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2024--2025学年度人教版数学八年级上册学讲练测讲义
第十四章 整式的乘法与因式分解
专题14.3 因式分解
课节学习目标
1．理解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系．会用提取公因式的方法分解因式．
2．理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点．掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式．
3．理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特点．掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式．
课节知识点解读
知识点1. 运用提取公因式法因式分解
1.因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
2. 因式分解与整式乘法区别：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．
注意：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.
3.公因式：多项式中各项都含有的相同因式，叫作这个多项式的公因式。公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
4．提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．比如：am+an=a（m+n）
注意：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．
（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.
5.正确找出多项式的公因式的步骤：
（1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
（2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母.
（3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.
6.注意事项：
（1）分解因式是一种恒等变形；
（2）公因式：要提尽；
（3）不要漏项；
（4）提负号，要注意变号.
知识点2. 运用平方差公式因式分解
1.平方差公式
两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式：
注意：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.
（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.
（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是数字或者字母，也可以是单项式或多项式.
2.因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．
3.因式分解注意事项
（1）因式分解的对象是多项式；
（2）最终把多项式化成乘积形式；
（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
知识点3. 运用完全平方公式因式分解
1.我们把形如，的式子叫做完全平方式.
a +2ab+b 和a -2ab+b 这这样的式子叫作完全平方式.
2.完全平方式a2±2ab＋b2的特点：
(1)必须是三项式（或可以看成三项的）；
(2)有两个同号的数或式的平方；
(3)中间有两底数之积的±2倍.
首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
3. 完全平方公式: 即，.
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
拓展知识：立方和与立方差公式
两个数的立方和(或者差)等于这两个数的和(或者差)乘以它们的平方和与它们积的差(或者和)．
a3+b3＝（a+b）（a2-ab+b2）
a3﹣b3＝（a-b）（a2+ab+b2）
需补充的公式：
（1）
（2）
（3）
课节知识点例题讲析
【例题1】下列因式分解正确的是（ ）
A． x2﹣4=（x+4）（x﹣4） B． x2+2x+1=x（x+2）+1
C． 3mx﹣6my=3m（x﹣6y） D． 2x+4=2（x+2）
【例题2】因式分解：6x2﹣4xy＝ ．
【例题3】把2a(b+c) - 3(b+c)分解因式。
【例题4】下列因式分解正确的是( )
A.x2－x＝x(x+1) B.a2－3a－4＝(a+4)(a－1)
C.a2+2ab－b2＝(a－b)2 D.x2－y2＝(x+y)(x－y)
【例题5】分解因式：______．6】因式分解：．
【例题7】分解因式：a3﹣2a2+a＝ ．
【例题8】因式分解（a﹣b）2+4ab；
深化对课节知识点理解的试题专炼
1．对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
2. 因式分解：4m﹣2m2＝ ．
3. 因式分解：3a2﹣9ab＝ ．
4. 把8a3b2 + 12ab3c分解因式。
5.因式分解：
(1)3a3c2＋12ab3c；
(2)2a(b＋c)－3(b＋c)；
(3)(a＋b)(a－b)－a－b.
6．因式分解：x3y﹣4xy＝ ．
7. 分解因式：4ax2﹣4ay2＝ ．
8. 分解因式：(1)(a＋b)2－4a2； (2)9(m＋n)2－(m－n)2.
9.
10.分解因式：(1)5m2a4－5m2b4； (2)a2－4b2－a－2b.
11. 分解因式：2x2﹣4x+2＝ ．
12. 因式分解：
13. 因式分解：4a2b﹣4ab+b＝ ．
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第十四章 整式的乘法与因式分解
专题14.3 因式分解
课节学习目标
1．理解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系．会用提取公因式的方法分解因式．
2．理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点．掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式．
3．理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特点．掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式．
课节知识点解读
知识点1. 运用提取公因式法因式分解
1.因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
2. 因式分解与整式乘法区别：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．
注意：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.
3.公因式：多项式中各项都含有的相同因式，叫作这个多项式的公因式。公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
4．提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．比如：am+an=a（m+n）
注意：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．
（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.
5.正确找出多项式的公因式的步骤：
（1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
（2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母.
（3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.
6.注意事项：
（1）分解因式是一种恒等变形；
（2）公因式：要提尽；
（3）不要漏项；
（4）提负号，要注意变号.
知识点2. 运用平方差公式因式分解
1.平方差公式
两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式：
注意：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.
（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.
（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是数字或者字母，也可以是单项式或多项式.
2.因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．
3.因式分解注意事项
（1）因式分解的对象是多项式；
（2）最终把多项式化成乘积形式；
（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
知识点3. 运用完全平方公式因式分解
1.我们把形如，的式子叫做完全平方式.
a +2ab+b 和a -2ab+b 这这样的式子叫作完全平方式.
2.完全平方式a2±2ab＋b2的特点：
(1)必须是三项式（或可以看成三项的）；
(2)有两个同号的数或式的平方；
(3)中间有两底数之积的±2倍.
首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
3. 完全平方公式: 即，.
