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2024--2025学年度人教版数学九年级上册学讲练测讲义
第二十一章 一元二次方程
专题21.3 韦达定理（拓展）
课节学习目标
1.探索一元二次方程的根与系数的关系.
2.不解方程,利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.
课节知识点解读
韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）
如果方程的两个实数根是，那么，。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
课节知识点例题讲析
【例题1】若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，则+的值是（ ）
A． B．﹣ C．﹣ D．
【答案】C．
【解析】∵α、β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，
∴α+β=﹣，αβ=﹣3，
∴+====﹣．
【例题2】 （2023内蒙古包头）若是一元二次方程的两个实数根，则________．
【答案】##
【解析】由一元二次方程的根与系数的关系得，，，然后代入求解即可．
由一元二次方程的根与系数的关系得，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于熟练掌握：一元二次方程的两个实数根，满足，．
【例题3】（2023湖北天门）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值．
【答案】（1）证明见解析 （2）的值为1或
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）∵的两个实数根为，
∴．
∵，
∴，．
∴．
即．
解得或．
∴的值为1或．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
深化对课节知识点理解的试题专炼
1． 已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x12+x22＝5，则k的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
【答案】D
【解析】利用根与系数的关系得出x1+x2＝k，x1x2＝k﹣3，进而得出关于k的一元二次方程求出即可．
∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝k，x1x2＝k﹣3，
∵x12+x22＝5，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，
∴k2﹣2（k﹣3）＝5，
整理得出：k2﹣2k+1＝0，
解得：k1＝k2＝1．
2.若关于的一元二次方程的两个实数根分别是,且满足.则的值为（ ）
A．－1或 B．－1 C． D．不存在
【答案】C注意:的值不仅须满足,更须在一元二次方程有根的大前提下才有意义,即的值必须使得△才可以.)
【解析】由一元二次方程根与系数的关系可得：，
∵，∴，解得，.
当时,△＝,此时方程无实数根,故不合题意,舍去.
当时,△＝,故 符合题意.综上所述,.故选C.
3. 设x1、x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1+x2的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3
【答案】C
【解析】根据一元二次方程的根与系数的关系x1+x2＝﹣可以直接求得x1+x2的值．
∵一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一次项系数是a＝1，二次项系数b＝2，
∴由韦达定理，得
x1+x2＝2．
4．已知x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，则x1﹣x1x2+x2的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
【解析】∵x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，
∴x1+x2=﹣=﹣，x1 x2==﹣2，
∴x1﹣x1x2+x2=﹣﹣（﹣2）=．
5. 已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（ ）
A. 7 B. C. 6 D.
【答案】B
【解析】根据根与系数关系求出=3，a=3，再求代数式的值即．
∵一元二次方程的两根分别记为，，
∴+=2，
∵，
∴=3，
∴·=-a=-3，
∴a=3，
∴．故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数式的值是解题关键．
6．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，则（x12+2）（x22+2）的值是（ ）
A．8 B．32 C．8或32 D．16或40
【答案】C
【解析】根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2＝﹣2m，x1 x2＝m2﹣m＝2，进而求得m＝2或m＝﹣1，从而求得x1+x2＝﹣4或2，把原式变形，代入计算即可．
关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，
则x1+x2＝﹣2m，x1 x2＝m2﹣m＝2，
∴m2﹣m﹣2＝0，解得m＝2或m＝﹣1，
∴x1+x2＝﹣4或2，
（x12+2）（x22+2）
＝（x1x2）2+2（x1+x2）2﹣4x1x2+4，
当x1+x2＝﹣4时，原式＝22+2×（﹣4）2﹣4×2+4＝32；
当x1+x2＝2时，原式＝22+2×22﹣4×2+4＝8．
7．已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣5x1﹣2x2的值为（ ）
A．﹣7 B．﹣3 C．2 D．5
【答案】A
【解析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解，可得出x12﹣3x1＝﹣1，x1+x2＝3，将其代入变形后的代数式中即可求出结论．
∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，
∴x12﹣3x1＝﹣1，x1+x2＝3，
∴x12﹣5x1﹣2x2＝x12﹣3x1﹣2（x1+x2）＝﹣1﹣2×3＝﹣7．
