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2024--2025学年度人教版数学九年级上册学讲练测讲义
第二十四章 圆
专题24.1 圆的相关概念与性质
课节学习目标
1. 理解并掌握圆的有关概念.
2. 理解圆的轴对称性及垂径定理的推导，能初步应用垂径定理进行计算和证明；
3.理解圆心角的概念和圆的旋转不变性，会辨析圆心角.
4.掌握在同圆或等圆中，圆心角与其所对的弦、弧之间的关系，能运用此关系进行相关的证明和计算.
5.在探索弧、弦、圆心角的关系的过程中，学会运用转化的数学思想解决问题.
6.了解掌握圆内接四边形的概念，掌握圆内接四边形的性质定理．
课节知识点解读
知识点1. 对圆的认识
（一）圆的定义
1.圆的旋转定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.
2.圆的集合定义：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
3.圆心与半径：固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，一般用r表示．
（二）与圆有关的几个概念
1. 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
2. 直径：过圆心的弦叫做直径。直径是圆内最长的弦．
注意：（1）弦和直径都是线段.
（2）直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.
3. 圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的;大于半圆的弧叫做优弧．如图中的以A、B为端点的弧记作 ，读作“圆弧AB”或“弧AB”．
4. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
5. 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆.等圆是两个半径相等的圆.
6. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.
（三）圆的周长和面积
1.圆的周长公式：c＝2πr．
2.圆的面积公式：S＝πr2
（四）对圆的认识需要注意的几个问题
1．在一个圆中可以画出无数条弦和直径．
2．直径是弦，但弦不一定是直径．
3．在同一个圆中，直径是最长的弦．
4．半圆是弧，但弧不一定是半圆．弧有长度和度数，规定半圆的度数为180°，劣弧的度数小于180°，优弧的度数大于180°．
5．在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧．
知识点2. 垂径定理及其应用
1.圆的对称性：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.
2.垂径定理及其推论
（1）垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE,
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
（2）垂径定理的推论：
1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
3.涉及垂径定理时辅助线的添加方法
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
4.弓形中重要数量关系
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
d+h=r
知识点3. 弧、弦、圆心角的关系问题
1.圆心角的定义
（1）顶点在圆心的角,叫圆心角，如∠AOB .
（2）圆心角 ∠AOB 所对的弧为
（3）圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
注意：对于任意给定一个圆心角，都对应出现三个量：即圆心角、弧、弦。
2.圆心角、弧、弦之间的关系
定理：在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么圆心角所对的弧相等， 圆心角所对的弦相等。
推论：
（1）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么弧所对的圆心角相等，弧所对的弦相等。
（2）在同圆或等圆中，如果弦相等，那么弦所对应的圆心角相等，弦所对应的优弧相等，弦所对应的劣弧相等。
知识点4. 圆周角定理
1.圆周角的定义
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
2.圆周角定理及其推论
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.
推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
2）直径所对的圆周角是直角．
圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．
3.圆周角与圆心角的关系中圆心的位置存在的情形
（1）圆心O在∠BAC的一边上（如图甲）
（2）圆心O 在∠BAC的 内部（如图乙）
（3）圆心O在∠BAC的外部（如图丙）
甲 乙 丙
4.圆周角和直径的关系
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.
5.方法总结
在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．
知识点5. 圆内接四边形
如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
推论1：圆的内接四边形的对角互补.
推论2：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
注意：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据．
课节知识点例题讲析
【例题1】下列命题中正确的有( )
①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】①弦是圆上任意两点之间的连线段，所以①错误；
②半径不是弦，所以②错误；
③直径是最长的弦，正确；
④弧是半圆，只有180°的弧才是半圆，所以④错误．
【例题2】如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离为2，则∠AOC的度数为 ．
【答案】45°．
【解析】∵OC⊥AB,
∴AC＝BC＝＝2,
∵OC＝2,
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴∠AOC＝45°．
【例题3】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝2OE，则∠BCD的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
【答案】B
【解析】由垂径定理知，点E是CD的中点，有CD＝2ED＝2CE，可得DE＝OE，则∠DOE＝∠ODE＝45°，利用圆周角定理即可求解．
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴CD＝2ED＝2CE，
∵CD＝2OE，
∴DE＝OE，
∵CD⊥AB，
∴∠DOE＝∠ODE＝45°，
∴∠BCD＝∠DOE＝22.5°．
【例题4】如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的大小
为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】B
【解析】由圆周角定理可得∠BOC＝2∠BAC＝60°，继而∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．
∵∠BAC与∠BOC所对弧为，
由圆周角定理可知：∠BOC＝2∠BAC＝60°，
又∠AOC＝90°，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．
深化对课节知识点理解的试题专炼
1．下列说法中，错误的是（ ）
A．半圆是弧 B．半径相等的圆是等圆
C．过圆心的线段是直径 D．直径是弦
【答案】C
