中小学教育资源及组卷应用平台
2024--2025学年度人教版数学九年级上册学讲练测讲义
第二十一章 一元二次方程
专题21.2 解一元二次方程
课节学习目标
1. 会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.
2. 运用开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p (p≥0)的方程.
3. 了解配方的概念.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.
4. 经历求根公式的推导过程.会用公式法解简单系数的一元二次方程.
5. 理解并会计算一元二次方程根的判别式.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
6. 理解用因式分解法解方程的依据.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.
7. 会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.
课节知识点解读
知识点. 一元二次方程的解法
有直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。
（1）直接开方法。适用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。
（2）配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是：
①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；
②移项——把常数项移项到等号的右边；
③配方——两边同时加上b2，把左边配成x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形式；
④开方，即降次；
⑤解一次方程。
（3）公式法。当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为：
的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
①b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根。
，
②b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。
③b2-4ac＜0时，方程无实数根。
定义：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。
（4）因式分解法。因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。
课节知识点例题讲析
考点1. 解一元二次方程
【例题1】一元二次方程(x+2000)2＝1的解为（ ）
A．﹣1999，﹣2001 B．﹣1999 C．﹣2001 D．﹣2000
【例题2】一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化为（ ）
A．（y+）2=1 B．（y﹣）2=1 C．（y+）2= D．（y﹣）2=
【例题3】解方程：x2﹣2x﹣1=0．
【例题4】方程2x2+1=3x解为________．
考点2. 一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式的应用
【例题5】 （2023吉林省）一元二次方程根的判别式的值是（ ）
A. 33 B. 23 C. 17 D.
【例题6】 （2023四川广元）关于x的一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
【例题7】（2023江苏扬州）关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
深化对课节知识点理解的试题专炼
1．有下列方程：
①x2-2x=0； ②9x2-25=0； ③(2x-1)2=1； ④．
其中能用直接开平方法做的是( )
A． B． C． D．
2. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（ ）
A. B. C. D.
3．用配方法解方程，变形结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（ ）
A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3
5．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则k的值为（ ）
A． B． C．2或3 D．或
6. 对于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，则它根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．两根之和是3
C．两根之积是﹣2 D．有两个不相等的实数根
7．关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（ ）
A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3
8．如果关于x的方程（m﹣1）x3﹣mx2+2＝0是一元二次方程，那么此方程的根是_____．
9．如果一元二次方程x2﹣4x+k＝0经配方后，得（x﹣2）2＝1，那么k＝_____．
10. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则________．
11.设与为一元二次方程的两根，则的值为______．
12．若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是 ．
13．关于x的一元二次方程kx2﹣x+2=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是_____．
14．解方程：(x+5)2+16=80；
15.解方程：．
16. 解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．
17．选择因式分解方法解方程3x（x﹣1）＝2﹣2x
18.用公式法解下列方程.
（1）；（2）；（3）.
19.我们知道，那么就可转化
为，请你用上面的方法解下列方程：
（1）；（2）；（3）.
20.用指定的方法解下列方程：
（1）4（x﹣1）2﹣36＝0（直接开平方法）
（2）2x2﹣5x+1＝0 （配方法）
（3）（x+1）（x﹣2）＝4（公式法）
（4）2（x+1）﹣x（x+1）＝0（因式分解法）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2024--2025学年度人教版数学九年级上册学讲练测讲义
第二十一章 一元二次方程
专题21.2 解一元二次方程
课节学习目标
1. 会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.
2. 运用开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p (p≥0)的方程.
3. 了解配方的概念.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.
4. 经历求根公式的推导过程.会用公式法解简单系数的一元二次方程.
5. 理解并会计算一元二次方程根的判别式.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
6. 理解用因式分解法解方程的依据.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.
7. 会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.
