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2024--2025学年度人教版数学八年级上册学讲练测讲义
第十四章 整式的乘法与因式分解
专题14.4 整式的乘法与因式分解单元基础知识归纳总结
单元课标要求
1. 能进行简单的幂的运算
2. 能进行简单的整式乘法运算（多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法）
3. 乘法公式（a +b）（a —b）= a2 - b2 （a±b）2= a2 土 2ab+b2， 了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理。
4. 能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数为正整数）。
单元知识点思维导图与题型方法总结
一、幂的运算
1．幂的定义
乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；
2.基本运算
（1）同底数幂的乘法法则：
（都是正整数）
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
（2）幂的乘方法则：
（都是正整数）
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
幂的乘方法则可以逆用：即
（3）积的乘方法则：
（是正整数）。
积的乘方，等于各因数乘方的积。
（4）同底数幂的除法法则：
（都是正整数，且
同底数幂相除，底数不变，指数相减。
（5）零指数：任何不等于零的数的零次方等于1。即（a≠0）
（6）负整数指数：任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p次幂的倒数,即
( a≠0,p是正整数)。
二、整式乘除
1．整式的乘法：（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
（2）单项式与多项式相乘：m（a+b+c）=ma+mb+mc.
（3）多项式与多项式相乘：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb.
2．整式的除法：（1）单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式.（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.
三、乘法公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
(a-b)2=a2-2ab+b2
(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3
(a-b)(a2+ab+b2)=a3－b3
归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：
① 位置变化，xyyxx2y2
② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2
③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4
④ 系数变化，2ab2ab4a2b2
⑤ 换式变化，xyzmxyzm
xy2zm2
x2y2zmzm
x2y2z2zmzmm2
x2y2z22zmm2
⑥ 增项变化，xyzxyz
xy2z2
xyxyz2
x2xyxyy2z2
x22xyy2z2
⑦ 连用公式变化，xyxyx2y2
x2y2x2y2
x4y4
⑧ 逆用公式变化，xyz2xyz2
xyzxyzxyzxyz
2x2y2z
4xy4xz
四、因式分解
因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
1．提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．比如：am+an=a（m+n）
2．运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．
（1）平方差公式
两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式：
（2）完全平方公式
两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方．
字母表达式：
（3）立方和与立方差公式
两个数的立方和(或者差)等于这两个数的和(或者差)乘以它们的平方和与它们积的差(或者和)．
a3+b3＝（a+b）（a2-ab+b2）
a3﹣b3＝（a-b）（a2+ab+b2）
3．十字相乘法分解因式：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
（1）对于二次三项式，若存在 ，则
（2）首项系数不为1的十字相乘法
在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.
4.分组分解法：对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.比如：
am﹣an﹣bm+bn=（am﹣an）﹣（bm﹣bn）=a（m﹣n）﹣b（m﹣n）=（m﹣n）（a﹣b）．
单元考点例题讲析
考点一 幂的运算
【例题1】计算：(2a)3(b3)2÷4a3b4.
考点二 整式的运算
【例题2】计算：[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)] ÷3x2y,其中x=1,y=3.
考点三 乘法公式的运用
【例题3】 先化简再求值：[(x-y)2+(x+y)(x-y)] ÷2x,其中 x=3,y=1.5.
考点四 因式分解及应用
【例题4】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A．a(x－y)＝ax－ay
B．x2－1＝(x＋1)(x－1)
C．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3
D．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
情感态度与价值观教育--数学家事迹
笛卡尔 ( https: / / www. / s word=%E7%AC%9B%E5%8D%A1%E5%B0%94&sa=re_dqa_zy" \t "https: / / answer. / answer / _self )
因式分解定理最早是由笛卡尔提出的。 这一数学定理的概念和理论在数学领域中有着重要的应用，尤其是在求解高次一元方程时。因式分解法是一种将方程的一侧的数（包括未知数）通过移动使其值化为0，而将方程的另一侧各项化成若干因式的乘积，然后分别令各因式等于0而求出其解的方法。此外，克罗内克尔因式分解法是由德国数学家克罗内克尔在1845年提出的一种方法，这种方法把具有有理系数的多项式分解成不可约因子的方法，尽管这种方法在一般情况下需要检验大量的已知多项式值的因数的组合，显得繁杂而难以实用。
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第十四章 整式的乘法与因式分解
专题14.4 整式的乘法与因式分解单元基础知识归纳总结
单元课标要求
1. 能进行简单的幂的运算
2. 能进行简单的整式乘法运算（多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法）
3. 乘法公式（a +b）（a —b）= a2 - b2 （a±b）2= a2 土 2ab+b2， 了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理。
4. 能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数为正整数）。
单元知识点思维导图与题型方法总结
一、幂的运算
1．幂的定义
乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；
2.基本运算
（1）同底数幂的乘法法则：
（都是正整数）
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
（2）幂的乘方法则：
（都是正整数）
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
幂的乘方法则可以逆用：即
（3）积的乘方法则：
（是正整数）。
积的乘方，等于各因数乘方的积。
（4）同底数幂的除法法则：
（都是正整数，且
同底数幂相除，底数不变，指数相减。
（5）零指数：任何不等于零的数的零次方等于1。即（a≠0）
（6）负整数指数：任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p次幂的倒数,即
( a≠0,p是正整数)。
二、整式乘除
1．整式的乘法：（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
（2）单项式与多项式相乘：m（a+b+c）=ma+mb+mc.
