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2024--2025学年度人教版数学八年级上册学讲练测讲义
第十五章 分式
专题15.2 分式的运算
课节学习目标
1．理解并掌握分式加减法法则．会利用分式加减法法则熟练地进行异分母分式加减法计算．
2．掌握分式加减乘除法的法则，并会运用法则进行分式加减乘除法的计算．能够运用分式加减乘除法则来解决混合运算的实际问题．
3．理解并记住分式乘方的法则．能运用乘方法则熟练地进行分式乘方运算．能分清乘方、乘除的运算顺序，进行分式的乘除、乘方混合运算．
4．理解负整数指数幂．掌握整数指数幂的运算性质．
5．会用科学记数法表示小于1的正数．
课节知识点解读
知识点1.分式的运算
1．分式的加减法：
（1）同分母分式相加减法则：同分母的分式相加减,分母不变，把分子相加减.用字母表示为
(c≠0)
（2）异分母分式相加减法则：异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为
±＝.(bd≠0)
2．分式的乘除法：
（1）乘法法则：两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为
（2）除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.或者说除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数。
÷＝·＝.(bcd≠0)
3. 分式的乘方：. (n为整数，b≠0)
4.分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算，如果有括号，先算括号里面的．
①实数的各种运算律也适用于分式的运算；
②分式运算的结果要化成最简分式或整式．
5.整数指数幂
（1）负整数指数幂的意义．
一般地，我们规定：当n是正整数时，
这就是说，a-n (a≠0)是an的倒数.
（2）整数指数幂的运算性质．
1)am·an=am+n ( m、n是整数) ；
2)(am)n=amn ( m、n是整数) ；
3)(ab)n=anbn ( n是整数).
（3）会用科学记数法表示小于1的数．
即利用10的负整数次幂，把一个绝对值小于1的数表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，1 ≤a <10. n等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注意：包括小数点前面这个零）.
知识点2.分式的化简求值注意事项
1.分式的化简求值：分式通过化简后，代入适当的值解决问题，注意代入的值要使分式的分母不为0．灵活应用分式的基本性质，对分式进行通分和约分，一般要先分解因式．化简求值时，一要注意整体思想，二要注意解题技巧，三要注意代入的值要使分式有意义．
2.分式的自选代值：分式的化简求值题型中，自选代值多会设“陷阱”，因此代值时要注意：当分式运算中不含除法运算时，自选字母的值要使原分式的分母不为0；当分式运算中含有除法运算时，自选字母的值不仅要使原分式的分母不为0，还要使除式不为0．
课节知识点例题讲析
考点1.分式的乘法
【例题1】计算：
(1)·； (2)·.
考点2.分式的除法
【例题2】计算：(1)－3xy÷；
(2)(xy－x2)÷.
考点3.分式的乘除混合运算
【例题3】计算：·÷.
考点4.分式的乘方
【例题4】下列运算结果不正确的是( )
A．()2＝()2＝
B．[－()2]3＝－()6＝－
C．[]3＝()3＝
D．(－)n＝
考点5.分式的加减法
【例题5】计算：(1)－；(2)＋.
考点6.分式的混合运算
【例题6】计算：
(1)(－)·；
(2)(x＋)÷(2＋－)．
考点7.负整数指数幂的计算
【例题7】下列式子中正确的是( )
A．3－2＝－6 B．3－2＝0.03 C．3－2＝－ D．3－2＝
考点8.整数指数幂的运算
【例题8】计算：
(1)(x3y－2)2；
(2)x2y－2·(x－2y)3；
(3)(3x2y－2)2÷(x－2y)3；
(4)(3×10－5)3÷(3×10－6)2.
考点9.科学记数法
【例题9】某一种重量为0.000106千克，机身由碳纤维制成，且只有昆虫大小的机器人是全球最小的机器人，0.000106用科学记数法可表示为( )
A．1.06×10－4 B．1.06×10－5 C．10.6×10－5 D．106×10－6
深化对课节知识点理解的试题专炼
1. 若a≠b，则下列分式化简正确的是（ ）
A. B． C． D．2. 计算的结果是（ ）
A． B． C．1 D．x+1
3. 计算：（a3b）﹣2＝（ ）
A． B．a6b2 C． D．﹣2a3b
4.化简的结果是 .
