中小学教育资源及组卷应用平台
2024--2025学年度人教版数学九年级上册学讲练测讲义
第二十四章 圆
专题24.6 圆单元基础知识归纳总结
单元课标要求
（1）理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念,了解等圆、等弧的概念；探索并掌握点与圆位置关系。
（2）探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两 条弧。
（3）探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧（或等弧） 所对的圆周角相等。了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它 所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角 所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补。
（4）了解三角形的内心与外心。
（5）了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念。
（6）能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外 接圆、内切圆；作圆的内接正方形和内接正六边形。
（7）能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线。
（8）*探索并证明切线长定理：过圆外一点的两条切线长相等。
（9）会计算圆的弧长、扇形的面积。
（10）了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。
单元知识点思维导图与题型方法总结
1.判定切线的方法
（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；
（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法有角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：
①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；
②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.
2.与圆有关的计算
计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：
（1）构造思想：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型；⑤构造三角函数.
（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。
（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。
3. 圆中常用辅助线的添法顺口溜
半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆
如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
4. 圆问题拓展知识
（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
重要结论：PA PB=PC PD
（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
重要结论：CE2=AE BE
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
重要结论：PA2=PC PB
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
重要结论：PC PB=PD PE
正多边形的常用公式
边长 （Rn为正多边形外接圆的半径）
周长 Pn=n an 外角/中心角度数
面积 Sn=an rn n 对角线条数
边心距 rn=Rn cos 内角和 （ n-2 ）×180°.
内角度数 n边形的边数 （内角和÷180°）＋2
（an 、Rn、rn为构成直角三角形的三边长，已知其中两个值，第三个值可以借助勾股定理求解.）
6. 正多边形与圆的计算问题
正n边形的外接圆半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，而每个直角三角形都集中地反映了这个正n边形各元素间的关系，故可以把正n边形的计算转化为解直角三角形，再利用勾股定理即可完成计算。
单元考点例题讲析
考查题型一 垂径定理的实际应用
【例题1】为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（ ）
A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm
考查题型二 圆周角定理及其推论
【例题2】如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（ ）
A．27° B．108° C．116° D．128°
考查题型三 点和圆的位置关系
【例题3】如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
考查题型四 直线和圆的位置关系
【例题4】如图，为弦，交于点，交过点的直线于点，且．
试判断直线与的位置关系，并说明理由.
考查题型五 切线的性质与判定
【例题5】如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若PA＝5，则△PCD的周长和∠COD分别为（ ）
A．5，（90°+∠P） B．7，90°+
C．10，90°﹣∠P D．10，90°+∠P
【对点练习】如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE∥BD，连接BE、DE、BD，BE交AC于点F，若∠DEB＝∠DBC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BF＝BC，求证：四边形OEDB是菱形．
考查题型六 三角形内切圆
【例题6】如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则_________．
考查题型七 求解切线长
【例题7】 为⊙外一点，与⊙相切于点，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【对点练习】如图，AB与⊙O相切于点C，AO=3，⊙O的半径为2，则AC的长为_____．
考查题型八 三角形内切圆与外接圆综合
【例题8】如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.
求证：DI＝DB.
考查题型九 正多边形与圆
【例题9】将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是（ ）
A. 60° B. 90° C. 180° D. 360°
考查题型十 求其它不规则图形面积
【例题10】如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，以OB为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是 ．
考查题型十一 弧长、扇形面积及圆锥的实际应用
【例题11】如图，某数学兴趣小组用一张半径为的扇形纸板做成一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的面积为_____．（结果保留）