【解析】根据圆的有关概念进行判断
A．半圆是弧，所以A选项的说法正确；
B．半径相等的圆是等圆，所以B选项的说法正确；
C．过圆心的弦为直径，所以C选项的说法错误；
D．直径是弦，所以D选项的说法正确．故选C．
2．已知AB是半径为5的圆的一条弦，则AB的长不可能是（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【解析】根据圆中最长的弦为直径求解．因为圆中最长的弦为直径，直径为10，所以弦长L≤10．
3．在中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C．若OC：OB＝3 ：5，则DE的长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【解析】根据题意画出图形，然后利用垂径定理和勾股定理解答即可．
如图所示：∵直径AB＝15，∴BO＝7.5，∵OC：OB＝3：5，∴CO＝4.5，
∵DE⊥AB，∴DC＝＝6，∴DE＝2DC＝12．
4．如图，在⊙O中，若点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
【答案】C
【解析】
∵∠A＝50°，OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝50°，
∴∠AOB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∵点C是弧AB的中点，
∴∠BOC＝∠AOB＝40°．
5. 如图，⊙O中，OC⊥AB，∠APC＝28°，则∠BOC的度数为（ ）
A．14° B．28° C．42° D．56°
【答案】D
【解析】根据垂径定理，可得，∠APC＝28°，根据圆周角定理，可得∠BOC．
∵在⊙O中，OC⊥AB，
∴，
∵∠APC＝28°，
∴∠BOC＝2∠APC＝56°
6. 如图，内接于，CD是的直径，，则（ ）
A. 70° B. 60° C. 50° D. 40°
【答案】C
【解析】由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CAD＝90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠ACD与∠D互余，即可求得∠D的度数，继而求得∠B的度数．
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ACD+∠D＝90°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠ADC＝∠B＝50°．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，注意掌握数形结合思想是解题的关键．
7. 如图，内接于，AD是的直径，若，则的度数是（ ）
A. 60° B. 65° C. 70° D. 75°
【答案】C
【解析】首先连接CD，由AD是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得，又由圆周角定理，可得，再用三角形内角和定理求得答案．
连接CD，
∵AD是的直径，
∴．
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形的内角和定理．熟练掌握圆周角定理是解此题的关键．
8．已知中最长的弦为12厘米，则此圆半径为 厘米．
【答案】6
【解析】中最长的弦为12厘米，
的直径为12厘米，
的半径为6厘米．
9．如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为 ．
【答案】．
【解析】连接CO，OB，则∠O＝2∠A＝60°，得到△BOC是等边三角形，求得BC＝2，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
连接CO，OB，
则∠O＝2∠A＝60°，
∵OC＝OB，
∴△BOC是等边三角形，
∵⊙O的半径为2，
∴BC＝2，
∵CD⊥AB，∠CBA＝45°，
∴CD＝BC＝．
10．已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，，，，则与之间的距离为________cm．
【答案】7或1．
【解析】分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，
过O作OE⊥CD，交CD于点E，交AB于点F，连接OC，OA，
∵AB∥CD，∴OE⊥AB，∴E、F分别为CD、AB的中点，
∴CE=DE=CD=3cm，AF=BF=AB=4cm，
在Rt△AOF中，OA=5cm，AF=4cm，根据勾股定理得：OF=3cm，
在Rt△COE中，OC=5cm，CE=3cm，根据勾股定理得：OE═4cm，
则EF=OEOF=4cm3cm=1cm；当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，
同理可得EF=4cm+3cm=7cm，综上，弦AB与CD的距离为7cm或1cm．
11. 如图，AB，CD是⊙O的直径，＝，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（ ）
A．32° B．60° C．68° D．64°
【答案】D
【解析】∵＝，
∴∠BOD＝∠AOE＝32°，
∵∠BOD＝∠AOC，
∴∠AOC＝32°
∴∠COE＝32°+32°＝64°．
12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合）连接CP．若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为（ ）
A．30° B．45° C．50° D．65°
【答案】D
【解析】由圆内接四边形的性质得∠D度数为60°，再由∠APC为△PCD的外角求解．
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠D＝180°，
∵∠B＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，
∵∠APC为△PCD的外角，
∴∠APC＞∠D，只有D满足题意．
13. 如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC的长为5cm，点D在圆上且∠ADC＝30°，则⊙O的半径为 cm．
【答案】5．
【解析】连接OC，证明△AOC是等边三角形，可得结论．
解：如图，连接OC．
∵∠AOC＝2∠ADC，∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴OA＝AC＝5（cm），
∴⊙O的半径为5cm．
14．如图，OA、OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，∠OBC＝40°，则∠OAC＝ °．
【答案】25．
【解析】连接OC，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOC＝80°，求出∠AOC，根据等腰三角形的性质计算．
解：连接OC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣40°×2＝100°，
∴∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝100°+30°＝130°，
∵OC＝OA，
∴∠OAC＝∠OCA＝×（180°﹣∠AOB）＝．
15. 如图，在⊙O内接四边形ABCD中，若∠ABC＝100°，则∠ADC＝ °．
【答案】80
【解析】直接根据圆内接四边形的性质求解即可．
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣100°＝80°．
16. 在三角形ABC中, ∠C=90°,求证：A、B、C三点在同一个圆上。
证明：取AB的中点O,连接CO
∵∠ACB=90°
∴OC=1/2AB=OA=OB（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）
即点A、B、C到点O的距离相等
∴点A、B、C在同一圆上。
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第二十四章 圆
专题24.1 圆的相关概念与性质
课节学习目标
1. 理解并掌握圆的有关概念.