5. 计算：的结果是 ．
6. 计算：．
7. 化简：
8. 先化简，再求值：，请从不等式组 的整数解中选择一个合适的数求值．
9．先化简，再求值（﹣）÷，其中a满足a2+3a﹣2＝0．
10. 先化简，再求值：
(1)·，其中x＝，y＝；
(2)÷，其中x＝＋1.
11. 若式子÷有意义，则x的取值范围是( )
A．x≠－2，x≠－4
B．x≠－2
C．x≠－2，x≠－3，x≠－4
D．x≠－2，x≠－3
12. 老王家种植两块正方形土地，边长分别为a米和b米(a≠b)，老李家种植一块长方形土地，长为2a米，宽为b米．他们种的都是花生，并且总产量相同，试问老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的多少倍？
13. 用小数表示下列各数：
(1)2×10－7； (2)3.14×10－5；
(3)7.08×10－3；(4)2.17×10－1.
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第十五章 分式
专题15.2 分式的运算
课节学习目标
1．理解并掌握分式加减法法则．会利用分式加减法法则熟练地进行异分母分式加减法计算．
2．掌握分式加减乘除法的法则，并会运用法则进行分式加减乘除法的计算．能够运用分式加减乘除法则来解决混合运算的实际问题．
3．理解并记住分式乘方的法则．能运用乘方法则熟练地进行分式乘方运算．能分清乘方、乘除的运算顺序，进行分式的乘除、乘方混合运算．
4．理解负整数指数幂．掌握整数指数幂的运算性质．
5．会用科学记数法表示小于1的正数．
课节知识点解读
知识点1.分式的运算
1．分式的加减法：
（1）同分母分式相加减法则：同分母的分式相加减,分母不变，把分子相加减.用字母表示为
(c≠0)
（2）异分母分式相加减法则：异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为
±＝.(bd≠0)
2．分式的乘除法：
（1）乘法法则：两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为
（2）除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.或者说除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数。
÷＝·＝.(bcd≠0)
3. 分式的乘方：. (n为整数，b≠0)
4.分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算，如果有括号，先算括号里面的．
①实数的各种运算律也适用于分式的运算；
②分式运算的结果要化成最简分式或整式．
5.整数指数幂
（1）负整数指数幂的意义．
一般地，我们规定：当n是正整数时，
这就是说，a-n (a≠0)是an的倒数.
（2）整数指数幂的运算性质．
1)am·an=am+n ( m、n是整数) ；
2)(am)n=amn ( m、n是整数) ；
3)(ab)n=anbn ( n是整数).
（3）会用科学记数法表示小于1的数．
即利用10的负整数次幂，把一个绝对值小于1的数表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，1 ≤a <10. n等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注意：包括小数点前面这个零）.
知识点2.分式的化简求值注意事项
1.分式的化简求值：分式通过化简后，代入适当的值解决问题，注意代入的值要使分式的分母不为0．灵活应用分式的基本性质，对分式进行通分和约分，一般要先分解因式．化简求值时，一要注意整体思想，二要注意解题技巧，三要注意代入的值要使分式有意义．
2.分式的自选代值：分式的化简求值题型中，自选代值多会设“陷阱”，因此代值时要注意：当分式运算中不含除法运算时，自选字母的值要使原分式的分母不为0；当分式运算中含有除法运算时，自选字母的值不仅要使原分式的分母不为0，还要使除式不为0．
课节知识点例题讲析
考点1.分式的乘法
【例题1】计算：
(1)·； (2)·.
【答案】见解析
【解析】找出公因式，然后进行约分，约分时能分解因式的先分解因式．
(1)·＝－＝－＝－；
(2)·＝·＝·＝－.
