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2024--2025学年度人教版数学九年级上册学讲练测讲义
第二十四章 圆
专题24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
课节学习目标
1. 掌握不在同一直线上的三点确定一个圆．
2. 理解三角形的外接圆和三角形外心的概念．
3. 会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线.
4. 理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.
5. 了解三角形内切圆、内心的概念，会作三角形内切圆；掌握切线长定理，并会用其解决有关问题．
课节知识点解读
知识点1. 点和圆的文字关系
1.点和圆的位置关系几何图
设已知圆的半径为r,点p到圆心的距离为d．则
(1)d(2)d=r 点p在⊙O上；
(3)d>r 点p在⊙O外．
判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．解决这类问题体现了数形结合的思想。
2.定理
不在同一直线上的三个点确定一个圆. 有且只有一个圆.
3.三角形的外接圆及外心
（1）三角形的外接圆
⊙O叫做△ABC的外接圆， △ABC叫做⊙O的内接三角形.
（2）三角形的外心
定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.
作图：三角形三边中垂线的交点.
性质：到三角形三个顶点的距离相等.
归纳总结：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫三角形的外心；三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.
4.反证法的定义
先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．
反证法的一般步骤骤
（1）假设命题的结论不成立
（2）从这个假设出发，经过推理，得出矛盾
（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确
知识点2. 直线与圆的位置关系
1.用定义判断直线与圆的位置关系
(1) 相离、相切、相交
（2）圆的切线
直线和圆有唯一的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线（如图直线l），这个唯一的公共点叫做切点（如图点A）.
2.用数量关系判断直线与圆的位置关系
用圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系来区分）
（1）直线和圆相交，d< r
（2）直线和圆相切，d= r
（3）直线和圆相离，d> r
体现了数形结合思想。
3．归纳：直线和圆的位置关系
位置关系 相离 相切 相交
图形
公共点个数 0个 1个 2个
数量关系 d>r d=r d由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．
知识点3. 圆的切线
1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
OA为⊙O的半径，BC ⊥ OA于A。则BC为⊙O的切线。
注意：在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线。
2.判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
（1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
（2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
（3）判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
3.证切线时辅助线的添加方法
(1) 有交点，连半径,证垂直;
(2) 无交点，作垂直,证半径.
4.有切线时常用辅助线添加方法
见切点，连半径，得垂直.
5.切线的其他重要结论
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;
(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
6.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
直线l是⊙O 的切线，A是切点， 直线l ⊥OA.
说明：利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题.
知识点4. 切线长（拓展）
1.切线长的定义：切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长．
2.切线长与切线的区别
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
3切线长定理:过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
几何语言:PA、PB分别切☉O于A、B，则PA = PB， ∠OPA=∠OPB
注意：切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
知识点5. 三角形的内心
1.三角形的内切圆及作法
已知：△ABC.
求作：和△ABC的各边都相切的圆.
作法：1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.
2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.
3.以O为圆心，OD为半径作圆O.
☉O就是所求的圆.
（1）与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆.
（2）三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
（3）这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
2.三角形的内心的性质
（1）三角形的内心在三角形的角平分线上.
（2）三角形的内心到三角形的三边距离相等.
注意：解决本专题问题辅助线连接技巧
（1）分别连接圆心和切点；
（2）连接两切点；
（3）连接圆心和圆外一点.
注意：运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
课节知识点例题讲析
【例题1】已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系是( )
A．点A在⊙O上 B．点A在⊙O内 C．点A在⊙O外 D．点A与圆心O重合
【例题2】如图，已知 Rt△ABC 中 ，∠C=90°。若 AC=12cm，BC=5cm，求的外接圆半径.
【例题3】已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O上 B．点A在⊙O内 C．点A在⊙O外 D．点A与圆心O重合
【例题4】如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若∠BAC＝35°，则∠ACB的大小为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【例题5】如图，是的直径，点P在的延长线上，与相切于点A，连接，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
深化对课节知识点理解的试题专炼
1. 点O是△ABC的外心，若∠BOC＝110°，则∠BAC为 ．
2. 已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交
3．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P=40°，则∠B的度数为 （ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
4．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°．则∠ABD的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
5．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，∠P＝70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为（ ）
A．110° B．120° C．125° D．130°
6. 如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.
（1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？
（2）若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围？（直接写出答案）
7. 已知：不在同一直线上的三点A、B、C.
求作： ⊙O,使它经过点A、B、C.