8． 已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则（ ）
A．x1+x2＜0 B．x1x2＜0 C．x1x2＞﹣1 D．x1x2＜1
【答案】D
【解析】根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4m＞0，解得m＜1，再利用根与系数的关系得到x1+x2＝2，x1x2＝m，然后对各选项进行判断．
根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m＞0，解得m＜1，
所以x1+x2＝2，x1x2＝m＜1．
9. （2023湖南岳阳）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数_________．
【答案】3
【解析】利用一元二次方程有两个不相等的实数根求出m的取值范围，由根与系数关系得到，代入，解得的值，根据求得的m的取值范围，确定m的值即可．
【详解】∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
∵，，
∴，
解得（不合题意，舍去），
∴
故答案为：3
【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系的内容是解题的关键．
10. （2023湖北黄冈）已知一元二次方程两个实数根为，若，则实数_____．
【答案】
【解析】根据一元二次方程的根与系数的关系，得出，代入已知等式，即可求解．
∵一元二次方程的两个实数根为，
∴
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
11．关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=4，则x12﹣x1x2+x22的值是_____．
【答案】4
【解析】根据根与系数的关系结合x1+x2=x1 x2可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，再根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，从而可确定k的值．
∵x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，
∴x1+x2=2k，x1 x2=k2﹣k，
∵x12+x22=4，
∴（x1+x2）2-2x1x2=4，
（2k）2﹣2（k2﹣k）=4，
2k2+2k﹣4=0，
k2+k﹣2=0，
k=﹣2或1，
∵△=（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k）≥0，
k≥0，
∴k=1，
∴x1 x2=k2﹣k=0，
∴x12﹣x1x2+x22=4﹣0=4
12. 已知是一元二次方程的两个根，则__________．
【答案】
【解析】运用一元二次方程根与系数的关系求解即可．
∵是一元二次方程的两个根，
根据根与系数的关系得：，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟知是解题关键．
13．已知实数a、b满足+|b+3|＝0，若关于x的一元二次方程x2﹣ax+b＝0的两个实数根分别为x1、x2，则+＝ ．
【答案】﹣．
【解析】根据非负数的性质得出a＝2，b＝3，根据根与系数的关系可得x1+x2＝2，x1 x2＝3，将+变形为，整体代入即可求得．
∵实数a、b满足+|b+3|＝0，
∴a＝2，b＝﹣3，
∵关于x的一元二次方程x2﹣ax+b＝0的两个实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝a＝2，x1 x2＝b＝﹣3，
∴+＝＝﹣．
14. 设是关于x的方程的两个根，且，则_______．
【答案】2
【解析】先利用根与系数的关系中两根之和等于3，求出该方程的两个根，再利用两根之积得到k的值即可．由根与系数的关系可得：，，
∵，
∴，∴，∴，
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系，解决本题的关键是牢记公式，即对于一元二次方程，其两根之和为 ，两根之积为．
15. 已知一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，则+的值为 ．
【答案】．
【解析】由根与系数的关系可求得m+n和mn的值，代入求值即可．
∵一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，
∴m+n＝﹣1，mn＝﹣2021，
∴+＝＝＝．
16．一元二次方程的两根为，则_____
【答案】
【解析】根据根与系数的关系表示出和即可；
∵，∴，，，
∴，，
∴
=
=．
17. 已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．
【答案】见解析。
【解析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，然后解关于m的不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，利用整体代入的方法得到m2﹣m﹣6＝0，然后解关于m的方程即可．
【解答】（1）根据题意得Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，
解得m≤0．
故m的取值范围是m≤0；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，
∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1 x2＝12，
∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，即m2﹣m﹣6＝0，
解得m1＝﹣2，m2＝3（舍去）．
故m的值为﹣2．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．
（1）若x1＝1，求x2及m的值；
（2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析。
【解析】（1）先利用判别式的意义得到m≤5，再利用根与系数的关系得到x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1，然后利用x1＝1可求出x2和m的值；
（2）利用（x1﹣1）（x2﹣1）＝得到2m﹣1﹣6＝，整理得m2﹣8m+12＝0，解得m1＝2，m2＝6，然后利用m的范围确定m的值．
解：（1）根据题意得△＝（﹣6）2﹣4（2m﹣1）≥0，解得m≤5，