【对点练习1】 “莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（ ）
A. B. C. D.
【对点练习2】如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为20πcm，侧面积为240πcm2，则这个扇形的圆心角的度数是 度．
情感态度与价值观教育--数学家事迹
一道家庭作业题
高斯的大学老师每天都会给高斯布置三道家庭作业题，这天老师有事情，没来得及找好高斯的家庭作业，于是随意想了两道题再从自己桌子上随手抓了一道题，凑满了三道给了高斯。高斯以为这个和平时的作业一样，就拿着回住处去了。他老师没发现，自己将如何用尺规画正十七边形这道千年难题，拿给了19岁的高斯当家庭作业。
高斯在完成作业的时候发现，老师布置的最后一道题怎么感觉比平日里难很多，他以为老师只想考考他，于是一直坐在桌子前面思考如何解答问题。
题目是让用尺规画出正十七边形，高斯并不知道这道题难倒过阿基米德，还以为是老师能解开的题目，于是不服输的他用了一个晚上，终于将正十七边形的画法推导出来。
高斯先通过三等分角判定方程，建立了基本等价方程式，初步获得解决方案后，他又建立了等价的一元二次方程， 最终只需要求得cos（2π/17）就可以得到正十七边形的尺规作图法。
用高斯的方法，主要是将 2π/17这个非特殊角度，通过转换，用特殊角度的组合表示。其次就是对于三角函数的恒等变换，这一步工作看似相当基础，实则关系重大，高斯正是通过这一系列繁杂的恒等变换，层层推进证明出正十七边形的可作图。这是高斯一个晚上完成的结果，当它第二天顶着黑眼圈去上课交作业时，把老师惊呆了，这个2000年无人解答的问题，到高斯手里一个晚上就出来了。值得注意的是，高斯并没有直接画圆，他只证明了正十七边形可以用尺规作图法。这就好比，建造一座大楼，高斯是设计师，但他不参与修建过程。后世在高斯证明的引导下，画出了正十七边形。
步骤如下：先画一个圆O，作两垂直的直径AB、CD。 然后在OA上作一个E点，要使O点到E点的距离是半径的四分之一，再将C点和E点连接起来。将∠CEB平分线得到平分线EF再将∠FEB平分线，平分线为EG，与CO交于P点。作∠GEH，度数45°，并且交CD于Q点。
以CQ为直径作圆，与OB交于K。再以P为圆心，PK为半径，画一个圆，与CD交于L与M两点。分别过M、L作CD的垂线，与圆O于N与R。两点作弧NR的中点S，以SN为半径将圆O分成17等份。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2024--2025学年度人教版数学九年级上册学讲练测讲义
第二十四章 圆
专题24.6 圆单元基础知识归纳总结
单元课标要求
（1）理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念,了解等圆、等弧的概念；探索并掌握点与圆位置关系。
（2）探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两 条弧。
（3）探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧（或等弧） 所对的圆周角相等。了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它 所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角 所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补。
（4）了解三角形的内心与外心。
（5）了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念。
（6）能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外 接圆、内切圆；作圆的内接正方形和内接正六边形。
（7）能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线。
（8）*探索并证明切线长定理：过圆外一点的两条切线长相等。
（9）会计算圆的弧长、扇形的面积。
（10）了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。
单元知识点思维导图与题型方法总结
1.判定切线的方法
（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；
（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法有角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：
①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；
②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.
2.与圆有关的计算
计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：
（1）构造思想：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型；⑤构造三角函数.
（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。
（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。
3. 圆中常用辅助线的添法顺口溜
半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆
如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
4. 圆问题拓展知识
（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
重要结论：PA PB=PC PD
（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
重要结论：CE2=AE BE
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
重要结论：PA2=PC PB
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
重要结论：PC PB=PD PE
正多边形的常用公式
边长 （Rn为正多边形外接圆的半径）
周长 Pn=n an 外角/中心角度数
面积 Sn=an rn n 对角线条数
边心距 rn=Rn cos 内角和 （ n-2 ）×180°.
内角度数 n边形的边数 （内角和÷180°）＋2
（an 、Rn、rn为构成直角三角形的三边长，已知其中两个值，第三个值可以借助勾股定理求解.）
6. 正多边形与圆的计算问题
正n边形的外接圆半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，而每个直角三角形都集中地反映了这个正n边形各元素间的关系，故可以把正n边形的计算转化为解直角三角形，再利用勾股定理即可完成计算。
单元考点例题讲析
考查题型一 垂径定理的实际应用
【例题1】为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（ ）
A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm
【答案】B
【解析】连接AB、CO交于点D，
由题意得，OC⊥AB，
则AD＝DB＝AB＝4，
设圆的半径为Rcm，则OD＝（R﹣2）cm，
在Rt△AOD中，OA2＝AD2+OD2，即R2＝42+（R﹣2）2，
解得，R＝5，
则该铁球的直径为10cm．
【提示】垂径定理内容是垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
考查题型二 圆周角定理及其推论
【例题2】如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（ ）
A．27° B．108° C．116° D．128°
【答案】B
【解析】∵∠A＝54°，
∴∠BOC＝2∠A＝108°．
【提示】圆周角定理内容是：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
考查题型三 点和圆的位置关系
【例题3】如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】先利用勾股定理可得，再根据“点在内且点在外”可得，由此即可得出答案．
在中，，，，
，
点在内且点在外，
，即，
观察四个选项可知，只有选项C符合，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键．
考查题型四 直线和圆的位置关系
【例题4】如图，为弦，交于点，交过点的直线于点，且．
试判断直线与的位置关系，并说明理由.