8. 如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)．
(1)求∠DAO的度数；
(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．
9. 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
10. 如图，是的直径，点P在的延长线上，与相切于点A，连接，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
11.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E.
求证:PE是⊙O的切线.
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第二十四章 圆
专题24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
课节学习目标
1. 掌握不在同一直线上的三点确定一个圆．
2. 理解三角形的外接圆和三角形外心的概念．
3. 会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线.
4. 理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.
5. 了解三角形内切圆、内心的概念，会作三角形内切圆；掌握切线长定理，并会用其解决有关问题．
课节知识点解读
知识点1. 点和圆的文字关系
1.点和圆的位置关系几何图
设已知圆的半径为r,点p到圆心的距离为d．则
(1)d(2)d=r 点p在⊙O上；
(3)d>r 点p在⊙O外．
判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．解决这类问题体现了数形结合的思想。
2.定理
不在同一直线上的三个点确定一个圆. 有且只有一个圆.
3.三角形的外接圆及外心
（1）三角形的外接圆
⊙O叫做△ABC的外接圆， △ABC叫做⊙O的内接三角形.
（2）三角形的外心
定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.
作图：三角形三边中垂线的交点.
性质：到三角形三个顶点的距离相等.
归纳总结：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫三角形的外心；三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.
4.反证法的定义
先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．
反证法的一般步骤骤
（1）假设命题的结论不成立
（2）从这个假设出发，经过推理，得出矛盾
（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确
知识点2. 直线与圆的位置关系
1.用定义判断直线与圆的位置关系
(1) 相离、相切、相交
（2）圆的切线
直线和圆有唯一的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线（如图直线l），这个唯一的公共点叫做切点（如图点A）.
2.用数量关系判断直线与圆的位置关系
用圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系来区分）
（1）直线和圆相交，d< r
（2）直线和圆相切，d= r
（3）直线和圆相离，d> r
体现了数形结合思想。
3．归纳：直线和圆的位置关系
位置关系 相离 相切 相交
图形
公共点个数 0个 1个 2个
数量关系 d>r d=r d由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．
知识点3. 圆的切线
1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
OA为⊙O的半径，BC ⊥ OA于A。则BC为⊙O的切线。
注意：在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线。
2.判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
（1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
（2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
（3）判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
3.证切线时辅助线的添加方法
(1) 有交点，连半径,证垂直;
(2) 无交点，作垂直,证半径.
4.有切线时常用辅助线添加方法
见切点，连半径，得垂直.
5.切线的其他重要结论
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;
(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
6.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
直线l是⊙O 的切线，A是切点， 直线l ⊥OA.
说明：利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题.
知识点4. 切线长（拓展）
1.切线长的定义：切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长．
2.切线长与切线的区别
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
3切线长定理:过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
几何语言:PA、PB分别切☉O于A、B，则PA = PB， ∠OPA=∠OPB
注意：切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
知识点5. 三角形的内心
1.三角形的内切圆及作法
已知：△ABC.
求作：和△ABC的各边都相切的圆.
作法：1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.
2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.
3.以O为圆心，OD为半径作圆O.
☉O就是所求的圆.
（1）与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆.
（2）三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
（3）这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
2.三角形的内心的性质
（1）三角形的内心在三角形的角平分线上.
（2）三角形的内心到三角形的三边距离相等.
注意：解决本专题问题辅助线连接技巧
（1）分别连接圆心和切点；
（2）连接两切点；
（3）连接圆心和圆外一点.
注意：运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
课节知识点例题讲析
【例题1】已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系是( )
A．点A在⊙O上 B．点A在⊙O内 C．点A在⊙O外 D．点A与圆心O重合
【答案】C
【解析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
∵O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，∴点A在⊙O外．
【例题2】如图，已知 Rt△ABC 中 ，∠C=90°。若 AC=12cm，BC=5cm，求的外接圆半径.
【答案】6.5cm.
【解析】设Rt△ABC 的外接圆的外心为O，连接OC，则OA=OB=OC.
∴O是斜边AB 的中点.
∵∠C=900，AC=12cm，BC=5cm.
∴AB=13cm，OA=6.5cm.
故Rt△ABC 的外接圆半径为6.5cm.
