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2024--2025学年度人教版数学八年级上册学讲练测讲义
第十五章 分式
专题15.1 分式
课节学习目标
1．了解分式的概念，能判断一个代数式是否为分式，会求分式的值．
2．理解当分母不为零时分式才有意义；在分式有意义的条件下，会求分式的分母中所含字母的取值范围；会确定分式的值为零的条件．
3．理解并掌握分式的基本性质和符号法则．
4．理解分式的约分、通分的意义，明确分式约分、通分的理论依据．能正确、熟练地运用分式的基本性质，对分式进行约分和通分．
课节知识点解读
知识点1. 分式的概念
1．分式：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母且B不等于0，那么式子叫做分式．分式中，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
三个条件缺一不可：①是形如的式子；②A，B为整式；③分母B中含有字母且B≠0．
2．有意义的条件：分母B的值不为零 (B≠0) .
3.分式的值为零的条件：当分子为零，且分母不为零时，分式的值为零．(A=0且B≠0)
知识点2. 分式的基本性质
分式的基本性质：， (M为不等于零的整式)．
知识点3. 分式的约分与通分
1．约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．
2．最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．
3．通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．
4. 最简公分母：几个分式中，各分母的所有因式的最高次幂的积．
5. 变号法则： ．
课节知识点例题讲析
考点1. 分式的概念
【例题1】在式子、、、、＋、9x＋中，分式的个数有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】、、9x＋这3个式子的分母中含有字母，因此是分式．其他式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．故选B.
【方法总结】分母中含有字母的式子就是分式，注意π不是字母，是常数．
【例题2】观察下面一列分式：，－，，－，…(其中x≠0)．
(1)根据上述分式的规律写出第6个分式；
(2)根据你发现的规律，试写出第n(n为正整数)个分式，并简单说明理由．
【答案】见解析
【解析】(1)根据已知分式的分子与分母的次数与系数关系得出答案；(2)利用(1)中数据的变化规律得出答案．
解：(1)观察各分式的规律可得：第6个分式为－；(2)由已知可得：第n(n为正整数)个分式为(－1)n＋1×，理由：∵分母的底数为y，次数是连续的正整数，分子底数是x，次数是连续的奇数，且偶数个为负，∴第n(n为正整数)个分式为(－1)n＋1×.
【方法总结】此题主要考查了分式的定义以及数字变化规律，得出分子与分母的变化规律是解题关键．
【例题3】每千克m元的糖果x千克与每千克n元的糖果y千克混合成杂拌糖，这样混合后的杂拌糖果每千克的价格为( )
A.元 B.元 C.元 D.(＋)元
【答案】B
【解析】由题意可得杂拌糖每千克的价格为元．故选B.
【方法总结】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系，列出代数式．
考点2.分式有意义或无意义的条件
【例题4】分式有意义，则x应满足的条件是( )
A．x≠1 B．x≠2 C．x≠1且x≠2 D．以上结果都不对
【答案】C
【解析】∵分式有意义，∴(x－1)(x－2)≠0，
∴x－1≠0且x－2≠0，
∴x≠1且x≠2.
故选C.
【方法总结】分式有意义的条件是分母不等于零．
【例题5】使分式无意义的x的值是( )
A．x＝0 B．x≠0 C．x＝ D．x≠
【答案】C
【解析】由分式有意义的条件得3x－1≠0，解得x≠.
则分式无意义的条件是x＝，故选C.
【方法总结】分式无意义的条件是分母等于零．
【例题6】若使分式的值为零，则x的值为( )
A．－1 B．1或－1 C．1 D．以上都不对
【答案】C
【解析】由题意得x2－1＝0且x＋1≠0，
解得x＝1，故选C.
【方法总结】分式的值为零的条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可．
考点3. 分式的基本性质
【例题7】下列式子从左到右的变形一定正确的是( )
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
【答案】C
【解析】A中在分式的分子与分母上同时加上3不符合分式的基本性质，故A错误；B中当c＝0时不成立，故B错误；C中分式的分子与分母同时除以3，分式的值不变，故C正确；D中分式的分子与分母分别乘方，不符合分式的基本性质，故D错误；故选C.
【方法总结】考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．
【例题8】不改变分式的值，把它的分子、分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的
为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】利用分式的基本性质，把的分子、分母都乘以10得.故选C.
【方法总结】观察分式的分子和分母，要使分子与分母中各项系数都化为整数，只需根据分式的基本性质让分子和分母同乘以某一个数即可．
【例题9】不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号．
(1)； (2)； (3).
【答案】见解析
【解析】在分子的符号，分母的符号，分式本身的符号三者当中同时改变其中的两个，分式的值不变．
解：(1)原式＝－；(2)原式＝－；(3)原式＝－.
【方法总结】这类题目容易出现的错误是把分子的符号，分母的项的符号，特别是首项的符号当成分子或分母的符号．
考点4.最简分式、分式的约分和通分
【例题10】下列分式是最简分式的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A中该分式的分子、分母含有公因式a，则它不是最简分式．错误；B中该分式的分子、分母含有公因数3，则它不是最简分式．错误；C中分子为(x＋1)(x－1)，所以该分式的分子、分母含有公因式(x＋1)，则它不是最简分式．错误；D中该分式符合最简分式的定义．正确．故选D.
【方法总结】最简分式的标准是分子，分母中不含公因式．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无公因式．
【例题11】约分：(1)；(2).
【答案】见解析
【解析】先找分子、分母的公因式，然后根据分式的基本性质把公因式约去．
(1)＝＝－；
(2)＝＝.
【方法总结】约分的步骤：(1)找公因式．当分子、分母是多项式时应先分解因式；(2)约去分子、分母的公因式．
【例题12】通分：
(1)，，；
(2)，，.
