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2024--2025学年度人教版数学八年级上册学讲练测讲义
第十五章 分式
专题15.4 分式单元基础知识归纳总结
单元课标要求
1.了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；能对简单的分式进行加、减、乘、除运算。
2. 掌握等式的基本性质；能解可化为一元一次方程的分式方程。
3. 能列分式方程解决实际问题。
单元知识点思维导图与题型方法总结
知识点1. 分式的概念
1．分式：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母且B不等于0，那么式子叫做分式．分式中，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
三个条件缺一不可：①是形如的式子；②A，B为整式；③分母B中含有字母且B≠0．
2．有意义的条件：分母B的值不为零 (B≠0) .
3.分式的值为零的条件：当分子为零，且分母不为零时，分式的值为零．(A=0且B≠0)
4. 分式的基本性质
分式的基本性质：， (M为不等于零的整式)．
5．约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．
（1）最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．
（2）注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.
（3）约分的基本步骤
1) 若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂；
2) 若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式．
6．通分： 根据分式的基本性质，使分子、分母同乘适当的整式（即最简公分母），把分母不相同的分式变成分母相同的分式，这种变形叫分式的通分.
（1）最简公分母：几个分式中，各分母的所有因式的最高次幂的积．
7. 变号法则： ．
知识点2.分式的运算
1．分式的加减法：
（1）同分母分式相加减法则：同分母的分式相加减,分母不变，把分子相加减.用字母表示为
(c≠0)
（2）异分母分式相加减法则：异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为
±＝.(bd≠0)
2．分式的乘除法：
（1）乘法法则：两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为
（2）除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.或者说除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数。
÷＝·＝.(bcd≠0)
3. 分式的乘方：. (n为整数，b≠0)
4.分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算，如果有括号，先算括号里面的．
①实数的各种运算律也适用于分式的运算；
②分式运算的结果要化成最简分式或整式．
重点题型：分式的化简求值注意事项
1.分式的化简求值：分式通过化简后，代入适当的值解决问题，注意代入的值要使分式的分母不为0．灵活应用分式的基本性质，对分式进行通分和约分，一般要先分解因式．化简求值时，一要注意整体思想，二要注意解题技巧，三要注意代入的值要使分式有意义．
2.分式的自选代值：分式的化简求值题型中，自选代值多会设“陷阱”，因此代值时要注意：当分式运算中不含除法运算时，自选字母的值要使原分式的分母不为0；当分式运算中含有除法运算时，自选字母的值不仅要使原分式的分母不为0，还要使除式不为0．
知识点3.分式方程
1.分式方程定义及其特征
（1）分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
（2）分式方程的重要特征：
①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程。
2．分式方程的解法
(1)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
(2)解这个整式方程.
(3)把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去.
拓展：分式方程的特殊解法——换元法
换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。
注意增根问题：
使分式方程的最简公分母为0的根。
（1）产生增根的原因：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，将其转化为整式方程后没有此条件限制了．
（2）分式方程的增根与无解的区别：分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解．分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．
3. 分式方程应用
一审：审清题意，弄清已知量和未知量；
二找：找出等量关系；
三设：设未知数；
四列：列出分式方程；
五解：解这个方程；
六验：检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际问题的要求（双检验）；
七答：写出答案．
