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2024--2025学年度人教版数学九年级上册学讲练测讲义
第二十四章 圆
专题24.7 圆单元核心素养达标检测
（试卷满分120分，答题时间120分钟）
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列判断正确的个数有（ ）
①直径是圆中最大的弦；
②长度相等的两条弧一定是等弧；
③半径相等的两个圆是等圆；
④弧分优弧和劣弧；
⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．《九章算术》是一本中国乃至东方世界最伟大的一本综合性数学专著，标志着中国古代数学形成了完整的体系．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”朱老师根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为（ ）
A．26寸 B．25寸 C．13寸 D．寸
3．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED＝（ ）
A．48° B．24° C．22° D．21°
4. 如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，若，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，四边形内接于，，．若，，则的度数与的长分别为（ ）
A. 10°，1 B. 10°， C. 15°，1 D. 15°，
6. 如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD=16cm，AC=BD=4cm，则这种铁球的直径为（ ）
A. 10cm B. 15cm C. 20cm D. 24cm
9．如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D．下列结论不一定成立的是（ ）
A．△BPA为等腰三角形
B．AB与PD相互垂直平分
C．点A、B都在以PO为直径的圆上
D．PC为△BPA的边AB上的中线
10. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（ ）
A. B. C. 3 D.
二、填空题（本大题有10个小题，每空3分，共30分）
1．如图，在中，劣弧有 个。
2．已知⊙O的半径为5cm，则圆中最长的弦长为______cm
3．如图，的半径为13，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点C，则 ．
4．小明很喜欢专研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量的弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 cm．
5．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD＝CO．若的度数为40°，则的度数是 ．
6. 如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点处安装了一台监视器，它的监控角度是，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器_______台．
7. 如图，的圆心O与正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为________．
A. B. 2 C. D.
8. 若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为___________．
9. 如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则_________．
10．如图，在边长为2cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为 cm2．
三、解答题（6个小题，共60分）
1．（10分）如图，AB是⊙O的直径，＝，∠COD＝60°．
（1）△AOC是等边三角形吗？请说明理由；
（2）求证：OC∥BD．
2. （10分）已知☉O的半径r=7cm,直线l1 // l2,且l1与☉O相切,圆心O到l2的距离为9cm.求l1与l2的距离.
3. (10分) 如图，已知是的直径，点为延长线上一点，是的切线，点为切点，且．
（1）求的度数；
（2）若的半径为3，求圆弧的长．
4．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若直径AB＝6，求AD的长．
5.（10分）如图，⊙O与等边△ABC的边AC，AB分别交于点D，E，AE是直径，过点D作DF⊥BC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）连接EF，当EF是⊙O的切线时，求⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系．
6. （10分）如图，是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交于另一点F，．
（1）求证：；
（2）设，垂足为M，若，求的长．
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2024--2025学年度人教版数学九年级上册学讲练测讲义
第二十四章 圆
专题24.7 圆单元核心素养达标检测
（试卷满分120分，答题时间120分钟）
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列判断正确的个数有（ ）
①直径是圆中最大的弦；
②长度相等的两条弧一定是等弧；
③半径相等的两个圆是等圆；
④弧分优弧和劣弧；
⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】①直径是圆中最大的弦；故①正确，
②同圆或等圆中长度相等的两条弧一定是等弧；故②不正确
③半径相等的两个圆是等圆；故③正确
④弧分优弧、劣弧和半圆，故④不正确
⑤同一条弦所对的两条弧可位于弦的两侧，故不一定相等，则⑤不正确．
综上所述，正确的有①③
故选B
