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2024--2025学年度人教版数学九年级上册学讲练测讲义
第二十一章 一元二次方程
专题21.5 一元二次方程单元基础知识归纳总结
单元课标要求
1. 能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程; 理解方程解的意义，经历估计方程解的过程。
2. 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。
3. 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等。
4. 了解一元二次方程的根与系数的关系。
5. 能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。
单元知识点思维导图与题型方法总结
1．一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2次的整式方程，叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0）
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
3. 一元二次方程的解法
（1）直接开平方法。解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；
（2）配方法。用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①将已知方程化为一般形式； ②化二次项系数为1； ③常数项移到右边；
④方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．
（3）求根公式法：x= HYPERLINK "http://www..cn" EMBED Equation.DSMT4
(4)因式分解法。把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
4．一元二次方程根的判别式：
(1) b2-4ac>0一元二次方程有两个不相等的实根；
(2) b2-4ac=0一元二次方程有两个相等的实数；
(3) b2-4ac<0一元二次方程没有实根．
5．一元二次方程根与系数的关系：
设关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1、x2 ， 则
x1+x2=， 即：两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数；
x1x2= ， 即：两根之积等于常数项除以二次项系数。
6. 一元二次方程在生活中的应用
列方程解应用题的一般步骤：
（1）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系．
（2）设元：就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法．
（3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题．
（4）解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性．
（5）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语．
单元考点例题讲析
考点1. 一元二次方程定义
【例题1】下列说法中，错误的有（ ）
①方程是一元二次方程
②方程是一元二次方程
③方程是一元二次方程
④方程是一元二次方程的一般形式．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2次的整式方程，叫做一元二次方程．
①方程是一元二次方程，故①正确，②方程是一元一次方程，故②错误，③方程是分式方程，故③错误，④方程，a≠0时，是一元二次方程的一般形式，故④错误.
考点2. 一元二次方程的解法
【例题2】一元二次方程（4-2x）2-36=0的解是__________．
【答案】x1=-1，x2=5
【解析】移项得：（4﹣2x）2=36，
开方得：4﹣2x=±6，
解得：x1=﹣1，x2=5．
【例题3】用配方法解方程x2﹣x﹣1＝0时，应将其变形为( )
A．(x﹣)2＝ B．(x+)2＝
C．(x﹣)2＝0 D．(x﹣)2＝
【答案】D
【解析】∵x2﹣x﹣1=0，
∴x2﹣x=1，
∴x2﹣x+=1+，
∴（x﹣）2=．
【例题4】用公式法解下列一元二次方程：
（1）3x2﹣4x+2＝0．
（2）．
【答案】（1）x1，x2．
（2）x1，x2．
【解析】（1）熟记公式x是解题的关键．
先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
3x2﹣4x+2＝0，
∵a＝3，b＝﹣4，c＝2，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×3×2＝24，
∴x，
则x1，x2．
【例题5】方程的两个根为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】将进行因式分解，，计算出答案．
∵
∴
∴．
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程
【例题6】已知在△ABC中，AB＝3，AC＝5，第三边BC的长为一元二次方程x2－6x＋8＝0的一个根，则该三角形为__________三角形．
【答案】直角
【解析】解一元二次方程x2-6x+8=0，
得，x=2或4，
∵AB=3，AC=5，
∴2＜BC＜8，
∵第三边BC的长为一元二次方程x2－6x＋8＝0的一个根，
∴BC=4，
当BC=4时，AB2+BC2=AC2，△ABC是直角三角形.