在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找“等量关系”，进而列出分式方程，求解时注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义．
单元考点例题讲析
考点1. 分式的有关概念
【例题1】若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣5 B．x≠0 C．x≠5 D．x＞﹣5
考点2. 分式的性质及有关计算
【例题2】在学完分式的基本性质后，王老师让同桌之间交流一下，看看对这部分知识的理解情况，下面是两位同学的对话：
小亮说：“”，
小红说：“”。
它们互相批评对方不对，于是请邻座小华评判，她说他们两人都对。聪明的同学们，请你们给判断一下他们三人谁对谁错。
【例题3】化简：1﹣÷＝ ．
【例题4】先化简，再求值：，其中．
【例题5】先化简，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为a的值代入求值．
考点3. 分式方程的解法
【例题6】小明解分式方程的过程下．
解：去分母，得 ．①
去括号，得 ．②
移项、合并同类项，得 ．③
化系数为1，得 ．④
以上步骤中，开始出错的一步是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
考点4. 分式方程的应用
【例题7】科学规范戴口罩是阻断新冠病毒传播的有效措施之一，某口罩生产厂家接到一公司的订单，生产一段时间后，还剩280万个口罩未生产，厂家因更换设备，生产效率比更换设备前提高了40%．结果刚好提前2天完成订单任务．求该厂家更换设备前和更换设备后每天各生产多少万个口罩？
考点5. 本章数学思想和解题方法
【例题8】解方程：
【例题9】若关于x的方程无解，求a的值．
情感态度与价值观教育--数学家事迹
斐波那契
斐波那契是最早应用分式方程的欧洲数学家，早在13世纪就提出了分式方程的概念。斐波那契的著作《计算之书》中给出了大量分式方程的应用问题，典型的有“分10 问题”和“分钱问题”。但《计算之书》中的所有分式方程在化整后，都没有出现增根现象，因此，斐波那契也就没有意识到分式方程增根的存在。
1850 年之后，西方许多数学著作中也出现了分式方程，但作者们往往对分式方程和分数系数方程不加区别，对增根仍视而不见。“0 能否作除数”是分式方程是否产生增根的一个重要原因。1880 年左右，分析学的严密化促使数学家们重新讨论这个问题。德国数学家利普希茨、奥地利数学家斯托尔茨等相继指出：0 不能作除数。这次大讨论在一定程度上促进了分式方程增根问题的解决。1882 年，美国康奈尔大学三位数学教授奥里佛、威特和琼斯在他们合著的《代数》中讨论了分式方程的解法，证明了下面的定理：方程两边乘同一个数，若这个数既不是未知数的函数，也不是0或无穷大，则方程的根不变。三位数学家对分式方程增根和失根问题已经有了比较清晰的认识，他们指出，在方程转化过程中，每一步都必须是正确的，并且是可逆的，否则必须将所得结果代入原方程进行检验，若有任何一步不正确或不可逆，就有可能会出现增根或失根。方程两边同时乘最简公分母显然不可逆，因此必须将所得结果代入原方程进行检验。结果若满足原方程，即为方程的根，否则就是增根。
1899 年，美国宾夕法尼亚大学教授费舍和施瓦特在他们编写的《代数基础》中给出了分式方程的一般解法：先移项，使得分式方程的一边化为0，然后进行通分、化简，再令分式的分子等于0 且分母不等于0 来求解，用这种方法解分式方程避免了增根的产生。
分式方程的增根问题，从发现到解决经历了漫长而曲折的历程，增根问题的完美解决是数学家们前赴后继、不懈追求的结果。数学家们锲而不舍、追求真理的执着精神值得我们学习。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第十五章 分式
专题15.4 分式单元基础知识归纳总结
单元课标要求
1.了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；能对简单的分式进行加、减、乘、除运算。
2. 掌握等式的基本性质；能解可化为一元一次方程的分式方程。
3. 能列分式方程解决实际问题。
单元知识点思维导图与题型方法总结
知识点1. 分式的概念
1．分式：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母且B不等于0，那么式子叫做分式．分式中，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
三个条件缺一不可：①是形如的式子；②A，B为整式；③分母B中含有字母且B≠0．
2．有意义的条件：分母B的值不为零 (B≠0) .
3.分式的值为零的条件：当分子为零，且分母不为零时，分式的值为零．(A=0且B≠0)
4. 分式的基本性质
分式的基本性质：， (M为不等于零的整式)．
5．约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．
（1）最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．
（2）注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.
（3）约分的基本步骤
1) 若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂；
2) 若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式．
6．通分： 根据分式的基本性质，使分子、分母同乘适当的整式（即最简公分母），把分母不相同的分式变成分母相同的分式，这种变形叫分式的通分.