2. 理解圆的轴对称性及垂径定理的推导，能初步应用垂径定理进行计算和证明；
3.理解圆心角的概念和圆的旋转不变性，会辨析圆心角.
4.掌握在同圆或等圆中，圆心角与其所对的弦、弧之间的关系，能运用此关系进行相关的证明和计算.
5.在探索弧、弦、圆心角的关系的过程中，学会运用转化的数学思想解决问题.
6.了解掌握圆内接四边形的概念，掌握圆内接四边形的性质定理．
课节知识点解读
知识点1. 对圆的认识
（一）圆的定义
1.圆的旋转定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.
2.圆的集合定义：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
3.圆心与半径：固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，一般用r表示．
（二）与圆有关的几个概念
1. 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
2. 直径：过圆心的弦叫做直径。直径是圆内最长的弦．
注意：（1）弦和直径都是线段.
（2）直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.
3. 圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的;大于半圆的弧叫做优弧．如图中的以A、B为端点的弧记作 ，读作“圆弧AB”或“弧AB”．
4. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
5. 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆.等圆是两个半径相等的圆.
6. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.
（三）圆的周长和面积
1.圆的周长公式：c＝2πr．
2.圆的面积公式：S＝πr2
（四）对圆的认识需要注意的几个问题
1．在一个圆中可以画出无数条弦和直径．
2．直径是弦，但弦不一定是直径．
3．在同一个圆中，直径是最长的弦．
4．半圆是弧，但弧不一定是半圆．弧有长度和度数，规定半圆的度数为180°，劣弧的度数小于180°，优弧的度数大于180°．
5．在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧．
知识点2. 垂径定理及其应用
1.圆的对称性：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.
2.垂径定理及其推论
（1）垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE,
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
（2）垂径定理的推论：
1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
3.涉及垂径定理时辅助线的添加方法
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
4.弓形中重要数量关系
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
d+h=r
知识点3. 弧、弦、圆心角的关系问题
1.圆心角的定义
（1）顶点在圆心的角,叫圆心角，如∠AOB .
（2）圆心角 ∠AOB 所对的弧为
（3）圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
注意：对于任意给定一个圆心角，都对应出现三个量：即圆心角、弧、弦。
2.圆心角、弧、弦之间的关系
定理：在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么圆心角所对的弧相等， 圆心角所对的弦相等。
推论：
（1）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么弧所对的圆心角相等，弧所对的弦相等。
（2）在同圆或等圆中，如果弦相等，那么弦所对应的圆心角相等，弦所对应的优弧相等，弦所对应的劣弧相等。
知识点4. 圆周角定理
1.圆周角的定义
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
2.圆周角定理及其推论
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.
推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
2）直径所对的圆周角是直角．
圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．
3.圆周角与圆心角的关系中圆心的位置存在的情形
（1）圆心O在∠BAC的一边上（如图甲）
（2）圆心O 在∠BAC的 内部（如图乙）
（3）圆心O在∠BAC的外部（如图丙）
甲 乙 丙
4.圆周角和直径的关系
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.
5.方法总结
在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．
知识点5. 圆内接四边形
如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
推论1：圆的内接四边形的对角互补.
推论2：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
注意：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据．
课节知识点例题讲析
【例题1】下列命题中正确的有( )
①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例题2】如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离为2，则∠AOC的度数为 ．
【例题3】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝2OE，则∠BCD的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
【例题4】如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的大小
为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
深化对课节知识点理解的试题专炼
1．下列说法中，错误的是（ ）
A．半圆是弧 B．半径相等的圆是等圆
C．过圆心的线段是直径 D．直径是弦
2．已知AB是半径为5的圆的一条弦，则AB的长不可能是（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
3．在中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C．若OC：OB＝3 ：5，则DE的长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
4．如图，在⊙O中，若点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
5. 如图，⊙O中，OC⊥AB，∠APC＝28°，则∠BOC的度数为（ ）
A．14° B．28° C．42° D．56°
6.如图，内接于，CD是的直径，，则（ ）
A. 70° B. 60° C. 50° D. 40°
7. 如图，内接于，AD是的直径，若，则的度数是（ ）
A. 60° B. 65° C. 70° D. 75°
8．已知中最长的弦为12厘米，则此圆半径为 厘米．
9．如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为 ．
10．已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，，，，则与之间的距离为________cm．
11. 如图，AB，CD是⊙O的直径，＝，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（ ）
A．32° B．60° C．68° D．64°
12. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合）连接CP．若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为（ ）
A．30° B．45° C．50° D．65°
13. 如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC的长为5cm，点D在圆上且∠ADC＝30°，则⊙O的半径为 cm．
14．如图，OA、OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，∠OBC＝40°，则∠OAC＝ °．
15. 如图，在⊙O内接四边形ABCD中，若∠ABC＝100°，则∠ADC＝ °．
16. 在三角形ABC中, ∠C=90°,求证：A、B、C三点在同一个圆上。
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