（3）多项式与多项式相乘：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb.
2．整式的除法：（1）单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式.（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.
三、乘法公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
(a-b)2=a2-2ab+b2
(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3
(a-b)(a2+ab+b2)=a3－b3
归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：
① 位置变化，xyyxx2y2
② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2
③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4
④ 系数变化，2ab2ab4a2b2
⑤ 换式变化，xyzmxyzm
xy2zm2
x2y2zmzm
x2y2z2zmzmm2
x2y2z22zmm2
⑥ 增项变化，xyzxyz
xy2z2
xyxyz2
x2xyxyy2z2
x22xyy2z2
⑦ 连用公式变化，xyxyx2y2
x2y2x2y2
x4y4
⑧ 逆用公式变化，xyz2xyz2
xyzxyzxyzxyz
2x2y2z
4xy4xz
四、因式分解
因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
1．提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．比如：am+an=a（m+n）
2．运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．
（1）平方差公式
两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式：
（2）完全平方公式
两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方．
字母表达式：
（3）立方和与立方差公式
两个数的立方和(或者差)等于这两个数的和(或者差)乘以它们的平方和与它们积的差(或者和)．
a3+b3＝（a+b）（a2-ab+b2）
a3﹣b3＝（a-b）（a2+ab+b2）
3．十字相乘法分解因式：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
（1）对于二次三项式，若存在 ，则
（2）首项系数不为1的十字相乘法
在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.
4.分组分解法：对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.比如：
am﹣an﹣bm+bn=（am﹣an）﹣（bm﹣bn）=a（m﹣n）﹣b（m﹣n）=（m﹣n）（a﹣b）．
单元考点例题讲析
考点一 幂的运算
【例题1】计算：(2a)3(b3)2÷4a3b4.
【答案】2b2
【解析】幂的混合运算中，先算乘方，再算乘除.
原式=8a3b6 ÷4a3b4=2a3-3b6-4=2b2.
【归纳总结】幂的运算性质包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法.这四种运算性质是整式乘除及因式分解的基础.其逆向运用可以使一些计算简便，从而培养一定的计算技巧，达到学以致用的目的.
考点二 整式的运算
【例题2】计算：[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)] ÷3x2y,其中x=1,y=3.
【答案】见解析。
【解析】在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要注意运算顺序；二要熟练正确地运用运算法则.
原式=(x3y2-x2y-x2y+x3y2) ÷3x2y
=(2x3y2-2x2y) ÷3x2y
当x=1,y=3时，
原式=
【归纳总结】整式的乘除法主要包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式以及单项式除以单项式、多项式除以单项式，其中单项式乘以单项式是整式乘除的基础，必须熟练掌握它们的运算法则.整式的混合运算，要按照先算乘方，再算乘除，最后算加减的顺序进行，有括号的要算括号里的.
考点三 乘法公式的运用
【例题3】 先化简再求值：[(x-y)2+(x+y)(x-y)] ÷2x,其中 x=3,y=1.5.
【答案】见解析。
【解析】运用平方差公式和完全平方公式，先计算括号内的，再计算整式的除法运算.
原式=(x2-2xy+y2+x2-y2) ÷2x
=(2x2-2xy) ÷2x
=x-y.
当x=3,y=1.5时，
原式=3-1.5=1.5.
【归纳总结】整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，在计算多项式的乘法时，对于符合这三个公式结构特征的式子，运用公式可减少运算量，提高解题速度.
考点四 因式分解及应用
【例题4】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A．a(x－y)＝ax－ay
B．x2－1＝(x＋1)(x－1)
C．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3
D．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
【答案】B
【解析】(1)多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件，第一，等式的左边是一个多项式；其二，等式的右边要化成几个整式的乘积的形式，这里指等式的整个右边化成积的形式；(2)判断过程要从左到右保持恒等变形.
【归纳总结】因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它与整式乘法互为逆运算，因式分解时，一般要先提公因式，再用公式法分解，因式分解要求分解到每一个因式都不能再分解为止
情感态度与价值观教育--数学家事迹
笛卡尔 ( https: / / www. / s word=%E7%AC%9B%E5%8D%A1%E5%B0%94&sa=re_dqa_zy" \t "https: / / answer. / answer / _self )
因式分解定理最早是由笛卡尔提出的。 这一数学定理的概念和理论在数学领域中有着重要的应用，尤其是在求解高次一元方程时。因式分解法是一种将方程的一侧的数（包括未知数）通过移动使其值化为0，而将方程的另一侧各项化成若干因式的乘积，然后分别令各因式等于0而求出其解的方法。此外，克罗内克尔因式分解法是由德国数学家克罗内克尔在1845年提出的一种方法，这种方法把具有有理系数的多项式分解成不可约因子的方法，尽管这种方法在一般情况下需要检验大量的已知多项式值的因数的组合，显得繁杂而难以实用。
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