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2024--2025学年度人教版数学九年级上册学讲练测讲义
第二十一章 一元二次方程
专题21.1 一元二次方程
课节学习目标
1.正确理解一元二次方程的意义，并能判断一个方程是否是一元二次方程；
2.知道一元二次方程的一般形式是是常数，） ，能说出二次项及其系数，一次项及其系数和常数项；
3.理解并会用一元二次方程一般形式中a≠0这一条件；
4.能利用一元二次方程的根的定义解决一些问题。
课节知识点解读
知识点1. 一元二次方程的概念
只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这
样的方程叫做一元二次方程．
知识点2. 一元二次方程的一般形式
ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)
（1）二次项为： ax2
（2）二次项系数为：a
（3）一次项为： bx
（4）一次项系数为：b
（5）常数项为：c
知识点3.一元二次方程的根
能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的解。只含有一个未知数的方程的解也叫做根。使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
温馨提醒：
1.与一元二次方程的定义有关问题解题要领
抓住一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．
2.与一元二次方程的根有关问题解题要领
紧扣一元二次方程的概念，方程的解（根）直接代入方程中，等式成立，化简变形求解。
课节知识点例题讲析
考点1.一元二次方程的定义
【例题1】若方程是关于x的一元二次方程，则m =（ ）
A．0 B．2 C．－2 D．± 2
【答案】B
【解析】∵是关于x的一元二次方程，
∴m+2≠0, =2,解得:m=2
【例题2】已知(m－3)x2＋m x＝1+2mx2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是( )
A．m≠-3 B．m≥3
C．m≥－2 D．m≥－2且m≠3
【答案】A
【解析】将原来方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数不能等于0.
(m－3)x2＋m x＝1+2mx2
化为一般形式(m+3)x2-m x+1＝0
所以(m+3) ≠0
m ≠-3
考点2. 一元二次方程的一般形式
【例题3】方程（3x+2）（2x﹣3）＝5化为一般形式是 ．
【答案】6x2﹣5x﹣11＝0
【解析】一元二次方程的一般式：ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）．ax2叫二次项，a叫二次项系数；bx叫一次项，b叫一次项系数；c叫常数项．把方程（3x+2）（2x﹣3）＝5先去括号，再移项，最后合并即可．
（3x+2）（2x﹣3）＝5，
去括号：6x2﹣9x+4x﹣6＝5，
移项：6x2﹣9x+4x﹣6﹣5＝0，
合并同类项：6x2﹣5x﹣11＝0．
故一般形式为：6x2﹣5x﹣11＝0
【例题4】一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】一元二次方程的二次项系数是3，一次项系数-4，常数项-5．
考点3. 一元二次方程的根
【例题5】已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则m的值为（ ）
A. 4 B. ﹣4 C. 3 D. ﹣3
【答案】B
【解析】把x=1代入x2+mx+3=0得：1+m+3=0，
解得m=﹣4．
【例题6】若a是方程2x2+x﹣2＝0的根，则代数式2023﹣a2a的值是 ．
【答案】2022
【解析】∵a是方程2x2+x﹣2＝0的根，
∴2a2+a＝2，
∴2023﹣a2-a＝2023-（2a2+a）＝20232＝2022．
深化对课节知识点理解的试题专炼
1.下列说法中，错误的有（ ）
①方程是一元二次方程
②方程是一元二次方程
③方程是一元二次方程
④方程是一元二次方程的一般形式．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】①方程是一元二次方程，故①正确，②方程是一元一次方程，故②错误，③方程是分式方程，故③错误，④方程，a≠0时，是一元二次方程的一般形式，故④错误.
2．已知一元二次方程x2+k﹣3=0有一个根为1，则k的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
【答案】B．
【解析】根据一元二次方程的解的定义，把把x=1代入方程得关于k的一次方程1﹣3+k=0，然后解一次方程即可．
把x=1代入方程得1+k﹣3=0，
解得k=2．
3.关于x的方程（m+1）+4x+2=0是一元二次方程，则m的值为（ ）
A．m1=﹣1，m2=1 B．m=1 C．m=﹣1 D．无解
【答案】B
【解析】根据一元二次方程未知数项的最高次数是2，可得m2＋1＝2且m＋1≠0，计算即可求解.
因为一元二次方程的最高次数是2，所以m2＋1＝2，解得m＝﹣1或1，又因为m＋1≠0，即m≠﹣1，所以m＝1，故选B.
