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2024--2025学年度人教版数学九年级上册学讲练测讲义
第二十三章 旋转
专题23.1 图形的旋转
课节学习目标
1. 掌握旋转的有关概念及基本性质。
2. 能够根据旋转的基本性质解决实际问题。
3. 能够根据旋转的基本性质进行简单作图。
课节知识点解读
知识点1. 旋转定义
把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转。点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
转动的方向分为顺时针与逆时针。
注意：确定一次图形的旋转时,必须明确
（1）旋转中心；（2）旋转角；（3）旋转方向。
温馨提示：①旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心，旋转方向，旋转角度”称之为旋转的三要素；②旋转变换同样属于全等变换.
知识点2. 旋转的性质
①对应点到旋转中心的距离相等；
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
③旋转前后的图形全等。
知识点3. 简单的旋转作图
示例：如图，四边形ABCD绕O点旋转后，顶点A的对应点为E，试确定B、C、D对应的点的位置，以及旋转后的四边形．
注意：平移和旋转的异同
①相同：都是一种运动；运动前后不改变图形的形状和大小.
②不同
课节知识点例题讲析
【例题1】如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点．若，则的度数是（用含的代数式表示）（ ）
A. B. C. D.
【例题2】如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。
深化对课节知识点理解的试题专炼
1. 如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为( )
A．30° B．45° C．90° D．135°
2. 如图，在Rt△ABC中，，，，将绕点B顺时针旋转90°得到．在此旋转过程中所扫过的面积为( )
A. 25π+24 B. 5π+24 C. 25π D. 5π
3.如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB= °．
4.如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为 ．
5．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形，点C的对应点恰好落在CB的延长线上，边AB与相交于点E．求证：．
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2024--2025学年度人教版数学九年级上册学讲练测讲义
第二十三章 旋转
专题23.1 图形的旋转
课节学习目标
1. 掌握旋转的有关概念及基本性质。
2. 能够根据旋转的基本性质解决实际问题。
3. 能够根据旋转的基本性质进行简单作图。
课节知识点解读
知识点1. 旋转定义
把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转。点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
转动的方向分为顺时针与逆时针。
注意：确定一次图形的旋转时,必须明确
（1）旋转中心；（2）旋转角；（3）旋转方向。
温馨提示：①旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心，旋转方向，旋转角度”称之为旋转的三要素；②旋转变换同样属于全等变换.
知识点2. 旋转的性质
①对应点到旋转中心的距离相等；
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
③旋转前后的图形全等。
知识点3. 简单的旋转作图
示例：如图，四边形ABCD绕O点旋转后，顶点A的对应点为E，试确定B、C、D对应的点的位置，以及旋转后的四边形．
【答案】见解析。
【解析】(1)连接OA、OB、OC、OD、OE；
(2)分别以OB、OC、OD为一边作∠BOF， ∠COG， ∠DOH，使∠BOF= ∠COG= ∠DOH= ∠AOE；
(3)分别在射线OF，OG，OH上，截取OF=OB，OG=OC，OH=OD；
(4)连接EF，FG，GH，HE，
四边形EFGH就是四边形ABCD绕O点旋转后的图形．
注意：平移和旋转的异同
①相同：都是一种运动；运动前后不改变图形的形状和大小.
②不同
课节知识点例题讲析
【例题1】如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点．若，则的度数是（用含的代数式表示）（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据旋转的性质可得，BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，则∠B=∠BDC，利用三角形内角和可求得∠B，进而可求得∠E，则可求得答案．
∵将绕点顺时针旋转得到，且
∴BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，
∴∠B=∠BDC，
∴，
∴，
∴，
．
【点睛】本题考查了旋转变换、三角形内角和、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握旋转的性质．
【例题2】如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。
【答案】见解析。
【解析】作图关键－关键是确定点E的对应点E′
∵点A是旋转中心，∴它的对应点是点A.
正方形ABCD中，AD=AB，∠DAB=90 °，所以旋转后重合. 设点E的对应点为E′.
∵△ADE≌△ABE′
∴∠ABE′＝90 °＝∠ADE，
BE′＝DE，
因此 在CB的延长线上截取点E′,使BE ′=DE.
则△ABE′为旋转后的图形。
深化对课节知识点理解的试题专炼
1. 如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为( )
A．30° B．45° C．90° D．135°
【答案】C
【解析】对应点与旋转中心的连线的夹角，就是旋转角，由图可知，OB、OD是对应边，∠BOD是旋转角，所以，旋转角为90°.故选C.
2. 如图，在Rt△ABC中，，，，将绕点B顺时针旋转90°得到．在此旋转过程中所扫过的面积为( )
A. 25π+24 B. 5π+24 C. 25π D. 5π
【答案】A
【解析】根据勾股定理定理求出AB，然后根据扇形的面积和三角形的面积公式求解．
∵，，，
∴，
∴所扫过的面积为．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，扇形的面积的计算，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解答的关键．
3.如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB= °．
【答案】70．
【解析】∵将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，∠AOB=30°，
∴△OAB≌△OA1B1，
∴∠A1OB=∠AOB=30°．
∴∠A1OB=∠A1OA﹣∠AOB=70°．
4.如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为 ．
【答案】1.6．
【解析】由旋转的性质可得：AD=AB，
∵∠B=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB，
∵AB=2，BC=3.6，
∴CD=BC﹣BD=3.6﹣2=1.6．
5．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形，点C的对应点恰好落在CB的延长线上，边AB与相交于点E．求证：．
【答案】见解析
【解析】证明：如图，连接AC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝90°，即．
由旋转，得，
∴．
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