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2024--2025学年度人教版数学九年级上册学讲练测讲义
第二十四章 圆
专题24.4 弧长和扇形面积
课节学习目标
1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程。
2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算。
3.体会圆锥侧面积的探索过程。会求圆锥的侧面积，并能解决一些简单的实际问题。
课节知识点解读
知识点1. 与弧长相关的计算
扇形的弧长l=；
注意：用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
知识点2. 与扇形面积相关的计算
（1）扇形的定义：圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.
如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.
（2）扇形的面积S==．扇形的面积与圆心角、半径有关.
知识点3. 弓形的面积公式
S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形
知识小结：
知识点4. 圆锥
1.圆锥及相关概念
（1）圆锥的母线：我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的连线叫做圆锥的母线．圆锥有无数条母线，它们都相等．
（2）圆锥的高：从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高．
注意：如果用r表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的高线长, l表示圆锥的母线长,那么r、h、l 之间数量关系是：r2+h2=l2
2.圆锥的侧面展开图
圆锥的侧面展开图是扇形。
其侧面展开图扇形的半径=母线的长l
（2）侧面展开图扇形的弧长=底面周长 C=2πr，
（3）圆锥的侧面积计算公式(r表示圆锥底面的半径, l 表示圆锥的母线长 )
圆锥的全面积计算公式
S圆锥全＝侧面积＋底面圆面积=πrl＋πr2．
温馨提醒：求阴影部分面积的几种常见方法：
（1）公式法；
（2）割补法；
（3）拼凑法；
（4）等积变形构造方程法；
（5）去重法．
重点说明：
1.用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
2.扇形面积公式
①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；
②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
课节知识点例题讲析
【例题1】（2023大连）圆心角为，半径为3的扇形弧长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据弧长公式（弧长为l，圆心角度数为n，圆半径为r），由此计算即可．
该扇形的弧长，
故选：C．
【点睛】本题考查了扇形的弧长计算公式（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），正确记忆弧长公式是解答此题的关键．
【例题2】某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是（ ）
A. cm B. cm C. cm D. cm
【答案】A
【解析】如图，根据切线的性质可得，根据四边形内角和可得的角度，进而可得所对的圆心角，根据弧长公式进行计算即可求解．如图，
PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．
，
∠P＝40°，
，
该圆半径是9cm，
cm．
【点睛】本题考查了切线的性质，求弧长，牢记弧长公式是解题的关键．
【例题3】如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交弧AB于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作弧CD交OB于点D，若OA＝2，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．+ D．
【答案】C
【解析】连接OE、AE，
∵点C为OA的中点，
∴∠CEO＝30°，∠EOC＝60°，
∴△AEO为等边三角形，
∴S扇形AOE＝＝π，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）
＝﹣﹣（π﹣×1×）
＝π﹣π+
＝+．
【例题4】已知圆锥的高为8，母线长为10，则其侧面展开图的面积为_______．
【答案】60πcm2
【解析】利用勾股定理易得圆锥的底面半径，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
圆锥的高为8cm，母线长为10cm，由勾股定理得，底面半径=6cm，底面周长=12πcm，
侧面展开图的面积=×12π×10=60πcm2．
【点睛】本题利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解．
【例题5】如图，圆锥底面圆半径为7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积是（ ）
A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2
【答案】C
【解析】【分析】先利用勾股定理计算出AC=25cm，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则可根据扇形的面积公式计算出圆锥的侧面积．
【详解】在中，
cm，
∴它侧面展开图的面积是cm2．
故选：C
【点睛】本题考查了圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题的关键．
深化对课节知识点理解的试题专炼
1. 如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是，则这个圆锥的底面半径是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】A
【解析】根据圆锥侧面积公式，进行计算即可求解．
设这个圆锥的底面半径是，依题意，
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了求圆锥底面半径，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题的关键．
2. 如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据底面周长等于的长，即可求解．
依题意，的长，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图的弧长，熟练掌握圆锥底面周长等于的长是解题的关键．
3．某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，，所在圆的圆心为O，点C，D分别在OA，OB上．已知消防车道半径OC＝12m，消防车道宽AC＝4m，∠AOB＝120°，则弯道外边缘的长为（ ）
A．8πm B．4πm C．πm D．πm
【答案】C
【解析】根据线段的和差得到OA＝OC+AC，然后根据弧长公式即可得到结论．
∵OC＝12m，AC＝4m，
∴OA＝OC+AC＝12+4＝16（m），
∵∠AOB＝120°，
∴弯道外边缘的长为：＝（m）．
4. 一个扇形的面积为，半径为，则此扇形的圆心角是_____度．
【答案】70
【解析】设扇形的圆心角是 ，根据扇形的面积公式即可得到一个关于n的方程，解方程即可求解．
设扇形的圆心角是，根据扇形的面积公式得：
解得n=70．
故答案是：．
【点睛】此题主要考查扇形的面积公式，解题的关键是熟知扇形的面积公式的运用.