（1）最简公分母：几个分式中，各分母的所有因式的最高次幂的积．
7. 变号法则： ．
知识点2.分式的运算
1．分式的加减法：
（1）同分母分式相加减法则：同分母的分式相加减,分母不变，把分子相加减.用字母表示为
(c≠0)
（2）异分母分式相加减法则：异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为
±＝.(bd≠0)
2．分式的乘除法：
（1）乘法法则：两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为
（2）除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.或者说除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数。
÷＝·＝.(bcd≠0)
3. 分式的乘方：. (n为整数，b≠0)
4.分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算，如果有括号，先算括号里面的．
①实数的各种运算律也适用于分式的运算；
②分式运算的结果要化成最简分式或整式．
重点题型：分式的化简求值注意事项
1.分式的化简求值：分式通过化简后，代入适当的值解决问题，注意代入的值要使分式的分母不为0．灵活应用分式的基本性质，对分式进行通分和约分，一般要先分解因式．化简求值时，一要注意整体思想，二要注意解题技巧，三要注意代入的值要使分式有意义．
2.分式的自选代值：分式的化简求值题型中，自选代值多会设“陷阱”，因此代值时要注意：当分式运算中不含除法运算时，自选字母的值要使原分式的分母不为0；当分式运算中含有除法运算时，自选字母的值不仅要使原分式的分母不为0，还要使除式不为0．
知识点3.分式方程
1.分式方程定义及其特征
（1）分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
（2）分式方程的重要特征：
①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程。
2．分式方程的解法
(1)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
(2)解这个整式方程.
(3)把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去.
拓展：分式方程的特殊解法——换元法
换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。
注意增根问题：
使分式方程的最简公分母为0的根。
（1）产生增根的原因：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，将其转化为整式方程后没有此条件限制了．
（2）分式方程的增根与无解的区别：分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解．分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．
3. 分式方程应用
一审：审清题意，弄清已知量和未知量；
二找：找出等量关系；
三设：设未知数；
四列：列出分式方程；
五解：解这个方程；
六验：检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际问题的要求（双检验）；
七答：写出答案．
在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找“等量关系”，进而列出分式方程，求解时注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义．
单元考点例题讲析
考点1. 分式的有关概念
【例题1】若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣5 B．x≠0 C．x≠5 D．x＞﹣5
【答案】A
【解析】根据分式成立的条件列不等式求解．
解：根据分式成立的条件，可得：x+5≠0，
∴x≠﹣5。
【归纳总结】分式有意义的条件是分母不为0，分式无意义的条件是分母的值为0；分式的值为0的条件是：分子为0而分母不为0.
考点2. 分式的性质及有关计算
【例题2】在学完分式的基本性质后，王老师让同桌之间交流一下，看看对这部分知识的理解情况，下面是两位同学的对话：
小亮说：“”，
小红说：“”。
它们互相批评对方不对，于是请邻座小华评判，她说他们两人都对。聪明的同学们，请你们给判断一下他们三人谁对谁错。
【答案】见解析。
【解析】他们三人中小红说的对，小亮和小华说的不对。小亮认为正确，是在分式的分子、分母上同时乘，但他忽略了限制条件，缺少这一条件，该等式不成立；而小红认为正确，是在分式的分子、分母上同时除以，尽管题中没有写明条件，但这一条件实际隐含于分式有意义中，所以不用特别指出。因此他们三人中，小红说得对，小华和小亮说得不对。
【例题3】化简：1﹣÷＝ ．
【答案】．
【解析】1﹣÷＝1﹣ ＝1﹣＝
【例题4】先化简，再求值：，其中．
【答案】x+2，4
【解析】先运用分式除法法则和乘法法则计算，再合并同类项．
=
=x+3-1
=x+2．
当x=2时，
原式=2+2=4．
【点睛】此题考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的四则运算法则．
【例题5】先化简，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为a的值代入求值．
【答案】2（a-3），当a=0时，原式=-6；当a=1时，原式=-4．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件确定a的值，继而代入计算可得答案．
=
=
=
=
=2（a-3），
∵a≠3且a≠-1，
∴a=0，a=1，
当a=0时，原式=2×（0-3）=-6；
当a=1时，原式=2×（1-3）=-4．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
【归纳总结】对于一个分式，如果给出其中字母的取值，我们可以先将分式进行化简，再把字母取值代入，即可求出分式的值.但对于某些分式的求值问题，却没有直接给出字母的取值，而只是给出字母满足的条件，这样的问题较复杂，需要根据具体情况选择适当的方法.
