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2024--2025学年度人教版数学九年级上册学讲练测讲义
第二十一章 一元二次方程
专题21.6 一元二次方程单元核心素养达标检测
（试卷满分120分，答题时间90分钟）
一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分）
1.下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x23＝0；③x2﹣4+x5＝0；④3x＝x2．其中是一元二次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
一元二次方程只有④，共1个，
2.将一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次项和常数项分别是（ ）
A．﹣4，2 B．4x，﹣2 C．﹣4x，2 D．3x2，2
【答案】C
【解析】首先把﹣4x移到等号左边，把右边化为0，然后再确定答案．
∵﹣3x2﹣2＝﹣4x，
∴﹣3x2+4x﹣2＝0，
则3x2﹣4x+2＝0
则一次项是﹣4x，常数项是2.
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
3. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
x2-2x=2，
x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
4．将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69
【答案】A
【解析】根据配方法步骤解题即可．
移项得，配方得，
即，
∴a=-4，b=21．
5. （2023内蒙古赤峰）用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上，即可求解．
移项得，
两边同时加上，即
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．
6. （2023吉林省）一元二次方程根的判别式的值是（ ）
A. 33 B. 23 C. 17 D.
【答案】C
【解析】直接利用一元二次方程根的判别式求出答案．
∵，，，
∴．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，正确记忆公式是解题关键．
7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】利用方程有两个相等的实数根，得到 =0，建立关于m的方程，解答即可．
∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴ =0，
∴，
解得，故C正确．
【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时 >0；当一元二次方程有两个相等的实数根时， =0；当方程没有实数根时， <0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键．
8．关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k且k≠1 B．k≥且k≠1 C．k D．k≥
【答案】D
【解析】分k﹣1＝0和k﹣1≠0两种情况，利用根的判别式求解可得．
当k﹣1≠0，即k≠1时，此方程为一元二次方程．
∵关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，
∴△＝（2k+1）2﹣4×（k﹣1）2×1＝12k﹣3≥0，
解得k≥；
当k﹣1＝0，即k＝1时，方程为3x+1＝0，显然有解；
综上，k的取值范围是k≥.
9. 已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A. 4045 B. 4044 C. 2022 D. 1
【答案】A
【解析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．
∵，是方程的两个实数根，
∴，，
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
10．某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【解析】根据球赛问题模型列出方程即可求解．
设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得：x（x﹣1）＝36，
化简，得x2﹣x﹣72＝0，解得x1＝9，x2＝﹣8（舍去），
答：参加此次比赛的球队数是9队．故选：D．
11．若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（ ）
A．16 B．24 C．16或24 D．48
【答案】B
【解析】解方程得出x＝4或x＝6，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，即可得出菱形ABCD的周长．
如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵x2﹣10x+24＝0，因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，解得：x＝4或x＝6，
分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；
②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，∴菱形ABCD的周长＝4AB＝24．
【点睛】本题考查菱形的性质、解一元二次方程-因式分解法、三角形的三边关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
12. 某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】结合题意分析：第一次降价后的价格=原价×（1-降低的百分率），第二次降价后的价格=第一次降价后的价格×（1-降低的百分率），把相关数值代入即可．
设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程150（1-x）2=96，故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出两次降价后的售价．
二、填空题（本大题有12小题，每空3分，共36分）
1.若关于x的方程（a﹣1）x7x+3＝0是一元二次方程，则a＝ ．
【答案】-1
【解析】利用一元二次方程的定义判断即可．
∵关于x的方程（a﹣1）x7x+3＝0是一元二次方程，
∴a2+1＝2且a﹣1≠0，
解得：a＝﹣1．
2. 若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根，则6m2﹣9m+2021的值为 ．
【答案】2024
【解析】由题意可知：2m2﹣3m﹣1=0，
∴2m2﹣3m=1
∴原式=3（2m2﹣3m）+2021=2024
3.若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是___．
【答案】1
【解析】根据一元二次方程解的定义把代入到进行求解即可．
∵关于x的一元二次方程的一个解是，
∴，
∴．
【点睛】主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．
4. 一元二次方程配方为，则k的值是______．
【答案】１
【解析】将原方程变形成与相同的形式，即可求解．
∴
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键．
5.若一元二次方程有两个相等的实数根，则________．
【答案】2
【解析】由方程有两个相等的实数根可知，利用根的判别式等于0即可求m的值，
由题意可知：
，，
，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式求参数：方程有两个不相等的实数根时，；方程有两个相等的实数根时，；方程无实数根时，等知识．会运用根的判别式和准确的计算是解决本题的关键．
6.关于的一元二次方程无实数解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据一元二次方程根的判别式小于0即可求解．
∵关于的一元二次方程无实数解，
∴
解得：，故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
7. 关的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】方程有实数根，则△≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
由题意知，△=≥0，
∴，
故答案为．
8. 设与为一元二次方程的两根，则的值为________．
【答案】20
【解析】利用公式法求得一元二次方程的根，再代入求值即可；
∵
△=9-4=5＞0，
∴，，
∴=，
故答案为：20；
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握公式法解一元二次方程是解题关键．
9. 方程2x2+1=3x解为________．
【答案】
【解析】先移项，再利用因式分解法解答，即可求解．
移项得：，
∴，
∴或，
解得：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键．
10.已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+4x1x2+x22的值是 ．
【答案】2
【分析】根据根与系数的关系求解．
【解析】根据题意得则x1+x2＝4，x1x2＝﹣7
所以，x12+4x1x2+x22＝（x1+x2）2+2x1x2＝16﹣14＝2