【方法总结】分子和分母都是单项式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”进行运算，其运算步骤为：(1)符号运算；(2)按分式的乘法法则运算；(3)各分式中的分子、分母都是多项式时，先因式分解，再约分．
考点2.分式的除法
【例题2】计算：(1)－3xy÷；
(2)(xy－x2)÷.
【答案】见解析
【解析】先将除法变为乘法，再利用分式的乘法法则进行运算，做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，再约分．
(1)－3xy÷＝－3xy·＝－；
(2)(xy－x2)÷＝(xy－x2)·＝－x(x－y)·＝－x2y.
【方法总结】确定商的符号，再把除式的分子、分母的位置颠倒与被除式相乘．
考点3.分式的乘除混合运算
【例题3】计算：·÷.
【答案】a2－a－2.
【解析】先将除法变为乘法，再根据分式的乘法运算法则进行运算．
原式＝··＝(a－2)(a＋1)＝a2－a－2.
【方法总结】分式乘除混合运算要注意以下几点：(1)利用分式除法法则把除法变成乘法；(2)进行约分，计算出结果．特别提醒：分式运算的最后结果是最简分式或整式．
考点4.分式的乘方
【例题4】下列运算结果不正确的是( )
A．()2＝()2＝
B．[－()2]3＝－()6＝－
C．[]3＝()3＝
D．(－)n＝
【答案】D
【解析】A、B、C计算都正确；D中(－)n＝(－1)n，原题计算错误．故选D.
【方法总结】分式的乘方就是分子、分母分别乘方，最后化为最简分式．
考点5.分式的加减法
【例题5】计算：(1)－；(2)＋.
【答案】见解析
【解析】按照同分母分式相加减的方法进行运算．
(1)－＝＝＝＝＝a－b；
(2)＋＝－＝＝.
【方法总结】(1)当分子是多项式，把分子相减时，千万不要忘记加括号；(2)分式加减运算的结果，必须要化成最简分式或整式；(3)当两个分式的分母互为相反数时可变形为同分母的分式．
考点6.分式的混合运算
【例题6】计算：
(1)(－)·；
(2)(x＋)÷(2＋－)．
【答案】见解析
【解析】(1)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果；(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
解：(1)原式＝·＝2a＋12；
（2）原式＝÷
＝·＝.
【方法总结】分式的混合运算，要注意运算顺序，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
考点7.负整数指数幂的计算
【例题7】下列式子中正确的是( )
A．3－2＝－6 B．3－2＝0.03 C．3－2＝－ D．3－2＝
【答案】D
【解析】根据负整数指数幂的运算法则可知3－2＝＝.故选D.
【方法总结】负整数指数幂等于对应的正整数指数幂的倒数．
考点8.整数指数幂的运算
【例题8】计算：
(1)(x3y－2)2；
(2)x2y－2·(x－2y)3；
(3)(3x2y－2)2÷(x－2y)3；
(4)(3×10－5)3÷(3×10－6)2.
【答案】见解析
【解析】先进行幂的乘方，再进行幂的乘除，最后将整数指数幂化成正整数指数幂．
(1)原式＝x6y－4＝；
(2)原式＝x2y－2·x－6y3＝x－4y＝；
(3)原式＝9x4y－4÷x－6y3＝9x4y－4·x6y－3＝9x10y－7＝；
(4)原式＝(27×10－15)÷(9×10－12)＝3×10－3＝.
【方法总结】正整数指数幂的运算性质推广到整数范围后，计算的最后结果常化为正整数指数幂．
考点9.科学记数法
【例题9】某一种重量为0.000106千克，机身由碳纤维制成，且只有昆虫大小的机器人是全球最小的机器人，0.000106用科学记数法可表示为( )
A．1.06×10－4 B．1.06×10－5 C．10.6×10－5 D．106×10－6
【答案】A
【解析】0.000106＝1.06×10－4，故选A.