2．《九章算术》是一本中国乃至东方世界最伟大的一本综合性数学专著，标志着中国古代数学形成了完整的体系．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”朱老师根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为（ ）
A．26寸 B．25寸 C．13寸 D．寸
【答案】A
【解析】设圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，
∴AC＝AB＝×10＝5，
设⊙O的半径为r寸，
在Rt△ACO中，OC＝r﹣1，OA＝r，
则有r2＝52+（r﹣1）2，
解得r＝13，
∴⊙O的直径为26寸．
3．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED＝（ ）
A．48° B．24° C．22° D．21°
【答案】D
【解析】连接OC、OD，可得∠AOB＝∠COD＝42°，由圆周角定理即可得∠CED＝∠COD＝21°．
解：连接OC、OD，
∵AB＝CD，∠AOB＝42°，
∴∠AOB＝∠COD＝42°，
∴∠CED＝∠COD＝21°．
4. 如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】先根据圆周角定理得出，
再由三角形外角和定理可知，再根据直径所对的圆周角是直角，即，然后利用进而可求出．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
又∵为直径，即，
∴，
故选：D．
【点睛】主要考查了圆周角定理，三角形外角和定理等知识，解题关键是熟知圆周角定理的相关知识．
5. 如图，四边形内接于，，．若，，则的度数与的长分别为（ ）
A. 10°，1 B. 10°， C. 15°，1 D. 15°，
【答案】C
【解析】过点O作于点E，由题意易得，然后可得，，，进而可得，最后问题可求解．
【详解】过点O作于点E，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
故选C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、圆周角定理及三角函数，熟练掌握平行线的性质、圆周角定理及三角函数是解题的关键．
6. 如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】阴影部分的面积等于扇形面积减去三角形面积，分别求出扇形面积和等边三角形的面积即可．
如图，过点OC作OD⊥AB于点D，
∵∠AOB=2×=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOD=∠BOD=30°，OA=OB=AB=2，AD=BD=AB=1，
∴OD=，
∴阴影部分的面积为，
故选：B．
【点睛】本题考查了扇形面积、等边三角形的面积计算方法，掌握扇形面积、等边三角形的面积的计算方法是正确解答的关键．
7. 如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC求解即可．
S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC
=
=
=
=2.25π（m2）
故选：D．
【点睛】本题考查扇形面积，不规则图形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
8. 工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD=16cm，AC=BD=4cm，则这种铁球的直径为（ ）
A. 10cm B. 15cm C. 20cm D. 24cm
【答案】C
【解析】【分析】连接OA，OE，设OE与AB交于点P，根据，，得四边形ABDC是矩形，根据CD与切于点E，OE为的半径得，，即，，根据边之间的关系得，，在，由勾股定理得，，进行计算可得，即可得这种铁球的直径．
【详解】如图所示，连接OA，OE，设OE与AB交于点P，
∵，，，
∴四边形ABDC是矩形，
∵CD与切于点E，OE为的半径，
∴，，
∴，，
∵AB=CD=16cm，
∴，
∵，
在，由勾股定理得，
解得，，
则这种铁球的直径＝，
故选C．
【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．
9．如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D．下列结论不一定成立的是（ ）
A．△BPA为等腰三角形
B．AB与PD相互垂直平分
C．点A、B都在以PO为直径的圆上
D．PC为△BPA的边AB上的中线
【答案】B
【解析】根据切线的性质即可求出答案．
（A）∵PA、PB为圆O的切线，
∴PA＝PB，
∴△BPA是等腰三角形，故A正确．
（B）由圆的对称性可知：AB⊥PD，但不一定平分，
故B不一定正确．
（C）连接OB、OA，
∵PA、PB为圆O的切线，
∴∠OBP＝∠OAP＝90°，
∴点A、B、P在以OP为直径的圆上，故C正确．
（D）∵△BPA是等腰三角形，PD⊥AB，
∴PC为△BPA的边AB上的中线，故D正确．
10. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】C
【解析】【分析】根据圆内接正多边形的性质可得，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得，根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解．
圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为，设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形，过点作交于点于点，
∵，
∴，
则，
故正十二边形的面积为，
圆的面积为，
用圆内接正十二边形面积近似估计的面积可得，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接正多边形的性质，30度的作对的直角边是斜边的一半，三角形的面积公式，圆的面积公式等，正确求出正十二边形的面积是解题的关键．
二、填空题（本大题有10个小题，每空3分，共30分）
1．如图，在中，劣弧有 个。
【答案】5
【解析】在中，半径有OA，OB，OC，OD；
直径有AB；
弦有AB，BC；
劣弧有，，，，；
优弧有，，，，。
2．已知⊙O的半径为5cm，则圆中最长的弦长为______cm
【答案】10
【解析】根据直径为圆的最长弦求解试题解析：∵⊙O的半径为5cm
