先将式子变成(a±b)2的形式．注意a，b可以是多项式，但应保持前后使用公式的一致性．
深化对课节知识点理解的试题专炼
1. 利用平方差公式计算：
(1)(3x－5)(3x＋5)；
(2)(－2a－b)(b－2a)；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)；
(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．
【答案】见解析
【解析】直接利用平方差公式进行计算即可．
(1)(3x－5)(3x＋5)＝(3x)2－52＝9x2－25；
(2)(－2a－b)(b－2a)＝(－2a)2－b2＝4a2－b2；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)＝(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2；
(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16.
【方法总结】应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
2. 求2(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)的值．
【答案】见解析
【解析】根据平方差公式，可把2看成是(3－1)，再根据平方差公式即可算出结果．
2(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)＝(3－1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)＝(32－1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)＝(34－1)(34＋1)(38＋1)＝(38－1)(38＋1)＝316－1.
【方法总结】连续使用平方差公式，直到不能使用为止．
3. 利用平方差公式简算：
(1)20×19； (2)13.2×12.8.
【答案】见解析
【解析】(1)把20×19写成(20＋)×(20－)，然后利用平方差公式进行计算；(2)把13.2×12.8写成(13＋0.2)×(13－0.2)，然后利用平方差公式进行计算．
解：(1)20×19＝(20＋)×(20－)＝400－＝399；
(2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝169－0.04＝168.96.
【方法总结】熟记平方差公式的结构并构造出公式结构是解题的关键．
4. 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
【答案】见解析
【解析】利用平方差公式展开并合并同类项，然后把x、y的值代入进行计算即可得解．
(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.
【方法总结】利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算．
5. 对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的倍数吗？
【答案】见解析
【解析】利用平方差公式对代数式化简，再判断是否是10的倍数．
原式＝9n2－1－(9－n2)＝10n2－10＝10(n＋1)(n－1)，∵n为正整数，∴(n－1)(n＋1)为整数，即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍数．
【方法总结】对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，要注意这方面的问题．
6. 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
【答案】见解析
【解析】根据题意先求出原正方形的面积，再求出改变边长后的面积，然后比较二者的大小即可．
李大妈吃亏了．理由：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16，∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．
【方法总结】解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简解决问题．
7. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据单项式除以单项式，完全平方公式，合并同类项，有理数的乘方的运算法则进行计算求解即可．
A中，正确，故符合题意；
B中，错误，故不符合题意；
C中，错误，故不符合题意；
D中，错误，故不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了单项式除以单项式，完全平方公式，合并同类项以及有理数的乘方．解题的关键在于熟练掌握运算法则并正确的计算．
8. 下列运算中，计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据完全平方公式、同底数幂相乘除，积的乘方进行计算，即可判断．
，故A选项错误，不符合题意；
，故B选项错误，不符合题意；
，故C选项正确，符合题意；
，，故D选项错误，不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式、同底数幂相乘除，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
9. 运用乘法公式计算(x＋3)2的结果是（ ）
A．x2＋9 B．x2－6x＋9 C．x2＋6x＋9 D．x2＋3x＋9
【答案】C
【解析】运用完全平方公式，(x＋3)2＝x2＋2×3x＋32＝x2＋6x＋9．
10. 将二次三项式x2+4x+5化成（x+p）2+q的形式应为 ．
【答案】（x+2）2+1．
【解析】此题主要考查了配方法的应用，正确应用完全平方公式是解题关键．
直接利用完全平方公式将原式进行配方得出答案．
x2+4x+5
=x2+4x+4+1
=（x+2）2+1．
11. 已知，求代数式的值．
【答案】5
【解析】先根据，得出，将变形为，最后代入求值即可．
∵，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式，单项式乘多项式，将变形为，是解题的关键．
12. 如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值．
【答案】见解析
【解析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m的值．
∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y，∴m＋1＝±60，∴m＝59或－61.
【方法总结】两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
13. 利用乘法公式计算：
(1)982－101×99；
(2)20162－2016×4030＋20152.
【答案】见解析
【解析】原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式计算即可得到结果．
(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)＝1002－400＋4－1002＋1＝－395；
(2)原式＝20162－2×2016×2015＋20152＝(2016－2015)2＝1.
【方法总结】运用完全平方公式进行简便运算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式．
14. 已知x－y＝6，xy＝－8.
(1)求x2＋y2的值；
(2)求代数式(x＋y＋z)2＋(x－y－z)(x－y＋z)－z(x＋y)的值．
【答案】见解析
【解析】(1)由(x－y)2＝x2＋y2－2xy，可得x2＋y2＝(x－y)2＋2xy，将x－y＝6，xy＝－8代入即可求得x2＋y2的值；(2)首先化简(x＋y＋z)2＋(x－y－z)(x－y＋z)－z(x＋y)＝x2＋y2，由(1)即可求得答案．
解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8，∴(x－y)2＝x2＋y2－2xy，∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝36－16＝20；
(2)∵(x＋y＋z)2＋(x－y－z)(x－y＋z)－z(x＋y)＝(x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz)＋[(x－y)2－z2]－xz－yz＝x2＋y2＋z2＋xy＋xz＋yz＋x2＋y2－xy－z2－xz－yz＝x2＋y2，又∵x2＋y2＝20，∴原式＝20.
【方法总结】通过本题要熟练掌握完全平方公式的变式：(x－y)2＝x2＋y2－2xy，x2＋y2＝(x－y)2＋2xy.
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