x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1，
∵x1＝1，
∴1+x2＝6，x2＝2m﹣1，
∴x2＝5，m＝3；
（2）存在．
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝，
∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝，
即2m﹣1﹣6＝，
整理得m2﹣8m+12＝0，解得m1＝2，m2＝6，
∵m≤5且m≠5，
∴m＝2．
19. 已知关于x方程有两实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值．
【答案】（1）k≤3；（2）．
【解析】（1）根据方程有两个实数根得出△＝≥0，解之可得．
（2）利用根与系数的关系可用k表示出x1＋x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍．
解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴△≥0，即≥0，
解得：k≤3，
故k的取值范围为：k≤3．
（2）由根与系数的关系可得，
由可得，
代入x1＋x2和x1x2值，可得：
解得：，（舍去），
经检验，是原方程的根，
故．
【点睛】考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根以及根与系数的关系，也考查了解一元二次方程和分式方程，注意分式方程要验根．
20. 已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
【答案】（1）k； （2）k=3
【解析】（1）∵一元二次方程有实数根．
∴ 0，即32-4（k-2）0，
解得k
（2）∵方程的两个实数根分别为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得k=3．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键．
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第二十一章 一元二次方程
专题21.3 韦达定理（拓展）
课节学习目标
1.探索一元二次方程的根与系数的关系.
2.不解方程,利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.
课节知识点解读
韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）
如果方程的两个实数根是，那么，。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
课节知识点例题讲析
【例题1】若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，则+的值是（ ）
A． B．﹣ C．﹣ D．
【例题2】 （2023内蒙古包头）若是一元二次方程的两个实数根，则________．
【例题3】（2023湖北天门）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值．
深化对课节知识点理解的试题专炼
1． 已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x12+x22＝5，则k的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
2.若关于的一元二次方程的两个实数根分别是,且满足.则的值为（ ）
A．－1或 B．－1 C． D．不存在
3. 设x1、x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1+x2的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3
4．已知x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，则x1﹣x1x2+x2的值是（ ）
A． B． C． D．
5. 已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（ ）
A. 7 B. C. 6 D.
6．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，则（x12+2）（x22+2）的值是（ ）
A．8 B．32 C．8或32 D．16或40
7．已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣5x1﹣2x2的值为（ ）
A．﹣7 B．﹣3 C．2 D．5
8． 已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则（ ）
A．x1+x2＜0 B．x1x2＜0 C．x1x2＞﹣1 D．x1x2＜1
9. （2023湖南岳阳）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数_________．
10. （2023湖北黄冈）已知一元二次方程两个实数根为，若，则实数_____．
11．关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=4，则x12﹣x1x2+x22的值是_____．
12. 已知是一元二次方程的两个根，则__________．
13．已知实数a、b满足+|b+3|＝0，若关于x的一元二次方程x2﹣ax+b＝0的两个实数根分别为x1、x2，则+＝ ．
14. 设是关于x的方程的两个根，且，则_______．
15. 已知一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，则+的值为 ．
16．一元二次方程的两根为，则_____
17. 已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．
（1）若x1＝1，求x2及m的值；
（2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
19. 已知关于x方程有两实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值．
20. 已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
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