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
拓展知识：立方和与立方差公式
两个数的立方和(或者差)等于这两个数的和(或者差)乘以它们的平方和与它们积的差(或者和)．
a3+b3＝（a+b）（a2-ab+b2）
a3﹣b3＝（a-b）（a2+ab+b2）
需补充的公式：
（1）
（2）
（3）
课节知识点例题讲析
【例题1】下列因式分解正确的是（ ）
A． x2﹣4=（x+4）（x﹣4） B． x2+2x+1=x（x+2）+1
C． 3mx﹣6my=3m（x﹣6y） D． 2x+4=2（x+2）
【答案】D
【解析】A.原式利用平方差公式分解得到结果，即可做出判断；
原式=（x+2）（x﹣2），错误；
B.原式利用完全平方公式分解得到结果，即可做出判断；
原式=（x+1）2，错误；
C.原式提取公因式得到结果，即可做出判断；
原式=2m（x﹣2y），错误；
D.原式提取公因式得到结果，即可做出判断．
原式=2（x+2），正确。
【例题2】因式分解：6x2﹣4xy＝ ．
【答案】2x(3x﹣2y)．
【解析】直接提取公因式2x,即可分解因式得出答案．
6x2﹣4xy＝2x(3x﹣2y)．
【例题3】把2a(b+c) - 3(b+c)分解因式。
【答案】(b+c)(2a-3).
【解析】2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3).
【例题4】下列因式分解正确的是( )
A.x2－x＝x(x+1) B.a2－3a－4＝(a+4)(a－1)
C.a2+2ab－b2＝(a－b)2 D.x2－y2＝(x+y)(x－y)
【答案】D
【解析】A.x2－x＝x(x－1),错误;
B.a2－3a－4＝(a－4)(a+1),错误;
C.a2+2ab－b2不能因式分解,故错误;
D.x2－y2＝(x+y)(x－y),是平方差公式。
【例题5】分解因式：______．
【答案】
【解析】直接用平方差公式进行分解．平方差公式：．
本题考查运用平方差公式进行因式分解，熟记公式结构是解题的关键．
．
【例题6】因式分解：．
【答案】
【解析】原式
【例题7】分解因式：a3﹣2a2+a＝ ．
【答案】a（a﹣1）2．
【解析】此多项式有公因式，应先提取公因式a，再对余下的多项式进行观察，有3项，可利用完全平方公式继续分解．
a3﹣2a2+a
＝a（a2﹣2a+1）
＝a（a﹣1）2．
【例题8】因式分解（a﹣b）2+4ab；
【答案】（a+b）2
【解析】先根据完全平方公式展开，再根据完全平方公式分解因式即可。
（a﹣b）2+4ab
＝a2﹣2ab+b2+4ab
＝a2+2ab+b2
＝（a+b）2
深化对课节知识点理解的试题专炼
1．对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
【答案】C
【解析】本题主要考查了因式分解的定义理解，准确理解因式分解的定义是解题的关键．
①左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解；②左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法；故答案选C．
2. 因式分解：4m﹣2m2＝ ．
【答案】2m(2﹣m)．
【解析】提取公因式进行因式分解．
4m﹣2m2＝2m(2﹣m)．
3. 因式分解：3a2﹣9ab＝ ．
【答案】3a（a﹣3b）．
【解析】提取公因式，即可得出答案．
3a2﹣9ab＝3a（a﹣3b）．
4. 把8a3b2 + 12ab3c分解因式。
【答案】4ab2(2a2+3bc)
【解析】第一步:找出公因式；
第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积。
8a3b2 + 12ab3c
=4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc
=4ab2(2a2+3bc)
5.因式分解：
(1)3a3c2＋12ab3c；
(2)2a(b＋c)－3(b＋c)；
(3)(a＋b)(a－b)－a－b.
【答案】见解析。
【解析】(1)原式＝3ac(a2c＋4b3)；
(2)原式＝(2a－3)(b＋c)；
(3)原式＝(a＋b)(a－b－1)．
6．因式分解：x3y﹣4xy＝ ．
【答案】xy（x+2）（x﹣2）．
【解析】先提取公因式xy，再利用平方差公式对因式x2﹣4进行分解．
x3y﹣4xy，
＝xy（x2﹣4），
＝xy（x+2）（x﹣2）．
7. 分解因式：4ax2﹣4ay2＝ ．
【答案】4a（x﹣y）（x+y）．
【解析】首先提取公因式4a，再利用平方差公式分解因式即可．
4ax2﹣4ay2＝4a（x2﹣y2）
＝4a（x﹣y）（x+y）．
8. 分解因式：(1)(a＋b)2－4a2； (2)9(m＋n)2－(m－n)2.
【答案】（1）(b－a)(3a＋b)；（2）4(m＋2n)(2m＋n)．
【解析】若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解.
(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)
＝(b－a)(3a＋b)；
(2)原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)
＝(2m＋4n)(4m＋2n)
＝4(m＋2n)(2m＋n)．
9.
【答案】
【解析】首先根据平方差公式进行因式分解，然后对每项合并同类项．
原式
10.分解因式：(1)5m2a4－5m2b4； (2)a2－4b2－a－2b.
【答案】见解析。
【解析】(1)原式＝5m2(a4－b4)
＝5m2(a2＋b2)(a2－b2)
＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b)；
(2)原式＝(a2－4b2)－(a＋2b)
＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b)
＝(a＋2b)(a－2b－1).
11. 分解因式：2x2﹣4x+2＝ ．
【答案】2（x﹣1）2．
【解析】先提取公因数2，再利用完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
2x2﹣4x+2，
＝2（x2﹣2x+1），
＝2（x﹣1）2．
12. 因式分解：
【答案】
【解析】利用完全平方公式进行分解因式即可得答案．
=
=．
13. 因式分解：4a2b﹣4ab+b＝ ．
【答案】b（2a﹣1）2．
【解析】原式提取b，再利用完全平方公式分解即可．
原式＝b（4a2﹣4a+1）
＝b（2a﹣1）2．
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