【答案】见解析
【解析】确定最简公分母再通分．
(1)最简公分母为30a2b2c2，＝，＝－，＝；
(2)最简公分母为a(a＋2)(a－2)，＝，＝，＝.
【方法总结】通分的一般步骤：(1)确定分母的最简公分母．(2)用最简公分母分别除以各分母求商．(3)用所得到的商分别乘以分式的分子、分母，化成同分母的分式．
深化对课节知识点理解的试题专炼
1. 代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（ ）
A.2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】B
【解析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可．
分母中含有字母的是，，，
∴分式有3个，
故选：B．
【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键．
2．在，，，2m，，中，不是分式的式子有( )个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】形如，是整式，中含有字母且不等于0的整式叫做分式.其中叫做分式的分子，叫做分式的分母.
，2m，不是分式．
3. 从a－1，3＋π，2，x2＋5中任选2个构成分式，共可以构成________个分式．
【答案】6
【解析】以a－1为分母，可构成3个分式；以x2＋5为分母，可构成3个分式，所以共可构成6个分式．
4. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝3 C．x≠﹣1 D．x≠3
【答案】D
【解析】分式有意义的条件是分母不为0．
∵代数式有意义，
∴x﹣3≠0，
∴x≠3．
【点拨】本题运用了分式有意义的条件知识点，关键要知道分母不为0是分式有意义的条件．
5.下列各式与相等的是( )
A. ; B. ; C. D.
【答案】C
【解析】 分式的基本性质是一切分式运算的基础,分子与分母只能同乘以(或除以)同一个不等于零的整式,而不能同时加上(或减去)同一个整式.
根据分式的基本性质易发现C成立.
6.下列分式的变形是否正确，为什么？
（1） （2）
【答案】见解析。
【解析】（1）∵已知分式中已隐含了，∴用分别乘以分式的分子、分母，分式的值不变，故（1）是正确的.
（2）因为已知分式中，没限制，可以取任意数，当然也包括了，当分式的分子、分母都乘以时，分式没意义，故（2）是错误的.
7.已知不论取什么数时，分式（）都是一个定值，求、应满足的关系式，并求出这个定值.
【答案】见解析。
【解析】在研究某些有关特值的数学问题时，我们可以不考虑一般值，而是直接利用取符合条件特殊值代入研究解决，这就是所谓的特殊值法.
当时，
时，
∵不论取什么实数，是一个定值
∴，∴
∵ ∴
把代入原式，得
∴、的关系为；定值为
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第十五章 分式
专题15.1 分式
课节学习目标
1．了解分式的概念，能判断一个代数式是否为分式，会求分式的值．
2．理解当分母不为零时分式才有意义；在分式有意义的条件下，会求分式的分母中所含字母的取值范围；会确定分式的值为零的条件．
3．理解并掌握分式的基本性质和符号法则．
4．理解分式的约分、通分的意义，明确分式约分、通分的理论依据．能正确、熟练地运用分式的基本性质，对分式进行约分和通分．
课节知识点解读
知识点1. 分式的概念
1．分式：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母且B不等于0，那么式子叫做分式．分式中，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
三个条件缺一不可：①是形如的式子；②A，B为整式；③分母B中含有字母且B≠0．
2．有意义的条件：分母B的值不为零 (B≠0) .
3.分式的值为零的条件：当分子为零，且分母不为零时，分式的值为零．(A=0且B≠0)
知识点2. 分式的基本性质
分式的基本性质：， (M为不等于零的整式)．
知识点3. 分式的约分与通分
1．约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．
2．最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．
3．通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．
4. 最简公分母：几个分式中，各分母的所有因式的最高次幂的积．
5. 变号法则： ．
课节知识点例题讲析
考点1. 分式的概念
【例题1】在式子、、、、＋、9x＋中，分式的个数有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【例题2】观察下面一列分式：，－，，－，…(其中x≠0)．
(1)根据上述分式的规律写出第6个分式；
(2)根据你发现的规律，试写出第n(n为正整数)个分式，并简单说明理由．
【例题3】每千克m元的糖果x千克与每千克n元的糖果y千克混合成杂拌糖，这样混合后的杂拌糖果每千克的价格为( )
A.元 B.元 C.元 D.(＋)元
考点2.分式有意义或无意义的条件
【例题4】分式有意义，则x应满足的条件是( )
A．x≠1 B．x≠2 C．x≠1且x≠2 D．以上结果都不对
【例题5】使分式无意义的x的值是( )
A．x＝0 B．x≠0 C．x＝ D．x≠
【例题6】若使分式的值为零，则x的值为( )
A．－1 B．1或－1 C．1 D．以上都不对
考点3. 分式的基本性质
【例题7】下列式子从左到右的变形一定正确的是( )
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
【例题8】不改变分式的值，把它的分子、分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的
为( )
A. B. C. D.
【例题9】不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号．
(1)； (2)； (3).
考点4.最简分式、分式的约分和通分
【例题10】下列分式是最简分式的是( )
A. B. C. D.
【例题11】约分：(1)；(2).
【例题12】通分：
(1)，，；
(2)，，.
深化对课节知识点理解的试题专炼
1. 代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（ ）
A.2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
2．在，，，2m，，中，不是分式的式子有( )个．
A．1 B．2 C．3 D．4
3. 从a－1，3＋π，2，x2＋5中任选2个构成分式，共可以构成________个分式．
4. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝3 C．x≠﹣1 D．x≠3
5.下列各式与相等的是( )
A. ; B. ; C. D.
6.下列分式的变形是否正确，为什么？
（1） （2）
7.已知不论取什么数时，分式（）都是一个定值，求、应满足的关系式，并求出这个定值.
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