11. 若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________．
【答案】
【解析】由题意解一元二次方程得到或，再根据勾股定理得到直角三角形斜边的长是．
一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，
由公式法解一元二次方程可得，
根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是．
【点睛】本题考查勾股定理求线段长，根据题意解出一元二次方程的两根是解决问题的关键．
12．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有_____人．
【答案】10
【分析】设该群一共有x人，则每人收到（x﹣1）个红包，根据群内所有人共收到90个红包，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解析】设该群一共有x人，则每人收到（x﹣1）个红包，
依题意，得：x（x﹣1）＝90，
解得：x1＝10，x2＝﹣9（舍去）．
三、解答题（本大题有6小题，共48分）
1.（6分）已知关于的方程．
（1）当为何值时是一元一次方程？
（2）当为何值时是一元二次方程？
【答案】（1）-2或1或0 （2）2
【解析】解：（1）由题意，得当时，，
当且时，；
当时，．
∴当或或时，是一元一次方程．
（2）由题意，得，且，解得，
∴当时，是一元二次方程．
2.（4分）解方程：x2－2x－3＝0
【答案】
【解析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．
，
，
或，
或，
故方程的解为．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式分解法、公式法、换元法等）是解题关键．
3. （6分）已知x、y为实数，且满足，，求实数m最大值与最小值。
【答案】m的最大值是，m的最小值是－1。
【解析】由题意得
所以x、y是关于t的方程的两实数根，所以
即
解得
m的最大值是，m的最小值是－1。
4. （10分）（2023浙江杭州）设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①；②；③；④．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
【答案】选②，，；选③，，
【解析】先根据判别式判断一元二次方程根的情况，再利用公式法解一元二次方程即可．
中，
①时，，方程有两个相等的实数根；
②时，，方程有两个不相等的实数根；
③时，，方程有两个不相等的实数根；
④时，，方程没有实数根；
因此可选择②或③．
选择②时，
，
，
，
，；
选择③时，
，
，
，
，．
【点睛】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，解一元二次方程，解题的关键是掌握：对于一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程没有实数根．
5.（10分） 建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
【答案】（1）20% （2）18个
【解析】【分析】（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据2019年投入资金2021年投入的总资金，列出方程求解即可；
（2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可．
解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，
根据题意得：，
解这个方程得，，，
经检验，符合本题要求．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．
（2）设该市在2022年可以改造个老旧小区，
由题意得：，
解得．
∵为正整数，∴最多可以改造18个小区．
答：该市2022年最多可以改造18个老旧小区．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式．
6.（12分）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．
【答案】（1）； （2）（3）或
【解析】（1）∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x1，x2，
∴，．
故答案为：；．
（2）∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，
∴，，
∴
（3）∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，
∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，
∴，，
∵
∴或，
当时，，
当时，，
综上分析可知，的值为或．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出或，是解答本题的关键．
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第二十一章 一元二次方程
专题21.6 一元二次方程单元核心素养达标检测
（试卷满分120分，答题时间90分钟）
一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分）
1.下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x23＝0；③x2﹣4+x5＝0；④3x＝x2．其中是一元二次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.将一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次项和常数项分别是（ ）
A．﹣4，2 B．4x，﹣2 C．﹣4x，2 D．3x2，2
3. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（ ）
A. B. C. D.
4．将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69
5. （2023内蒙古赤峰）用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. （2023吉林省）一元二次方程根的判别式的值是（ ）
A. 33 B. 23 C. 17 D.
7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
8．关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k且k≠1 B．k≥且k≠1 C．k D．k≥
9. 已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A. 4045 B. 4044 C. 2022 D. 1
10．某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
11．若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（ ）
A．16 B．24 C．16或24 D．48
12. 某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题有12小题，每空3分，共36分）
1.若关于x的方程（a﹣1）x7x+3＝0是一元二次方程，则a＝ ．
2. 若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根，则6m2﹣9m+2021的值为 ．
3.若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是___．
4. 一元二次方程配方为，则k的值是______．
5.若一元二次方程有两个相等的实数根，则________．
6.关于的一元二次方程无实数解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 关的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是_________．
8. 设与为一元二次方程的两根，则的值为________．
9. 方程2x2+1=3x解为________．
10.已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+4x1x2+x22的值是 ．
11. 若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________．
12．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有_____人．
三、解答题（本大题有6小题，共48分）
1.（6分）已知关于的方程．
（1）当为何值时是一元一次方程？
（2）当为何值时是一元二次方程？
2.（4分）解方程：x2－2x－3＝0
3. （6分）已知x、y为实数，且满足，，求实数m最大值与最小值。
4. （10分）（2023浙江杭州）设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①；②；③；④．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
5.（10分） 建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
6.（12分）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．
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