课节知识点解读
知识点. 一元二次方程的解法
有直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。
（1）直接开方法。适用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。
（2）配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是：
①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；
②移项——把常数项移项到等号的右边；
③配方——两边同时加上b2，把左边配成x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形式；
④开方，即降次；
⑤解一次方程。
（3）公式法。当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为：
的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
①b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根。
，
②b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。
③b2-4ac＜0时，方程无实数根。
定义：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。
（4）因式分解法。因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。
课节知识点例题讲析
考点1. 解一元二次方程
【例题1】一元二次方程(x+2000)2＝1的解为（ ）
A．﹣1999，﹣2001 B．﹣1999 C．﹣2001 D．﹣2000
【答案】A
【解析】（x+2000）2=1
x+2000=±1，
所以x1=-2001，x2=-1999．
【例题2】一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化为（ ）
A．（y+）2=1 B．（y﹣）2=1 C．（y+）2= D．（y﹣）2=
【答案】B．
【解析】y2﹣y﹣=0
y2﹣y=
y2﹣y+=1
（y﹣）2=1
【例题3】解方程：x2﹣2x﹣1=0．
【答案】x1=1+，x2=1﹣．
【解析】a=1，b=﹣2，c=﹣1，
△=b2﹣4ac=4+4=8＞0，
方程有两个不相等的实数根，
x===1，
则x1=1+，x2=1﹣．
【例题4】方程2x2+1=3x解为________．
【答案】
【解析】先移项，再利用因式分解法解答，即可求解．
移项得：，
∴，
∴或，
解得：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键．
考点2. 一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式的应用
【例题5】 （2023吉林省）一元二次方程根的判别式的值是（ ）
A. 33 B. 23 C. 17 D.
【答案】C
【解析】直接利用一元二次方程根的判别式求出答案．
∵，，，
∴．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，正确记忆公式是解题关键．
【例题6】 （2023四川广元）关于x的一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
【答案】C
【解析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得．
，
其中，，，
∴，
∴方程没有实数根．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
【例题7】（2023江苏扬州）关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
【答案】k＜1．
【解析】由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
∵关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，
∴△=，
解得：，
故答案为.
【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式．熟知“在一元二次方程中，若方程有两个不相等的实数根，则△=”是解答本题的关键.
深化对课节知识点理解的试题专炼
1．有下列方程：
①x2-2x=0； ②9x2-25=0； ③(2x-1)2=1； ④．
其中能用直接开平方法做的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】①x2-2x=0，因式分解法；
②9x2-25=0，直接开平方法；
③(2x-1)2=1，直接开平方法；
④，直接开平方法，
则能用直接开平方法做的是②③④.
2. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
x2-2x=2，
x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3．
3．用配方法解方程，变形结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据配方法的定义,将方程的二次项系数化为1, 得：
，配方得，
即:．
4．关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（ ）
A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3
【答案】C．
【解析】x2﹣4x+3=0，
分解因式得：（x﹣1）（x﹣3）=0，
解得：x1=1，x2=3
5．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则k的值为（ ）
A． B． C．2或3 D．或
【答案】A
【解析】∵方程有两个相等的实根，
∴△=k2-4×2×3=k2-24=0，
解得：k=．
6. 对于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，则它根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．两根之和是3
C．两根之积是﹣2 D．有两个不相等的实数根
【答案】A
【解析】根据方程的系数结合根的判别式△＝b2﹣4ac，即可求出△＝﹣23＜0，进而可得出该方程没有实数根（若方程有实数根，再利用根与系数的关系去验证B，C两个选项）．