5．如图，在⊙O中，OA＝3，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
【答案】π﹣．
【解析】由∠C＝45°根据圆周角定理得出∠AOB＝90°，根据S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB可得出结论．
∵∠C＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB
＝
＝π﹣．
6．如图，圆锥的高是4，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则圆锥的侧面积是 （结果保留π）．
【答案】6π．
【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
根据题意得：2πr＝，
解得：l＝3r，
∵高为4，
∴r2+42＝（3r）2，
解得：r＝，
∴母线长为3，
∴圆锥的侧面积为πrl＝π××3＝6π．
7. 如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为，则烟囱帽的侧面积为_______．（结果保留）
【答案】
【解析】根据圆锥侧面展开图是一个扇形，由扇形面积公式代值求解即可得到答案．
圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为，
烟囱帽的侧面积（），
故答案为：．
【点睛】本题考查圆锥侧面展开图及扇形面积公式，熟记扇形面积公式是解决问题的关键．
8．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若母线长为，扇形的圆心角，则圆锥的底面圆半径为__________．
【答案】2
【解析】结合题意，根据弧长公式，得圆锥的底面圆周长；再根据圆形周长的性质计算，即可得到答案．
∵母线长为，扇形的圆心角
∴圆锥的底面圆周长
∴圆锥的底面圆半径
9.蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为35m2，高为3.5m，外围高为1.5m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（精确到1m2）？
【答案】见解析。
【解析】如图是一个蒙古包示意图．
根据题意，下部圆柱的底面积为35m2，高为1.5m；上部圆锥的高为3.5－1.5=2（m）．
圆柱的底面积半径为
侧面积为2π×3.34×1.5≈31.46（平方米），
圆锥的母线长为
侧面展开扇形的弧长为
圆锥的侧面积为
20×（31.46+40.81）≈1446（平方米）．
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第二十四章 圆
专题24.4 弧长和扇形面积
课节学习目标
1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程。
2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算。
3.体会圆锥侧面积的探索过程。会求圆锥的侧面积，并能解决一些简单的实际问题。
课节知识点解读
知识点1. 与弧长相关的计算
扇形的弧长l=；
注意：用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
知识点2. 与扇形面积相关的计算
（1）扇形的定义：圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.
如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.
（2）扇形的面积S==．扇形的面积与圆心角、半径有关.
知识点3. 弓形的面积公式
S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形
知识小结：
知识点4. 圆锥
1.圆锥及相关概念
（1）圆锥的母线：我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的连线叫做圆锥的母线．圆锥有无数条母线，它们都相等．
（2）圆锥的高：从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高．
注意：如果用r表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的高线长, l表示圆锥的母线长,那么r、h、l 之间数量关系是：r2+h2=l2
2.圆锥的侧面展开图
圆锥的侧面展开图是扇形。
其侧面展开图扇形的半径=母线的长l
（2）侧面展开图扇形的弧长=底面周长 C=2πr，
（3）圆锥的侧面积计算公式(r表示圆锥底面的半径, l 表示圆锥的母线长 )
圆锥的全面积计算公式
S圆锥全＝侧面积＋底面圆面积=πrl＋πr2．
温馨提醒：求阴影部分面积的几种常见方法：
（1）公式法；
（2）割补法；
（3）拼凑法；
（4）等积变形构造方程法；
（5）去重法．
重点说明：
1.用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
2.扇形面积公式
①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；
②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
课节知识点例题讲析
【例题1】（2023大连）圆心角为，半径为3的扇形弧长为（ ）
A. B. C. D.
【例题2】某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是（ ）
A. cm B. cm C. cm D. cm
【例题3】如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交弧AB于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作弧CD交OB于点D，若OA＝2，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．+ D．
【例题4】已知圆锥的高为8，母线长为10，则其侧面展开图的面积为_______．
【例题5】如图，圆锥底面圆半径为7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积是（ ）
A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2
深化对课节知识点理解的试题专炼
1. 如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是，则这个圆锥的底面半径是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2. 如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（ ）
A. B. C. D.
3．某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，，所在圆的圆心为O，点C，D分别在OA，OB上．已知消防车道半径OC＝12m，消防车道宽AC＝4m，∠AOB＝120°，则弯道外边缘的长为（ ）
A．8πm B．4πm C．πm D．πm
4. 一个扇形的面积为，半径为，则此扇形的圆心角是_____度．
5．如图，在⊙O中，OA＝3，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
6．如图，圆锥的高是4，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则圆锥的侧面积是 （结果保留π）．
7. 如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为，则烟囱帽的侧面积为_______．（结果保留）
8．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若母线长为，扇形的圆心角，则圆锥的底面圆半径为__________．
9.蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为35m2，高为3.5m，外围高为1.5m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（精确到1m2）？
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