4．若方程是关于x的一元二次方程，则m =（ ）
A．0 B．2 C．－2 D．± 2
【答案】B
【解析】∵是关于x的一元二次方程，
∴m+2≠0, =2,解得:m=2
5．某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为( )
A． x(x－10)＝200 B． 2x＋2(x－10)＝200
C． x(x＋10)＝200 D． 2x＋2(x＋10)＝200
【答案】C
【解析】∵花圃的长比宽多10米，花圃的宽为x米，
∴长为(x＋10)米，
∵花圃的面积为200，
∴可列方程为x(x＋10)＝200．
6. 已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为 ．
【答案】﹣3．
【解析】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，
整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=﹣3，
因为k≠0，
所以k的值为﹣3．
7. 若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是_______．
【答案】1
【解析】根据一元二次方程解的定义把代入到进行求解即可．
∵关于x的一元二次方程的一个解是，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．
8．方程是一元二次方程，则m=_____．
【答案】-2
【解析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，未知数的次数为2，可得，可求得m=-2.故答案为：-2
9.将方程3x（x﹣1）＝2（x+2）化成ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式为 ．
【答案】3x2﹣5x﹣4＝0
【解析】3x（x﹣1）＝2（x+2），
3x2﹣3x＝2x+4，
3x2﹣3x﹣2x﹣4＝0，
3x2﹣5x﹣4＝0．
10.方程（3x+2）（2x﹣3）＝5化为一般形式是 ；其中二次项系数是 ．
【答案】6x2﹣5x﹣11＝0；6．
【解析】一元二次方程的一般式：ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）．ax2叫二次项，a叫二次项系数；bx叫一次项，b叫一次项系数；c叫常数项．把方程（3x+2）（2x﹣3）＝5先去括号，再移项，最后合并即可．
解：（3x+2）（2x﹣3）＝5，
去括号：6x2﹣9x+4x﹣6＝5，
移项：6x2﹣9x+4x﹣6﹣5＝0，
合并同类项：6x2﹣5x﹣11＝0．
故一般形式为：6x2﹣5x﹣11＝0，
二次项系数为：6．
11. 若是方程的根，则____________．
【答案】1
【解析】本题根据一元二次方程的根的定义，把x=1代入方程得到a的值．
把x=1代入方程，得1 2+a=0，
解得a=1．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
12.学完一元二次方程后，在一次数学课上，同学们说出了一个方程的特点：
①它的一般形式为ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）
②它的二次项系数为5
③常数项是二次项系数的倒数的相反数
你能写出一个符合条件的方程吗？
【答案】这个方程是5x2－2x－=0（答案不唯一）
【解析】由（1）知这是一元二次方程，由（2）（3）可确定，而的值不唯一确定，可为任意数，熟悉一元二次方程的定义及特征是解答本题的关键．
这个方程是5x2－2x－=0.
13.已知关于的方程．
（1）为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项。
【答案】见解析
【解析】本题是含有字母系数的方程问题．根据一元一次方程和一元二次方程的定义，分别进行讨论求解.
（1）由题意得，时，即时，
方程是一元一次方程.
（2）由题意得，时，即时，方程是一元二次方程.此方程的二次项系数是、一次项系数是、常数项是.
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第二十一章 一元二次方程
专题21.1 一元二次方程
课节学习目标
1.正确理解一元二次方程的意义，并能判断一个方程是否是一元二次方程；
2.知道一元二次方程的一般形式是是常数，） ，能说出二次项及其系数，一次项及其系数和常数项；
3.理解并会用一元二次方程一般形式中a≠0这一条件；
4.能利用一元二次方程的根的定义解决一些问题。
课节知识点解读
知识点1. 一元二次方程的概念
只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这
样的方程叫做一元二次方程．
知识点2. 一元二次方程的一般形式
ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)
（1）二次项为： ax2
（2）二次项系数为：a
（3）一次项为： bx
（4）一次项系数为：b
（5）常数项为：c
知识点3.一元二次方程的根
能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的解。只含有一个未知数的方程的解也叫做根。使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
温馨提醒：
1.与一元二次方程的定义有关问题解题要领
抓住一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．
2.与一元二次方程的根有关问题解题要领
紧扣一元二次方程的概念，方程的解（根）直接代入方程中，等式成立，化简变形求解。
课节知识点例题讲析
考点1.一元二次方程的定义
【例题1】若方程是关于x的一元二次方程，则m =（ ）
A．0 B．2 C．－2 D．± 2
【例题2】已知(m－3)x2＋m x＝1+2mx2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是( )
A．m≠-3 B．m≥3
C．m≥－2 D．m≥－2且m≠3
考点2. 一元二次方程的一般形式
【例题3】方程（3x+2）（2x﹣3）＝5化为一般形式是 ．
【例题4】一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A． B． C． D．
考点3. 一元二次方程的根
【例题5】已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则m的值为（ ）
A. 4 B. ﹣4 C. 3 D. ﹣3
【例题6】若a是方程2x2+x﹣2＝0的根，则代数式2023﹣a2a的值是 ．
深化对课节知识点理解的试题专炼
1.下列说法中，错误的有（ ）
①方程是一元二次方程
②方程是一元二次方程
③方程是一元二次方程
④方程是一元二次方程的一般形式．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．已知一元二次方程x2+k﹣3=0有一个根为1，则k的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
3.关于x的方程（m+1）+4x+2=0是一元二次方程，则m的值为（ ）
A．m1=﹣1，m2=1 B．m=1 C．m=﹣1 D．无解
4．若方程是关于x的一元二次方程，则m =（ ）
A．0 B．2 C．－2 D．± 2
5．某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为( )
A． x(x－10)＝200 B． 2x＋2(x－10)＝200
C． x(x＋10)＝200 D． 2x＋2(x＋10)＝200
6. 已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为 ．
7. 若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是_______．
8．方程是一元二次方程，则m=_____．
9.将方程3x（x﹣1）＝2（x+2）化成ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式为 ．
10.方程（3x+2）（2x﹣3）＝5化为一般形式是 ；其中二次项系数是 ．
11. 若是方程的根，则____________．
12.学完一元二次方程后，在一次数学课上，同学们说出了一个方程的特点：
①它的一般形式为ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）
②它的二次项系数为5
③常数项是二次项系数的倒数的相反数
你能写出一个符合条件的方程吗？
13.已知关于的方程．
（1）为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项。
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