∵a＝2，b＝﹣3，c＝4，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×4＝﹣23＜0，
∴一元二次方程2x2﹣3x+4＝0没有实数根．
7．关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（ ）
A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3
【答案】C
【解析】x2-4x+3=0，
分解因式得：（x-1）（x-3）=0，
解得：x1=1，x2=3
8．如果关于x的方程（m﹣1）x3﹣mx2+2＝0是一元二次方程，那么此方程的根是_____．
【答案】
【解析】直接利用一元二次方程的定义得出m的取值范围，再代入方程解方程即可．
由题意得：，
∴m=1，
原方程变为：﹣x2+2=0，
x=
9．如果一元二次方程x2﹣4x+k＝0经配方后，得（x﹣2）2＝1，那么k＝_____．
【答案】3
【解析】x2﹣4x=﹣k，
x2﹣4x+4=4﹣k，
（x﹣2）2=4﹣k，
所以4﹣k=1，
解得：k=3．
10. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则________．
【答案】2
【解析】由方程有两个相等的实数根可知，利用根的判别式等于0即可求m的值，
由题意可知：
，，
，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式求参数：方程有两个不相等的实数根时，；方程有两个相等的实数根时，；方程无实数根时，等知识．会运用根的判别式和准确的计算是解决本题的关键．
11.设与为一元二次方程的两根，则的值为______．
【答案】20
【解析】利用公式法求得一元二次方程的根，再代入求值即可；
∵
△=9-4=5＞0，
∴，，
∴=，
故答案为：20；
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握公式法解一元二次方程是解题关键．
12．若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是 ．
【答案】a≥﹣1．
【解析】此题考查了根的判别式，注意本题分a=0与a≠0两种情况讨论是解决本题的关键．并且利用了一元二次方程若有实数根则应有△≥0．
当a=0时，方程是一元一次方程，有实数根，
当a≠0时，方程是一元二次方程，
若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，
则△=[2（a+2）]2﹣4a a≥0，
解得：a≥﹣1．
13．关于x的一元二次方程kx2﹣x+2=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是_____．
【答案】且k≠0
【解析】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴
解得：﹣≤k＜且k≠0
故答案为﹣≤k＜且k≠0．
14．解方程：(x+5)2+16=80；
【答案】x1=-13，x2=3
【解析】（x+5）2+16=80，
移项，得（x+5）2=64，
∴x+5=±8，∴x=-5±8，
∴x1=-13，x2=3。
15.解方程：．
【答案】，
【解析】首先将方程进行因式分解，然后根据因式分解的结果求出方程的解．
∴或
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法求解方程．
16. 解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．
【答案】x1=3或x2=．
【解析】移项后提取公因式x﹣3后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可．
2（x﹣3）=3x（x﹣3），
移项得：2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，
整理得：（x﹣3）（2﹣3x）=0，
x﹣3=0或2﹣3x=0，
解得：x1=3或x2=．
17．选择因式分解方法解方程3x（x﹣1）＝2﹣2x
【答案】x1＝1，x2＝﹣．
【解析】3x(x﹣1)+2(x﹣1)＝0,
(x﹣1)(3x+2)＝0,
x﹣1＝0或3x+2＝0,
所以x1＝1,x2＝﹣．
18.用公式法解下列方程.
（1）；（2）；（3）.
【答案】见解析
【解析】用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后正确代入求根公式
，即可.
（1），，,
∴,
∴,
∴，．
（2）将方程化为一般形式，
∴，，,
∴,
∴，∴，．
（3），，,
∴，
∵在实数范围内，负数不能开平方，∴此方程无实数根．
19.我们知道，那么就可转化
为，请你用上面的方法解下列方程：
（1）；（2）；（3）.
【答案】（1），.
（2），.
（3），.
【解析】（1）∵，∴，
∴或，∴，.
（2）∵，∴，
∴或，∴，.
（3）∵，∴，
∴或，∴，.
20.用指定的方法解下列方程：
（1）4（x﹣1）2﹣36＝0（直接开平方法）
（2）2x2﹣5x+1＝0 （配方法）
（3）（x+1）（x﹣2）＝4（公式法）
（4）2（x+1）﹣x（x+1）＝0（因式分解法）
【答案】见解析。
【解析】（1）方程变形后，利用平方根的定义开方即可求出解；
（2）方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方即可求出解；
（3）方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，当根的判别式大于等于0时，代入求根公式即可求出解；
（4）方程左边提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
解：（1）方程变形得：（x﹣1）2＝9，
开方得：x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，
解得：x1＝4，x2＝﹣2；
（2）方程变形得：x2x，
配方得：x2x（x）2，
开方得：x±，
则x1，x2；
（3）方程整理得：x2﹣x﹣6＝0，
这里a＝1，b＝﹣1，c＝﹣6，
∵△＝1+24＝25，
∴x，
则x1＝3，x2＝﹣2；
（4）分解因式得：（x+1）（2﹣x）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝2．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