∴⊙O的直径为10cm，即圆中最长的弦长为10cm．
3．如图，的半径为13，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点C，则 ．
【答案】12
【解析】连接OC、OB，如图，
根据作图可知，OC是线段AB的垂直平分线，
则有BC=AC=AB=10×=5，
又∵圆的半径OB=13，
∴在Rt△BOC中，利用勾股定理可得：
，
故答案为：12．
4．小明很喜欢专研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量的弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 cm．
【答案】4
【解析】先根据垂径定理的推论得到CD过圆心，AD＝BD＝3.2cm，设圆心为O，连接OA，如图，设⊙O的半径为Rcm，则OD＝（R﹣1.6）cm，利用勾股定理得到（R﹣1.6）2+3.22＝R2，然后解方程即可．
解：∵C点的中点，CD⊥AB，
∴CD过圆心，AD＝BD＝AB＝×6.4＝3.2（cm），
设圆心为O，连接OA，如图，
设⊙O的半径为Rcm，则OD＝（R﹣1.6）cm，
在Rt△OAD中，（R﹣1.6）2+3.22＝R2，解得R＝4（cm），
所以圆形瓦片所在圆的半径为4cm．故答案为4．
5．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD＝CO．若的度数为40°，则的度数是 ．
【答案】120°．
【解析】连接OD、OE，
∵的度数为40°，∴∠AOD＝40°，
∵CD＝CO，∴∠ODC＝∠AOD＝40°，
∵OD＝OE，∴∠ODC＝∠E＝40°，
∴∠DOE＝100°，∴∠AOE＝60°，∴∠BOE＝120°，∴的度数是120°．
6. 如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点处安装了一台监视器，它的监控角度是，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器_______台．
【答案】4
【解析】圆周角定理求出对应的圆心角的度数，利用圆心角的度数即可得解．
∵，
∴对应的圆心角的度数为，
∵，
∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器台；
故答案为：4
【点睛】本题考查圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键．
7. 如图，的圆心O与正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为________．
A. B. 2 C. D.
【答案】
【解析】设正方形四个顶点分别为，连接并延长，交于点，由题意可得，的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，求解即可．
【详解】设正方形四个顶点分别为，连接并延长，交于点，过点作，如下图：
则的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，
由题意可得：，
由勾股定理可得：，
∴，
故选：D
【点睛】此题考查了圆与正多边形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆与正多边形的性质，确定出圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值的位置．
8. 若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为___________．
【答案】
【解析】根据弧长公式即可求解．
扇形的圆心角为，半径为，
∴它的弧长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
9. 如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则_________．
【答案】##度
【解析】【分析】如图所示，连接，设交于H，由内切圆的定义结合三角形内角和定理求出，再由切线长定理得到，进而推出是的垂直平分线，即，则．
【详解】如图所示，连接，设交于H，
∵是的内切圆，
∴分别是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵与分别相切于点，，
∴，
又∵，
∴是的垂直平分线，
∴，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形内切圆，切线长定理，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定，三角形外角的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
10．如图，在边长为2cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为 cm2．
【答案】2．
【解析】连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T，证明S△PEF＝S△BEF，求出△BEF的面积即可．
连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T
∵ABCDEF是正六边形，
∴CB∥EF，AB＝AF，∠BAF＝120°，
∴S△PEF＝S△BEF，
∵AT⊥BE，AB＝AF，
∴BT＝FT，∠BAT＝∠FAT＝60°，
∴BT＝FT＝AB sin60°，
∴BF＝2BT＝2，
∵∠AFE＝120°，∠AFB＝∠ABF＝30°，
∴∠BFE＝90°，
∴S△PEF＝S△BEF EF BF22
三、解答题（6个小题，共60分）
1．（10分）如图，AB是⊙O的直径，＝，∠COD＝60°．
（1）△AOC是等边三角形吗？请说明理由；
（2）求证：OC∥BD．
【答案】见解析。
【解析】（1）△AOC是等边三角形
证明：∵＝，
∴∠1＝∠COD＝60°
∵OA＝OC（⊙O的半径），
∴△AOC是等边三角形；
（2）证法一：∵＝，
∴OC⊥AD
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即BD⊥AD
∴OC∥BD…（10分）
证法二：∵＝，
∴∠1＝∠COD＝∠AOD
又∠B＝∠AOD
∴∠1＝∠B
∴OC∥BD
2. （10分）已知☉O的半径r=7cm,直线l1 // l2,且l1与☉O相切,圆心O到l2的距离为9cm.求l1与l2的距离.