【答案】相切，证明见详解
【解析】连接OB，根据等腰三角形性质得出，，从而求出，再根据切线的判定得出结论.
证明：连接OB，如图所示：
，
，，
，
，
，即，
，
，
为半径，经过点O，
直线与的位置关系是相切．
【点睛】考查切线的证明，垂径定理的性质，等腰三角形，勾股定理，三角函数等知识点，熟练掌握相关知识并灵活应用是解决此题的关键，抓住直角三角形边的关系求解线段长度是解题的主线思路．
考查题型五 切线的性质与判定
【例题5】如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若PA＝5，则△PCD的周长和∠COD分别为（ ）
A．5，（90°+∠P） B．7，90°+
C．10，90°﹣∠P D．10，90°+∠P
【答案】C
【解析】∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，
∴PA＝PB＝10，ED＝AD，CE＝BC；
∴△PCD的周长＝PD+DE+PC+CE＝2PA，即△PCD的周长＝2PA＝10，；
如图，连接OA、OE、OB．
由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB＝DE，AC＝CE，
∵AO＝OE＝OB，
易证△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS），
∴∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD，
∴∠COD＝∠AOB，
∴∠AOB＝180°﹣∠P，
∴∠COD＝90°﹣∠P．
【对点练习】如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE∥BD，连接BE、DE、BD，BE交AC于点F，若∠DEB＝∠DBC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BF＝BC，求证：四边形OEDB是菱形．
【答案】见解析
【解析】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∵∠A＝∠DEB，∠DEB＝∠DBC，
∴∠A＝∠DBC，
∵∠DBC+∠ABD＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）∵OE∥BD，
∴∠OEB＝∠DBE，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE，
∴∠OBE＝∠DBE，
∵BF＝BC，∠ADB＝90°，
∴∠CBD＝∠EBD，
∵∠DEB＝∠DBC，
∴∠EBD＝∠DBE，
∴∠DEB＝∠OBE，
∴ED∥OB，
∵ED∥OB，OE∥BD，OE＝OB，
∴四边形OEDB是菱形．
考查题型六 三角形内切圆
【例题6】如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则_________．
【答案】##度
【解析】【分析】如图所示，连接，设交于H，由内切圆的定义结合三角形内角和定理求出，再由切线长定理得到，进而推出是的垂直平分线，即，则．
【详解】如图所示，连接，设交于H，
∵是的内切圆，
∴分别是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵与分别相切于点，，
∴，
又∵，
∴是的垂直平分线，
∴，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形内切圆，切线长定理，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定，三角形外角的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
考查题型七 求解切线长
【例题7】 为⊙外一点，与⊙相切于点，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】连接OT，根据切线的性质求出求，结合利用含 的直角三角形的性质求出OT，再利用勾股定理求得PT的长度即可．
【详解】连接OT，如下图．
∵与⊙相切于点，
∴ ．
∵，，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】考查了切线的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，求出OT的长度是解答关键．
【对点练习】如图，AB与⊙O相切于点C，AO=3，⊙O的半径为2，则AC的长为_____．
【答案】
【解析】根据切线的性质得到∠OCA=90°，再利用勾股定理求解即可．
连接OC，
∵AB与⊙O相切于点C，
∴OC⊥AB，即∠OCA=90°，
在Rt△OCA中，AO=3 ，OC=2，
∴AC=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题关键．切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
考查题型八 三角形内切圆与外接圆综合
【例题8】如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.
求证：DI＝DB.
【答案】见解析。
【解析】证明：连接BI.
