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2024--2025学年度人教版数学八年级上册学讲练测讲义
第十五章 分式
专题15.5 分式单元核心素养达标检测
（试卷满分100分，答题时间90分钟）
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1.代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（ ）
A.2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
2.下列分式通过约分变形得出的结果正确的为（ ）
A.； B. ；
C.； D.．
3. 分式 约分结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
4. 计算的结果为（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．
5. 分式方程的解是（ ）
A．x＝9 B．x＝7 C．x＝5 D．x＝﹣1
6. 如果关于x的分式方程有增根，那么m的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4
7．若无解，则m的值是（ ）
A．－2 B．2 C．3 D．－3
8. 已知关于x的分式方程4的解为非正数，则k的取值范围是（ ）
A．k≤﹣12 B．k≥﹣12 C．k＞﹣12 D．k＜﹣12
知是分式方程的解，那么实数的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．某工厂生产A、B两种型号的扫地机器人．B型机器人比A型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫100m2所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟．两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设A型扫地机器人每小时清扫xm2，根据题意可列方程为（ ）
A．＝+ B．+＝
C．+＝ D．＝+
二、填空题（本大题有10个小题，每空3分，共30分）
1.若分式有意义，则a的取值范围是 ．
2. 已知分式，当x＝2时，分式无意义，则a＝____．
3.计算：_________．
4. 已知两个分式：，，其中x≠±2，则A+B=_______。
5．化简：1﹣÷＝ ．
6.下列方程中是分式方程的个数为 个。
（1） （2）
（3） （4）（a为字母系数）
7．分式方程的解为__________．
8. 若关于的分式方程有增根，则的值为_____.
9. 若关于x的分式方程=2a无解，则a的值为_____．
10. 若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是_______．
三、解答题（6个小题，共40分）
1.（4分）不改变分式的值，将下列各分式中的分子和分母中的各项系数都化为整数.
（1） （2）
2.（4分）先化简，再求值：其中
3. （6分）解方程．
4．（6分）当k为何值时，分式方程 有增根？
5.（10分）观察以下等式：
第1个等式：＝+，
第2个等式：＝+，
第3个等式：＝+，
第4个等式：＝+，
第5个等式：＝+，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
6. （10分）为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场.现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍.
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品.
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2024--2025学年度人教版数学八年级上册学讲练测讲义
第十五章 分式
专题15.5 分式单元核心素养达标检测
（试卷满分100分，答题时间90分钟）
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1.代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（ ）
A.2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】B
【解析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可．
分母中含有字母的是，，，
∴分式有3个，故选：B．
【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键．
2.下列分式通过约分变形得出的结果正确的为（ ）
A.； B. ；
C.； D.．
【答案】D
【解析】约分变形的前提是分子、分母有公因式．
ABC变形都不是约分，结果都是错误的．
A.分式的分子和分母分别是一个整式，利用分式的基本性质，“除以一个整式”是对分子、分母的整体进行的．而只对分子和分母中的某一项进行，就违背了分式基本性质的使用前提，所以是错误的．
B.分式的分母是个平方和的形式，不能分解．因此分子、分母没有公因式，它是最简分式．故此题的变形是毫无根据的．
C.当分子、分母都是乘积的形式，才有约分的可能，而这里与是和的形式，因此不能进行约分．正确的结果解法是：
D.此题是约分变形．因此分母化成的形式，与分子约去公因式可得．
3. 分式 约分结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B.
【解析】==.
4. 计算的结果为（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．
【答案】A
【解析】根据分式的加减运算法则即可求出答案．
原式＝＝＝1．
5. 分式方程的解是（ ）
A．x＝9 B．x＝7 C．x＝5 D．x＝﹣1
【答案】A
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
去分母得：2（x﹣2）＝x+5，
去括号得：2x﹣4＝x+5，
解得：x＝9，
经检验x＝9是分式方程的解．
6. 如果关于x的分式方程有增根，那么m的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4
【答案】D
【解析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2＝0，确定可能的增根；然后代入化为整式方程的方程求解，即可得到正确的答案．
方程两边都乘（x﹣2），
得m+2x＝x﹣2，
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣2＝0，
解得x＝2，
当x＝2时，m+4＝0；
∴m＝﹣4．
7．若无解，则m的值是（ ）
A．－2 B．2 C．3 D．－3
【答案】C
【解析】方程两边都乘（x-4）得：
m+1-x=0，
∵方程无解，
∴x-4=0，
即x=4，
∴m+1-4=0，
即m=3．
8. 已知关于x的分式方程4的解为非正数，则k的取值范围是（ ）
A．k≤﹣12 B．k≥﹣12 C．k＞﹣12 D．k＜﹣12
【答案】A
【分析】表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于k的不等式，解出k的范围即可．
【解析】方程4两边同时乘以（x﹣3）得：
x﹣4（x﹣3）＝﹣k，
∴x﹣4x+12＝﹣k，
∴﹣3x＝﹣k﹣12，
∴x4，
∵解为非正数，
∴4≤0，
∴k≤﹣12．
9. 已知是分式方程的解，那么实数的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】将代入原方程，即可求出值．
将代入方程中，得解得： ．故选：B．
【点睛】本题考查了方程解的概念．使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解．“有根必代”是这类题的解题通法．
10．某工厂生产A、B两种型号的扫地机器人．B型机器人比A型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫100m2所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟．两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设A型扫地机器人每小时清扫xm2，根据题意可列方程为（ ）
A．＝+ B．+＝
C．+＝ D．＝+
【答案】D
【解析】若设A型扫地机器人每小时清扫xm2，则B型扫地机器人每小时清扫（1+50%）xm2，根据“清扫100m2所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟”列出方程，此题得解．
解：若设A型扫地机器人每小时清扫xm2，则B型扫地机器人每小时清扫（1+50%）xm2，
根据题意，得＝+．
二、填空题（本大题有10个小题，每空3分，共30分）
1.若分式有意义，则a的取值范围是 ．
【答案】a≠﹣1．
【解析】∵分式有意义，
∴a+1≠0，解得a≠﹣1．
【点拨】先根据分式有意义的条件列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．
2. 已知分式，当x＝2时，分式无意义，则a＝____．
【答案】6.