考点3. 一元二次方程的根的判别式的应用
【例题7】已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣4 B．a＞﹣4 C．a≥﹣4且a≠0 D．a＞﹣4且a≠0
【答案】D
【解析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a×（﹣1）＞0，然后求出a的范围后对各选项进行判断．
根据题意得a≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a×（﹣1）＞0，
解得a＞﹣4且a≠0．
【例题8】（2023四川广元）关于x的一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
【答案】C
【解析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得．
，
其中，，，
∴，
∴方程没有实数根．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
考点4. 一元二次方程的根与系数的关系
【例题9】已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根，满足，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）0，-2
【解析】(1)证明：∵，
∵无论为何实数，，
∴，
∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)由一元二次方程根与系数的关系得：
，，
∵，
∴，
∴，
∴，化简得：，
解得，．
【例题10】 （2023湖北宜昌）已知、是方程的两根，则代数式的值为_________．
【答案】
【解析】
根据、是一元二次方程的两个根，则有，求解即可．
由题意得
，
原式．
故答案：．
【点睛】本题考查了韦达定理，掌握定理是解题的关键．
考点5. 一元二次方程的应用
【例题11】某地区1月初疫情感染人数6万人，通过社会各界的努力，3月初感染人数减少至1万人．设1月初至3月初该地区感染人数的月平均下降率为x，根据题意列方程为（ ）
A．6（1﹣2x）＝1 B．6（1﹣x）2＝1 C．6（1+2x）＝1 D．6（1+x）2＝1
【答案】B
【解析】等量关系为：1月感染人数×（1﹣下降率）2＝3月感染人数，把相关数值代入计算即可．
设1月初至3月初该地区感染人数的月平均下降率为x，根据题意得：
6（1﹣x）2＝1
【例题12】某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为( )
A. 30（1+x）2＝50 B. 30（1﹣x）2＝50
C. 30（1+x2）＝50 D. 30（1﹣x2）＝50
【答案】A
【解析】根据题意和题目中的数据，可以得到，从而可以判断哪个选项是符合题意的．
由题意可得，
．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．
情感态度与价值观教育--数学家事迹
一元二次方程的历史
毕达哥拉斯 勒让德
一元二次方程的历史可以追溯到古希腊时期。在公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯提出了一元二次方程的解法。他的解法是基于几何构造，通过画图来找到方程的解。这种方法在当时被广泛使用，但对于一般的一元二次方程来说并不是十分有效。在公元9世纪，波斯数学家穆罕默德本· 萨卡瓦里扬提出了一种新的解法，他使用了一种称为“完全平方”的概念。他将一元二次方程转化了形式，然后通过计算平方根来求得方程的解。这种解法被认为是种重大的突破，为后来的代数学发展奠定了基础。在欧洲文艺复兴时期，一元二次方程的研究得到了进一步的发展。16世纪意大利数学家乔瓦尼·博尔塔将一元二次方程的解法系统化，提出了一种通用的求解方法。他的方法基于配方法（也称为完全平方法），通过变换方程的形式来消除二次方的系数，从而得到一个一次方程。这种方法在当时被广泛使用，并成为一元二次方程求解的标准方法。随着时间的推移，人们对一元二次方程的研究逐渐深入。17世纪法国数学家勒让德提出了一元二次方程根的公式，即著名的勒让德公式。这个公式可以求解任意一元二次方程的根，而不需要通过配方法或几何构造。到了18世纪，一元二次方程的理论已经非常完备。欧拉和拉格朗日等数学家对一元二次方程进行了深入的研究，提出了许多重要的定理和性质。他们的工作为后来的代数学发展奠定了基础，也为解决更复杂的方程提供了思路和方法。随着时间的推移，人们对一元二次方程的研究逐渐深入。17世纪法国数学家勒让德提出了一元二次方程根的公式，即著名的勒让德公式。这个公式可以求解任意一元二次方程的根，而不需要通过配方法或几何构造。在现代科学和工程中，一元二次方程仍然是一种重要的工具。它被广泛应用于物理学、经济学、计算机科学等领域，用来描述和解决各种实际问题。从弹道学到金融市场分析，一元二次方程都发挥着重要的作用。一元二次方程作为代数学中的重要概念，具有丰富的历史背景和广泛的应用价值。从古希腊到现代科学，人们对一元二次方程的研究不断深入，为数学和其他领域的发展做出了重要贡献。我们应当珍视这一概念，并努力探索更多关于一元二次方程的奥秘。
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2024--2025学年度人教版数学九年级上册学讲练测讲义
第二十一章 一元二次方程
专题21.5 一元二次方程单元基础知识归纳总结
单元课标要求
1. 能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程; 理解方程解的意义，经历估计方程解的过程。
2. 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。
3. 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等。
4. 了解一元二次方程的根与系数的关系。
5. 能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。
单元知识点思维导图与题型方法总结
1．一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2次的整式方程，叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0）
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
3. 一元二次方程的解法
（1）直接开平方法。解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；
（2）配方法。用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①将已知方程化为一般形式； ②化二次项系数为1； ③常数项移到右边；
④方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．
（3）求根公式法：x= HYPERLINK "http://www..cn" EMBED Equation.DSMT4
(4)因式分解法。把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
4．一元二次方程根的判别式：
(1) b2-4ac>0一元二次方程有两个不相等的实根；
(2) b2-4ac=0一元二次方程有两个相等的实数；
(3) b2-4ac<0一元二次方程没有实根．
5．一元二次方程根与系数的关系：
设关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1、x2 ， 则
x1+x2=， 即：两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数；
x1x2= ， 即：两根之积等于常数项除以二次项系数。
6. 一元二次方程在生活中的应用
列方程解应用题的一般步骤：
（1）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系．
（2）设元：就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法．
（3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题．
（4）解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性．
（5）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语．
单元考点例题讲析
考点1. 一元二次方程定义
【例题1】下列说法中，错误的有（ ）
①方程是一元二次方程
②方程是一元二次方程
③方程是一元二次方程
④方程是一元二次方程的一般形式．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点2. 一元二次方程的解法
【例题2】一元二次方程（4-2x）2-36=0的解是__________．
【例题3】用配方法解方程x2﹣x﹣1＝0时，应将其变形为( )