【例题3】已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O上 B．点A在⊙O内 C．点A在⊙O外 D．点A与圆心O重合
【答案】C
【解析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
∵O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，
∴点A在⊙O外．
【例题4】如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若∠BAC＝35°，则∠ACB的大小为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【解析】先根据切线的性质得到∠ABC＝90°，然后利用互余计算出∠ACB的度数．
∵BC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°．
【例题5】如图，是的直径，点P在的延长线上，与相切于点A，连接，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由切线性质得出，根据三角形的内角和是、对顶角相等求出，即可得出答案；
PA与⊙O相切于点A，AD是⊙O的直径，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查圆内求角的度数，涉及知识点：切线的性质、对顶角相等、等腰三角形的性质、三角形的内角和是，解题关键根据切线性质推出．
深化对课节知识点理解的试题专炼
1. 点O是△ABC的外心，若∠BOC＝110°，则∠BAC为 ．
【答案】55°或125°．
【解析】由题意可知，需要分两种情况：①△ABC是锐角三角形；②△ABC是钝角三角形，再分别求解即可．
解：①△ABC是锐角三角形，如图，
∵∠BOC＝110°，
∴∠BAC＝55°；
②△A′BC是钝角三角形，如图，
∵∠BAC+∠BA′C＝180°，
∴∠BA′C＝125°．
2. 已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交
【答案】D
【解析】根据直线与圆的位置关系来判定：①相交：d＜r；②相切：d=r；③相离：d＞r（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）．因此，分OP垂直于直线l，OP不垂直直线l两种情况讨论：
当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2=r，⊙O与l相切；
当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2＜r，⊙O与直线l相交．
故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．
3．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P=40°，则∠B的度数为 （ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
【答案】B
【解析】连接OA，由切线的性质可得∠OAP=90°，继而根据直角三角形两锐角互余可得∠AOP=50°，再根据圆周角定理即可求得答案.
连接OA，如图：
∵PA是⊙O的切线，切点为A，
∴OA⊥AP，
∴∠OAP=90°，
∵∠P=40°，
∴∠AOP=90°-40°=50°，
∴∠B=1/2∠AOB=25°
4．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°．则∠ABD的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
【答案】B
【解析】∵AC为切线 ∴∠OAC=90° ∵∠C=40° ∴∠AOC=50°
∵OB=OD ∴∠ABD=∠ODB ∵∠ABD+∠ODB=∠AOC=50°
∴∠ABD=∠ODB=25°.
5．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，∠P＝70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为（ ）
A．110° B．120° C．125° D．130°
【答案】C
【解析】由切线的性质得出∠OAP＝∠OBP＝90°，利用四边形内角和可求∠AOB＝110°，再利用圆周角定理可求∠ADB＝55°，再根据圆内接四边形对角互补可求∠ACB．
如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，
∵AP、BP是⊙O切线，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，
∴∠ADB＝AOB＝55°，
又∵圆内接四边形的对角互补，
∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝180°﹣55°＝125°．
6. 如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.
（1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？
（2）若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围？（直接写出答案）
【答案】见解析。
【解析】（1）AD=4=r，故D点在⊙A上
AB=3AC=5>r，故C点在⊙A外
（2）37. 已知：不在同一直线上的三点A、B、C.
求作： ⊙O,使它经过点A、B、C.
【答案】见解析。
【解析】作法：
1．连结AB，作线段AB的垂直平分线MN；
2．连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O；
3．以O为圆心，OB为半径作圆。
所以⊙O就是所求作的圆.
8. 如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)．
(1)求∠DAO的度数；
(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．
【答案】见解析。
【解析】(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°，
∠DOA＝90°，
∴∠DAO＝30°；
(2)∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3.
在直角△AOD中，
OA＝OD·tan∠ADO＝ ，
AD＝2OD＝6，
∴点A的坐标是( ，0)．
∵∠AOD＝90°，∴AD是圆的直径，
∴△AOB外接圆的面积是9π.
9. 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
已知：△ABC
求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60° ，
则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°。
∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°，
即三角形的内角和为180度 .
这与∠A+∠B+∠C>180°矛盾．假设不成立．
∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°．
10. 如图，是的直径，点P在的延长线上，与相切于点A，连接，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由切线性质得出，根据三角形的内角和是、对顶角相等求出，即可得出答案；
PA与⊙O相切于点A，AD是⊙O的直径，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查圆内求角的度数，涉及知识点：切线的性质、对顶角相等、等腰三角形的性质、三角形的内角和是，解题关键根据切线性质推出．
11.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E.
求证:PE是⊙O的切线.
证明：连接OP.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
∴∠OBP=∠C.
∴OP∥AC.
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP.
∴PE为⊙O的切线.
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