【答案】见解析。
【解析】分类讨论。分l2与l1在圆的同一侧或者两侧来计算两条直线的距离。
（1） l2与l1在圆的同一侧：m=9-7=2 cm
（2）l2与l1在圆的两侧：m=9+7=16 cm
3. (10分) 如图，已知是的直径，点为延长线上一点，是的切线，点为切点，且．
（1）求的度数；
（2）若的半径为3，求圆弧的长．
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】（1）证明是等边三角形，得到，从而计算出的度数；
（2）计算出圆弧的圆心角，根据圆弧弧长公式计算出最终的答案．
【详解】（1）如下图，连接AO
∵是的切线
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴是等边三角形
∴
∵
∴
（2）∵
∴
圆弧的长为：
∴圆弧的长为．
【点睛】本题考查全等三角形、等腰三角形、等边三角形和圆的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形、等腰三角形、等边三角形和圆的相关知识．
4．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若直径AB＝6，求AD的长．
【答案】见解析。
【分析】（1）连接OD，根据已知条件得到∠BOD180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到结论；
（2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论．
【解析】（1）证明：连接OD，
∵，
∴∠BOD180°＝60°，
∵，∴∠EAD＝∠DABBOD＝30°，
∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，
∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°，∴∠EDA＝60°，
∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，
∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠DAB＝30°，AB＝6，
∴BDAB＝3，
∴AD3．
5. （10分）如图，⊙O与等边△ABC的边AC，AB分别交于点D，E，AE是直径，过点D作DF⊥BC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）连接EF，当EF是⊙O的切线时，求⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系．
【答案】见解析。
【解析】（1）连结OD，根据已知条件可推出△DOA是等边三角形，利用∠ODA＝∠C即可证明OD∥BC，进而即可知∠DFC＝∠ODF＝90°，即可求证；
（2）用含有a和r的式子分别表示出BE和BF的长，根据BF＝2BE列出等式即可找到r与a的数量关系．
【解答】（1）证明：连结OD，如图所示：
∵∠DAO＝60°，OD＝OA，
∴△DOA是等边三角形，
∴∠ODA＝∠C＝60°，
∴OD∥BC，
又∵∠DFC＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴OD⊥DF，
即DF是⊙O的切线；
（2）设半径为r，等边△ABC的边长为a，
由（1）可知：AD＝r，则CD＝a﹣r，BE＝a﹣2r
在Rt△CFD中，∠C＝60°，CD＝a﹣r，
∴CF＝，
∴BF＝a﹣，
又∵EF是⊙O的切线，
∴△FEB是直角三角形，且∠B＝60°，∠EFB＝30°，
∴BF＝2BE，
∴a﹣（a﹣r）＝2（a﹣2r），
解得：a＝3r，
即r＝，
∴⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系为：r＝．
6. （10分）如图，是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交于另一点F，．
（1）求证：；
（2）设，垂足为M，若，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）．
【解析】【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，掌握这些性质以及定理是解题的关键．
（1）由等边对等角得出，由同弧所对的圆周角相等得出，由对顶角相等得出，等量代换得出，由角平分线的定义可得出，由直径所对的圆周角等于可得出，即可得出，即．
（2）由（1）知，，根据等边对等角得出，根据等腰三角形三线合一的性质可得出，的值，进一步求出，，再利用勾股定理即可求出．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
又与都是所对的圆周角，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
故，
即．
【小问2详解】
由（1）知，，
∴，
又，，
∴，，
∴圆的半径，
∴，
在中．
，
∴
即的长为．
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