∵I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD，
∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD，
∴BD=ID．
考查题型九 正多边形与圆
【例题9】将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是（ ）
A. 60° B. 90° C. 180° D. 360°
【答案】B
【解析】根据旋转的性质，以及正多边形的中心角的度数，进行判断即可．
正六边形的中心角的度数为：，
∴正六边形绕其中心旋转或的整数倍时，仍与原图形重合，
∴旋转角的大小不可能是；
故选B．
【点睛】本题考查旋转图形，正多边形的中心角．熟练掌握旋转的性质，正多边形的中心角的度数的求法，是解题的关键．
考查题型十 求其它不规则图形面积
【例题10】如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，以OB为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】﹣．
【解析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得DE的长、∠DOB的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积是△ABC的面积减去△COD的面积和扇形BOD的面积，从而可以解答本题．
连接OD，过D作DE⊥BC于E，
在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，
∴sinC＝＝＝，BC＝＝＝2，
∴∠C＝30°，
∴∠DOB＝60°，
∵OD＝BC＝，
∴DE＝，
∴阴影部分的面积是：2×2﹣﹣＝﹣，
故答案为：﹣．
考查题型十一 弧长、扇形面积及圆锥的实际应用
【例题11】如图，某数学兴趣小组用一张半径为的扇形纸板做成一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的面积为_____．（结果保留）
【答案】
【解析】根据圆锥底面半径，可以求出圆锥底面周长，底面圆周长即是扇形的弧长，根据扇形面积公式可求出扇形面积．
【详解】帽子底面圆周长为：，
则扇形弧长为， 扇形面积
故答案为：
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，掌握圆锥的性质和扇形的面积公式是求解的关键．
【对点练习1】 “莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据等边三角形的性质及弧长公式求解即可．
∵等边三角形的边长为3，，
∴，
∴该“莱洛三角形”的周长，
故选：B．
【点睛】考查等边三角形的性质，弧长公式，熟练掌握等边三角形的性质和弧长公式是解题的关键．
【对点练习2】如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为20πcm，侧面积为240πcm2，则这个扇形的圆心角的度数是 度．
【答案】150
【解析】根据扇形面积公式求出圆锥的母线长，再根据弧长公式计算，得到答案．
设圆锥的母线长为lcm，扇形的圆心角为n°，
∵圆锥的底面圆周长为20πcm，
∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为20πcm，
由题意得：×20π×l＝240π，
解得：l＝24，
则＝20π，
解得，n＝150，即扇形的圆心角为150°．
情感态度与价值观教育--数学家事迹
一道家庭作业题
高斯的大学老师每天都会给高斯布置三道家庭作业题，这天老师有事情，没来得及找好高斯的家庭作业，于是随意想了两道题再从自己桌子上随手抓了一道题，凑满了三道给了高斯。高斯以为这个和平时的作业一样，就拿着回住处去了。他老师没发现，自己将如何用尺规画正十七边形这道千年难题，拿给了19岁的高斯当家庭作业。
高斯在完成作业的时候发现，老师布置的最后一道题怎么感觉比平日里难很多，他以为老师只想考考他，于是一直坐在桌子前面思考如何解答问题。
题目是让用尺规画出正十七边形，高斯并不知道这道题难倒过阿基米德，还以为是老师能解开的题目，于是不服输的他用了一个晚上，终于将正十七边形的画法推导出来。
高斯先通过三等分角判定方程，建立了基本等价方程式，初步获得解决方案后，他又建立了等价的一元二次方程， 最终只需要求得cos（2π/17）就可以得到正十七边形的尺规作图法。
用高斯的方法，主要是将 2π/17这个非特殊角度，通过转换，用特殊角度的组合表示。其次就是对于三角函数的恒等变换，这一步工作看似相当基础，实则关系重大，高斯正是通过这一系列繁杂的恒等变换，层层推进证明出正十七边形的可作图。这是高斯一个晚上完成的结果，当它第二天顶着黑眼圈去上课交作业时，把老师惊呆了，这个2000年无人解答的问题，到高斯手里一个晚上就出来了。值得注意的是，高斯并没有直接画圆，他只证明了正十七边形可以用尺规作图法。这就好比，建造一座大楼，高斯是设计师，但他不参与修建过程。后世在高斯证明的引导下，画出了正十七边形。
步骤如下：先画一个圆O，作两垂直的直径AB、CD。 然后在OA上作一个E点，要使O点到E点的距离是半径的四分之一，再将C点和E点连接起来。将∠CEB平分线得到平分线EF再将∠FEB平分线，平分线为EG，与CO交于P点。作∠GEH，度数45°，并且交CD于Q点。
以CQ为直径作圆，与OB交于K。再以P为圆心，PK为半径，画一个圆，与CD交于L与M两点。分别过M、L作CD的垂线，与圆O于N与R。两点作弧NR的中点S，以SN为半径将圆O分成17等份。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