【方法总结】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10－n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
深化对课节知识点理解的试题专炼
1. 若a≠b，则下列分式化简正确的是（ ）
A. B． C． D．
【答案】D．
【解析】根据a≠b，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题．
∵a≠b，
∴，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C错误；
，故选项D正确。
【点评】本题考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
2. 计算的结果是（ ）
A． B． C．1 D．x+1
【答案】A
【解析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．
原式．
【点评】此题主要考查了分式的加减法，正确化简分式是解题关键．
3. 计算：（a3b）﹣2＝（ ）
A． B．a6b2 C． D．﹣2a3b
【答案】A
【解析】直接利用负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
（a3b）﹣2＝＝．
4.化简的结果是 .
【答案】。
【解析】原式被除式括号中的第一项分子利用平方差公式分解因式，分母利用完全平方公式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，再利用乘法分配律将括号外边的项乘到括号中的每一项，约分后，找出两分母的最简公分母，通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分后得到最简结果：
。
5. 计算：的结果是 ．
【答案】．
【解析】原式
．
6. 计算：．
【答案】
【解析】根据分式的加法法则和除法法则计算即可．
，
=，
=，
=．
【点睛】本题考查的是分式的混合运算，掌握分式的加法法则和除法法则是解题关键．
7. 化简：
【答案】
【解析】原式括号中通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，再将分子分母分别因式分解，进而约分得到最简结果即可．
原式
．
【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式运算法则是解本题的关键．
8. 先化简，再求值：，请从不等式组 的整数解中选择一个合适的数求值．
【答案】，3
【解析】根据分式加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后根据不等式组求出a的值并代入原式即可求出答案．
，
，
解不等式①得：
解不等式②得：，
∴，
∵a为整数，
∴a取0，1，2，
∵，
∴a=1，
当a=1时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
9．先化简，再求值（﹣）÷，其中a满足a2+3a﹣2＝0．
【答案】见解析。
【解析】（﹣）÷
＝[]
＝（）
＝
＝
＝，
∵a2+3a﹣2＝0，
∴a2+3a＝2，
∴原式＝＝1．
10. 先化简，再求值：
(1)·，其中x＝，y＝；
(2)÷，其中x＝＋1.
【答案】见解析
【解析】(1)利用分式的乘法法则进行计算化简．(2)将除法转化为乘法后约分化简，然后代入求值．
解：(1)原式＝·＝，当x＝，y＝时，原式＝24；
(2)原式＝·＝·＝x－1，当x＝＋1时，原式＝.
【方法总结】根据分式乘除法法则将代数式进行计算化简，再代入求值．
11. 若式子÷有意义，则x的取值范围是( )
A．x≠－2，x≠－4
B．x≠－2
C．x≠－2，x≠－3，x≠－4
D．x≠－2，x≠－3
【答案】C
【解析】∵≠0，x＋2≠0，∴x＋3≠0且x＋4≠0，
解得x≠－2，x≠－3，x≠－4，故选C.
【方法总结】在分式的除法中，求字母的取值范围时要使被除式的分母不为0，同时还要使除式的分子、分母不为0.
12. 老王家种植两块正方形土地，边长分别为a米和b米(a≠b)，老李家种植一块长方形土地，长为2a米，宽为b米．他们种的都是花生，并且总产量相同，试问老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的多少倍？
【答案】见解析
【解析】不妨设花生的总产量是1，老王家种植的总面积为(a2＋b2)平方米，老李家种植的总面积为2ab平方米，分别求出单位面积产量，再相除即可．
设花生的总产量是1，÷＝(倍)．
答：老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的倍．
【方法总结】此题考查分式乘除运算的运用，注意理清题意，正确列式计算即可．
13. 用小数表示下列各数：
(1)2×10－7； (2)3.14×10－5；
(3)7.08×10－3；(4)2.17×10－1.
【答案】见解析
【解析】小数点向左移动相应的位数即可．
(1)2×10－7＝0.0000002；
(2)3.14×10－5＝0.0000314；
(3)7.08×10－3＝0.00708；
(4)2.17×10－1＝0.217.
【方法总结】将科学记数法表示的数a×10－n“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．
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