考点3. 分式方程的解法
【例题6】小明解分式方程的过程下．
解：去分母，得 ．①
去括号，得 ．②
移项、合并同类项，得 ．③
化系数为1，得 ．④
以上步骤中，开始出错的一步是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【答案】B
【解析】写出分式方程的正确解题过程即可作出判断．
，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得，
合并同类项，得 ，
∴以上步骤中，开始出错一步是②．
故选：B
【点睛】此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
【归纳总结】解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
考点4. 分式方程的应用
【例题7】科学规范戴口罩是阻断新冠病毒传播的有效措施之一，某口罩生产厂家接到一公司的订单，生产一段时间后，还剩280万个口罩未生产，厂家因更换设备，生产效率比更换设备前提高了40%．结果刚好提前2天完成订单任务．求该厂家更换设备前和更换设备后每天各生产多少万个口罩？
【答案】该厂家更换设备前每天生产口罩40万只，更换设备后每天生产口罩56万只．
【解析】【分析】设该厂家更换设备前每天生产口罩x万只，则该厂家更换设备后每天生产口罩（1+40%）x万只，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合提前2天完成订单任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
设该厂家更换设备前每天生产口罩x万只，则该厂家更换设备后每天生产口罩（1+40%）x万只，
依题意得：，
解得：x=40，
经检验，x=40是原方程的解，且符合题意．
答：该厂家更换设备前每天生产口罩40万只，更换设备后每天生产口罩56万只．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
考点5. 本章数学思想和解题方法
【例题8】解方程：
【答案】
【解析】去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
方程两边乘，得：，
解得：，
检验：当时，．
∴是原分式方程的解．
【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
【例题9】若关于x的方程无解，求a的值．
【答案】，或．
【解析】原方程化为，①
∵原方程无解，∴或，，
得，分别代入①，得，，
综上知，或．
【归纳总结】已知字母之间的关系式，求分式的值时，可以先用含有一个字母的代数式来表示另一个字母，然后把这个关系式代入到分式中即可求出分式的值.这种方法即是主元法，此方法是在众多未知元之中选取某一元为主元，其余视为辅元.那么这些辅元可以用含有主元的代数式表示，这样起到了减元之目的，或者将题中的几个未知数中，正确选择某一字母为主元，剩余的字母视为辅元，达到了化繁入简之目的，甚至将某些数字视为主元，字母变为辅元，起到化难为易的作用.
情感态度与价值观教育--数学家事迹
斐波那契
斐波那契是最早应用分式方程的欧洲数学家，早在13世纪就提出了分式方程的概念。斐波那契的著作《计算之书》中给出了大量分式方程的应用问题，典型的有“分10 问题”和“分钱问题”。但《计算之书》中的所有分式方程在化整后，都没有出现增根现象，因此，斐波那契也就没有意识到分式方程增根的存在。
1850 年之后，西方许多数学著作中也出现了分式方程，但作者们往往对分式方程和分数系数方程不加区别，对增根仍视而不见。“0 能否作除数”是分式方程是否产生增根的一个重要原因。1880 年左右，分析学的严密化促使数学家们重新讨论这个问题。德国数学家利普希茨、奥地利数学家斯托尔茨等相继指出：0 不能作除数。这次大讨论在一定程度上促进了分式方程增根问题的解决。1882 年，美国康奈尔大学三位数学教授奥里佛、威特和琼斯在他们合著的《代数》中讨论了分式方程的解法，证明了下面的定理：方程两边乘同一个数，若这个数既不是未知数的函数，也不是0或无穷大，则方程的根不变。三位数学家对分式方程增根和失根问题已经有了比较清晰的认识，他们指出，在方程转化过程中，每一步都必须是正确的，并且是可逆的，否则必须将所得结果代入原方程进行检验，若有任何一步不正确或不可逆，就有可能会出现增根或失根。方程两边同时乘最简公分母显然不可逆，因此必须将所得结果代入原方程进行检验。结果若满足原方程，即为方程的根，否则就是增根。
1899 年，美国宾夕法尼亚大学教授费舍和施瓦特在他们编写的《代数基础》中给出了分式方程的一般解法：先移项，使得分式方程的一边化为0，然后进行通分、化简，再令分式的分子等于0 且分母不等于0 来求解，用这种方法解分式方程避免了增根的产生。
分式方程的增根问题，从发现到解决经历了漫长而曲折的历程，增根问题的完美解决是数学家们前赴后继、不懈追求的结果。数学家们锲而不舍、追求真理的执着精神值得我们学习。
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