【解析】当x＝2时，分式无意义，说明分母为0，
即22-5×2+a=0，
解得a=6.
3.计算：_________．
【答案】2
【解析】分式分母相同，直接加减，最后约分．
【点睛】本题考查了分式的加减，掌握同分母分式的加减法法则是解决本题的关键．
4. 已知两个分式：，，其中x≠±2，则A+B=_______。
【答案】0
【解析】，
，
故A＝-B.
所以A+B=0
两个数的代数和等于0，这2个数互为相反数。
5．化简：1﹣÷＝ ．
【答案】﹣．
【解析】1﹣÷＝1﹣ ＝1﹣＝﹣
6.下列方程中是分式方程的个数为 个。
（1） （2）
（3） （4）（a为字母系数）
【答案】1
【解析】分式方程首先应为方程，然后还必须满足有分母，并且分母中含有未知数．其中（3）是分式方程，其他的均不符合分式方程的定义。
7．分式方程的解为__________．
【答案】-1
【解析】两边同乘（x+2）(x-2)，得：x-2﹣3x=0，
解得：x=-1，
检验：当x=-1时，（x+2）(x-2)≠0，
所以x=-1是分式方程的解。
8. 若关于的分式方程有增根，则的值为_____.
【答案】3
【解析】把分式方程化为整式方程，进而把可能的增根代入，可得m的值．
去分母得3x-(x-2)=m+3，当增根为x=2时，6=m+3 ∴m=3．故答案为3．
【点睛】考查分式方程的增根问题；增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
9. 若关于x的分式方程=2a无解，则a的值为_____．
【答案】1或
【解析】去分母得：x-3a=2a（x-3），整理得：（1-2a）x=-3a，当1-2a=0时，方程无解，故a=；
当1-2a≠0时，x==3时，分式方程无解，则a=1，
故关于x的分式方程=2a无解，则a的值为：1或．故答案为1或．
点睛：此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．
10. 若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是_______．
【答案】且
【解析】先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可．
方程两边同时乘以得：
，
解得：，
∵x为正数，
∴，解得，
∵，
∴，即，
∴m的取值范围是且。
三、解答题（6个小题，共40分）
1.（4分）不改变分式的值，将下列各分式中的分子和分母中的各项系数都化为整数.
（1） （2）
【答案】见解析。
【解析】要把分式的分子、分母中各项系数都化为整数，可根据分式的基本性质，将分子、分母都乘以一个恰当的不为零的数，怎样确定这个数呢？
（1）中分子、分母中的各项系数是小数，这个数应是各项系数的最小公倍数.
原式
（2）中分子、分母中各项系数()是分数，这个数应该是各项系数的分母的最小公倍数，即5，2，4，3的最小公倍数60.
原式
2.（4分）先化简，再求值：其中
【答案】，
【解析】利用分式的相应的运算法则进行化简，再代入相应的值运算即可．
原式
=
将代入得原式．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3. （6分）解方程．
【答案】
【解析】先将方程两边同时乘以，化为整式方程后解整式方程再检验即可．
，
，
，
，
检验：将代入中得，，
∴是该分式方程的解．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，解决本题的关键是牢记解分式方程的基本步骤，即要先将分式方程化为整式方程，再利用“去括号、移项、合并同类项、系数化为1”等方式解整式方程，最后不能忘记检验等．
4．（6分）当k为何值时，分式方程 有增根？
【答案】当k=2.5或﹣2.5时，分式方程有增根．
【解析】分式方程两边乘以x（x﹣1）去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到x（x﹣1）=0，求出x=0或1，将x=0或1代入整式方程即可求出k的值．
试题解析：方程两边同乘以x（x﹣1）得：6x=x+2k﹣5（x﹣1），
又∵分式方程有增根，
∴x（x﹣1）=0，
解得：x=0或1，
当x=1时，代入整式方程得：6×1=1+2k﹣5（1﹣1），
解得：k=2.5，
当x=0时，代入整式方程得：6×0=0+2k﹣5（0﹣1），
解得：k=﹣2.5，
则当k=2.5或﹣2.5时，分式方程有增根．
5.（10分）观察以下等式：
第1个等式：＝+，
第2个等式：＝+，
第3个等式：＝+，
第4个等式：＝+，
第5个等式：＝+，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
【答案】（1）＝+；（2）＝+．
【解析】（1）第6个等式为：＝+，
故答案为：＝+；
（2）＝+
证明：∵右边＝+==＝左边．
∴等式成立，
故答案为：＝+．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出＝+的规律，并熟练加以运用．
6. （10分）为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场.现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍.
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品.
【答案】甲工厂每天能加工40件新产品，乙工厂每天能加工60件新产品．
【解析】设甲工厂每天能加工x件新产品，则乙工厂每天能加工件新产品.
依题意得 解得
经检验，是原方程的解，并且符合题意∴.
答：甲工厂每天能加工40件新产品，乙工厂每天能加工60件新产品．
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