A．(x﹣)2＝ B．(x+)2＝
C．(x﹣)2＝0 D．(x﹣)2＝
【例题4】用公式法解下列一元二次方程：
（1）3x2﹣4x+2＝0．
（2）．
【例题5】方程的两个根为（ ）
A. B. C. D.
【例题6】已知在△ABC中，AB＝3，AC＝5，第三边BC的长为一元二次方程x2－6x＋8＝0的一个根，则该三角形为__________三角形．
考点3. 一元二次方程的根的判别式的应用
【例题7】已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）A．a≥﹣4 B．a＞﹣4 C．a≥﹣4且a≠0 D．a＞﹣4且a≠0
【例题8】（2023四川广元）关于x的一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
考点4. 一元二次方程的根与系数的关系
【例题9】已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根，满足，求的值．
【例题10】 （2023湖北宜昌）已知、是方程的两根，则代数式的值为_________．
考点5. 一元二次方程的应用
【例题11】某地区1月初疫情感染人数6万人，通过社会各界的努力，3月初感染人数减少至1万人．设1月初至3月初该地区感染人数的月平均下降率为x，根据题意列方程为（ ）
A．6（1﹣2x）＝1 B．6（1﹣x）2＝1 C．6（1+2x）＝1 D．6（1+x）2＝1
【例题12】某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为( )
A. 30（1+x）2＝50 B. 30（1﹣x）2＝50
C. 30（1+x2）＝50 D. 30（1﹣x2）＝50
情感态度与价值观教育--数学家事迹
一元二次方程的历史
毕达哥拉斯 勒让德
一元二次方程的历史可以追溯到古希腊时期。在公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯提出了一元二次方程的解法。他的解法是基于几何构造，通过画图来找到方程的解。这种方法在当时被广泛使用，但对于一般的一元二次方程来说并不是十分有效。在公元9世纪，波斯数学家穆罕默德本· 萨卡瓦里扬提出了一种新的解法，他使用了一种称为“完全平方”的概念。他将一元二次方程转化了形式，然后通过计算平方根来求得方程的解。这种解法被认为是种重大的突破，为后来的代数学发展奠定了基础。在欧洲文艺复兴时期，一元二次方程的研究得到了进一步的发展。16世纪意大利数学家乔瓦尼·博尔塔将一元二次方程的解法系统化，提出了一种通用的求解方法。他的方法基于配方法（也称为完全平方法），通过变换方程的形式来消除二次方的系数，从而得到一个一次方程。这种方法在当时被广泛使用，并成为一元二次方程求解的标准方法。随着时间的推移，人们对一元二次方程的研究逐渐深入。17世纪法国数学家勒让德提出了一元二次方程根的公式，即著名的勒让德公式。这个公式可以求解任意一元二次方程的根，而不需要通过配方法或几何构造。到了18世纪，一元二次方程的理论已经非常完备。欧拉和拉格朗日等数学家对一元二次方程进行了深入的研究，提出了许多重要的定理和性质。他们的工作为后来的代数学发展奠定了基础，也为解决更复杂的方程提供了思路和方法。随着时间的推移，人们对一元二次方程的研究逐渐深入。17世纪法国数学家勒让德提出了一元二次方程根的公式，即著名的勒让德公式。这个公式可以求解任意一元二次方程的根，而不需要通过配方法或几何构造。在现代科学和工程中，一元二次方程仍然是一种重要的工具。它被广泛应用于物理学、经济学、计算机科学等领域，用来描述和解决各种实际问题。从弹道学到金融市场分析，一元二次方程都发挥着重要的作用。一元二次方程作为代数学中的重要概念，具有丰富的历史背景和广泛的应用价值。从古希腊到现代科学，人们对一元二次方程的研究不断深入，为数学和其他领域的发展做出了重要贡献。我们应当珍视这一概念，并努力探索更多关于一元二次方程的奥秘。
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